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INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO
SEDE BARCELONA
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ESTADÍSTICA
PROFESOR/TUTOR :
ING. PEDRO BELTRÁN
ESCALAS DE MEDICIÓN
INTEGRANTE:
JUAN CARLOS RENGEL
C.I.:V-12.415.462
BARCELONA, OCTUBRE 2019
INTRODUCCIÓN
La medición es un proceso inherente y
consustancial a toda investigación, sea ésta
cualitativa o cuantitativa. Medimos principalmente
variables y ello demanda considerar tres elementos
básicos: el instrumento de medición, la escala de
medición y el sistema de unidades de medición.
La validez, consistencia y confiabilidad de los datos
medidos dependen, en buena parte, de la escala de
medición que se adopte. He ahí la importancia de
profundizar en el tema de las escalas de medición.
INTRODUCCIÓN
La escalas de medición son una sucesión de
medidas que permiten organizar datos en orden
jerárquico, donde pueden ser clasificadas de
acuerdo a una degradación de las características de
las variables, por lo cuál ofrecen información sobre la
clasificación de variables discretas o continuas,
también más conocidas como escalas grandes o
pequeñas. Toda vez que dicha clasificación
determina la selección de la gráfica adecuada.
Entonces las escalas son cuatro: Nominal, Ordinal,
Intervalo y Razón o Proporción.
ESCALA DE MEDICIÓN
Escalas de medición son una sucesión de
medidas que permiten organizar datos en orden
jerárquico. Las escalas de medición, pueden
ser clasificadas de acuerdo a una degradación
de las características de las variables.
Además las escalas de medición ofrecen
información sobre la clasificación de variables
discretas o continuas, también más conocidas
como escalas grandes o pequeñas. Toda vez
que dicha clasificación determina la selección
de la gráfica adecuada.
Escala nominal
Consta de dos o más categorías mutuamente
excluyentes. Si solo hay dos, se llama escala
nominal dicotómica. A cada categoría se le suele
asignar un número de código sin significado
cuantitativo, lo que facilita su introducción en
bases de datos. En cualquier situación, si se usa
una codificación propia, debe tenerse claro lo
que significa cada código para cada variable.
TIPOS DE ESCALA DE MEDICIÓN
Veamos algunos ejemplos:
Sexo: (1) masculino; (2) femenino.
Fumar: (0) no; (1) sí.
Estado civil: (1), casado; (2), soltero; (3), viudo; (4),
divorciado,
Procedencia del ingreso: 1, urgencias; 2, consultas;
3, otro hospital.
Dependiendo del programa que va a ser utilizado
para el análisis, se prefiere codificar las variables
nominales dicotómicas de forma que la presencia de
enfermedad o del factor de exposición se suele
codificar como uno (1), mientras que la ausencia de
enfermedad o de exposición a algún factor como
cero (0) o dos (2).
TIPOS DE ESCALA DE MEDICIÓN
Por ejemplo, el antecedente de hábito tabáquico
puede codificarse como 1 y 0 (1: fumador; 0: no
fumador) o como 1 y 2 (1: fumador; 2: no
fumador). Aunque matemáticamente la
presencia/ausencia de una característica se
corresponde con la codificación 1-0, es frecuente
usar la codificación 1-2, para evitar que variables
vacías sean asignadas al 0 por error.
TIPOS DE ESCALA DE MEDICIÓN
TIPOS DE ESCALA DE MEDICIÓN
Escala ordinal
Las variables ordinales tienen la cualidad
adicional, respecto a la escala nominal, de
que sus categorías están ordenadas por rango;
cada clase posee una misma relación posicional
con la siguiente; es decir, la escala muestra
situaciones escalonadas. Si se usan números, su
única significación está en indicar la posición de
las distintas categorías en la serie; sin embargo,
no asumen que la distancia del primer escalón al
segundo sea la misma que la del segundo al
tercero.
Veamos algunos ejemplos:
Clase social: 1) baja, 2) media, 3) alta.
Grados de reflujo vesicoureteral: grados 1, 2, 3, 4.
Conformidad con una afirmación: 0) completo
desacuerdo, 1) acuerdo parcial, 2) acuerdo total.
