IPM

1. Pensamiento Matemático
Actividades Unidad 2
Actividad 3. Métodos de demostración.
I. Realiza las siguientes demostraciones
1. Demuestra que si el triángulo rectángulo XYZ de catetos x e y e hipotenusa z tiene de
área
𝑧2
4
, entonces es isósceles.
P: Si el triángulo rectángulo XYZ de catetos x e y e hipotenusa z
tiene de área
𝑧2
4
,
Q: Entonces es isósceles
x * y /2 = z² /4
teoremade Pitágoras:
X * y /2 = x² + y² /4
Teoremade lasproporciones:
4xy = 2x² + y²
2xy=x²+ y²
x² - 2xy + y² = 0
x - y² = 0
Es unbinomiocuadradoigualadoa0, entoncesx = y,por lo tanto,esverdadero.
2. Demuestra que la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales es igual a
𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)
6

2. Título
Subtítulo
UNADM | DCEIT | MAT | 00000 2
n=1 → ∑ 𝑖2
=
𝑛
𝑖=1
(1(1+ 1)(2(1)+ 1))/6
1²= (1 * 2 * 3)/6
1=1
n=k → ∑ 𝑖2
=
𝑘
𝑖=1
𝑘( 𝑘+1)(2𝑘+1)
6
n=k+1 → ∑ 𝑖2
=
𝑘+1
𝑖=1
( 𝑘+1)( 𝑘+1+1)(2(𝑘+1)+1
6
∑ 𝑖2
(𝑘+ 1) =
𝑘+1
𝑖=1
( 𝑘+1)( 𝑘+2)(2(𝑘+2)+1
6
k(k + 1)(2k + 1)
6
+ ( 𝑘 + 1)2
=
( 𝑘 + 1)( 𝑘 + 2)(2𝑘 + 3)
6
(k + 1)(2k2
+ 7k + 6)
6
=
(k + 1)(2k2
+ 7k + 6)
6
3. Demuestra la negación del siguiente enunciado: la suma de dos números compuestos
siempre es un número compuesto
Es falso 15 + 4 = 19 sería un contraejemplo para demostrar la falsedad
4. Demuestra que, para cada entero n, que si 5n + 3 es par, entonces n es impar.
P= 5n + 3 es par
Q= n es impar
N es par → n= 2k + 1
5n + 3 = 5(2k+1) + 3 = 10k + 8 = 2(5k + 4)
2a / con a = 5k + 4
5. Demuestra que Si n ∈ ℤ, entonces, 𝑛2
− 3es múltiplo de 4.
P= n ∈ ℤ

3. Título
Subtítulo
UNADM | DCEIT | MAT | 00000 3
Q= 𝑛2
− 3es múltiplo de 4
~Q= 𝑛2
− 3 no es múltiplo de 4
n= 2k+1
n² - 3 = (2k + 1) ² - 3 = 4k² + 4k – 2 = 2 (2k² + 2k) – 2
2a / con a = 2k² + 2k - 2
6. Demuestra que
(x)(Fx)  (x)(Fx  Gx)