PLAN LECTOR QUINTO 2023 educación primaria de menores Quinto grado
Alexis caldera
1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGIA
“ANTONIO JOSE DE SUCRE”
EXTENSION PUERTO LA CRUZ
BACHILLERES:
ALEXIS CALDERA
C.I. 19.853.437
ENERO DEL 2017
PROFESORA:
RANIELINA RONDON
2. INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES
1. Si el grado de P(x) no es menor que el de Q(x) se
deben dividir los polinomios para obtener la forma
apropiada.
2. Expresar Q(x) como un producto de factores lineales
aix+ b o formas cuadráticas irreducibles ax2+bx+c y
agrupar los factores repetidos para que Q(x) quede
expresado por un producto de factores distintos de la
forma (ax+b)m o bien (ax2+bx+c)n con m y n enteros no
negativos.
3. 𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)
=
𝑷 𝒙
𝒂 𝟏 𝒙 + 𝒃 𝟏 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 … (𝒂 𝒏 𝒙 + 𝒃 𝒏)
en donde todos los factores (ai + bi), i=1,2,…..,n
son distintos y el grado de P(x) es menor que n,
entonces existen constantes reales únicas C1, C2,
…..Cn tales que
𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)
=
𝑪 𝟏
𝒂 𝟏 𝒙 + 𝒃 𝟏
+
𝑪 𝟐
𝒂 𝟐 𝒙 + 𝒃 𝟐
+ ⋯ +
𝑪 𝒏
𝒂 𝒏 𝒙 + 𝒃 𝒏
Caso I. Factores lineales no repetidos
4. 1
𝑥+1
𝑥2−16
𝑑𝑥 Solución
Primero se observa que el denominador se puede factorizar como (x-4)(x+4)
para expresar el integrando de la forma:
𝑥 + 1
𝑥 − 4 (𝑥 + 4)
=
𝐴
𝑥 − 4
+
𝐵
𝑥 + 4
Sumando el segundo miembro:
𝑥 + 1
𝑥 − 4 (𝑥 + 4)
=
𝐴 𝑥 + 4 + 𝐵(𝑥 − 4)
𝑥 − 4 (𝑥 + 4)
Los denominadores son idénticos, (multiplica ambos miembros por (x+4)(x-4))
𝑥 + 1 = 𝐴 𝑥 + 4 + 𝐵(𝑥 − 4)
Se realizan las operaciones del segundo miembro
𝑥 + 1 = 𝐴 + 𝐵 𝑥 + (4𝐴 − 4𝐵)
Los coeficientes se igualan como se indica 1 = 𝐴 + 𝐵 1 = 4𝐴 − 4𝐵
Resolviendo las ecuaciones simultáneas para A y B A= 5/8 B=3/8
Sustituyendo los valores de A y B en la integral y resolviéndola:
𝑥 + 1
𝑥2 − 16
𝑑𝑥 =
5/8
𝑥 − 4
𝑑𝑥 +
3/8
𝑥 + 4
𝑑𝑥 =
5
8
𝑙𝑛 𝑥 − 4 +
3
8
𝑙𝑛 𝑥 + 4 + 𝐶
Ejemplo
5. Caso II. Factores lineales repetidos
𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)
=
𝑷(𝒙)
(𝒂𝒙 + 𝒃) 𝒏
En donde n>1 y el grado de P(x) es menor que n,
entonces pueden encontrar constantes reales únicas C1,
C2, …, Cn, tales que
𝑷(𝒙)
(𝒂𝒙 + 𝒃) 𝒏
=
𝑪 𝟏
𝒂𝒙 + 𝒃
+
𝑪 𝟐
(𝒂𝒙 + 𝒃) 𝟐
+ ⋯ .
𝑪 𝒏
(𝒂𝒙 + 𝒃) 𝒏
6. Ahora se resolverá una integral con factores lineales repetidos
𝑥2
+ 2𝑥 − 6
(𝑥 − 1)3
𝑑𝑥
Se descompone el integrando en fracciones parciales
𝑥2 + 2𝑥 − 6
(𝑥 − 1)3 =
𝐴
𝑥 − 1
+
𝐵
(𝑥 − 1)2 +
𝐶
(𝑥 − 1)3
Se suman los términos del segundo miembro para igualar denominadores y la
expresión queda:
𝑥2
+ 2𝑥 − 6 = 𝐴(𝑥 − 1)2
+𝐵(𝑥 − 1) + 𝐶
Se hacen las operaciones en el segundo miembro
𝑥2
+ 2𝑥 − 6 = 𝐴𝑥2
− 2𝐴𝑥 + 𝐴 + 𝐵𝑥 − 𝐵 + 𝐶
Se agrupan términos semejantes
𝑥2 + 2𝑥 − 6 = 𝐴𝑥2 + (−2𝐴 + 𝐵)𝑥 + 𝐴 − 𝐵 + 𝐶
Igualamos coeficientes para obtener los valores de A, B y C.
𝐴 = 1 𝐵 = 4 𝐶 = −3
Por último se integra con los valores encontrados
𝑥2 + 2𝑥 + 6
(𝑥 − 1)3
𝑑𝑥 =
𝑑𝑥
𝑥 − 1
+
4𝑑𝑥
(𝑥 − 1)2
+
−3𝑑𝑥
(𝑥 − 1)3
= 𝑙𝑛 𝑥 − 1 −
4
𝑥 − 1
+
3
2(𝑥 − 1)2
+ 𝐷
Ejemplo
7. Caso III. Factores Cuadraticos Irreducibles no repetidos
Se supone que el denominador de la función racional P(x) /Q(x) se
puede expresar como un producto de factores cuadráticos
irreducibles distintos 𝑎𝑖 𝑥2 + 𝑏𝑖 𝑥 + 𝑐𝑖, 𝑖 = 1,2 … 𝑛 si el grado de P(x)
es menor que 2n, es posible encontrar constantes reales únicas
A1, A2,…..An, B1,B2,…Bn, tales que
𝑷(𝒙)
𝒂 𝟏 𝒙 𝟐 + 𝒃 𝟏 𝒙 + 𝒄 𝟏 𝒂 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒙 + 𝒄 𝟐 … … (𝒂 𝒏 𝒙 𝟐 + 𝒃 𝒏 𝒙 + 𝒄 𝒏)
=
𝑨 𝟏 𝒙 + 𝑩 𝟏
𝒂 𝟏 𝒙 𝟐 + 𝒃 𝟏 𝒙 + 𝒄 𝟏
+
𝑨 𝟐 𝒙 + 𝑩 𝟐
𝒂 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒙 + 𝒄 𝟐
+ ⋯ +
𝑨 𝒏 𝒙 + 𝑩 𝒏
𝒂 𝒏 𝒙 𝟐 + 𝒃 𝒏 𝒙 + 𝒄 𝒏
