Sistemas Dinamicos

1. DIAGRAMA DE
FASES
SISTEMAS
DINÁMICOS
ERVIN VILLA CANO

2. 1. 𝑥´ = 2 + 𝑥
 I) 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑥´ = 𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑖𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙.
𝑔 𝑥 = 2 + 𝑥
 II) 𝑈𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑜 𝑑 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥´ = 𝑔 𝑥 𝑒 = 0
𝑔 𝑥 𝑒 = 0
2 + 𝑥 = 0
𝑥 = −2
 III) 𝑆𝑖 𝑔´ 𝑥 𝑒
< 0 𝑥 𝑒
𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒, 𝑆𝑖 𝑔´ 𝑥 𝑒
> 0, 𝑥 𝑒
𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑔 𝑥 = 2 + 𝑥
𝑔´ 𝑥 = 1
𝑔´(𝑥 𝑒
) = 1
𝑔´ −2 = 1 ∴ 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

4. 2. 𝑥´ = 4𝑥2 − 8𝑥
 I) 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑥´ = 𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑖𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙.
𝑔 𝑥 = 4𝑥2
− 8𝑥
 II) 𝑈𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑜 𝑑 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥´ = 𝑔 𝑥 𝑒
= 0
𝑔 𝑥 𝑒
= 0
4𝑥2
− 8𝑥 = 0
4𝑥(𝑥 − 2) = 0
𝑥1 = 2
𝑥2 = 0
 III) 𝑆𝑖 𝑔´ 𝑥 𝑒
< 0 𝑥 𝑒
𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒, 𝑆𝑖 𝑔´ 𝑥 𝑒
> 0, 𝑥 𝑒
𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑔 𝑥 = 4𝑥2
− 8𝑥
𝑔´ 𝑥 = 8𝑥 − 8
𝑔´(𝑥 𝑒
) = 8𝑥 − 8
𝑔´ 2 = 8 2 − 8 = 8 ∴ 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑔´ 0 = 8 0 − 8 = −8 ∴ 𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

6. 3. 𝑥´ = 2𝑥 − 𝑥2
 I) 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑥´ = 𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑖𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙.
𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 𝑥2
 II) 𝑈𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑜 𝑑 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥´ = 𝑔 𝑥 𝑒
= 0
𝑔 𝑥 𝑒
= 0
2𝑥 − 𝑥2
= 0
−𝑥(𝑥 − 2) = 0
𝑥1 = 2
𝑥2 = 0
 III) 𝑆𝑖 𝑔´ 𝑥 𝑒
< 0 𝑥 𝑒
𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒, 𝑆𝑖 𝑔´ 𝑥 𝑒
> 0, 𝑥 𝑒
𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 𝑥2
𝑔´ 𝑥 = 2 − 2𝑥
𝑔´(𝑥 𝑒
) = 2 − 2𝑥
𝑔´ 2 = 2 − 2 2 = −2 ∴ 𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑔´ 0 = 2 − 2(0) = 2 ∴ 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

8. 1. 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑣𝑎𝑛𝑠
 Considerar la siguiente función de demanda y oferta de un bien donde 𝑝
detona el precio y 𝑞 la cantidad del bien.
𝐷 𝑡 = 14 − 2𝑝
𝑆 𝑡 = −4 + 𝑝
𝑝´ 𝑡 = 2(𝐷 𝑡 − 𝑆 𝑡 )
 Suponer que 𝑝 = 𝑝 𝑡 es una función del tiempo y, por lo tanto también 𝑞. El
precio cambia en el tiempo de acuerdo con la ecuación diferencia.
𝑝´ 𝑡 = 2(14 − 2𝑝 + 4 − 𝑝)
𝑝´ 𝑡 = 2(18 − 3𝑝)
𝑝´ 𝑡 = 36 − 6𝑝
 Así obtenemos la ecuación de oferta y demanda la cual ocuparemos para
realizar el diagrama de fases el cual sirve para saber en qué momento el precio
es estable.

9.  I) 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑝´(𝑡) = 𝑔 𝑝 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑖𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙.
𝑔 𝑝 = 36 − 6𝑝
 II) 𝑈𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑜 𝑑 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝´(𝑡) = 𝑔 𝑝 𝑒 = 0
𝑔 𝑝 𝑒 = 0
36 − 6𝑝 = 0
𝑝 = −36
−6 = 6
 III) 𝑆𝑖 𝑔´ 𝑝 𝑒
< 0 𝑝 𝑒
𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒, 𝑆𝑖 𝑔´ 𝑝 𝑒
> 0, 𝑝 𝑒
𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑔 𝑝 = 25 − 6𝑝
𝑔´ 𝑝 = −6
𝑔´(𝑝 𝑒
) = −6
𝑔´ 6 = −6 ∴ 𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

11. 2. 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑣𝑎𝑛𝑠
 Considerar la siguiente función de demanda y oferta de un bien donde 𝑝
detona el precio y 𝑞 la cantidad del bien.
𝐷 𝑡 = 15 − 2𝑝
𝑆 𝑡 = −3 + 𝑝
𝑝´ 𝑡 = 10(𝐷 𝑡 − 𝑆 𝑡 )
 Suponer que 𝑝 = 𝑝 𝑡 es una función del tiempo y, por lo tanto también 𝑞.
El precio cambia en el tiempo de acuerdo con la ecuación diferencia.
𝑝´ 𝑡 = 10(15 − 2𝑝 + 3 − 𝑝)
𝑝´ 𝑡 = 10(18 − 3𝑝)
𝑝´ 𝑡 = 180 − 30𝑝
 Así obtenemos la ecuación de oferta y demanda la cual ocuparemos para
realizar el diagrama de fases el cual sirve para saber en qué momento el
precio es estable.

