Método de las Fuerzas (MLF

Método de las Fuerzas
 Nomenclatura.
 Flexibilidad de una Estructura.
 Ecuaciones de Compatibilidad.
 Método de las Flexibilidades.
 Ejemplos de Aplicación

En esta sección se analizaran estructuras elásticas
hiperestaticas las cuales cumplen la Ley de Hooke y el
principio de superposición. Consideremos la estructura
mostrada en la Figura que se encuentra sometida a la
fuerza P aplicada en el punto D, la cual produce un estado
de deformación asociado a dicha fuerza.
Estructura sometida a una carga externa P
P
A B
C
D
Estructura deformada debido a la carga P
DvB=DBD
P
A B
C
D
qD=qDD
B’
D’

En la Figura anterior la deflexión vertical del punto B (DvB),
será demoninada como DBD, en donde D representa una
componente de deflexión traslacional, el 1ER subíndice (la
letra B) indica el punto en el cual se produce la deflexión y
el 2DO subíndice (la letra D) indica el punto de aplicación de
la fuerza que produce la deflexión.
Nótese que por razones practicas se ha omitido la
dirección en la cual se produce la deflexión ya que, como
se vera mas adelante, esta carece de importancia; así
pues la rotación del punto D, por ejemplo, puede denotarse
como qDD.

Ahora supongamos que la fuerza P se sustituye por una
fuerza unitaria que actúa en su misma dirección y sentido,
entonces el estado de deformación será proporcional al
producido por la fuerza P, ya que la estructura es elástica.
Entonces se puede establecer una relación entre los
desplazamientos de ambos sistemas de cargas a partir de
la expresión (1)
Estructura deformada debido a la carga unitaria
BD
1
A B
C
D
DD
B’
D’
 
1
BD
BD f
P 

D

Flexibilidad
En ingeniería estructural la flexibilidad (fij) se
define como el desplazamiento producido
en un punto de la estructura debido a la
aplicación de una carga unitaria, esta es
una característica que depende únicamente
de las propiedades del material y de la
geometría de la estructura.

Estructura indeterminada de
1ER grado
A
P
L
B
Viga indeterminada
= +
A
P
L
B A
P
L
B
RBy
A
L
B
Efecto de las cargas
externas
Efecto de la Reacción RBy
1
0
1
0
0
0
3
1
)
0
3
(
4











GIET
GIEI
GIEE
Viga indeterminada
= +
A
P
L
B
Efecto de las cargas
externas
Efecto de la Reacción
MA
A
P
L
B
MA
A
L
B
Superposición
de
Efectos

Las “n” fuerzas que no pueden determinarse por las
ecuaciones de la Estática (GIET = n), serán llamadas
fuerzas redundantes.
Luego la Estructura hiperestatica real se representara
superponiendo los efectos de las cargas externas reales, la
cual llamaremos “Estructura Primaria (0)” y el efecto de
cada una de las n fuerzas redundantes o “Estructuras
Redundantes (n)” en (n+1) sistemas isostáticos.
Viga indeterminada
= +
A
P
L
B A
P
L
B
RBy
A
L
B
Estructura Primaria (0) Estructura Redundante (1)

La selección de las fuerzas redundantes sera de tal forma
que al eliminar la contribución de todas estas fuerzas
sobre el sistema hiperestatico real, las estructuras
isostáticas resultantes seran ESTABLES, en caso contrario
la solución no será viable
Las siguientes Figuras muestran una solución alternativa
para resolver la viga hiperestática analizada anteriormente.
Viga indeterminada
= +
A
P
L
B
A
P
L
B
MA
A
L
B

 Ecuaciones de Compatibilidad
Para generar el sistema de ecuaciones necesario para
determinar las redundantes podemos establecer la
Compatibilidad de las Deformaciones en dirección de los
puntos en donde actúa cada redundante seleccionada,
entonces el desplazamiento de dicho punto en los
sistemas primario y redundantes, producido debido a que
al retirarse las redundantes no existe restricción de ese
G.D.L., debe ser igual a su desplazamiento real. Entonces
Viga indeterminada
= +
A
P
L
B
A
P
B
DBC
RBy
A
B
DBB
C
 
2
0

D

D BB
BC

Para determinar el desplazamiento DBC podemos aplicar el
Método del T.V. al sistema primario (0).
 
