Razones y proporciones

1. Tema 3. Razones y proporciones directas e inversas: factor de
proporcionalidad
En el material educativo de primer grado de secundaria se vio que
cuando dos cantidades u objetos (llamados variables) presentan una
variación directamente proporcional o inversamente proporcional, la
razón, es decir, la división entre dos de sus magnitudes
correspondientes es siempre constante e igual, sin importar las
cantidades que se elijan para formarla. En la siguiente tabla se
presenta la cantidad de dinero que se necesita para comprar un
determinado número de bolillos.
Dinero 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
Número de bolillos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Al dividir cualquier par de estas dos cantidades el resultado es siempre
constante e igual, por ejemplo, si se compran 5 ó 10 bolillos, la razón
será igual a 3 como se muestra abajo:
15 30
= 3, =3
5 10
Al resultado de la razón o a la razón misma se le llama factor de
proporcionalidad y expresa la relación entre dos cantidades o
variables, es decir, dado el factor de proporcionalidad y el valor
de una de las variables es posible determinar el valor de la otra
y viceversa. De tal manera que se pueden definir y expresar las
52

2. variaciones directamente e inversamente proporcionales
utilizando este factor de proporcionalidad de la siguiente
manera:
Una cantidad (magnitud) “y” se dice que es directamente
proporcional a la cantidad “x” si la magnitud “y” se puede
expresar como:
M
A
Por ejemplo, en la tabla presentada al T
principio de este tema, el número de E
bolillos (“x”) y la cantidad de dinero M
Á
(“y”) son directamente proporcionales,
T
es decir, y = 3 x , donde k es igual a 3. I
La gráfica de esto se muestra en el C
lado derecho. A
S
Una cantidad (magnitud) “y” se dice que es inversamente
proporcional a la cantidad “x” si la magnitud “y” se puede
expresar como:
Por ejemplo, la tabla que a continuación se presenta expresa la
relación entre el número de obreros y los días que tardan en
realizar una determinada obra.
Variación inversamente proporcional
Número de obreros 1 2 3 4
Días para realizar la obra 12 6 4 3
53

3. El número de días (“y”) para realizar el trabajo depende del
número de obreros (“x”), de tal manera que el número de días
12
que tardan en realizar la obra se puede expresar como y= .
x
El factor de
proporcionalidad en
este caso es igual a 12.
La gráfica de esta
relación se presenta en
la figura del lado
derecho. Hay un
comportamiento típico
en este tipo de
relaciones, es decir,
presenta aumento en
una de sus variables y
disminución en la otra o
viceversa.
Lo anterior se aplica en muchas situaciones de la vida
cotidiana, por ejemplo:
María mandó hacer una reproducción de una fotografía a una
3
escala de , si las medidas de la fotografía eran de 15 por 20
2
centímetros, ¿cuáles son las medidas de la reproducción?
Claramente se trata de una relación directamente proporcional
3
con el factor de proporcionalidad igual a = 1.5, de tal manera
2
que las medidas de la reproducción de la nueva fotografía será
de 1.5 x 15 = 22.5 cm y 1.5 x 20 = 30 cm respectivamente.
Hay muchas relaciones entre las variables que pueden
presentar más de una proporción, por ejemplo: en la ley de
gravitación universal se presenta una relación directamente y
una inversamente proporcional.
54

4. Si d=1, la ley de gravitación universal se convierte en:
m1m2 m1m2
F=G =G = G(m1m2 )
d2 1
la fuerza de atracción de dos cuerpos es directamente proporcional
al producto de su peso, donde el factor de proporcionalidad es igual
a G.
Si m1m2 = 1, la ley de gravitación universal se convierte en:
M
m1m2 1 G
F=G =G = 2
A
d2 d2 d
T
E
La fuerza de atracción de dos cuerpos es inversamente proporcional M
al cuadrado de su distancia, donde el factor de proporcionalidad es Á
igual a G. T
I
C
A
S
55