Ejercicios resueltos de control automático, diagramas de Bode, Nyquist

1. CONTROL AUTOM´ATICO I
SOLUCI´ON Segundo certamen
TODAS LAS RESPUESTAS DEBEN ESTAR JUSTIFICADAS.
TODAS LAS VARIABLES QUE USE EN SUS RESPUESTAS DEBEN ESTAR EXPL´ICI-
TAMENTE DEFINIDAS.
Problema 2.1 (100 pts.). En un lazo de control realimentado se sabe que los diagramas de Bode
de Go(s)C(s) son los que se muestran en la figura 2.1. Se sabe que Go(s)C(s) tiene s´olo polos en el
SPI abierto.
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
−80
−60
−40
−20
0
20
Magnitud[dB]
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
−200
−150
−100
−50
0
Fase[o]
Figura 1: Diagramas de Bode, problema 2.1
2.1.1 [30 pts.] Dibuje el diagrama de Nyquist correspondiente. Debe ser cualtitativamente correcto
y deben justificarse los rasgos claves del diagrama, a partir de la informaci´on que se puede
extraer de los diagramas de Bode.
2.1.2 [30 pts.] Demuestre que el lazo cerrado es estable (suponga que no ha habido cancelaciones
de polos ni ceros de la planta, en el SPD cerrado).
2.1.3 [40 pts.] ¿Qu´e retardo habr´ıa que agregar al lazo para llevarlo al punto cr´ıtico de estabilidad?.
Si se agregara ese retardo cr´ıtico, ¿cu´al ser´ıa la frecuencia de la oscilaci´on?

2. Soluci´on
2.1.1 De los diagramas de Bode, y del hecho que Go(s)C(s) es estable, notamos lo siguiente:
La magnitud decrece mon´otonamente a medida que ω crece, llegando a cero para ω = ∞.
La magnitud es mayor que 1 en ω = 0; sin embargo, es menor que 1 cuando el diagrama
polar de Go(jω)C(jω) ingresa al tercer cuadrante.
El ´angulo es negativo ∀ω ≥ 0, y se hace mon´otonamente m´as negativo a medida que ω
crece
El ´angulo va desde 0 a −π [rad], recorriendo los cuadrantes 4 y 3, cuando ω va desde
0 a ∞. As´ı, el diagrama polar de Go(jω)C(jω) nunca cruza el eje real negativo.
Con estas observaciones podemos proponer el siguiente diagrama de Nyquist
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Nyquist Diagram
Real Axis
ImaginaryAxis
Figura 2: Diagrama de Nyquist aproximado, problema 2.1
2.1.2 Tanto del diagrama de Nyquist, como de los diagramas de Bode se aprecia que el margen de
ganancia es infinito, y que el margen de fase es positivo. En consecuencia el lazo es estable.
2.1.3 El retardo cr´ıtico es el que hace Go(jωc)C(jωc) = −1, para alg´un ωc ∈ R+
, es decir, que
hace la magnitud igual a 1, y la fase igual a −π. Para analizar este caso, consideremos los
diagramas de Bode que se muestran en la Figura 2.1. All´ı se aprecia que el margen de fase
(y el de ganancia) puede ser llevado a cero si aumentamos la fase en −110 [o] app. en otras
palabras, el retardo cr´ıtico, τc se puede calcular a partir de
ωcτc = 110
pi
180
⇐⇒ τc =
11
18ωc
π
Se observa que ωc ≈ 1; por lo cual τc ≈
11
18
π.
Ahora bien, a la frecuencia ωc, se cumple que Go(jωc)C(jωc) = −1. Por otro lado, los polos
del lazo cerrado cumplen con Go(s)C(s) = −1, lo cual indica que precisamente hay polos en
±jωc. As´ı, la oscilaci´on ser´ıa de frecuencia angular ωc.
2

