Carta a Gauche

1. Santiago, Rep. Dominicana,
10 de mayo de 2018
Estimado Antonio Gauche Falcón:
Cortésmente me dirijo a usted para pedirle que me regale un poco de su valioso tiempo y
se detenga a leer estas humildes líneas.
No soy experto en la materia y fácilmente puedo caer en el error de pensar que es
importante lo que escribo. Sin embargo, aunque no sea significativa, no pierdo nada
con exponer una idea. Ya lo manifestó Hipatia de Alejandría: “Conserva celosamente tu
derecho a reflexionar, porque incluso el hecho de pensar erróneamente es mejor que no
pensar en absoluto”. Motivado por tan sabias palabras, si mucha redundancia, expongo
“mis ideas” sobre la distribución de los números primos, espero sea de su interés.
Todo número impar mayor que 1 puede ser: primo o compuesto. Esta condición binaria
puede ser muy útil ya que para nuestros fines no son importantes las propiedades
matemáticas que pueda tener un número impar dado. Puesto que, de momento, solo
nos concentraremos en la primalidad o no de los números impares, usaremos el 1 para
referirnos a los números primos impares y 0 para los compuestos impares.
Supongamos que tenemos la siguiente tira de números impares consecutivos: 13, 15, 17, 19,
21, 23; dado a que solo nos interesa saber cuáles números, en la tira dada, son primos y cuáles
son compuestos podemos reescribir nuestra tira de la siguiente manera: 1, 0, 1, 1, 0,
1. Una vez llegamos a este punto es inevitable preguntarse: ¿En una tira de
números impares consecutivos es posible conocer cualquier combinación?
Para una tira de dos números impares consecutivos las posibles combinaciones son: (0, 0);
(0, 1); (1, 0); (1, 1).
Para una tira de tres números impares consecutivos las posibles combinaciones son: (0, 0,
0); (0, 0, 1); (0, 1, 1); (1, 1, 0); (1, 0, 1); (1, 0, 0); (0, 1, 0). Notemos que aquí no hemos
tomado la combinación (1, 1, 1) que correspondería a los números: (3, 5, 7); la razón es
que hay una restricción para tomar las tiras: el número más pequeño de la tira debe ser
mayor que la cantidad de números que contiene la tira.
Si observamos el comportamiento de los números enteros y en especial la Criba de
Eratóstenes, podemos darle un poco de orden a esto de las tiras. Por sabemos que si
tenemos tres números impares consecutivos uno de ellos debe ser múltiplo de 3, si tenemos
cinco números impares consecutivos uno de ellos debe ser múltiplo de 5 y así
sucesivamente. Veamos un ejemplo con números: 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41. En
esta tira observamos que hay diez números. 10/3 = 3.3, por lo tanto, en dicha tira debe
haber como mínimo tres números múltiplos de 3; 10/5 = 2, por lo tanto, debe haber dos
números múltiplos de 5; 10/7 = 1.4, es decir que por lo menos debe existir un múltiplo de
7. Otra cosa que observamos es que, dentro de la tira, los múltiplos caen en posiciones muy

2. bien definidas, en otras palabras, dentro de la tira, dos múltiplos consecutivos de un número
están separados a una distancia constante, así, por ejemplo, una tira de forma 0, 1, 1, 0;
nos indica que tanto el primer como el cuarto término de la tira deben ser divisibles entre
3.
Atendiendo a lo expuesto, no existe ninguna regla que nos prohíba tener una tira de
números impares con la siguiente característica: 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1. Es
aquí donde radica la importancia del tema tratado, de poder confirmar que las ideas
presentadas son ciertas podríamos responder innumerables cuestiones relacionadas con
los números primos como son: infinitud de números primos gemelos, afirmación de la
conjetura de Polignac, entre otras.
El tema también sirve para explicar por qué existen infinitas tiras numéricas que contienen
números primos que forman una progresión aritmética finita y también la existencia de las
lagunas de números primos, por solo nombrar algunas.
Hace un tiempo, leí sobre las lagunas de números primos en un libro. El tema me fascinó
desde el primer momento y ya sea importante o no, el mismo sirvió de inspiración para el
desarrollo de esta “conjetura” que expongo, y digo conjetura porque no he sido capaz de
probar lo mostrado, en gran parte solo es intuición.
Muy cordialmente y agradecido por su tiempo,
José Acevedo Jiménez.