diagonalizacion de matrices

1. ALGEBRA LINEAL
DOCENTE: MARCO ANTONIO LA TORRE VILCA 2021-II
Universidad Tecnológica de los Andes
EAP: Ingeniería Civil
Diagonalizacion de Matrices

2. Diagonalizacion de Matrices
Matrices semejantes (similares)
Definición
Se dice que una matriz 𝐵 es semejante o
similar a una matriz 𝐴, si existe una matriz
no singular 𝑃, tal que
𝐵 = 𝑃−1𝐴𝑃
Ejemplo 1
Sea 𝐴 =
1 1
−2 4
determine la matriz
semejante a 𝐴.
Solución
Sea: 𝑃 =
1 1
1 2
→ 𝑃−1 =
2 −1
−1 1
Entonces
𝐵 =
2 −1
−1 1
1 1
−2 4
1 1
1 2
=
2 −1
−1 1
2 3
2 6
=
2 0
0 3
Por lo tanto 𝐵 =
2 0
0 3
es semejante a 𝐴.
Teorema
Sean 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝐾𝑛, entonces.
1) 𝐴 es semejante a 𝐴
2) si 𝐴 es semejante a 𝐵, entonces 𝐵 es
semejante a 𝐴
3) si 𝐴 es semejante a 𝐵 y 𝐵 es semejante a
𝐶, entonces 𝐴 es semejante a 𝐶.
Definición
Decimos que la matriz 𝐴 es diagonalizable si
es semejante a la matriz diagonal. En este
caso, también decimos que 𝐴 puede
diagonalizarse.
Teorema
Matrices semejantes tienen los mismos
valores propios.

3. Prueba
Sean 𝐴 𝑦 𝐵 matrices semejantes, entonces
𝐵 = 𝑃−1𝐴𝑃 para alguna matriz no singular 𝑃.
Debemos demostrar que 𝑃𝐴 𝜆 = 𝑃𝐵(𝜆) ,
tenemos
𝑃𝐵 𝜆 = det 𝜆𝐼𝑛 − 𝐵
= 𝑑𝑒𝑡 𝜆𝐼𝑛 − 𝑃−1𝐴𝑃
= 𝑑𝑒𝑡 𝑃−1𝜆𝐼𝑛𝑃 − 𝑃−1𝐴𝑃
= 𝑑𝑒𝑡 𝑃−1 𝜆𝐼𝑛 − 𝐴 𝑃
= 𝑑𝑒𝑡 𝑃−1 𝑑𝑒𝑡 𝜆𝐼𝑛 − 𝐴 𝑑𝑒𝑡 𝑃
= 𝑑𝑒𝑡 𝑃−1 𝑑𝑒𝑡 𝑃 𝑑𝑒𝑡 𝜆𝐼𝑛 − 𝐴
= 𝑑𝑒𝑡 𝜆𝐼𝑛 − 𝐴 = 𝑃𝐴 𝜆
Como 𝑃𝐴 𝜆 = 𝑃𝐵(𝜆), resulta que 𝐴 𝑦 𝐵 tienen
los mismos valores propios.
Teorema
Una matriz 𝐴 ∈ 𝐾𝑛 es diagonalizable si y solo
si tiene n vectores propios linealmente
independientes.
Ejemplo 2
Sea 𝐴 =
1 1
−2 4
, cuyos vectores propios son
𝑣1 =
1
1
y 𝑣2 =
1
2
, decir si A es
diagonalizable.
Solución
Para que 𝐴 sea diagonalizable entonces
𝑣1 𝑦 𝑣2 deben ser LI.
𝑐1
1
1
+ 𝑐2
1
2
=
0
0
1 1 0
1 2 0
𝐹2 − 𝐹1
1 1 0
0 1 0
𝐹1 − 𝐹2
1 0 0
0 1 0
Entonces 𝑐1 = 𝑐2 = 0, por lo tanto 𝑣1 𝑦 𝑣2
son LI.

4. Ejemplo 3
Sea 𝐴 =
4 2
3 3
, 𝐴 es diagonalizable en caso
cierto hallar la matriz diagonal
Solución
𝑃 𝜆 =
𝜆 − 4 −2
−3 𝜆 − 3
= 𝜆 − 4 𝜆 − 3 − 6 = 0
𝜆2 − 7𝜆 + 6 = 0 𝜆 − 6 𝜆 − 1 = 0
Entonces 𝜆1 = 1, 𝜆2 = 6
Hallando sus vectores propios se tiene:
Para 𝜆1 = 1
−3 −2
−3 −2
𝑥
𝑦 =
0
0
−3 −2 0
−3 −2 0
𝐹2 − 𝐹1
−3 −2 0
0 0 0
En la fila 1 se tiene −3𝑥 − 2𝑦 = 0 𝑥 = −
2
3
𝑦
𝑥
𝑦 = −
2
3
𝑦
𝑦
= −
𝑦
3
2
−3
𝑣1 =
2
−3
Para 𝜆2 = 6
2 −2
−3 3
𝑥
𝑦 =
0
0
2 −2 0
−3 3 0
𝐹2 +
3
2
𝐹1
2 −2 0
0 0 0
En la fila 1 se tiene: 2𝑥 − 2𝑦 = 0 𝑥 = 𝑦
𝑥
𝑦 =
𝑦
𝑦 = 𝑦
1
1
𝑣2 =
1
1
Veremos si 𝑣1 𝑦 𝑣2 son LI
𝑐1
2
−3
+ 𝑐2
1
1
=
0
0
2 1 0
−3 1 0
𝐹2 + 𝐹1
2 1 0
−1 2 0
−𝐹2
𝐹12
1 −2 0
2 1 0
𝐹2 − 2𝐹1

