Ecuación de la parabola y circunferencia

1. Ejercicio 3 y 4
Ecuación de la Parábola y la circunferencia.

2. Problema 1
 Se sabe que la temperatura afecta a la eficiencia de
cierta reacción química. Se lleva a cabo un experimento y
se encuentran los resultados señalados en la tabla
adjunta. Determina la temperatura a la que debe
efectuarse la reacción para que la eficiencia sea la más
alta posible.
Temperatura 79.5 85.2 88.6
Eficiencia 92.9 94.4 91.1

3. Solución
 El primer paso es analizar el problema, la temperatura seria la variable
independiente y la eficiencia la dependiente, pues depende directamente a
la temperatura. Si lo plasmamos en un plano cartesiano los valores de la
temperatura quedarían en el eje x y los valores de la eficiencia en eje y.
90.5
91
91.5
92
92.5
93
93.5
94
94.5
95
78 80 82 84 86 88 90
Eficiencia

4. Solución
 El Segundo paso es determinar las tres ecuaciones en la forma de las ecuación
cuadrática de la parábola 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
 Ecuaciones:
 Ec1:6320.25𝑎 + 79.5𝑏 + 𝑐 = 92.9
 Ec2:7259.04𝑎 + 85.2𝑏 + 𝑐 = 94.4
 Ec3:7849.96𝑎 + 88.6𝑏 + 𝑐 = 91.1
 El tercer paso es encontrar los valores de las tres incógnitas, a, b y c. Este
proceso se puede realizar por diversos métodos, reducción, igualación,
sustitución, Cramer, Gauss etcétera.

5. Solución
 A continuación se muestra la solución con el método de Cramer
+6320.3 +79.5 +1.0
DP = +7259.0 +85.2 +1.0 = +538485.3 +624071.8 +643150.9 - 668816.6 - 559974.2 - 577093.7 = - 176.4
+7850.0 +88.6 +1.0
+92.9 +79.5 +1.0 Valorde a
Dx1= +94.4 +85.2 +1.0 = +7915.1 +7242.5 +8363.8 - 7761.7 - 8230.9 - 7504.8 = +23.9 - .135576
+91.1 +88.6 +1.0
+6320.3 +92.9 +1.0 Valorde b
Dx2= +7259.0 +94.4 +1.0 = +596631.6 +729261.3 +661298.5 - 741036.2 - 575774.8 - 674364.8 = - 3984.4 +22.5926
+7850.0 +91.1 +1.0
+6320.3 +79.5 +92.9 Valorde c
Dx3= +7259.0 +85.2 +94.4 = +49056010.8 +58912379.8 +59748722.7 - 62133061.4 - 52861559.8 - 52573234.2 = +149257.9 - 846.3349
+7850.0 +88.6 +91.1

6. Solución
 El cuarto paso se sustituyen los valores de a, b y c en la ecuación 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 +
𝑐 = 0
Obteniendo la ecuación de la parábola.
El ultimo paso es encontrar en vértice de la parábola con la ecuación 𝑥 =
−𝑏
2𝑎
𝑥 =
−22.5926
2(−.135576498)
= 83.3208
Siendo la coordenada en x del vértice.
-.135576498x +22.592600x -846.3349 = y

7. Solución
 Para la coordenada en y sustituimos el valor de x:
 Entonces las coordenadas de nuestro vértice son (83.3208,94.87) que
representa el punto máximo de eficiencia.
y = .135576498(83.3208)2
+22.5926(83.3208)-846.3349
y = +94.87

8. Problema 2
 Se va a fabricar una caja a partir de una pieza rectangular de cartón
cuya longitud es 10+NL/10 cm más grande que su ancho. Para fabricar
la caja se recortarán, en las 4 esquinas, cuadrados de 6.NL cm y se
doblará la pieza resultante como se muestra en la figura. Si el
volumen de la caja debe ser de 2 litros, ¿cuáles deben ser las
dimensiones de la pieza rectangular de cartón?

