El documento describe conceptos clave del cálculo numérico y manejo de errores. Explica que el análisis numérico involucra el desarrollo de algoritmos para resolver problemas matemáticos con precisión determinada. También define conceptos como números de máquina, errores absolutos y relativos, fuentes de errores como truncamiento y redondeo, y condicionamiento, que mide la sensibilidad de un problema a cambios en los datos de entrada.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSION PORLAMAR
CALCULO NUMERICO Y MANEJO DE
ERRORES.
REALIZADO POR:
LUIS CAMPOS
C.I. 24695693
(43)

2. OBJETIVO TERMINAL Y OBJETIVOS ESPECIFICOS
Objetivo Terminal
Analizar la diferencia entre valor exacto y aproximado, los distintos tipos
de errores que se pueden cometer cuando se programa en un computador.
Objetivos Específicos
1- Definir análisis numérico.
2- Indicar la importancia de utilizar métodos numéricos.
3- Definir números de decimales y de máquinas.
4- Encontrar números decimales a partir de números máquina decimales en bits.
5- Definir error absoluto y error relativo.
6- Calcular errores absolutos y errores relativos.
7- Calcular cotas de errores absolutos y relativos.
8- Definir las fuentes básicas de errores.
9- Encontrar errores de redondeo y truncamiento.

3. CLACULOS NUMERICOS Y MANEJO DE ERRORES
El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del
todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de
describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas
matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión
determinada. En el contexto del cálculo numérico, un algoritmo es un procedimiento
que nos puede llevar a una solución aproximada de un problema mediante un número de
pasos finitos que pueden ejecutarse de manera lógica.
Desde esta perspectiva, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje
necesario para llevar a cabo todos los procedimientos matemáticos existentes en base a
algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando
números.
Los métodos Numéricos han jugado un papel fundamental en el desarrollo
tecnológico actual. Su aplicación va desde la economía a la industria aeroespacial. En
esta materia vamos a introducirlos al estudio y aplicación de las técnicas de esta
interesante disciplina. Hoy en día, las computadoras y los métodos
numéricos proporcionan una alternativa para cálculos complicados.
Número Máquina
Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base
2. El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que es de
base 2, la más pequeña posible.
Número Máquina Decimal
Son aquellos números cuya representación viene dada de la siguiente forma:
± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9
para cada i=2, 3, 4, ..., k;
Errores Absolutos y Relativos
Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar
observando su exactitud y precisión. La precisión se refiere a qué tan cercano está un
valor individual medido o calculado con respecto a los otros. Los métodos
numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los
requisitos de un problema en particular. Los errores numéricos se generan con el uso de
aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas.

4. El Error Absoluto es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado,
por ejemplo) y su valor calculado o redondeado, o sea el valor exacto menos el valor
calculado. Debido a que la ecuación se dio en términos del valor absoluto, el error
absoluto no es negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre se
incrementan juntos, sin reducirse.
Lo anteriormente expuesto es un hecho muy pesimista, dado que el redondeo y
otros errores rara vez están en la misma dirección, es posible que la suma ("algebraica")
de errores sea cero, con aproximadamente la mitad de los errores positiva y la otra mitad
negativa. Pero también es demasiado optimista esperar que errores con signo sumen
cero a menudo. Un enfoque realista es suponer que los errores, en especial el redondeo,
están estadísticamente distribuidos.
Fuentes Básicas de Errores
Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de
truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número
limitado de dígitos con que se representan los números en una PC (para comprender la
naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas en que se almacenan los
números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC). El Error de
Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del
modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener
modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento).
Error De Redondeo
El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de
máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada
número (real) se reemplaza por el número de máquina más cercano. Esto significa que
todos los números en un intervalo local están representados por un solo número en el
sistema numérico de punto flotante.
"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x10 n.
Armar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de
una serie).
Error De Truncamiento
"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x10 n.

5. Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante
de y, que se representará por fl (y), se obtiene terminando la mantisa de y en k cifras
decimales. Existen dos formas de llevar a cabo la terminación. Un método es
simplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2, . . . para obtener
fl (y)= 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
Errores De Una Suma Y Una Resta
En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en la
computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al épsilon de la
máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso. El análisis
que presentamos generaliza al problema del cálculo de productos interiores.
En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en
registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras
se llaman bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una
precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver
comprometida al restar cantidades casi iguales o la división de un número muy grande
entre un número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores
relativos y absolutos poco relevantes.
Estabilidad e Inestabilidad
La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios
en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la
incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método
numérico. Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se
producen en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan
seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto.
El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería decidirse con
base en los errores relativos, es decir investigar la inestabilidad o mal condicionamiento,
lo cual significa que un cambio relativamente pequeño en la entrada, digamos del
0,01%, produce un cambio relativamente grande en la salida, digamos del 1% o más.
Una fórmula puede ser inestable sin importar con qué precisión se realicen los cálculos.
Condicionamiento
Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para
indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de pequeños cambios
relativos en los datos de entrada. Un problema está mal condicionado si pequeños
cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas. Para ciertos

6. tipos de problemas se puede definir un número de condición: "Un número condicionado
puede definirse como la razón de los errores relativos".
Si el número de condición es grande significa que se tiene un problema mal
condicionado; se debe tomar en cuenta que para cada caso se establece un número de
condición, es decir para la evaluación de una función se asocia un número
condicionado, para la solución de sistemas de ecuaciones lineales se establece otro tipo
de número de condición; el número condicionado proporciona una medida de hasta qué
punto la incertidumbre aumenta.