HerramientasFinancieras.pdf

Curso: Evaluación de proyectos de inversión
PI-602
Herramientas de Matemáticas Financieras
MBA (ESAN) y Econ (UNMSM) Sergio Filomeno Villegas Villegas
svillegasfi@yahoo.com

12/11/2021
Conceptos Generales
I. Importancia de las matemáticas financieras
II. Definiciones de las matemáticas financieras
III. Herramientas de las matemáticas financieras

I. Importancia de las
matemáticas financieras

12/11/2021
Importancia de las matemáticas financieras
Cuando se busca la solución que optimice los recursos con que se cuentan
generalmente hay que abordar las siguientes preguntas claves:
◼ ¿Se justifica la realización del proyecto o la inversión?
◼ ¿Se puede usar la actual infraestructura de producción para alcanzar el
nuevo nivel de producción?
◼ ¿El tiempo estipulado para la realización del proyecto es el adecuado?
◼ ¿Es recomendable o favorable la inversión económica o socialmente?
◼ ¿Cuál de las alternativas planteadas es la mejor para la organización o
inversionistas?

II. Definiciones de las

12/11/2021
Definiciones de las matemáticas financieras
Las matemáticas financieras pueden tener varias definiciones, pero todas
presentan el mismo objetivo final:
◼ “Estudia el conjunto de conceptos y técnicas cuantitativas de análisis útiles
para la evaluación y comparación económica de las diferentes alternativas
que un inversionista, o una organización pueden llevar a cabo y que
normalmente están relacionadas con proyectos o inversiones en: sistemas,
productos, servicios, recursos, inversiones, equipos, etc., para tomar
decisiones que permitan seleccionar la mejor o las mejores posibilidades
entre las que se tienen en consideración”.
◼ “Es una herramienta de trabajo que permite el análisis de diferentes
alternativas planteadas para la solución de un mismo problema”.

12/11/2021
Definiciones de las matemáticas financieras
Las matemáticas financieras pueden tener varias definiciones, pero todas
presentan el mismo objetivo final:
◼ “Es el estudio de todas las formas posibles para desarrollar nuevos
productos (o resolver un problema), que ejecutarán funciones necesarias y
definidas a un costo mínimo”.
◼ “Es un conjunto de conceptos y técnicas de análisis, útiles para la
comparación y evaluación económica de alternativas”.
En general el objetivo básico de las matemáticas financieras es seleccionar la
alternativa más conveniente desde el punto de vista económico.

III. Herramientas de las

12/11/2021
1. Perfil de un Crédito
◼ Crédito: Significa obtener un flujo de dinero hoy, que
será pagado en cuotas en el futuro.
◼ Características:
▪ Tasa de interés
▪ Plazo
▪ Cuotas
T

12/11/2021
1. Perfil de una Inversión
◼ Inversión: Desembolsar hoy una suma de dinero,
esperando retornos futuros.
◼ Características:
▪ Tasa de descuento
▪ Duración del proyecto
▪ Flujos
T

12/11/2021
Valor del Dinero en el Tiempo
◼ Supongamos que estamos en un mundo donde no existe
inflación y se nos plantea la posibilidad de elegir S/.100 hoy
o S/.100 mañana ¿Qué preferimos?
versus
0
Hoy
1
En un año
t: tiempo
100
0
Hoy
1
En un año
t: tiempo
100

12/11/2021
◼ La respuesta S/.100 hoy, ya que existe un interés que
puede ser ganado sobre esos S/.100, es decir depositar eso
en el un banco y al cabo de un año recibir los 100 más un
interés.
◼ Supongamos la tasa es del 10%. Dos alternativas:
▪ Guardar los 100 en una caja fuerte, al cabo de 1 año tengo
los mismos 100.
▪ Depositar los 100 al cabo de un año tengo 110.

12/11/2021

12/11/2021
◼ Valor Futuro: Es el valor alcanzado por un capital o
principal al final del período analizado.
◼ Interés: Es el rendimiento o costo de un capital colocado o
prestado a un tiempo determinado.
◼ Si definimos:
▪ r = tasa de interés
▪ I = Monto invertido
◼ Invierto P0 hoy
◼ Al cabo de un año obtengo:
▪ I1 = I0 + r * I0
◼ Qué pasa si esto lo queremos invertir a más de un período?