Fumar: 0) no fumador, 1) fumador leve, <10/día; 2)
fumador moderado, 10-20/día, y 3) gran fumador,
>20/día).
Existen escalas que serán mezcla de nominal y
ordinal, porque solo algunas categorías estén
ordenadas por rango; esto ocurre en las escalas en
las que un valor representa a una categoría
inclasificable (ejemplo: no sabe no contesta o
resultado indeterminado).
TIPOS DE ESCALA DE MEDICIÓN
Escalas de intervalos
Las escalas de intervalos poseen la cualidad adicional
de que los intervalos entre sus clases son
iguales. Diferencias iguales entre cualquier par de
números de la escala indican diferencias también
iguales en el atributo sometido a medición. Veamos un
ejemplo: la diferencia de temperatura entre una
habitación a 22 grados centígrados y otra a 26 es la
misma que la existente entre dos a 33 y 37 grados
centígrados, respectivamente.
TIPOS DE ESCALA DE MEDICIÓN
Sin embargo, la razón entre los números de
la escala no es necesariamente la misma
que la existente entre las cantidades del
atributo. Ejemplo: una habitación a 20
grados no está el doble caliente que otra a
10. Ello se debe a que el cero de la escala
no expresa el valor nulo o ausencia de
atributo.
TIPOS DE ESCALA DE MEDICIÓN
Escalas de razones
Su cualidad adicional es que el cero sí indica
ausencia de atributo. En consecuencia, la razón
entre dos números de la escala es igual a la existente
entre las cantidades del atributo medido. Ejemplos:
Peso: medido en kilogramos.
Concentración de glucosa en una muestra: medida
en mg/dl.
Tasa de mortalidad: muertes por 1000 personas en
riesgo.
Ingresos: medidos en euros.
TIPOS DE ESCALA DE MEDICIÓN
Las escalas de intervalos y razones se llaman también
métricas o dimensionales. Las variables continuas van
a medirse con escalas de razones o intervalos, por lo
que es habitual que nos refiramos a ellas
englobándolas como escalas continuas, ya que
comparten estrategias de análisis, como la elección del
test estadístico. Algunos paquetes estadísticos, como
SPSS, las denominan simplemente “escalas”.
NOTA IMPORTANTE
TIPOS DE ESCALA DE MEDICIÓN
Cuando en la recogida de una variable continua
(escala de razones o intervalos) no podemos
recoger valores a partir de un límite (por ejemplo:
cargas virales superiores a 100 000), si optamos
por mantener esas observaciones en el análisis, la
variable se comporta en ese rango como una
variable ordinal.
En la tabla 1 presentamos un resumen de las
características de las diferentes escalas de medida.
NOTA IMPORTANTE
TIPOS DE ESCALA DE MEDICIÓN
Tabla 1. Características de las diferentes escalas de
medida de variables.
PROPIDEDADES DE LA ESCALA DE
MEDICIÓN
Podemos resaltar como propiedades de las
escalas de medición,
las siguientes:
Ordinales:
• Las categorías de los datos son mutuamente
excluyentes, es decir,
un objeto o individuo debe pertenecer a una de las
categorías.
•Las categorías de datos están clasificadas u
ordenadas de acuerdo con la característica
especial que poseen.
De intervalo:
• Las categorías son mutuamente excluyentes y
exhaustivas (exhaustiva: un individuo, objeto o
medición debe pertenecer a una
de las categorías).
• Las categorías están ordenadas de acuerdo con la
cantidad de
características que posean.
• Diferencias iguales en la característica están
representadas por
diferencias iguales en los números asignados a las
categorías.
PROPIDEDADES DE LA ESCALA DE
MEDICIÓN
De razón:
• Las categorías son mutuamente excluyentes y
exhaustivas (exhaustiva: un individuo, objeto o
medición debe pertenecer a una de las categorías).
• Las categorías están ordenadas de acuerdo con la
cantidad de
características que posean.
• Diferencias iguales en la característica están
representadas por diferencias iguales en los
números asignados a las categorías.
• El punto cero refleja la ausencia de esta
característica.
PROPIDEDADES DE LA ESCALA DE
MEDICIÓN
IMPORTANCIA Y APLICACIÓN DE LA ESCALAS DE MEDICIÓN EN
LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA
A continuación vamos a seguir avanzando en el
desarrollo de este tema para eso debemos definir la
escala de medición a utilizar para los datos de las
variables que se van a recoger, ya que será de vital
importancia para escoger los instrumentos
estadísticos a utilizar para el análisis de datos.
