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1. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
DEMETRIO CCESA RAYME

2. INTEGRACIÓN POR PARTES
Método que surge de la formula de la derivada de un producto:

3. Ejemplo 1:
+ C

4. Nota: Para elegir la función u(x), se sugiere el orden:
INVERSA, LOGARÍTMICA, ALGEBRAICA, TRIGONOMÉTRICA,
EXPONENCIAL
ILATE
Ejemplo 2:
u = x, du = dx
dv = dx, v =x
e x
e

5. Ejemplo 3:
 dx)xlog(
xv,......dxdv
dx
x
1
du),.....xlog(u



6. Algunos Ejemplos para usar la Fórmula:

7. Caso Especial: Doble integración por partes
Ejemplo 4:
(1)

8. (2)

9. Reemplazando (2) en (1), se tiene:

10. INTEGRACIÓN POR FRACCIONES
SIMPLES (PARCIALES)
•Integrar funciones Racionales (cociente de polinomios)
•Descomponer una fracción compleja en la suma de dos o más
fracciones simples
CASO 1: Funciones de la forma
Grado P(x) > Grado Q(x)

11. Ejemplo 5:
Donde:

12. Caso 2: , Grado P(x) < Grado Q(x)
Se hace la descomposición:
Donde constantes reales.

13. Ejemplo 1:
Fracciones Parciales

14. Se forma un sistema de ecuaciones lineales:
Resolviendo se obtiene:

15. Caso 2’: Q(x) tiene raíces repetidas
Entonces:
Ejemplo:
Se obtiene: A=2, B=-2, C=7.

16. Caso 2’’: Q(x) tiene raíces complejas distintas.
Q(x) posee factores cuadráticos de la forma:
Entonces:
Ejemplo:
Se obtiene: A=2, B=-2, C=7.

17. Luego:
Se obtiene:

18. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIONES
TRIGONOMÉRICAS
•Integrar funciones Irracionales (Radicales)
•Utilizar identidades trigonométricas
Algunos Ejemplos:

19. Tres casos fundamentales:
a: constante real.
Ejemplo 1: Resolver la integral



tanaau.,.........secau.,.........au
secaua.,.........tanau.,.........ua
cosaua.,.........asenu.,.........ua
2222
2222
2222(1)
(2)
(3)

21. Ejemplo 2: Resolver la integral
Utilizando la identidad:

22. Puesto que: =

23. INTEGRALES IMPROPIAS

24. LÍMITES INFINITOS
¿Qué significan las siguientes expresiones?
X: toma valores próximos a 2 (der. o izq.)
f(x): toma valores positivos muy grandes
X: toma grandes
f(x): se aproxima a 5

25. Gráfica de Límites Infinitos

26. Algunos Ejemplos
Ejemplo 1:

27. Ejemplo 2:

28. Ejemplo 3:

29. Ejemplo 4:

30. INTEGRALES IMPROPIAS
CASO 1:
CASO 2: f(x) no es acotada en algún punto de [a,b] (tiene
asíntotas verticales)

b
a
dx)x(f



b_y_a
b
a

31. INTEGRALES IMPROPIAS
CASO 1: INTERVALO NO ACOTADO

b
a
dx)x(f

32. FUNCIÓN NO ACOTADA

33. INTEGRALES CONVERGENTES
- Si existe el límite
INTEGRALES DIVERGENTES
- Si limite es infinito (+/-)
INTEGRALES OSCILANTES
- Si no existe limite

34. NÚMERO FINITO DE SINGULARIDADES
Asíntota = Singularidad

35. Algunos Ejemplos
Ejemplo 1: Esquematizar la región.

36. Ejemplo 2:

37. Ejemplo 3:

38. Ejemplo 4:

39. Ejemplo 5:

40. SERIES INFINITAS

41. SUCESIONES
Aplicaciones de los naturales en los reales:
a: N  R
n  an
Ejemplo: número e
¡¡¡ Una sucesión converge si tiene límite !!!

42. Sucesiones Monótonas
Ejemplo: Analizar la monotonía de la sucesión
  n
n 2a 
creciente_nteestrictame
...aaa
8a
4a
2a
321
3
2
1




verdad.....21
222
22
aa
nn
1nn
1nn






Paso 1 Paso 2
 La sucesión es monótona

43. SERIES INFINITAS
Sumas parciales
n321n
3213
212
11
a...aaaS
.
.
.
aaaS
aaS
aS




N-ésima suma parcial
¡¡¡ Si la n-ésima suma parcial tiene límite
la serie converge !!!

44. CONVERGENCIA
EJEMPLOS
Serie armónica divergente
Serie geométrica

45. PROPIEDADES
CRITERIOS DE CV
Adición:
Producto por escalar:

46. Criterio del cociente

47. Criterio de la Raíz

48. Criterio de la INTEGRAL

49. SERIE DE TAYLOR
Polinomio de Taylor:
Residuo de Taylor:
La serie de Taylor se rebautizará
"serie de Maclaurin" para x = 0
Brook Taylor

50. ALGUNAS SERIES BÁSICAS de Maclaurin

51. SERIE DE FOURIER