Amortización de préstamos con cuotas uniformes vencidas a interés simple carlos aliaga

pensamiento y gestión, N.° 43
ISSN 1657-6276
http://dx.doi.org/10.14482/pege.41.9704
Amortización de préstamos con cuotas
uniformes vencidas a interés simple
Amortization of simple interest loans with a
series of uniform end-of-period installments
Carlos Aliaga V.
carlosaliagavaldez@gmail.com
Universidad Nacional del Callao-Perú. Maestro en Gestión Estratégi-
ca Empresarial-Universidad Peruana de Ciencias e Informática.
Carlos Aliaga C.
correo@carlosaliaga.com
Universidad del Pacífico-Perú. Master of Public Management (MPM).
Universität Potsdam Berlin-Brandenburg.

Fecha de recepción: 15 de mayo de 2017
Fecha de aceptación: 19 de julio de 2017
Resumen
En el modelo de amortización de préstamos a interés simple con cuotas
uniformes vencidas y periodos de cuota uniformes, pueden identificarse dos
tipos:
Tipo 1: Todas las cuotas del préstamo amortizan principal.
Tipo 2: Préstamos con interés simple cuando el principal
queda cancelado antes de la última cuota.
Utiliza una ecuación de equivalencia financiera a interés simple, que
toma como fecha focal el final del horizonte del préstamo y calcula en
ese momento el importe de la cuota uniforme, luego se sistematiza en un
algoritmo matemático y se resuelve con la construcción de una función
personalizada denominada Rsim, que se incorpora como un complemento
add-in en Excel y permite plantear modelos automatizados de amortización
de préstamos con cuotas uniformes, en periodos uniformes y con interés
simple.
Este artículo es el producto de nuestro proyecto de investigación Matemá-
tica Financiera: anualidades y perpetuidades, sistematizado en la función
Rsim de nuestra propiedad intelectual, realizado con el apoyo de la Uni-
versidad Nacional del Callao. El objetivo de la investigación es hallar una
ecuación de equivalencia financiera a interés simple que se aplique indis-
tintamente para cualquier tipo de amortización de préstamos con cuotas
uniformes que devengan interés simple, y su propósito es desarrollar un
algoritmo que sistematice la ecuación de equivalencia de modo que sea
utilizado por académicos y especialistas en costos financieros. La metodolo-
gía utilizada es inducción-deducción en las que se consideraron las fases de
observación, deducción y experimentación.
Para cualquier caso de préstamos que devengan interés simple, el estudio
concluye que si se utiliza el algoritmo Rsim se obtiene la verdadera equiva-
lencia financiera que evita el anatocismo, lo que se comprueba al formular
la tabla de amortización del préstamo.
Palabras clave: Amortización de préstamos, interés simple, monocapitalización,
anualidades con interés simple, rentas uniformes, factor de recuperación del capital.

191pensamiento & gestión, 43. Universidad del Norte, 181-219, 2017
Abstract
In the amortization model of simple interest loans with uniform quotas
due and uniform quota periods, two types, can be identified:
Type 1: All loan installments repay principal.
Type 2: Loans with simple interest when the principal
is canceled before the last installment.
It uses an equation of financial equivalence at simple interest, which takes
as focal date the end of the horizon of the loan and calculates at that time
the amount of the uniform fee, which is then systematized in a mathema-
tical algorithm that is solved with the construction of a function Called,
Rsim, which is incorporated as an add-in Excel add-in and allows to
propose automated loan repayment models with uniform rates, in uniform
periods and with simple interest.
This article is the product of our research project Financial Mathema-
tics: annuities and perpetuities, systematized in the Rsim function of our
intellectual property, made with the support of the National University of
Callao. The objective of the investigation is a simple financial debt consoli-
dation method that applies indistinctly to any kind of loan repayment with
uniform interest-bearing rates, and its objective is Develop an algorithm
that systematizes the equivalence equation so that both academics and
financial cost specialists use it. The methodology used is induction-deduc-
tion in which the phases of observation, deduction and experimentation we
are observed.
The study concludes that, for any case of simple interest loans, using the
Rsim algorithm gives the true financial equivalence that avoids the anato-
cism, which verified when formulating the loan repayment table.
Key words: loan repayment, simple interest, monocapitalization, simple interest
annuities, uniform income, capital recovery factor.

192 pensamiento & gestión, 43. Universidad del Norte, 181-219, 2017
Carlos Aliaga V., Carlos Aliaga C.
INTRODUCCIÓN
En el presente artículo se aborda el modelo de amortización de un prés-
tamo bajo un régimen de interés simple, el cual se otorga mediante un
único desembolso al inicio del horizonte temporal y que se paga me-
diante cuotas uniformes vencidas cuyos periodos también son uniformes.
Considerando que en una cuenta bajo este régimen el interés se capitaliza
únicamente al término del horizonte temporal de la referida cuenta, sur-
ge el interrogante respecto a ¿cómo calcular el importe de dicha cuota
uniforme de manera tal que se evite el anatocismo?
El propósito de esta investigación es mostrar un procedimiento para cal-
cular la cuota uniforme y formular la correspondiente tabla de amortiza-
ción de este modelo, para lo cual pueden presentarse dos casos relevantes
de estudio:
• cuando el principal queda cancelado en la última cuota, caso en el
cual todas las cuotas incluyen pago de interés y de principal;
• cuando el principal queda cancelado antes de la última cuota, caso
en el cual al menos una cuota incluye pago de interés, pero no de
principal.
El presente trabajo se justifica porque la mayoría de las investigaciones
y libros de Finanzas que abordan el tema de amortización de préstamos:
• Generalmente desarrollan sistemas de amortización bajo el régi-
men de interés compuesto, el cual es un régimen de interés mul-
ticapitalizado, y dejan de lado los sistemas de amortización bajo el
régimen de interés simple, el cual es un régimen de interés mono-
capitalizado, como puede observarse en los excelentes trabajos de
Zbigniew Kosikowski (2007), Moore (1981), Villalobos (1993),
García (2000), Ayres (1991), Dávila Atencio (1992) y otros.
• Algunos autores como Mesías Levano (1984, p. 102) desarrolla el
tema “Amortización a interés simple” y presenta una teoría para
calcular la cuota uniforme de un préstamo amortizable con cuotas
uniformes vencidas que devenga interés simple; sin embargo, no