9. Solución
 Las dimensiones de las cajas serán de x-13.2 de ancho, x-2.6 de largo y 6.6 de
altura y si su área es igual a 2000 podemos determinar que:
𝑥 − 13.2 𝑥 − 2.6 6.6 = 2000
 Desarrollando operaciones nos queda.
6.6𝑥2 − 104.28𝑥 + 226.512 = 2000
 Igualando a cero
6.6𝑥2 − 104.28𝑥 − 1773.488 = 0
 Obtenemos una ecuación de segundo grado que resolveremos con ayuda de la
formula general.

10. Solución
a x2
+ b x + c = 0
↓ ↓
+ 7 x2
- 104 x = 0
x1 =
# #
- b ± √ b2
+ 2 a
x2 =
-(-104.28) ± √(-104.28) 2
+ 2 (6.6)
x2 =
+ 344.47658948
+ 13
+ 26.09671132
- 10.29671132
- 135.91658948
+ 13
x2 =
# # # # # # #
+ 13
x1 =
Sustituyendo en la fórmula general:
x =
x =
- 4ac
- 1773
↓
-4(6.6)(-1773.488)

11. Solución
 El último paso seria graficar

12. Problema 3
 Un puente colgante es sostenido por dos torres de 25+NL/10 metros
que se encuentran a una distancia de 40+NL/10 metros entre sí y su
punto más pequeño es de 8+NL/10. Es necesario determinar las
alturas de los 7 soportes intermedios que se encuentran a distancias
iguales entre sí.

13. Solución
 Se utiliza la ecuación de la parábola en la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
 Obteniendo las siguientes ecuaciones:
 Ec 1: c=25.6
 Ec2: 424.36 a+20.6b+c= 8.6
 Ec3: 1648.36 a+40.6b+c=25.6
Estas ecuaciones se pueden solucionar por diversos métodos, en este documento
se solucionaran por el método de Cramer

14. + 424 + 21 x1 = 0.0 + 424 x1 + 21 x2 = + 9
+ 1648 + 41 x2 = 0.2 + 424 (0.0106533071882921) + 21 (0.198017600076522)= + 9
= + 9
= + 9
+ 9 + 21
+ 26 + 41 + 1648 x1 + 41 x2 = + 26
+ 1648 (0.0106533071882921) + 41 (0.198017600076522)= + 26
= + 26
+ 424 + 9 = + 26
+ 1648 + 26
Determinante para x1
Determinante para x2
Área de fórmulas, no modificar. licmata@hotmail.com
http://licmata-math.blogspot.mx/
- 16727
Determinante principal
= - 3312
Dx1 = = + 349 - 527 =
DP = = + 17229 - 33956 =
- 178
+ 26
Dx2 = = + 10864 - 14176
+ 5 + 4
+ 9
+ 18 + 8

15. Grafica

16. Problema
 Es necesario realizar una perforación para colocar la polea que
transmitirá el movimiento mediante una banda como se muestra en la
figura, utiliza las coordenadas de los puntos A, B y C para determi-nar
la ecuación de la circunferencia que nos indi-cará las coordenadas del
centro y el radio.

17. Solución
 Obtenemos tres ecuaciones
 Ec1: 4.6 A+5B+C=-46.16
 Ec2: 4.6A+10B+C=-121.16
 Ec3: 7.6 A+12.6B+C=-216.52
Al igual que en los casos anteriores se resolverán por el método de cramer

18. Solución
+ 5 + 5 + 1
DP = + 5 + 10 + 1 = + 46 + 38 + 58 - 76 - 58 - 23 = - 15
+ 8 + 13 + 1
- 46 + 5 + 1 Valor de a
Dx1 = - 121 + 10 + 1 = - 462 - 1083 - 1527 + 2165 + 582 + 606 = + 282 - 19
- 217 + 13 + 1
+ 5 - 46 + 1 Valor de b
Dx2 = + 5 - 121 + 1 = - 557 - 351 - 996 + 921 + 996 + 212 = + 225 - 15
+ 8 - 217 + 1
+ 5 + 5 - 46 Valor de c
Dx3 = + 5 + 10 - 121 = - 9960 - 4604 - 2675 + 3508 + 7022 + 4980 = - 1729 + 115
+ 8 + 13 - 217