12/11/2021
2. Tipos de interés: simple y compuesto
◼ Interés simple: Es el interés que se paga (o gana) sólo sobre
la cantidad original que se invierte. No considera reinversión
de los intereses ganados en períodos intermedios.
◼ Supongamos que I0 = S/.100 y r = 10%
◼ I1 = I0 + r * I0 = 100 + 10% * 100 = 110
◼ I2 = I1 + r * I0 = (I0 + r * I0) + r * I0 = I0 + 2r * I0
◼ I2 = 100 + 2*10% * 100 = 120
◼ Observar que sólo se calcula intereses sobre el principal.

12/11/2021
◼ Interés simple: Para n períodos:
◼ In = I0 + n*r*I0 In = I0 * (1+n*r)
T
I0 I1 I2 In

12/11/2021
◼ Interés simple:

12/11/2021
◼ Interés compuesto: Significa que el interés ganado sobre el
capital invertido se añade al principal. Se gana interés sobre el
interés. Se asume reinversión de los intereses en periodos
intermedios.
◼ Supongamos que I0 = S/.100 y r = 10%
◼ I1 = I0 + r * I0 = I0 (1+r) = 100 (1+10%) = 110
◼ I2 = I1 + r * I1 Intereses sobre capital más intereses.
◼ I2 = I0(1+r) + r*(I0(1+r)) = I0(1+r)(1+r) = I0(1+r)2
◼ I2 = 100 (1+ 10%)2 = 100 (1,1)2 = 121

12/11/2021
◼ Interés compuesto: Para n períodos:
◼ I2 = I0 (1+ r)2 In = I0 * (1+r)n
T
I0 I1 I2 In

12/11/2021
◼ A. Ejemplo del interés compuesto con interés pagado anualmente
◼ B. Ejemplo del interés compuesto cuando se capitaliza.

12/11/2021
◼ Las tasas efectivas de interés correspondientes a una tasa
nominal y anual del 6% compuesto:
▪ Anual: 6,000%,
▪ Semestral: 6,090%,
▪ Trimestral: 6,136%,
▪ Mensual: 6,168%,
▪ Semanal: 6,180%,
▪ Diario: 6,183%
▪ Continuo: 6,184%.

12/11/2021
Interés Compuesto versus Simple
0
50
100
150
200
250
300
350
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Años
Nuevos
Soles
Interés Simple Interés Compuesto a 10%

12/11/2021
3. Igualdad de Fischer y efecto de la Inflación

12/11/2021
3. Igualdad de Fischer y efecto de la Inflación
◼ Que las papas suban un 10% significa necesariamente que
hubo inflación del10%?
◼ La respuesta es no ya que la inflación se mide a través de
índices IPC en Perú que mide la evolución de los precios de
una canasta promedio de bienes y servicios.
◼ Por lo tanto la variación del IPC no significa que todos los
bienes y servicios de esta canasta varíe en el mismo
porcentaje.
◼ Por otro lado el IPC no es el precio de la canasta.

12/11/2021
Inflación y poder adquisitivo del dinero
◼ Si existe inflación los nuevos soles de hoy no comprarán las
mismas cosas que en un año más.
◼ S/.1000/P0 = Cantidad física = Q0
◼ S/.1000/P1 = Cantidad física = Q1
Q0 > Q1
◼ Esos S/.1000 nominalmente son iguales, en términos reales
no lo son. No tienen el mismo poder adquisitivo.

12/11/2021
Tasa de interés real
◼ Una tasa de interés real es aquella que denota un aumento
del poder adquisitivo. Esto es, conservando el poder
adquisitivo del dinero, existe un incremento en el monto a
pagar ( o cobrar).
◼ El ejemplo clásico es el de las tasas en UIT + X% o tasas
reflejadas como IPC + X%.
◼ Esto significa que al cabo de un año el dinero debiera tener
el mismo poder adquisitivo que el dinero que invertí.

12/11/2021
Tasa de interés nominal
◼ Una tasa de interés nominal es aquella que denota un
crecimiento en el monto de dinero, sin ajustar la moneda
por inflación. Así la tasa de interés nominal no
necesariamente significa un incremento en el poder
adquisitivo
◼ El ejemplo típico son los depósitos en nuevos soles a 30
días de los bancos o los créditos en nuevos soles.
◼ Si hacemos un depósito por S/.1 000 al 15% de interés
anual en un año debiera recibir S/.1 150 ¿Significa esto que
seré S/.150 más rico al cabo de un año?