Para Sanchez y Reyes (2009), una escala de
medición es la forma en que una variable va a ser
medida o cuantificada; por otro lado Tafur (1995),
considera a la escala como un instrumento de
medición. Además es preciso tener en cuenta que la
escala a utilizar depende de la naturaleza de los
hechos o del fenómeno que se está estudiando. En
otras palabras, es la naturaleza de la variable la que
determina la escala a utilizar.
IMPORTANCIA Y APLICACIÓN DE LA
ESCALAS DE MEDICIÓN EN LA
INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA
La forma más conocida y que
utilizamos a menudo está en las
Medidas de Longitud, está en el
empleo de una Regla o Cinta Métrica
o cualquier instrumento que nos
permita comparar en torno a lo que
es una Unidad (en este caso, el
Metro) el tamaño que ocupa una
figura en el espacio, siendo
entonces la medición la estimación
de la Magnitud de algo siguiendo en
cuenta lo que es el Patrón de
Medición.
IMPORTANCIA Y APLICACIÓN DE LA
ESCALAS DE MEDICIÓN EN LA
INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA
Se podría afirmar entonces que la
importancia de realizar una
Medición sobre algo radica en la
obtención de un Dato Desconocido
en referencia a su comparación con
un Dato Conocido, siendo el
primero la característica inherente
al objeto que será medido con el
Instrumental de Medición adecuado,
mientras que lo segundo es la
Unidad de Medición que hemos
empleado para realizar la
comparación.
IMPORTANCIA Y APLICACIÓN DE LA
ESCALAS DE MEDICIÓN EN LA
INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA
Sin embargo, esta mensuración en
muchas oportunidades no suele ser
la misma, ya que puede existir un
factor conocido como Margen de
Error en el cual puede incurrir el
operador que ha llevado a cabo
dicha tarea, por lo que se suele
realizar lo que es conocido como
Medición Estadística siendo un
valor promedio de todas las
mediciones que hayan sido
realizadas (es decir, se debe repetir
la operación respetando las mismas
condiciones del ámbito de trabajo).
Esto además se complementa con
el aporte de Ciencias Auxiliares que
permiten realizar Mediciones
Indirectas que derivan en la
combinación de Unidades de
Medición para obtener un valor
específico, como en el caso de la
Concentración donde se puede
estimar si un compuesto se trata de
una Solución Saturada o Insaturada
en torno a una proporción de
Volumen del Solvente con la
cantidad de Soluto Pesado con
anterioridad y que haya sido
incorporado al sistema.
IMPORTANCIA Y APLICACIÓN DE LA
ESCALAS DE MEDICIÓN EN LA
INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA
CONCLUSIÓN
En la investigación científica los fenómenos a
explicar y por lo tanto a medir tienen como base, la
teoría lo cuál juega un papel clave en la manera de
establecer los elementos en el proceso de medición.
Esta circunstancia obliga al investigador a conocer a
profundidad la teoría que orienta su pregunta de
investigación, es necesario, tener claridad en las
relaciones que existen en sus constructos, para que
pueda estar preparado para utilizar instrumentos de
medición confiables y válidos.
CONCLUSIÓN
Así, el proceso de medición también, ha sido
identificado como el procedimiento de relacionar
conceptos abstractos con indicadores empíricos, lo cual
involucra un proceso de clasificación y cuantificación de
los datos o indicadores en términos de los conceptos
teóricos que integran el diseño de la investigación. Para
poder brindar mayor precisión a esta operación es que
también se recurre a lo que son los Instrumentos de
Medición, siendo aquellos el elemento auxiliar que
permite la aplicación justamente de una Escala de
Medición que consiste en la aplicación de una
comparación respecto a un Valor Arbitrario que ha sido
definido y considerado como válido por una comunidad
científica en particular.
Sánchez H. y Reyes C. (2009). Metodología y
Diseños en la Investigación Científica. Lima: Visión
Universitaria.
Tafur R. (1995). La tesis universitaria. Lima:
Mantaro.
De la Garza J., Morales B. & González B.