3. 10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
−80
−60
−40
−20
0
20
Magnitud[dB]
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
−200
−150
−100
−50
0
Fase[o]
Figura 3: Diagramas de Bode, con margen de fase indicado, problema 2.1
Problema 2.2 (100 pts.). Suponga que Go(s) =
1
s(s + 1)
2.2.1 [50 pts.] ¿Se puede estabilizar un lazo cerrado con un controlador de la familia PID, que
s´olo contiene el modo integrativo?
2.2.2 [50 pts.] Demuestre que esta planta es controlable en un lazo cerrado estable con un con-
trolador PI. Proponga valores para Kp y Tr.
Soluci´on
2.2.1 El controlador I tiene la funci´on de transferencia C(s) =
KI
s
, por lo que el polinomio carac-
ter´ıstico del lazo cerrado tendr´ıa la expresi´on
Acl(s) = s3
+ s2
+ KI
De all´ı se observa que el lazo es inestable, porque en ese polinomio falta el t´ermino lineal en
s.
2.2.2 En este caso
3

4. C(s) = Kp 1 +
1
Trs
=
Kps + KI
s
La estabilidad se puede probar usando el algoritmo de Routh que arroja las condiciones
Kp > KI ⇐⇒ Tr > 1 (1)
KI > 0 ⇐⇒ Kp > 0 (2)
As´ı, por ejemplo, se pueden elegir Tr = 2 y Kp = 2
Problema 2.3 (100 pts.). Suponga que el modelo nominal de una planta estable es el mostrado
en la figura 2.3.
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
DIAGRAMA DE NYQUIST
EJE REAL
EJEIMAGINARIO
Figura 4: Diagrama de Nyquist, problema 2.3
2.3.1 [40 pts.] Si esa planta se controla con un controlador proporcional de ganancia unitaria
¿Cu´antos polos tiene el lazo cerrado en el SPD?
4

5. 2.3.2 [60 pts.] ¿Qu´e ganancia Kp de un controlador proporcional elegir´ıa para que el margen de
ganancia sea de 6 [dB] ? Se pide s´olo c´alculos aproximados
Soluci´on
2.3.1 En este caso, dado que Go(s)C(s) = Go(s) es estable, no hay polos del lazo abierto en el
SPD, es decir, P = 0. Observando el diagrama se aprecia que encierra el punto (−1; 0) dos
veces en sentido de reloj, es decir N = −2. En consecuencia Z = P − N = 2, es decir, el lazo
cerrado tiene dos polos en el SPD abierto.
2.3.2 El margen requerido implica que el diagrama polar debe cruzar el eje real negativo en
(−0,5; 0). Si consideramos que con ganancia 1 cruza el eje real negativo en (−8,5; 0) aprox.,
entonce se requiere que
Kp = 0,5/8,5 = 1/17
Problema 2.4 (100 pts.). Una planta estable tiene un modelo cuya incertidumber multiplicativa
satisface
|G∆(jω)| ≤
2ω
√
ω2 + 100
2.4.1 [50 pts.] Determine el m´aximo ancho de banda de To que asegura estabilidad robusta.
2.4.2 [50 pts.] Determine el m´aximo ancho de banda que asegure
|G∆(jω)To(jω)| ≤ 0,8
Sugerencia: SI NECESITA DIAGRAMAS DE BODE, USE APROXIMACIONES ASINT´OTI-
CAS.
Soluci´on
Este problema puede resolverse en forma anal´ıtica o en forma gr´afica (como se estudi´o en clases).
Para mayor variedad se presenta ahora la soluci´on anal´ıtica
2.4.1 La condici´on de estabilidad robusta se asegura si |To(jω)G∆(jω)| < 1, ∀ω ∈ R. Dada la
informaci´on disponible, reemplazaremos |G∆(jω)| por su cota. Con ello se obtiene
|To(jω)| <
√
ω2 + 100
2ω
Para estimar una cota para el ancho de banda, podemos calcular la frecuencia ωc tal que
|To(jω)| = 1/
√
2. Esto lleva a
1
2
=
ω2
+ 100
4ω2
=⇒ ωc = 10
As´ı, el ancho de banda de To debe ser menor que 10 [rad/s]
5

6. 2.4.2 En este caso, repetimos el procedimiento, aunque num´ericamente el c´alculo de ωc es diferente,
como se aprecia de las f´ormulas
|To(jω)| ≤ 0,8
√
ω2 + 100
2ω
1
2
= 0,16
ω2
+ 100
ω2
=⇒ ωc =
4
√
0, 34
Esto indica que para asegurar la condici´on de robustez dada, el ancho de banda deber´ıa ser
menor o igual que
4
√
0, 34
.
6