elabora la tabla de amortización del préstamo como conclusión. La
particularidad de este trabajo es que utiliza tasas de interés simple
anual que no superan el 10 %, cae en el caso tipo 1, y por tanto, la
cuota uniforme se calcula por el método algebraico.
• Otros autores como Vallo (s.f. p. 75), calculan adecuadamente la
cuota uniforme del préstamo amortizable con interés simple, pero
desarrolla el caso que hemos denominado tipo 1, el cual calcula la
cuota uniforme por el método algebraico.
• Algunos autores como Zans (2004, p. 87-89) y Cabeza de Vergara
(2010) desarrollan sistemas de amortización de préstamos a inte-
rés simple, pero presentan diversos planteamientos para calcular la
cuota uniforme. Plantean una ecuación de equivalencia financiera
cuyo primer término es el importe del préstamo y el segundo tér-
mino de la igualdad es la suma de los valores presentes de cada
una de las rentas o cuotas uniformes simbolizadas R. Sin embargo,
en esta supuesta ecuación de equivalencia financiera, se conside-
ran implícitamente múltiples periodos de capitalización de interés
(tantos como número de cuotas existan), lo cual es inconsistente
con el régimen de interés simple, cuya única capitalización debe
realizarse cuando en la fecha de término del correspondiente hori-
zonte se cancela la operación.
• En términos generales, en el caso de que la última cuota incluya
amortización de interés y de principal, estos planteamientos po-
drían conllevar a obtener una fórmula que brinde correctamente el
cálculo de la cuota uniforme. No obstante lo anterior, en el resto de
los casos, esta fórmula brindará un cálculo no adecuado.
1. METODOLOGÍA
La metodología utilizada es inducción-deducción en donde se considera-
ron las fases de observación, deducción y experimentación. La inducción
se ha realizado a través del análisis de trabajos de expertos, lo que permi-
tió generalizar un algoritmo válido para cualquier tipo de cuota uniforme
con interés simple. El tipo de investigación es analítico.

1.1. Convenciones sobre los términos anualidad, renta y cuota
En sentido estricto, una anualidad de flujos es una periodicidad de flujos
con periodos uniformes. Sin embargo, como el término anualidad suele
usarse en un sentido que no es riguroso, se aplica también a periodici-
dades con periodos no uniformes y en los cuales alguno(s) o todos sus
periodos pueden ser distintos de un año.
Al tener en cuenta dicha terminología, salvo indicación contraria, en el
presente artículo se usarán las siguientes convenciones:
a. el término anualidad será usado para referirse a cualquier periodi-
cidad de flujos de caja (independientemente de que sus periodos
sean uniformes o no uniformes, anuales o no anuales) con un hori-
zonte temporal finito;
b. los términos: renta y cuota, serán usados para referir a cualquier
flujo de efectivo de dicha periodicidad, el mismo que puede tener
signo positivo (ingreso) o signo negativo (egreso);
c. los términos periodo de renta y periodo de cuota serán usados para
referirse a la distancia temporal que existe entre el momento en
que se produce una renta hasta que se da la siguiente.
1.2. Atributos principales de una anualidad
Entre los principales atributos de una anualidad se tienen los siguientes:
• Horizonte temporal H, es el plazo de la anualidad que puede me-
dirse en días, quincenas, meses, trimestres u otros periodos uni-
formes o no uniformes. Si se conoce la fecha de inicio de una pe-
riodicidad, pero no puede estimarse su fin dado que el horizonte
temporal tiende a infinito, entonces la anualidad toma el nombre
de perpetuidad.
• Momento, es un instante del tiempo o de ocurrencia de algún
evento que afecta a la anualidad (inicio, cobro, pago, vencimiento,
cambio de tasa, etc.).

• Renta o cuota R, es un flujo de caja que puede ser uniforme (de un
mismo importe que se repite varias veces en el horizonte tempo-
ral), o no uniforme o variable.
• Número de periodos de tasa n, el cual en una anualidad simple coin-
cide con el número de rentas uniformes del horizonte temporal.
• Número de cuotas nc
, es el número de cuotas o de rentas que se
realizan en el horizonte temporal de la anualidad; dado que en las
anualidades simples los periodos de tasa deben coincidir con los
periodos de renta n=nc
, se usará npara designar el número de cuotas
y el número de periodos de tasa.
• Número de la cuota que se evalúa k, número entero que va desde 0
(momento de inicio de la anualidad), hasta el momento n, que es el
último periodo de tasa o de renta, con el que termina el horizonte
temporal de la anualidad.
• El interés de una anualidad, en el caso de que dicha anualidad ge-
nere intereses. Es preciso señalar que los intereses devengados no
son rentas o cuotas de la anualidad mientras no impliquen flujos
de caja. Sin embargo, si el acreedor efectúa un retiro de interés,
dicho retiro sí será una renta en la medida que implica un flujo que
incrementa el saldo de caja del mencionado acreedor.
• Tasa de interés, es la tasa que devenga el stock de efectivo, las ren-
tas o los saldos de caja durante el horizonte temporal. La tasa de
interés puede ser explícita o implícita; la tasa de interés explícita
puede ser fija o variable. Cuando la anualidad corresponde a un
régimen de interés simple, la tasa de interés es una tasa nominal o
tasa de interés simple j; cuando la anualidad corresponde a un régi-
men de interés compuesto, la tasa de interés es una tasa efectiva i.
• Monto o valor futuro S, es un importe que se compone de principal
y de interés de todas las rentas de la anualidad.
• Valor presente P, es el importe que, invertido en el presente a las
mismas tasas de interés de la anualidad, producirá un valor futuro
igual al de dicha anualidad.