12.  I) 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑝´(𝑡) = 𝑔 𝑝 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑖𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙.
𝑔 𝑝 = 180 − 30𝑝
 II) 𝑈𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑜 𝑑 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝´(𝑡) = 𝑔 𝑝 𝑒 = 0
𝑔 𝑝 𝑒 = 0
180 − 30𝑝 = 0
𝑝 = −180
−30 = 6
 III) 𝑆𝑖 𝑔´ 𝑝 𝑒 < 0 𝑝 𝑒 𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒, 𝑆𝑖 𝑔´ 𝑝 𝑒 > 0, 𝑝 𝑒 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑔 𝑝 = 180 − 30𝑝
𝑔´ 𝑝 = −30
𝑔´(𝑝 𝑒) = −30
𝑔´ 6 = −30 ∴ 𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

14. 3. 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐾𝑒𝑦𝑛𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑜
 Considerar las siguientes funciones de consumo e inversión dinámica con su respectivo
ingreso inicial y velocidad de ajuste.
𝐶 𝑡 = 100 + .8𝑦
𝐼 𝑡 = 600
𝑌 𝑑
t = C + I
𝑌 𝑠
t = y
𝑌´ t = .4(𝑌 𝑑
t − 𝑌 𝑠
(t)
 Suponer que 𝑌 = 𝑦 𝑡 es una función de consumo e inversión dinámica. Encuentra la
ecuación diferencial.
𝑌´ 𝑡 = .4(𝐶 + 𝐼 − 𝑦)
𝑌´ 𝑡 = .4((100 + .8𝑦 + 600) − 𝑦)
𝑌´ 𝑡 = .4(700 + .8𝑦 − 𝑦)
𝑌´ 𝑡 = .4(700 − .2𝑦)
𝑌´ 𝑡 = 280 − .08𝑦
Así obtenemos la ecuación de consumo e inversión dinámica la cual ocuparemos para
realizar el diagrama de fases el cual sirve para saber en qué momento el precio es
estable.

15.  I) 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑌´(𝑡) = 𝑔 𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑖𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙.
𝑌 𝑦 = 280 − .08𝑦
 II) 𝑈𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑜 𝑑 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑌´(𝑡) = 𝑔 𝑦 𝑒 = 0
𝑔 𝑦 𝑒 = 0
280 − .08𝑦 = 0
𝑦 = −280
−.08 = 3500
 III) 𝑆𝑖 𝑔´ 𝑦 𝑒 < 0 𝑦 𝑒 𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒, 𝑆𝑖 𝑔´ 𝑦 𝑒 > 0, 𝑦 𝑒 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑔 𝑦 = 280 − .08𝑦
𝑔´ 𝑦 = −.08
𝑔´(𝑝 𝑒) = −.08
𝑔´ 3500 = −.08 ∴ 𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

17. 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐾𝑒𝑦𝑛𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑜
 Considerar las siguientes funciones de consumo e inversión dinámica con su respectivo
ingreso inicial y velocidad de ajuste.
𝐶 𝑡 = 50 + .6𝑦
𝐼 𝑡 = 22
𝑌 𝑑
t = C + I
𝑌 𝑠
t = y
𝑌´ t = .5(𝑌 𝑑
t − 𝑌 𝑠
(t)
 Suponer que 𝑌 = 𝑦 𝑡 es una función de consumo e inversión dinámica. Encuentra la
ecuación diferencial.
𝑌´ 𝑡 = .5(𝐶 + 𝐼 − 𝑦)
𝑌´ 𝑡 = .5((50 + .6𝑦 + 22) − 𝑦)
𝑌´ 𝑡 = .5(72 + .6𝑦 − 𝑦)
𝑌´ 𝑡 = .5(72 − .4𝑦)
𝑌´ 𝑡 = 36 − .2𝑦
Así obtenemos la ecuación de consumo e inversión dinámica la cual ocuparemos para
realizar el diagrama de fases el cual sirve para saber en qué momento el precio es
estable.

18.  I) 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑌´(𝑡) = 𝑔 𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑖𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙.
𝑌 𝑦 = 32 − .2𝑦
 II) 𝑈𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑜 𝑑 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑌´(𝑡) = 𝑔 𝑦 𝑒 = 0
𝑔 𝑦 𝑒 = 0
36 − .2𝑦 = 0
𝑦 = −36
−.2 = 180
 III) 𝑆𝑖 𝑔´ 𝑦 𝑒 < 0 𝑦 𝑒 𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒, 𝑆𝑖 𝑔´ 𝑦 𝑒 > 0, 𝑦 𝑒 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑔 𝑦 = 36 − .2𝑦
𝑔´ 𝑦 = −.2
𝑔´(𝑝 𝑒) = −.2
𝑔´ 180 = −.2 ∴ 𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