12/11/2021
Tasa de interés real versus nominal
◼ En equilibrio, el banco debiera ser indiferente entre prestar
a tasas reales o nominales, siempre y cuando las tasas
nominales incluyan las expectativas de inflación.
◼ Así surge la “Igualdad de Fisher”:
▪ (1 + i) = (1 + r) * (1 + t)
▪ donde:
i = tasa de interés nominal
r = tasa de interés real
t = inflación esperada

12/11/2021
Tasa de interés real versus nominal
◼ Ejemplo: En que banco me conviene depositar 500 U.M.
¿en el que ofrece 20% de interés anual o el que ofrece 5%
anual después de inflación?
◼ Si ambas rindieran lo mismo:
▪ 500 (1+i) = 500 (1+r)(1+ t)
▪ (1+ t) = (1+i)/(1+r) = 1,2/1,05 => t = 14,3%
◼ Luego, si la inflación esperada es mayor que 14,3% anual,
conviene la alternativa de 5% anual después de inflación.

◼ Valor Presente
12/11/2021
4. Valor Presente y Valor Futuro
P
F
0
n
Valor Presente
(“Descontar”)
P = F /(1+i)n

12/11/2021
4. Valor Presente y Valor Futuro
P
F
0
n
Valor Futuro
(“Capitalizar”)
F = P *(1+i)n
◼ Valor Futuro

12/11/2021
Valor Actual Neto
◼ ¿Qué ocurre si se tiene varios flujos futuros?: Se necesita tener
una métrica única para comparar el valor de los activos.
◼ El concepto de valor presente neto aparece como una respuesta
a esta necesidad.
◼ Ejemplo: Se tiene dos alternativas:
▪ Proyecto inmobiliario (supongamos libre de riesgo)
- S/. 1000
S/.200
S/. 700
S/. 300
0 1 2 3
▪ Bonos del Gobierno
S/. 1000
S/. 60
S/. 1060
0 1 2 3
S/. 60

12/11/2021
Valor Actual Neto
◼ Para poder comparar las dos alternativas de inversión debemos
resumir ambos flujos de caja a un sólo valor.
◼ Si definimos valor presente neto igual a:

+
=
=
T
t
t
t
r
C
VAN
0 )
1
(

12/11/2021
Valor Actual Neto
◼ Se Puede calcular el valor presente de ambos flujos suponiendo
una tasa de descuento anual igual a 6%.
▪ VAN a 6% (proyecto inmobiliario) = S/.64
▪ VAN a 6% (bono del gobierno) = S/.0
▪ Es decir, se preferiría el proyecto inmobiliario frente a invertir en bonos
del gobierno.

12/11/2021
VALOR PRESENTE Y FUTURO
◼ Las empresas invierten en distintos activos reales
◼ Activos pueden ser de diferentes tipos:
▪ Activos tangibles o físicos (maquinaria, edificios)
▪ Activos intangibles (contratos de gestión, Patentes)
▪ Activos financieros (acciones, bonos)
◼ Objetivo de la decisión de inversión es encontrar activos
cuyo valor supere su costo.
◼ Dado lo anterior surge la necesidad de valorar
adecuadamente los activos.
◼ Si existe un buen mercado para un activo el valor será
exactamente su precio de mercado.

12/11/2021
◼ Supongamos que se invierte hoy S/.50 000 y que esa inversión al
cabo de un año se vende en S/.60 000.
◼ La pregunta a resolver es si esos S/.60 000 dentro de un año
son mayores que los S/.50 000 que he invertido hoy.
◼ Primer Principio Financiero:
“Un dólar hoy vale más que un dólar mañana bajo la
premisa de que hoy puedo invertir ese dólar para
generar intereses”.
◼ De acuerdo a lo anterior los S/.60 000 dentro de un año son
menos de S/.60 000 hoy.

12/11/2021
◼ r = Tasa de descuento
Tasa mínima
Costo de oportunidad del capital
Rentabilidad mínima exigida
Costo de capital…etc
◼ Costo de oportunidad: Rentabilidad a la que se renuncia al
invertir en un proyecto.
◼ Segundo Principio Financiero:
“Un dólar seguro vale más que uno con riesgo”

12/11/2021
◼ No todas las inversiones tienen el mismo riesgo.
◼ Ejemplos:
▪ Bonos del tesoro
▪ Construcción de oficinas
▪ Perforación de un pozo de petróleo
◼ En principio a mayor riesgo, mayor es la rentabilidad
exigida
◼ El nivel de riesgo afecta el valor de los activos.