1.3. Modelo de estudio
El estudio materia del presente artículo es un modelo de amortización
de un préstamo bajo un régimen de interés simple con una tasa j que no
varía durante el horizonte temporal, el cual se otorga mediante un único
desembolso P al inicio del horizonte temporal, y que se paga mediante n
cuotas uniformes vencidas cuyos periodos también son uniformes, cada
una de las cuales de un importe R puede componerse de lo siguiente:
• Cuota principal, que amortiza todo o parte del saldo del principal
del préstamo, y
• Cuota interés, que amortiza todo o parte del saldo del interés ca-
pitalizado.
1.4. Tipos de amortización bajo el modelo de estudio
de acuerdo con la composición de su cuota
En concordancia con lo señalado anteriormente, el modelo de estudio co-
rresponde a una cuenta bajo un régimen de interés simple. Al tener en
consideración que, bajo este régimen, el interés se capitaliza únicamente al
término del horizonte temporal de la cuenta, surge la interrogante respecto
a cómo calcular el importe de dicha cuota uniforme de tal manera de evitar
el anatocismo. Para abordar este problema pueden identificarse dos tipos de
amortización de préstamos enmarcados en el referido modelo:
a. Tipo 1: Préstamos con interés simple cuando todas las cuotas
amortizan principal. Para este tipo de amortización, el importe de
la cuota uniforme vencida puede calcularse algebraicamente con la
fórmula.
{
( )
[ ( )]
}
b. Tipo 2: Préstamos con interés simple cuando el principal queda
cancelado antes de la última cuota. Para este tipo de amortización,
la cuota uniforme no se podría calcular algebraicamente y tendría

que formularse un algoritmo recursivo que a través de un cálculo
iterativo halle la solución buscada.
1.5. Tipo 1. Cuotas uniformes cuando en todas
las cuotas se amortiza principal
Premisas:
- El valor de n o número de cuotas uniformes es entero mayor que 1.
- La deuda se cancela con n cuotas uniformes.
- En todas las cuotas se amortiza principal.
- En las n-1 primeras cuotas no se rebaja interés.
- En la última cuota se cancela el principal insoluto y todo el interés
simple devengado.
1.6. Deducción de la cuota uniforme vencida R
Al tomar como fecha focal el momento n, pueden representarse las va-
riables R, P, j y n en el diagrama de tiempo-valor que se muestra en la
figura 1.
Figura 1. Diagrama de tiempo-valor donde P y la
incógnita R se llevan con interés simple hasta el
momento n con el objeto de plantear una ecuación
de equivalencia financiera y hallar el valor de R

Si se asume que el préstamo P se concede para amortizarse con interés
simple y n cuotas uniformes periódicas R que devengan una tasa nominal
j, puede plantearse una ecuación de equivalencia financiera con fecha fo-
cal en el momento n y despejarse R del siguiente modo:
[ ( )] [ ( )] [ ] [ ] = [ ]
[
( )
]= [ ]
=
( )
[ ( )]
Al reagrupar términos se tiene:
{
( )
[ ( )]
} Fórmula 1
La fórmula 1 calcula la cuota uniforme vencida que amortiza un préstamo
con interés simple dentro de un determinado horizonte temporal, en los
cuales el periodo de la tasa j coincide con el periodo de la cuota. El tér-
mino entre paréntesis:
- se denomina factor de recuperación de capital a interés simple para una
tasa j y n periodos,
- se simboliza frcj;n
.
En el caso de que a partir de valores hipotéticos de P, R y j, n no resultara
un valor entero positivo, entonces no existiría ninguna anualidad vencida
simple cuyos valores de P, R y j, sean iguales que los respectivos valores
hipotéticos.
Ejemplo 1
Una empresa suscribió un contrato de préstamo por un importe de
10 000 unidades monetarias (um), que devenga una tasa nominal anual
TNA de 0,18. Este préstamo, que devenga un interés simple, se amortiza-

rá en el plazo de un año, con cuotas uniformes que vencen cada 90 días.
Calcule el importe de la cuota uniforme vencida y formule el cuadro de
amortización de la deuda.
Solución
Con los datos: y con la fórmula 1 se
tiene:
{
( )
[ ( )]
} {
( )
[ ( )]
}
Tabla 1 Amortización de un préstamo con cuotas
uniformes vencidas e interés simple
k Cuota
Cuota
principal
Cuota
interés
Saldo
Interés
devengado
0 10000.00
1 2763.47 2763.47 0.00 7236.53 450.00
2 2763.47 2763.47 0.00 4473.07 325.64
3 2763.47 2763.47 0.00 1709.60 201.29
4 2763.47 1709.60 1053.86 0.00 76.93
Σ 11053.86 10000.00 1053.86 1053.86
Interés devengado
Es el interés simple devengado en cada periodo de cuota por el sal-
do del principal, también llamado principal por vencer.
Ik =1
10000,00 x 0,045 x 1 = 450,00
Ik =2
7236,53 x 0,045 x 1 = 325,64
Ik =3
4473,07 x 0,045 x 1 = 201,29
Ik =4
1709,60 x 0,045 x 1 = 76,93

