Ejercicios resueltos sobre interpolación y sistemas de ecuaciones lineales.

1. República Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermin Toro
Decanato de Ingeniería
Cabudare Edo Lara
Ejercicios Propuestos
Integrante: Luis Moncada
CI:16.314.597
1

2. Problema
Obtener el polinomio interpolador para cierta función f de la que conocemos
que
f(−1) = 1; f(0) = −1; f(2) = 2; f(3) = 2
Solución:
Determinamos los coeficientes L0, L1, L2 Y L3. Entonces,
L0(x) =
(x − 0)(x − 2)(x − 3)
(−1 − 0)(−1 − 2)(−1 − 3)
= −
1
12
x3
+
5
12
x2
−
1
2
x
L1(x) =
(x + 1)(x − 2)(x − 3)
(0 + 1)(0 − 2)(0 − 3)
=
1
6
x3
−
2
3
x2
+
1
6
x + 1
L2(x) =
(x + 1)(x − 0)(x − 3)
(2 + 1)(2 − 0)(2 − 3)
= −
1
6
x3
+
1
3
x2
+
1
2
L3(x) =
(x + 1)(x − 0)(x − 2)
(3 + 1)(3 − 0)(3 − 2)
=
1
12
x3
−
1
12
x2
−
1
6
x
Luego,
p(x) = f(−1)L0(x) + f(0)L1(x) + f(2)L2(x) + f(3)L3(x)
p(x) = 1 −
1
12
x3
+
5
12
x2
−
1
2
x + (−1)
1
6
x3
−
2
3
x2
+
1
6
x + 1
+2 −
1
6
x3
+
1
3
x2
+
1
2
+ 2
1
12
x3
−
1
12
x2
−
1
6
x
Simplificando las expresiones tenemos
p(x) = −
7
12
x3
+
19
12
x2
− 1
2

3. Problema
Resolver el siguiente sistema aplicando Gauss Jordan.



x + y + z = 1
2x + 3y − 4z = 9
x − y + z = 1
Solución:
Aplicamos operaciones elementales por fila al sistema matricial asociado al sis-
tema de ecuaciones planteado.


1 1 1 | 1
2 3 −4 | 9
1 −1 1 | 1


f3 −→ f3 − f1; f2 −→ f2 − 2f1


1 1 1 | 1
0 1 −6 | 7
0 −2 0 | 0


f3 −→ −
1
2
f3


1 1 1 | 1
0 1 −6 | 7
0 1 0 | 0


f2 −→ f2 − f3


1 1 1 | 1
0 0 −6 | 7
0 1 0 | 0


f1 −→ f1 − f3; f2 −→ −
1
6
f2


1 0 1 | 1
0 0 1 | −7/6
0 1 0 | 0


3

4. f1 −→ f1 − f2


1 0 0 | 13/6
0 0 1 | −7/6
0 1 0 | 0


f2 ←→ f3



1 0 0 | 13/6
0 1 0 | 0
0 0 1 | −
7
6



Por tanto,



x =
13
6
y = 0
z = −
7
6
En consecuencia el conjunto solución al sistema es
Sol =
13
6
, 0, −
7
6
4