BB
BB
By
BB
By
BC
BB
By
BB
f
R
f
R
f
R
D






D


D 3
0
Estructura Primaria (0) Estructura Virtual para DBC
1
A B
A
P
B
DBC
C
Para determinar el desplazamiento DBB primero se
determinara el coeficiente de flexibilidad fBB, sustituyendo a
RBy por una fuerza unitaria en su misma dirección y sentido
y aplicando el Método del T.V.
=
Estructura Redundante (1)
DBB
A B
RBy
Estructura Unitaria (1)
1
A B
fBB
Estructura Virtual para fBB
1
A B

 Procedimiento General (Método de las Fuerzas)
Consideremos la viga hiperestatica para la cual GIET = 2.
Seleccionaremos como redundantes las fuerzas RBy y RCy
Viga indeterminada
=
Sistemas Unitarios
(Coef. de Flexibilidad)
Sistemas Primario y Redundantes
A
P
L
B
L L
C D
P P
D1C
A
P
B C D
P P
D2C
R1
D11
A B C D
D21
D12
A B C D
D22
R2
1
f11
A B C D
f21
f12
A B C
f22
1
+
+



Luego las ecuaciones de compatibilidad en dirección de las
redundantes generan el siguiente sistema de ecuaciones
 
  0
2
0
1
22
21
2
12
11
1

D

D

D

D

D

D
C
C
donde los desplazamientos del sistema primario (D1C y D2C)
y los coeficientes de flexibilidad pueden ser determinados
aplicando el Método del T.V., entonces podemos relacionar
los desplazamientos de los sistemas redundantes por
flexibilidad como
22
2
22
21
1
21
12
2
12
11
1
11
f
R
f
R
f
R
f
R


D


D


D


D
(4)
(5)

A partir de las Ec. (4) y (5) se obtiene el siguiente sistema
de Ecuaciones
 
  0
2
0
1
22
2
21
1
2
12
2
11
1
1





D





D
f
R
f
R
f
R
f
R
C
C
Lo cual puede escribirse empleando la forma Matricial
como
(6)
(7)



























D
D
0
0
2
1
22
21
12
11
2
1
R
R
f
f
f
f
C
C

        1
1
1
)
0
(






 n
R
n
n
n
n
C D
R
f
D
La Ec. (7) puede generalizarse para una estructura
indeterminada de grado n como
(8)
En donde
{DC
(0)}nx1 es el vector de desplazamientos en el sistema (0)
[F]nxn es la matriz de Flexibilidad.
{R}nx1 es el vector de redundantes o incógnitas
{DR}nx1 es el vector de desplazamientos reales.
Si despejamos la Ec. (8) para incógnitas estáticas tenemos
     
      1
)
0
(
1
1
1
1
1











n
C
n
R
n
n
n
n
n
D
D
D
donde
En
D
f
R
(9)

 Pasos para realizar el análisis
1) Verificar la estabilidad de la estructura.
2) Determinar el GIET.
3) Seleccionar las “n” redundantes de tal forma que cada
sistema sea ISOSTÁTICO y ESTABLE.
4) Definir el Sistema Primario (0) y los Sistemas
Redundantes.
5) Establecer las Ecuaciones de Compatibilidad.
6) Determinar los elementos del vector {DC
(0)}nx1 y los
Coeficientes de Flexibilidad aplicando el Método del T.V.
tomando en cuenta los efectos adicionales.
7) Sustituir y determinar las redundantes para luego
calcular las reacciones restantes y trazar los Diagramas
de Fuerza Axial, Cortante y Momento Flector.

 Ejemplos de Aplicación.
Calcular las reacciones de la viga de la Figura aplicando el
Método de las Fuerzas y trazar los Diagramas de Fuerza
Cortante y Momento Flector. Usar EI es constante.
2,00 m
A
C
1,50 m 4,00 m
3 KN/m
B
8 KN
1,50 m
GIEE = 4 - 3 - 0 = 1
GIEI = 0
GIET = 1

Estructura Primaria (0)
A
C
3 KN/m
B
8 KN
B’
5.82 KN
6.68 KN
A’


x
x






x
x
Estructura Redundante RBy (1)
A
C
B B’
0.57 KN 0.43 KN
0 KN
A’


x
x






x
x
RBy = 1 KN

x
x 82
.
5
3
/
3

 x
57
.
0

  16
32
.
1
3
/
4
3



 x
x 4
57
.
0 
x
16
32
.
1 
 x
x
43
.
0

x
68
.
6
x
43
.
0

Tramo Xinic. Xfinal M(0) m (1)
A - A’ A = 0 A’ = 1.50
B - A’ B = 4.00 A’ = 5.50
B’ - B B’ = 2.00 B = 4.00
C - B’ C = 0 B’ = 2.00
idad
Compatibil
de
Ec
R
f
Dc By .
0
11
)
0
(
1 