En el presente caso, la suma de los intereses devengados por los saldos
deudores hasta el final del horizonte temporal asciende a 1053,86 um,
importe que se cancela en la última cuota del préstamo, con lo que se
cumple la condición de ser una cuenta bajo un régimen de interés simple
monocapitalizado.
Saldo en el periodo k
Es el saldo del préstamo inmediatamente después del vencimiento de cada
cuota. Por ejemplo, inmediatamente después del vencimiento de la pri-
mera cuota, el saldo de 7236,53 um es la diferencia del saldo anterior y de
la cuota que acaba de vencer: 10000 um-2763,47 um. Luego del pago de
la última cuota este saldo debe ser cero, tal como se observa en la tabla 1.
Tipo 2. Cuotas uniformes cuando el principal
se cancela en la última cuota o antes
Al desarrollar el ejemplo 1 pudo comprobarse que el problema cumplía
los supuestos planteados anteriormente y, por lo tanto, todas las cuotas
incluían amortización de principal. Sin embargo, ¿cómo se calcularía una
cuota uniforme en un problema en que no se cumplan dichos supuestos?
Para ilustrar este tipo de amortización, se plantea el ejemplo 2.
Ejemplo 2
Una empresa firmó un contrato de préstamo de 10 000 um, que devenga
interés simple con una TNA de 0,18, para amortizarlo en el plazo de dos
años con cuotas uniformes que vencen cada 90 días. Calcule el importe
de la cuota uniforme y formule el cuadro de amortización de la deuda.
Solución
Con los datos: . Si se aplicara la fór-
mula 1, se tendría lo siguiente:
{
( )
[ ( )]
} {
( )
[ ( )]
}
R = 10.000 × 0,14686825 = 1468,68

Tabla 2 Amortización de un préstamo con
cuotas uniformes vencidas e interés simple cuyo
saldo no se cancela en la última cuota.
k Cuota
Cuota
principal
Cuota
interés
Principal
Interés
acumulado
Saldo
Interés
devengado
10000,00 10000,00
1 1468,68 1468,68 0,00 8531,32 450,00 8981,32 450,00
2 1468,68 1468,68 0,00 7062,63 833,91 7896,54 383,91
3 1468,68 1468,68 0,00 5593,95 1151,73 6745,68 317,82
4 1468,68 1468,68 0,00 4125,27 1403,46 5528,73 251,73
5 1468,68 1468,68 0,00 2656,59 1589,09 4245,68 185,64
6 1468,68 1468,68 0,00 1187,90 1708,64 2896,54 119,55
7 1468,68 1187,90 280,78 0,00 1481,32 1481,32 53,46
8 1468,68 0,00 1468,68 0,00 12,63 12,63 0,00
Σ 11749,46 10000,00 1749,46 1762,10
En el presente caso solo las n-1 primeras cuotas se destinan a amortizar
principal, mientras que en la penúltima y última cuota se pagan intereses.
Sin embargo, con cuotas uniformes de 1 468,68 um cada una, importe
calculado con la fórmula 1, no alcanza para cancelar el interés devengado
durante el préstamo, que asciende a 1 762,10 um, y deja pendiente por
cancelar 12,63 um de saldo insoluto de interés simple. Queda ilustrado
entonces que, en este ejemplo, la aplicación de la fórmula 1 no obtiene el
verdadero importe de la cuota uniforme.
2. RESULTADOS
La fórmula 1 fue desarrollada bajo los supuestos del modelo de estudio
bajo el tipo 1, en el cual el principal queda cancelado en la última cuota.
Sin embargo, ello no ocurre en el ejemplo 2, dado que, en dicho ejemplo,
el principal se cancela no en la octava y última cuota sino en la séptima,
configurándose el tipo 2 del modelo de estudio. Por tal razón, en este
caso, la aplicación de la fórmula 1 no obtiene el verdadero importe de la
cuota uniforme, por lo que para calcularlo resulta necesario desarrollar un
método que sea aplicable para este segundo tipo.

Simbología
Para deducir la fórmula de la cuota uniforme vencida aplicable al tipo 2
se utilizarán los siguientes símbolos:
n el número de cuotas uniformes periódicas en el horizonte temporal.
k un número entero perteneciente al intervalo [0; n].
q un número entero perteneciente al intervalo [0; k].
Pk
el principal insoluto al final de los k primeros periodos.
Sk
el saldo (principal más interés) al final de los k primeros periodos.
Ak
la amortización de principal efectuada al final del k-ésimo periodo, si
k > 0; 0, si k = 0.
x el número de cuotas que incluyen amortización de principal.
u un número entero perteneciente al intervalo [x; n].
Deducción de la fórmula general de la cuota uniforme vencida
Al utilizar la simbología anterior, se tiene lo siguiente:
S0
= P P0
= P
S1
= S0
+P0
j - R = P + Pj - R P1
= P0
- A1
= P(1 + j) - R P1
= P - A1
S2
= S1
+P1
j - R P2
= P1
- A2
= P (1 + j) - R + (P - A1
) j - R P2
= P - A1
- A2
= P (1 + j) - R + Pj - A1
j - R
= P (1 + 2j) - 2R - A1
j
S3
= S2
+P2
j - R P3
= P2
- A2
- A3
= P (1 + 2j) - 2R - A1
j + P2
+ (P - A1
- A2
) j- R P3
= P - A1
-A2
- A3
= P (1 + 2j) - 2R - A1
j + P2
+ Pj - A1
j - A2
j - R
= P (1 + 3j) - 3R - j (2A1
+ A2
)

