Este documento presenta seis problemas matemáticos relacionados con figuras geométricas tridimensionales como cubos, hexágonos, tetraedros y paralelepípedos. El primer problema explica cómo calcular el área de un hexágono formado por la intersección de un plano perpendicular a la diagonal de un cubo. El segundo problema describe un teorema geométrico relacionado con planos paralelos a aristas opuestas de un tetraedro. El tercer problema prueba que un punto M dentro de un paralelepípedo es su baricentro

1. PROBLEMA 3.
El plano Z es perpendicular a la diagonal EC del cubo ABCDEFGH y, al
intersecarlo, determina el hexágono PQRSTU. ¿Cómo calculamos su área? (Fig.
1):
- En primer lugar, supongamos que el cubo tienen la arista con medida 푎 푢.
- En segundo lugar, la sección del cubo es un hexágono regular: todos su lados
miden la mitad de la diagonal de la cara del cubo. Ello se aprecia en la cara
FGCB, donde, por el teorema de los puntos medios aplicado al triángulo FBG (BG
diagonal de FGCB), PQ mide
푎√2
2
푢.
- Finalmente, calculamos el área del hexágono. Como este se puede
descomponer en seis triángulos regulares, basta con calcular el área de uno de
ellos y multiplicarla por 6. Hagamos ello en el triángulo MPQ. Su área se calcula

2. mediante la expresión
(푎√2
2
)
2
.√3
4
Sextuplicando el cociente obtenido, se tiene que el
área del hexágono es
3푎2√3
4
푢2 .
PROBLEMA 4.
Pensar en un plano paralelo a las aristas opuestas a AD y BC que corta a la
arista AB en M significa pensar en términos del siguiente teorema: sean L1 y L2
dos rectas alabeadas y S es un punto del espacio. Existe un único plano que
contiene a S y es paralelo a L1 y L2. Para obtenerlo, hay que trazar la paralela a
AD que pasa por M, así como la paralela a BC por M. El resultado se puede
apreciar en la siguiente figura (Fig. 2):

3. Como se puede apreciar, la sección formada por la intersección del plano
con el tetraedro es un cuadrilátero. “Arrastrando” el punto M podremos apreciar
que el cuadrilátero es un rectángulo y, mediante las herramientas de medida,
observaremos que en, cuando el punto M se encuentra en la mitad de AB, se tiene
un cuadrado. Por lo tanto, en ningún momento se forma un rombo.
PROBLEMA 5.
Sea el paralelepípedo ABCDEFGH.
1º) Hay que probar que EM = MC y AM = MG.
EC y AG determinan un plano que, al intersecarse con el paralelepípedo
forma el paralelogramo EGAC. Luego, todo se reduce a probar que las diagonales
del paralelogramo se cortan en su punto medio. Mediante el teorema ALA de
congruencia de triángulos, EA = GC, ángulo EAG = ángulo AGC, ángulo AEC =
ángulo ECG (ángulos alternos internos). Por lo tanto los triángulos AEM y CGM
son congruentes. Luego, EM = MC y AM = MG.
2º) De forma análoga se procede en el plano determinado por HB y DG (hay que
probar que HM = MB y DM = MF).
Con ello, queda probado que M es el baricentro del paralelepípedo
ABCDEFGH.

4. PROBLEMA 6.
Sean AB y BD dos aristas opuestas del tetraedro ABCD, así como E y G sus
puntos medios, respectivamente.