      ...
4
57
.
0
16
32
.
1
3
4
57
.
0
82
.
5
3
1 5
.
1
0
5
.
5
4
3
3
)
0
(
1 




































   dx
x
x
x
dx
x
x
x
EI
Dc
        













  
4
2
2
0
43
.
0
68
.
6
43
.
0
16
32
.
1
1
... dx
x
x
dx
x
x
EI
 
EI
EI
Dc
426
.
60
659
.
7
684
.
30
639
.
18
444
.
3
1
)
0
(
1










      











   
5
.
1
0
5
.
5
4
4
0
2
2
2
11 43
.
0
4
57
.
0
57
.
0
1
dx
x
dx
x
dx
x
EI
f
 
EI
EI
f
958
.
6
995
.
3
597
.
2
366
.
0
1
11 





 




 KN
R
R By
By 68
.
8
426
.
60
958
.
6
   





 KN
R
KN
R
KN
R Cy
Ax
Ay 96
.
2
0
86
.
0
Sustituyendo en la Ecuación de Compatibilidad y
resolviendo para RBy
Ahora podemos aplicar las Ecuaciones de Equilibrio
Estático a la estructura para obtener las reacciones

Por ultimo se trazan los Diagramas de Fuerza Cortante y
de Momento flector
Diagrama de Fuerza Cortante
A C
B B’
1.39
3.64
5.04
0.86
A’
5.04
2.96 2.96
+
-
+
-
Diagrama de Momento Flector
A C
B B’
0.18
5.92
4.16
0.53
A’
+ +
-

Calcular las reacciones de la estructura indicada utilizando el
Método de las Fuerzas. Considerar que el apoyo A rota 0.006
rad () y el apoyo F sufre una deflexión horizontal de 0.02 m
() y un asentamiento de 0.05 m (). La barra BC sufre una
variación de temperatura como se indica. Usar EI = 1200
Ton.m2 y t = 10-5 (°C)-1.
GIEE = 7 - 3 - 2 = 2
GIEI = 0
GIET = 2
3,00 m
A
C
F
E
D
(I)
(I)
(I)
(I)
(I)
2 Ton/m
B
4,00 m 4,00 m
4,00 m
1.50 m
8 Ton
F. int. +20 °C
F. ext. +60 °C
Sección Transversal
40 cm


4 Ton A
C
F
E
D
C’
2 Ton/m
B
10.50 Ton 4 Ton
9.50 Ton
4 Ton
8 Ton







x
x
x
x
0 Ton
Estructura Redundante MA (1)
MA = 1 Ton.m
A
C
F
E
D
C’
B
1/8 Ton 0 Ton
1/8 Ton
0 Ton








x
x
x
x

x
x 5
/
26
25
/
16 2

 1
10
/
1 
x x
10
/
3

10
50
.
1
2


 x
x 2
/
1
8
/
1 
x 2
/
3
8
/
3 
x
x
4
0
0
6
4 
 x
0
x
x 4
2


0
x
4
/
3

0
0
3

x
1 Ton
Estructura Redundante RFx (2)
A
C
F
E
D
C’
B
9/8 Ton 3/4 Ton
3/8 Ton
0 Ton








x
x
x
x
RFx = 1 Ton
Tramo Xinic Xfinal M(0) m (1) m (2)
A-B A = 0 B = 5
B-C B = 0 C = 4
C-C’ C = 0 C’ = 1.50
C’-D C’ = 0 D = 1.50
C-E C = 0 E = 4
E-F E = 0 F = 3
0

02
.
0
.
006
.
0
22
21
)
0
(
2
12
11
)
0
(
1












Fx
A
Fx
A
R
f
M
f
Dc
idad
Compatibil
de
Ec
R
f
M
f
Dc
        ...
2
/
1
8
/
1
10
5
.
1
1
10
/
1
5
/
26
25
/
16
1
05
.
0
0
5
0
4
2
2
2
)
0
(
1 



















   dx
x
x
x
dx
x
x
x
EI
Dc
    rad
D
dx
x C
 






 
4
0
)
0
(
1
5
029
.
0
10
40
.
0
60
20
2
/
1
8
/
1
...
  ...
2
3
8
3
10
5
.
1
10
3
5
26
25
16
1
05
.
0
4
3
5
0
4
0
2
2
)
0
(
2 






















 














  dx
x
x
x
dx
x
x
x
EI
Dc
    m
Dc
dx
x
dx
x
x
x
EI
025
.
0
10
40
.
0
60
20
2
3
8
3
4
3
4
1
... )
0
(
2
5
4
0
4
0
2



















 




 