En forma general puede expresarse lo siguiente:
= ( ) ∑[( ) ]
Cuando k = n:
= ( ) ∑[( ) ]
Dado que Sn
= 0:
( ) ∑[( ) ]
( ) ∑[( ) ]
Si x es el número de cuotas que incluyen amortización de principal, se
tiene:
( ) {∑[( ) ] ∑[( ) ]}
Al considerar que cualquier cuota posterior a la x-ésima no incluirá amor-
tización de principal, se tiene lo siguiente:
( ) { ∑[( ) ] ( ) }

Téngase en cuenta que A0
= 0 y Aq
= R para todo q entero en [1; x-1]. Se
cumple entonces lo siguiente:
( ) {∑[( ) ] ( ) }
( ) { ∑( ) ( ) }
( ) ∑( ) ( )
∑( )= ( ) ( )
[ ∑( )] ( ) ( )
Si se estudia la expresión ∑( ), se deduce que es igual a (n-1)+(n-2)+...+
[n-(x-1)] que es la suma de una progresión aritmética de x-1términos y
diferencia 1. De ello se deduce:
{ ( ) [
( )
]} ( ) ( )
[ ( ) ( )] ( ) ( )
[
( )( )
] ( ) ( )

En la x-ésima cuota se cancela el principal. Por lo tanto, Ax
será igual a P
menos la suma de todas las amortizaciones de principal anteriores. Tén-
gase presente que en todas las cuotas anteriores se amortizaba principal
y no se rebajaba interés. Por lo tanto, cada una de las amortizaciones de
principal anteriores son iguales a R y Ax
= P - (x-1) R. Se cumplen enton-
ces las siguientes igualdades:
[
( )( )
] ( ) ( )[ ( ) ]
[
( )( )
] ( ) ( ) ( )( )
[
( )( )
] [( ) ( )] ( )( )
[
( )( )
] ( )( ) [ ]
[
( )( )
] ( )( ) [ ]
[
( )( ) ( )( )
] ( )
{
( )[( ) ( )]
} ( )
[
( )( )
] ( )
[
( )
] ( )

Al reagrupar términos, se tiene:
( )
( )
Fórmula 2
Sin embargo, al aplicar la fórmula anterior puede surgir el problema de
desconocer el valor de x, de ahí que para hallar R puede usarse el siguiente
algoritmo en el cual el signo * es el operador de multiplicación.
R = 2*P (1+j*n)/n/ (2+j*(n-1))
Y = n-1
Mientras y*R>P
R = 2*P*(1+j*y)/ (2*n+j*y*(y-1))
Y = y-1
Fin de mientras
A partir de la precondición {n es entero positivo; p es positivo; j es posi-
tivo} este algoritmo deja en y el número de cuotas amortizaciones uni-
formes, en R el valor de la cuota uniforme. El algoritmo anterior ha sido
sistematizado en la función financiera personalizada Rsim1
(cuota unifor-
me con interés simple) del complemento Herramientas financieras per-
sonalizadas de Excel.
Para que el algoritmo deje en x el número de cuotas en las que se cancela
el principal, puede añadir: x=y+1.
1
Propiedad intelectual de Carlos Aliaga.

Apunte adicional
La fórmula 2 es la fórmula general de la cuota uniforme vencida
aplicable no solo al tipo 2, sino también al tipo 1. Así para el tipo
1, el número de cuotas principal coincidirá con el número de cuotas
y, por lo tanto, para dicho caso se cumplirá x = n. Al reemplazar esta
última igualdad en la fórmula 2, se tiene:
( )
( )
{
( )
[ ( )]
} Fórmula 2
con lo cual se llega a la fórmula 1. Esto significa que dicha fórmula
es un caso particular de la fórmula 2 cuando todas las cuotas inclu-
yen amortización de principal.
Aplicaciones de la función Rsim en
amortizaciones con interés simple
Ejemplo 3
Una empresa firmó un contrato de préstamo de 10 000 um, que devenga
una TNA de 0,18, para amortizarlo en el plazo de dos años con interés
simple y cuotas uniformes que vencen cada 90 días. Calcule el importe
de la cuota y formule el cuadro de amortización del préstamo. Este es el
mismo ejemplo 2, cuya cuota uniforme de 1468,68 um se obtuvo con la
fórmula 1, pero ahora debe calcularse con la fórmula 2 y la función finan-
ciera personalizada Rsim.
Solución
Con los datos: ; n=8; P=10000, la fórmula 2 y la
función Rsim operada en Excel se obtiene el modelo que se presenta a
continuación.