(2013). Análisis estadístico multivariable. México:
McGraw-Hill.
Downie, Norville M.Métodos estadísticos
aplicados. Nueva York: Har-per & Row, 1986.
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Escalas de Medición. Estadística

  • 1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO SEDE BARCELONA ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ESTADÍSTICA PROFESOR/TUTOR : ING. PEDRO BELTRÁN ESCALAS DE MEDICIÓN INTEGRANTE: JUAN CARLOS RENGEL C.I.:V-12.415.462 BARCELONA, OCTUBRE 2019
  • 2. INTRODUCCIÓN La medición es un proceso inherente y consustancial a toda investigación, sea ésta cualitativa o cuantitativa. Medimos principalmente variables y ello demanda considerar tres elementos básicos: el instrumento de medición, la escala de medición y el sistema de unidades de medición. La validez, consistencia y confiabilidad de los datos medidos dependen, en buena parte, de la escala de medición que se adopte. He ahí la importancia de profundizar en el tema de las escalas de medición.
  • 3. INTRODUCCIÓN La escalas de medición son una sucesión de medidas que permiten organizar datos en orden jerárquico, donde pueden ser clasificadas de acuerdo a una degradación de las características de las variables, por lo cuál ofrecen información sobre la clasificación de variables discretas o continuas, también más conocidas como escalas grandes o pequeñas. Toda vez que dicha clasificación determina la selección de la gráfica adecuada. Entonces las escalas son cuatro: Nominal, Ordinal, Intervalo y Razón o Proporción.
  • 4. ESCALA DE MEDICIÓN Escalas de medición son una sucesión de medidas que permiten organizar datos en orden jerárquico. Las escalas de medición, pueden ser clasificadas de acuerdo a una degradación de las características de las variables. Además las escalas de medición ofrecen información sobre la clasificación de variables discretas o continuas, también más conocidas como escalas grandes o pequeñas. Toda vez que dicha clasificación determina la selección de la gráfica adecuada.
  • 5. Escala nominal Consta de dos o más categorías mutuamente excluyentes. Si solo hay dos, se llama escala nominal dicotómica. A cada categoría se le suele asignar un número de código sin significado cuantitativo, lo que facilita su introducción en bases de datos. En cualquier situación, si se usa una codificación propia, debe tenerse claro lo que significa cada código para cada variable. TIPOS DE ESCALA DE MEDICIÓN
  • 6. Veamos algunos ejemplos: Sexo: (1) masculino; (2) femenino. Fumar: (0) no; (1) sí. Estado civil: (1), casado; (2), soltero; (3), viudo; (4), divorciado, Procedencia del ingreso: 1, urgencias; 2, consultas; 3, otro hospital. Dependiendo del programa que va a ser utilizado para el análisis, se prefiere codificar las variables nominales dicotómicas de forma que la presencia de enfermedad o del factor de exposición se suele codificar como uno (1), mientras que la ausencia de enfermedad o de exposición a algún factor como cero (0) o dos (2). TIPOS DE ESCALA DE MEDICIÓN
  • 7. Por ejemplo, el antecedente de hábito tabáquico puede codificarse como 1 y 0 (1: fumador; 0: no fumador) o como 1 y 2 (1: fumador; 2: no fumador). Aunque matemáticamente la presencia/ausencia de una característica se corresponde con la codificación 1-0, es frecuente usar la codificación 1-2, para evitar que variables vacías sean asignadas al 0 por error. TIPOS DE ESCALA DE MEDICIÓN
  • 8. TIPOS DE ESCALA DE MEDICIÓN Escala ordinal Las variables ordinales tienen la cualidad adicional, respecto a la escala nominal, de que sus categorías están ordenadas por rango; cada clase posee una misma relación posicional con la siguiente; es decir, la escala muestra situaciones escalonadas. Si se usan números, su única significación está en indicar la posición de las distintas categorías en la serie; sin embargo, no asumen que la distancia del primer escalón al segundo sea la misma que la del segundo al tercero.