003
.
0
2
1
8
1
1
10
1
1
5
0
4
0
2
2
11 
























   dx
x
dx
x
EI
f

  023
.
0
3
4
3
2
8
3
10
3
1
5
0
4
0
3
0
2
2
4
0
2
2
22 















 














 

   
 dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
EI
f
003
.
0
2
3
8
3
2
1
8
1
10
3
1
10
1
1
5
0
4
0
21
12 



























 










   dx
x
x
dx
x
x
EI
f
f
   





















Ton
R
m
Ton
M
R
M
R
M
Fx
A
Fx
A
Fx
A
97
.
0
.
57
.
8
02
.
0
023
.
0
003
.
0
025
.
0
006
.
0
003
.
0
003
.
0
029
.
0
     
   











Ton
R
Ton
R
Ton
R
Ton
R
Ton
R
Fy
Dy
Dx
Ay
Ax
33
.
3
43
.
10
4
24
.
10
10
.
3
resolviendo para MA y RFx

Por ultimo se trazan los Diagramas de Fuerza Cortante y
de Momento flector
6.33
A
C
F
E
D
B
4.67
0.90
5.76
4
Diagrama de Fuerza Cortante
3.33
2.24
4
0.90
4 4
+
+
-
+
‫׀‬
‫׀‬
+
-
A
C
F
E
D
B
7.09
7.09
2.70
Diagrama de Momento Flector
2.70
8.57 6
+
‫׀‬
-
+
+ +

Calcular las reacciones y las Fuerzas en cada barra para la
armadura mostrada en la Figura empleando el Método de las
Fuerzas. Usar E = 29000 Ksi.
GIEI = b - 2n + 3
GIEI = 10 - 2x6 + 3 = 1
GIEE = 4 – 3 – 0 = 1
GIET = 1+1 = 2
40 Klb
A B
E
D
20 Klb
4 in2
C
12 pies
F
12 pies
16 pies
4 in2 4 in2
4 in2
4 in2
3 in2
3 in2
3 in2
3 in2
3 in2

60 Klb
60 Klb
20 Klb
B
A
D
0 Klb
60 Klb
60 Klb
15 Klb
25 Klb
25 Klb
E
C
20 Klb
0 Klb 15 Klb
60 Klb
40 Klb
F
1 Klb
Estructura Redundante RFx (1)
RFx = 1 Klb
1.50 Klb
1.50 Klb
B
A
D
0 Klb
1.50 Klb
1 Klb
0.75 Klb
1.25 Klb
1.25 Klb
E
C
0 Klb
0 Klb 0.75 Klb
F

Estructura Redundante FED (2)
0 Klb
FED = 1 Klb
0 Klb
0 Klb
B
A
D
4/5 Klb
0 Klb
0 Klb
0 Klb
0 Klb
1 Klb
E
C
4/5 Klb
3/5 Klb 3/5 Klb
F
FED
0
0
.
22
21
)
0
(
2
12
11
)
0
(
1










DE
By
DE
By
F
f
R
f
Dc
F
f
R
f
Dc
idad
Compatibil
de
Ec

D1
(0) D2
(0) f11 f22 f12 =f21
Barra L
(in)
A
(in2)
N(0)
(Klb)
n(1)
(Klb)
n(2)
(Klb)
N(0)n(1)L
A
N(0)n(2)L
A
n(1)2L
A
n(2)2L
A
n(1)n(2)L
A
AB 192 4 60 1 0 2880 0 48 0 0
CD 192 3 0 0 0.80 0 0 0 40.96 0
EF 192 3 -20 0 0.80 0 -1024 0 40.96 0
AC 144 4 60 1.5 0 3240 0 81 0 0
CE 144 4 0 0 0.60 0 0 0 12.96 0
BD 144 4 -15 -0.75 0 405 0 20.25 0 0
DF 144 4 -15 -0.75 0.60 405 -324 20.25 12.96 -16.2
BC 240 3 -75 -1.25 0 7500 0 125 0 0
CF 240 3 25 1.25 -1 2500 -2000 125 80 -100
ED 240 3 0 0 1 0 0 0 80 0
S 16930 -3348 419.5 267.84 -116.20

    in
Dc
A
L
n
N
E
D 584
.
0
16930
29000
1
1
0
1 )
0
(
1
)
0
(
1 






 
    in
Dc
A
L
n
N
E
Dc 115
.
0
3348
29000
1
2
0
1 )
0
(
2
)
0
(
2 








 
  0145
.
0
50
.
419
29000
1
1
1
11
2
11 





  f
A
L
n
E
f
  009
.
0
84
.
267
29000
1
2
1
22
2
22 





  f
A
L
n
E
f
  004
.
0
20
.
116
29000
1
)
2
(
1
1
12
21
12 









  f
A
L
n
n
E
f
f

 
T
Klb
F
F
R
Klb
R
F
R
DE
DE
Fx
Fx
DE
Fx
84
.
5
0
009
.
0
004
.
0
115
.
0
)
(
89
.
41
0
004
.
0
0145
.
0
584
.
0