Figura 2. Función Rsim que resuelve la fórmula 2 y
obtiene la cuota uniforme con interés simple
Con el importe de la cuota uniforme calculada como se muestra en la
figura 2, se elaboró el siguiente modelo en una hoja de Excel.
Figura 3. Tabla de amortización de un préstamo
con cuotas uniformes e interés simple
Al comparar la tabla de amortización del ejemplo 2 con la tabla de amor-
tización del ejemplo 3, que utiliza los mismos datos, se observan las si-
guientes diferencias:

1. Con la cuota uniforme de 1468,68 um del ejemplo 2 calculada con la
fórmula 1, el principal queda cancelado al término del séptimo perio-
do. Sin embargo, al término del octavo período no queda cancelado el
préstamo, deja pendiente un importe de 12,63 um correspondiente
al saldo insoluto del interés devengado por dicho préstamo.
2. Con la cuota uniforme de 1470,10 um del ejemplo 3 calculada con
la fórmula 2 y la función financiera Rsim, se tiene lo siguiente:
• Al término del séptimo periodo (k=7), la cuota se aplica parcial-
mente a extinguir el saldo insoluto del principal ascendente a
1179,43 um, y lo restante ascendente a 290,67 um se aplica a
disminuir parte del interés devengado por el préstamo.
• Como el principal queda cancelado al término del séptimo pe-
riodo (k=7), al tratarse de un préstamo bajo un régimen de inte-
rés simple, durante el periodo de la última cuota no se devengó
interés (celda K11), ya que el saldo del principal era 0.
A manera de referencia, en la celda B10 de la figura 3 se calculó la TIR del
préstamo, que arrojó una tasa efectiva trimestral TET = 0,037518207, con
la cual se preparó la tabla de amortización del préstamo equivalente (figura
4), pero con interés compuesto.
Figura 4. Tabla de amortización de un préstamo
con cuotas uniformes e interés simple

Algunas inferencias sobre resultados
obtenidos con la función Rsim
Sobre la base del problema anterior se hizo una simulación de los valores
de n manteniendo los demás datos del ejemplo 3, cuyas cuotas uniformes
fueron calculadas con el frc (fórmula 1) y con la función Rsim (fórmula 2).
En la tabla 3 se observa que para valores de n que van desde 2 hasta 7 no
hay diferencia en los importes de las cuotas calculadas con el frc o con Rsim,
y en consecuencia corresponden al tipo 1.
En cambio, para n>7 las cuotas uniformes calculadas con la fórmula 1 son
inferiores a las cuotas uniformes calculadas con Rsim, y no permiten cance-
lar los intereses devengados por el saldo insoluto. Estos intereses pendien-
tes de cancelar crecen en la medida que aumenta el número de cuotas del
préstamo por amortizar.
Tabla 3. Comparación de cuotas uniformes
calculadas con el frc y con Rsim
N.°
cuotas n
frc Rsim
Interés no
cancelado
Tipo
2 5330.07 5330.07 0 1
3 3620.41 3620.41 0 1
4 2763.47 2763.47 0 1
5 2247.71 2247.71 0 1
6 1902.62 1902.62 0 1
7 1655.13 1655.13 0 1
8 1468.68 1470.10 12.63 2
9 1322.98 1325.54 26.27 2
10 1205.82 1209.12 38.36 2
11 1109.46 1113.31 49.26 2
12 1028.72 1033.87 72.14 2
13 960.02 966.07 93.63 2
14 900.80 907.48 113.40 2
15 849.18 856.98 140.30 2
16 803.74 812.40 169.07 2
Continúa...

N.°
cuotas n
frc Rsim
Interés no
cancelado
Tipo
17 763.41 772.79 195.90 2
18 727.35 737.72 229.29 2
19 694.89 706.01 263.81 2
20 665.50 677.45 296.32 2
De los resultados de la simulación para diversos valores de n, se infiere que
para amortizaciones del préstamo del ejemplo 3 hasta 7 cuotas uniformes
corresponden al tipo 1, y de 8 a más cuotas corresponden al tipo 2. Como
resultado de otras sensibilizaciones se pudo notar que manteniendo los
valores del resto, los datos de un préstamo amortizable a interés simple,
en la medida que se incrementa la tasa de interés simple, el principal se
cancela en menores cuotas y, por tanto, las siguientes cuotas sirven para
cancelar el saldo insoluto del interés devengado.
3. DISCUSIÓN
La presente sustentación teórica que concluye con la generalización del
cálculo de la cuota uniforme con interés simple (fórmula 2) que se resuel-
ve por métodos numéricos sistematizada en la función Rsim que se incor-
pora en Excel cuando se instala el complemento Herramientas financieras
personalizadas, debe contrastarse con los resultados que se presentan en
algunos libros de Matemática Financiera y artículos especializados, como
se describe a continuación.
• Zans (2004, pp. 87-89) plantea que la cuota uniforme se obtiene
luego de establecer una ecuación que es supuestamente de equiva-
lencia financiera en el presente (momento 0). Así, para obtener la
cuota uniforme de un préstamo de 50000 um, que devenga una
tasa de interés simple mensual de 0,03 y se cancela con tres cuotas
uniformes mensuales, formula el siguiente cálculo:

Al desarrollar la tabla de amortización con la cuota uniforme de
17657,33 um (tabla 4) se observa que los intereses del préstamo de
2971,69 um son mayores que los verdaderos intereses devengados
de 2910,85 um. Con ello se comprueba que la supuesta ecuación
de equivalencia financiera con fecha focal en el momento 0 no es
la correcta para obtener el verdadero importe de la cuota uniforme
en el modelo de estudio que corresponde a un régimen de interés
simple. En su lugar debió utilizarse como fecha focal el final del
horizonte temporal, como se muestra en la figura 1.
Tabla 4 Amortización de un préstamo con cuotas
uniformes calculada con fecha focal en momento 0
k Cuota
Cuota
principal
Cuota
interés
Saldo
Interés
devengado
0 50000.00
1 17657.23 17657.23 0.00 32342.77 1500.00
2 17657.23 17657.23 0.00 14685.54 970.28
3 17657.23 14685.54 2971.69 0.00 440.57
Σ 52971.69 50000.00 2971.69 2910.85
• Por su parte, Cabeza de Vergara (2010, pp. 158-175), en su infor-
me Cavilaciones sobre el interés simple, plantea el siguiente pro-
blema: “Se realiza un préstamo de $4000000 y se pacta cancelarlo
en siete cuotas iguales, a una tasa de interés de 6 % semestral, bajo
la modalidad del interés simple. Se desea calcular el valor de la
cuota y construir una matriz de pago que muestre cómo se distri-
buye la cuota entre intereses y abonos a capital y luego compare el
presente de cada cuota con el presente de una anualidad vencida,
interés simple”. Después de calcular la cuota uniforme con la fór-
mula 1, plantea la siguiente solución.
{
( )
[ ( )]
} {
( )
[ ( )]
}

Tabla 5. Amortización de un préstamo con cuotas
uniformes calculada con la fórmula 1
K n-k Cuota
VA de la
cuota
VF de VA VA de VF Interés
Cuota
principal
Cuota
interés
Saldo
0 7 4000000.00
1 6 687651.33 648727.67 935205.81 658595.64 29055.69 658595.64 29055.69 3341404.36
2 5 687651.33 613974.40 893946.73 629539.95 58111.38 629539.95 58111.38 2711864.41
3 4 687651.33 582755.37 852687.65 600484.26 87167.07 600484.26 87167.07 2111380.15
4 3 687651.33 554557.53 811428.57 571428.57 116222.76 571428.57 116222.76 1539951.57
5 2 687651.33 528962.56 770169.49 542372.88 145278.45 542372.88 145278.45 997578.69
6 1 687651.33 505625.98 728910.41 513317.19 174334.14 513317.19 174334.14 484261.50
7 0 687651.33 484261.50 687651.33 484261.50 203389.83 484261.50 203389.83 0.00
Σ 4813559.32 3918865.01 5680000.00 4000000.00 813559.32 4000000.00 813559.32
Para calcular el interés imputable a cada cuota del préstamo, Cabe-
za de Vergara (2010) utiliza la fórmula 3.
[ ( )] Fórmula 3
Por ejemplo, el interés de la cuota 1 y de la cuota 2, cuando k=1
y k=2, se tiene:
[
[ ( )]
]
[
[ ( )]
]

Calculada la cuota interés de la cuota total, procede a calcular la
cuota principal CP al restar la cuota total del interés:
Este procedimiento permite mostrar, por un lado, que la suma de
los “valores actuales” de las cuotas asciende a $3918865,01, valor
inferior al importe del préstamo. Por otro lado, ilustra que la suma
de los “valores futuros” de cada cuota descontados hacia el momen-
to 0, sí obtiene el importe del valor presente de $4000000.
El referido procedimiento, sin embargo, está considerando implí-
citamente múltiples periodos de capitalización de interés (tantos
como número de cuotas existan), lo cual es inconsistente con el ré-
gimen de interés simple. Esta inconsistencia se hace más evidente
cuando la referida autora considera que en cada cuota se paga inte-
rés y principal. Por ejemplo, según dicha autora, la primera cuota
se compone de $658595.64 de principal y $29055.69 de interés,
mientras que la última se compone de $484261.50 de principal y
$203389.83 de interés.
En contraste, al aplicar la fórmula 2 y la función financiera Rsim
se obtiene la tabla de amortización, que se muestra en la figura 5.
Observe que la cuota uniforme debe ser $688607,59 (figura 5) y
no $687651,33 como se muestra en la tabla 5, y que los verdaderos
intereses devengados por el préstamo ascienden a $820253,16. En
este caso, el saldo de principal quedó cancelado en la sexta cuota,
mientras que la última cuota correspondió exclusivamente a pago
de interés.

Figura 5. Tabla de amortización de un préstamo con
cuotas uniformes e interés simple calculadas con Rsim
• Mesías Levano (1984, pp. 96-102) cuando desarrolla “Amortiza-
ción a interés simple-deudas insolutas” calcula adecuadamente el
valor de la cuota, al despejarla de una ecuación de equivalencia fi-
nanciera que toma como fecha focal el final del horizonte temporal.
Dicho autor, para un préstamo de S/. 32800, que devenga interés
simple con una tasa nominal mensual TNA de 0,09 durante un año
y 4 meses, obtiene el valor R=2173.73. Sin embargo, el ejemplo
que presenta corresponde al tipo 1 de nuestro modelo de estudio,
en el cual el saldo del principal queda extinguido en la última
cuota. No obstante, si al mismo problema se le incrementa la tasa
de interés, por ejemplo, a una TNA=0,18, el problema correspon-
dería al tipo 2 del modelo de estudio y la aplicación de la fórmula
que utiliza este autor deja de ser consistente. En efecto, con dicha
fórmula se obtendrían un importe de S/ 2284.94 que no permite
cancelar el préstamo en la última cuota, cuando el valor correcto,
calculado con la función Rsim es S/. 2286.2.
• Vallo Andrade (s. f., pp. 63-76) en su capítulo VII “Amortización
a interés simple” plantea el problema de un préstamo de S/. 80000
que devenga una TNA de 0,09 durante 10 meses, cuya cuota men-
sual de S/. 8319,23 fue calculada con la fórmula 1. El ejemplo
ilustrado por el autor en mención cae nuevamente en los supuestos
de los problemas tipo 1, para los cuales no se requiere utilizar ne-
cesariamente el algoritmo que se propone en el presente estudio.