12/11/2021
Costo de Oportunidad
Costo de oportunidad
El rendimiento de la segunda mejor alternativa de inversión…

12/11/2021
Costo de Oportunidad
Si tiene S/.1 000 000 depositados en un banco que le paga una tasa de
interés de 25 por ciento.
Se presenta la oportunidad de invertir ese dinero en un proyecto dentro
de la misma categoría de riesgo que la inversión en el banco.
◼ Si el proyecto tiene un rendimiento de...
❑ 35 por ciento... ¿lo aceptaría?
❑ 15 por ciento... ¿lo aceptaría?
◼ En este ejemplo 25 por ciento es su costo de oportunidad
Cada categoría de riesgo tiene un costo de oportunidad diferente.
Entre mayor sea el riesgo, mayor es el costo de oportunidad

12/11/2021
Costo de Oportunidad del Capital
◼ Costo de Oportunidad del Capital de un Proyecto
de Inversión, es la Tasa Esperada de
Rentabilidad, demandada por los Inversionistas
en Activos sujetos Al Mismo Riesgo del Proyecto.

12/11/2021
Anualidades con cuotas iguales
0
n
P
A A A A
( )
( ) 







−
+
+
=
1
1
1
n
n
i
i
i
P
A 





+
−
+
= n
n
i
i
i
A
P
)
1
(
1
)
1
(

12/11/2021
Costo de Oportunidad del Capital

12/11/2021
Perpetuidades
P = A / i
A = P * i
0
P
A A A A

12/11/2021
Ejemplo1

12/11/2021
Ejemplo 2

12/11/2021
Ejemplo 3

12/11/2021
Ejercicios

12/11/2021
Interés Simple
Una deuda de S/. 2000 contraída el 8 de junio para ser cancelada el 8 de julio y
pactada originalmente a una tasa anual de interés simple de 24%, sufre las
siguientes variaciones a partir de las siguientes fechas.
- El 12 de junio: 2,5% mensual
- El 24 de junio: 9% trimestral
- El 3 de julio: 21% semestral.
¿Qué interés se pagará al vencimiento?

12/11/2021
Interés Simple
¿Qué interés se pagará al vencimiento? Rp. I = S/. 55
n
i
P
I *
*
=
Periodo P i n I
8-12 jun 2000 0,24 4/360 5,33
12-24 jun 2000 0,025 12/30 20
24-jun / 3-jul 2000 0,09 9/90 18
3-8 jul 2000 0,21 5/180 11,66
Total de intereses 55
8-jun 12-jun 24-jun 3-jul 8-jul
24% anual 2,5% mensual 9% trimestral 21 % semestral

12/11/2021
Interés Simple
Habiendo colocado en una cuenta de ahorros S/. 3000 a una tasa anual de interés
simple de 24%, ¿cuánto se habrá acumulado: a) al cabo de 46 días?, ¿b) al cabo
de 46 días abonando los intereses al principal cada 30 días?
Rp. a) S = S/. 3092; b) S/. 3092,64
)
*
1
(
* n
i
P
F +
=
a) 





+
=
360
46
*
24
,
0
1
*
3000
F = 3092
b) 3060
360
30
*
24
,
0
1
*
3000
1 =






+
=
F 64
,
3292
360
16
*
24
,
0
1
*
3060
2 =






+
=
F

12/11/2021
Interés Compuesto
Calcular el monto a pagar dentro de 5 meses por un préstamo bancario de S/.
50000 que devenga una tasa nominal anual de 36% con capitalización mensual
n
i
P
F )
1
(
* +
=
5
)
1
(
*
50000 TEM
F +
=
70
,
57963
=
F
03
,
0
12
36
,
0
=
=
TEM

12/11/2021
Interés Compuesto
Se ha suscrito un contrato de crédito por S/. 80000 para cancelarlo dentro de 120
días a la tasa efectiva mensual de mercado. Al vencimiento del plazo, la tasa
efectiva mensual ha sufrido las siguientes variaciones: 5% durante 46 días; 4,5%
durante 10 días y 4% durante 64 días ¿Cuál es el monto a cancelar al vencimiento
del crédito?
n
i
P
F )
1
(
* +
=
Periodo P i n F
1 80000 0,05 46/30 86214,49
2 86214,49 0,045 10 87488,78
3 87488,78 0,04 64 95124,01

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