  • 9. Veamos algunos ejemplos: Clase social: 1) baja, 2) media, 3) alta. Grados de reflujo vesicoureteral: grados 1, 2, 3, 4. Conformidad con una afirmación: 0) completo desacuerdo, 1) acuerdo parcial, 2) acuerdo total. Fumar: 0) no fumador, 1) fumador leve, <10/día; 2) fumador moderado, 10-20/día, y 3) gran fumador, >20/día). Existen escalas que serán mezcla de nominal y ordinal, porque solo algunas categorías estén ordenadas por rango; esto ocurre en las escalas en las que un valor representa a una categoría inclasificable (ejemplo: no sabe no contesta o resultado indeterminado). TIPOS DE ESCALA DE MEDICIÓN
  • 10. Escalas de intervalos Las escalas de intervalos poseen la cualidad adicional de que los intervalos entre sus clases son iguales. Diferencias iguales entre cualquier par de números de la escala indican diferencias también iguales en el atributo sometido a medición. Veamos un ejemplo: la diferencia de temperatura entre una habitación a 22 grados centígrados y otra a 26 es la misma que la existente entre dos a 33 y 37 grados centígrados, respectivamente. TIPOS DE ESCALA DE MEDICIÓN
  • 11. Sin embargo, la razón entre los números de la escala no es necesariamente la misma que la existente entre las cantidades del atributo. Ejemplo: una habitación a 20 grados no está el doble caliente que otra a 10. Ello se debe a que el cero de la escala no expresa el valor nulo o ausencia de atributo. TIPOS DE ESCALA DE MEDICIÓN
  • 12. Escalas de razones Su cualidad adicional es que el cero sí indica ausencia de atributo. En consecuencia, la razón entre dos números de la escala es igual a la existente entre las cantidades del atributo medido. Ejemplos: Peso: medido en kilogramos. Concentración de glucosa en una muestra: medida en mg/dl. Tasa de mortalidad: muertes por 1000 personas en riesgo. Ingresos: medidos en euros. TIPOS DE ESCALA DE MEDICIÓN
  • 13. Las escalas de intervalos y razones se llaman también métricas o dimensionales. Las variables continuas van a medirse con escalas de razones o intervalos, por lo que es habitual que nos refiramos a ellas englobándolas como escalas continuas, ya que comparten estrategias de análisis, como la elección del test estadístico. Algunos paquetes estadísticos, como SPSS, las denominan simplemente “escalas”. NOTA IMPORTANTE TIPOS DE ESCALA DE MEDICIÓN
  • 14. Cuando en la recogida de una variable continua (escala de razones o intervalos) no podemos recoger valores a partir de un límite (por ejemplo: cargas virales superiores a 100 000), si optamos por mantener esas observaciones en el análisis, la variable se comporta en ese rango como una variable ordinal. En la tabla 1 presentamos un resumen de las características de las diferentes escalas de medida. NOTA IMPORTANTE TIPOS DE ESCALA DE MEDICIÓN
  • 15. Tabla 1. Características de las diferentes escalas de medida de variables.
  • 16. PROPIDEDADES DE LA ESCALA DE MEDICIÓN Podemos resaltar como propiedades de las escalas de medición, las siguientes: Ordinales: • Las categorías de los datos son mutuamente excluyentes, es decir, un objeto o individuo debe pertenecer a una de las categorías. •Las categorías de datos están clasificadas u ordenadas de acuerdo con la característica especial que poseen.
  • 17. De intervalo: • Las categorías son mutuamente excluyentes y exhaustivas (exhaustiva: un individuo, objeto o medición debe pertenecer a una de las categorías). • Las categorías están ordenadas de acuerdo con la cantidad de características que posean. • Diferencias iguales en la característica están representadas por diferencias iguales en los números asignados a las categorías. PROPIDEDADES DE LA ESCALA DE MEDICIÓN
  • 18. De razón: • Las categorías son mutuamente excluyentes y exhaustivas (exhaustiva: un individuo, objeto o medición debe pertenecer a una de las categorías). • Las categorías están ordenadas de acuerdo con la cantidad de características que posean. • Diferencias iguales en la característica están representadas por diferencias iguales en los números asignados a las categorías. • El punto cero refleja la ausencia de esta característica. PROPIDEDADES DE LA ESCALA DE MEDICIÓN
  • 19. IMPORTANCIA Y APLICACIÓN DE LA ESCALAS DE MEDICIÓN EN LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA A continuación vamos a seguir avanzando en el desarrollo de este tema para eso debemos definir la escala de medición a utilizar para los datos de las variables que se van a recoger, ya que será de vital importancia para escoger los instrumentos estadísticos a utilizar para el análisis de datos. Para Sanchez y Reyes (2009), una escala de medición es la forma en que una variable va a ser medida o cuantificada; por otro lado Tafur (1995), considera a la escala como un instrumento de medición. Además es preciso tener en cuenta que la escala a utilizar depende de la naturaleza de los hechos o del fenómeno que se está estudiando. En otras palabras, es la naturaleza de la variable la que determina la escala a utilizar.