4. CONCLUSIONES
1. En la bibliografía especializada de Ingeniería Económica y Matemáti-
ca Financiera, por ejemplo, Blank y Tarquin (2006), DeGarmo, y otros
(2004), Taylor (1972), suele abordarse un modelo de amortización de
préstamos otorgados bajo un único desembolso al inicio del horizonte
temporal que se amortiza mediante cuotas uniformes vencidas cuyos
periodos también son uniformes. El modelo tradicionalmente aborda-
do es uno, bajo un régimen de interés compuesto en el cual el importe
de la cuota puede calcularse mediante métodos algebraicos utilizando
una fórmula predeterminada, y que deja de lado el estudio de los prés-
tamos bajo régimen de interés simple.
2. No obstante, algunos autores sí han abordado el estudio de préstamos
bajo este régimen simple (Ayres; Dávila Atencio; García; Vallo An-
drade; Villalobos; Zans; Zbigniew Kasikowski). Sin embargo, en sus
estudios no se ha tenido en cuenta dos consideraciones aplicables en
una cuenta bajo un régimen de interés simple:
• El principal puede ser igual que cero o quedar cancelado antes del
término del horizonte temporal.
• El interés se capitaliza únicamente al término del horizonte tem-
poral.
3. El dejar de lado estas consideraciones ha ocasionado que dichos auto-
res hayan planteado en sus investigaciones fórmulas y métodos que no
son aplicables a todos los casos del modelo en estudio.
4. Al tomar en cuenta dichas consideraciones, en el presente estudio se
han identificado los dos siguientes tipos de préstamos que se enmar-
can en el objetivo del trabajo.
• Tipo 1: Préstamos con interés simple cuando todas las cuotas
amortizan principal.
• Tipo 2: Préstamos con interés simple cuando el principal queda
cancelado antes de la última cuota.

5. Para los préstamos tipo 1, se ha deducido la fórmula 1: {
( )
[ ( )]
}, que
permite obtener mediante métodos algebraicos el importe de la cuota
informe, cuando se conoce el valor de las variables del lado derecho de
la referida fórmula.
6. No obstante, en el presente artículo queda evidenciado lo siguiente:
• La fórmula 1 no conlleva a la obtención de la cuota uniforme de los
préstamos tipo 2.
• Dicha cuota puede obtenerse mediante la aplicación de la fórmula
2: ( )
( ), cuando se conoce el valor de las variables del lado
derecho de la referida fórmula, incluido el valor de x.
7. Sin embargo, a priori el valor de x no es conocido; por lo tanto, para
hallar R se plantea usar el siguiente algoritmo, en vez de usarse directa-
mente un método exclusivamente algebraico, que deja en el número de
cuotas amortizaciones uniformes, y en R el valor de la cuota uniforme:
R = 2*P(1+j*n)/n/(2+j*(n-1))
Y = n-1
Mientras y*R>P
R = 2*P*(1+j*y)/(2*n+j*y*(y-1))
Y = y-1
Fin de mientras
8. Como resultado de la presente investigación, el algoritmo que obtiene
la cuota uniforme vencida de un préstamo que devenga interés simple,
para cualquier caso denominados tipo 1 y tipo 2, se ha sistematizado
en la función Rsim que en forma add-in se incorpora y resuelve en una
hoja de cálculo de Excel.

REFERENCIAS
Aliaga Valdez, C, & Aliaga Calderón, C. (2013). Funciones y herramientas de Excel
para la gestión financiera (6ª. ed.), Lima: Ecitec S. A.
— (2010). Matemáticas Financiera: Amortizaciones y depreciación. Lima: Ecitec S. A.
— (2010). Matemática Financiera: Anualidades y perpetuidades. Lima: Ecitec S. A.
— (2016). Matemática Financiera: Interés y descuento (3.ª ed). Lima: Ecitec S. A.
— (2015). Matemática Financiera: Tasas, inflación y tipo de cambio (2.ª ed). Lima:
Ecitec S. A.
Ayres, F. (1991). Matemáticas financieras. Atlacomulco: McGraw-Hill
Blank, L. & Tarquin; A. (2006). Ingeniería Económica (6.ª ed). México: McGraw-
Hill Interamericana.
Cabeza de Vergara, L. (2010, enero-jun.). Cavilaciones sobre el interés simple.
Zona Próxima, 12, 158-175
Dávila Atencio, F. (1992). Matemática Financiera teoría y práctica. Lima: Editorial
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DeGarmo, E. P, Sullivan W., Bontadelli, J.A. & Wicks, E. M, (2004). Ingeniería
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García, J. A. (2000). Matemáticas financieras con ecuaciones de diferencia finita. Santa
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visada. Lima: Cessa.
Moore, J. H. (1981). Manual de matemáticas financieras. México: Unión Tipográ-
fica Editorial Hispano-Americana, S.A.
Tamayo y Tamayo, Mario (2004). El proceso de la investigación científica (4.ª ed).
México: Limusa Noriega Editores.
Taylor G. (1972). Ingeniería Económica. México: Editorial Limusa-Wiley S.A.
Vallo Andrade, V. (s. f.). Matemática Financiera. Lima: Departamento de Pu-
blicaciones del Instituto Superior de Ciencias Económicas Comerciales y
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Villalobos, J. L. (1993). Matemáticas Financieras. México: Grupo Editorial Ibe-
roaméricana S. A. de C. V.
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Zbigniew Kosikowski, Z. (2007). Matemáticas financieras el valor del dinero en el
tiempo. México: McGraw-Hill Interamericana.

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