     
     
     
     
C
Klb
F
C
Klb
F
T
Klb
F
T
Klb
F
C
Klb
F
C
Klb
F
C
Klb
F
C
Klb
F
T
Klb
F
Klb
R
Klb
R
Klb
R
CF
BC
DF
BD
CE
AC
EF
CD
AB
By
Ay
Ax
54
.
21
64
.
22
93
.
12
43
.
16
50
.
3
84
.
2
67
.
24
67
.
4
11
.
18
84
.
2
84
.
2
11
.
18
















resolviendo para RFx y FDE

Calcular las reacciones de la estructura mostrada en la Figura
empleando el Método de las Fuerzas. Usar EI = 1500 Ton.m2.
GIEE = 7 – 3 – 2 = 2
GIEI = 3 x 0 – 0 = 0
GIET = 2 + 0 = 2
1 Ton
4,00 m
3,00 m
A
B
C
D
E
(2I)
(I)
(I)
(2I) (2I)
(2I)
1 Ton/m
F
1 m
3,00 m
3,00 m
2,00 m

Estructura Redundante REy (1)
1 Ton
4,00 m
3,00 m
A
B
C D
E
(2I)
(I)
(I)
(2I) (2I)
(2I)
1 Ton/m
F
1 m
3,00 m
3,00 m
2,00 m
1 Ton
4,00 m
3,00 m
A
B
C D
E
(2I)
(I) (I)
(2I) (2I)
(2I) F
1 m
3,00 m
3,00 m

Estructura Redundante RCy (2)
1 Ton
4,00 m
3,00 m
A
B
C
D
E
(2I)
(I)
(I)
(2I) (2I)
(2I) F
1 m
3,00 m
3,00 m
2,00 m
0
0
.
22
21
)
0
(
2
12
11
)
0
(
1










Cy
Ey
Cy
Ey
R
f
R
f
Dc
R
f
R
f
Dc
idad
Compatibil
de
Ec

Calcular las reacciones y las fuerzas axiales de la estructura
mostrada en la Figura utilizando el Método de las Fuerzas.
Tomar en cuenta en los miembros AB y DF solamente efectos
de flexión y en el resto efectos axiales. Usar EI = 1200 Ton.m2
y EA = 500 Ton
F
2 Ton/m
3.00 m
4.00
m
A B
E
C
D
3.00 m 4.00 m
(I)
(I)
(A)
(A)
(A)
(A)
(A) (A)

2 Ton/m
A B
E
C
D
F

x



x 0 Ton 0 Ton
0 Ton
9.33
Ton
0 Ton
12 Ton.m
9.33 Ton
3 Ton
11 Ton
9.33 Ton
Estructura Redundante FBF
(1)
0 Ton
A B
E
C
D
F

x



x
1 Ton 0.707 Ton
0.707 Ton
0.707 Ton
0.707 Ton
0
Ton.m
0 Ton
0 Ton
0 Ton
1 Ton
1 Ton
B
E
1 Ton
1 Ton

A B
E
C
D
F

x



x
0 Ton
0 Ton
1/3 Ton
0 Ton
0 Ton.m
1/3 Ton
0 Ton
0 Ton
1/3 Ton
1 Ton.m
Estructura Redundante MF
(2)
0
0
.
22
21
)
0
(
2
12
11
)
0
(
1










F
BE
F
BE
M
f
f
f
Dc
M
f
F
f
Dc
idad
Compatibil
de
Ec

Calcular las reacciones y las fuerzas axiales de la estructura
mostrada en la Figura utilizando el Método de las Fuerzas.
Usar EI = 1500 Ton.m2
2 m
1.5 m
A
D
(2I)
(I)
4 m
(I)
2 m
0,2 Ton/m
0,2 Ton/m
1m
0,15 Ton
(I) B
C

Sistema Primario (0)
2 m
1.5 m
A
B
D
(2I)
(I)
4 m
(I) C
2 m
0,2 Ton/m
0,2 Ton/m
1m
0,15 Ton
(I)
2 m
1.5 m
A
B
D
(2I)
(I)
4 m
(I) C
2 m
1m
(I)
1 Ton.m
Sistema Redundante MA (1)
2 m
1.5 m
A
B
D
(2I)
(I)
4 m
(I) C
2 m
1m
(I)
1 Ton.m
Sistema Redundante MC (2)

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