  • 20. IMPORTANCIA Y APLICACIÓN DE LA ESCALAS DE MEDICIÓN EN LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA La forma más conocida y que utilizamos a menudo está en las Medidas de Longitud, está en el empleo de una Regla o Cinta Métrica o cualquier instrumento que nos permita comparar en torno a lo que es una Unidad (en este caso, el Metro) el tamaño que ocupa una figura en el espacio, siendo entonces la medición la estimación de la Magnitud de algo siguiendo en cuenta lo que es el Patrón de Medición.
  • 21. IMPORTANCIA Y APLICACIÓN DE LA ESCALAS DE MEDICIÓN EN LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA Se podría afirmar entonces que la importancia de realizar una Medición sobre algo radica en la obtención de un Dato Desconocido en referencia a su comparación con un Dato Conocido, siendo el primero la característica inherente al objeto que será medido con el Instrumental de Medición adecuado, mientras que lo segundo es la Unidad de Medición que hemos empleado para realizar la comparación.
  • 22. IMPORTANCIA Y APLICACIÓN DE LA ESCALAS DE MEDICIÓN EN LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA Sin embargo, esta mensuración en muchas oportunidades no suele ser la misma, ya que puede existir un factor conocido como Margen de Error en el cual puede incurrir el operador que ha llevado a cabo dicha tarea, por lo que se suele realizar lo que es conocido como Medición Estadística siendo un valor promedio de todas las mediciones que hayan sido realizadas (es decir, se debe repetir la operación respetando las mismas condiciones del ámbito de trabajo).
  • 23. Esto además se complementa con el aporte de Ciencias Auxiliares que permiten realizar Mediciones Indirectas que derivan en la combinación de Unidades de Medición para obtener un valor específico, como en el caso de la Concentración donde se puede estimar si un compuesto se trata de una Solución Saturada o Insaturada en torno a una proporción de Volumen del Solvente con la cantidad de Soluto Pesado con anterioridad y que haya sido incorporado al sistema. IMPORTANCIA Y APLICACIÓN DE LA ESCALAS DE MEDICIÓN EN LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA
  • 24. CONCLUSIÓN En la investigación científica los fenómenos a explicar y por lo tanto a medir tienen como base, la teoría lo cuál juega un papel clave en la manera de establecer los elementos en el proceso de medición. Esta circunstancia obliga al investigador a conocer a profundidad la teoría que orienta su pregunta de investigación, es necesario, tener claridad en las relaciones que existen en sus constructos, para que pueda estar preparado para utilizar instrumentos de medición confiables y válidos.
  • 25. CONCLUSIÓN Así, el proceso de medición también, ha sido identificado como el procedimiento de relacionar conceptos abstractos con indicadores empíricos, lo cual involucra un proceso de clasificación y cuantificación de los datos o indicadores en términos de los conceptos teóricos que integran el diseño de la investigación. Para poder brindar mayor precisión a esta operación es que también se recurre a lo que son los Instrumentos de Medición, siendo aquellos el elemento auxiliar que permite la aplicación justamente de una Escala de Medición que consiste en la aplicación de una comparación respecto a un Valor Arbitrario que ha sido definido y considerado como válido por una comunidad científica en particular.
  • 26. Sánchez H. y Reyes C. (2009). Metodología y Diseños en la Investigación Científica. Lima: Visión Universitaria. Tafur R. (1995). La tesis universitaria. Lima: Mantaro. De la Garza J., Morales B. & González B. (2013). Análisis estadístico multivariable. México: McGraw-Hill. Downie, Norville M.Métodos estadísticos aplicados. Nueva York: Har-per & Row, 1986. BIBLIOGRAFÍA