5. 1 −2 0
0 5 0
1
5
𝐹2
1 −2 0
0 1 0
𝐹1 + 2𝐹2
1 0 0
0 1 0
Entonces 𝑐1 = 𝑐2 = 0 por lo tanto 𝑣1 𝑦 𝑣2 son LI
Por lo tanto, A es diagonalizable
𝑃 =
2 1
−3 1
2 1
−3 1
1 0
0 1
−𝐹2
𝐹12
3 −1
2 1
0 −1
1 0
𝐹1 − 𝐹2
1 −2
2 1
−1 −1
1 0
𝐹2 − 2𝐹1
1 −2
0 5
−1 −1
3 2
1
5
𝐹2
1 −2
0 1
−1 −1
Τ
3 5 Τ
2 5
𝐹1 + 2𝐹2
1 0
0 1
Τ
1 5 − Τ
1 5
Τ
3 5 Τ
2 5
Entonces 𝑃−1 =
Τ
1 5 − Τ
1 5
Τ
3 5 Τ
2 5
𝑃−1𝐴𝑃 =
Τ
1 5 − Τ
1 5
Τ
3 5 Τ
2 5
4 2
3 3
2 1
−3 1
Τ
1 5 − Τ
1 5
Τ
3 5 Τ
2 5
2 6
−3 6
=
1 0
0 6
Teorema
Si todas las raíces del polinomio característico
de una matriz 𝐴 ∈ 𝐾𝑛 son distintas (es decir si
todas son diferentes entre si), 𝐴 es
diagonalizable.
Diagonalizacion de matrices simétricas
Teorema
Todas las raíces del polinomio característico
de una matriz simétrica son números reales.
Teorema
Si 𝐴 es una matriz simétrica, los vectores
propios correspondientes a valores propios
distintos de 𝐴 son ortogonales.
Definición

6. Una matriz no singular 𝐴 es una matriz
ortogonal si:
𝐴−1 = 𝐴𝑇
También podemos decir que una matriz no
singular 𝐴 es ortogonal si 𝐴𝑇𝐴 = 𝐼𝑛
Teorema
La matriz 𝐴 ∈ 𝐾𝑛 es ortogonal si y solo si las
columnas y las filas forman un conjunto
ortonormal de vectores en 𝑅𝑛
Teorema
Si 𝐴 ∈ 𝐾𝑛 es una matriz simétrica, entonces
existe una matriz ortogonal 𝑃 tal que 𝑃−1𝐴𝑃 =
𝐷 , es una matriz diagonal. Los valores
propios de 𝐴 están sobre la diagonal principal
de 𝐷.
Teorema
Una matriz 𝐴 ∈ 𝐾𝑛 es ortogonalmente
diagonalizable si y solo si es simétrica.
Ejemplo 1
Dada la matriz simétrica 𝐴 =
0 0 −2
0 −2 0
−2 0 3
.
Diagonalice la matriz 𝐴.
Solución
Hallando loa valores propios
𝑃 𝜆 =
𝜆 0 2
0 𝜆 + 2 0
2 0 𝜆 − 3
= 𝜆 𝜆 + 2 𝜆 − 3 − 4 𝜆 + 2
𝑃 𝜆 = 𝜆 + 2 𝜆2 − 3𝜆 − 4 = 𝜆 + 2 𝜆 − 4 𝜆 + 1 = 0
Entonces: 𝜆1 = −2, 𝜆2 = −1, 𝜆3 = 4
Para 𝜆1 = −2
−2 0 2
0 0 0
2 0 −5
𝑥
𝑦
𝑧
=
0
0
0
−2 0 2 0
0 0 0 0
2 0 −5 0
−
1
2
𝐹1
1 0 −1 0
0 0 0 0
2 0 −5 0
𝐹3 − 2𝐹1

7. 1 0 −1 0
0 0 0 0
0 0 −3 0
−
1
3
𝐹3
1 0 −1 0
0 0 0 0
0 0 1 0
De la tercera fila 𝑧 = 0
De la primera fila 𝑥 − 𝑧 = 0, entonces 𝑥 = 0
𝑥
𝑦
𝑧
=
0
𝑦
0
= 𝑦
0
1
0
→ 𝑣1 =
0
1
0
Para 𝜆2 = −1
−1 0 2
0 1 0
2 0 −4
𝑥
𝑦
𝑧
=
0
0
0
−1 0 2 0
0 1 0 0
2 0 −4 0
− 𝐹1
1 0 −2 0
0 1 0 0
2 0 −4 0
𝐹3 − 2𝐹1
1 0 −2 0
0 1 0 0
0 0 0 0
De la primera fila 𝑥 − 2𝑧 = 0 → 𝑥 = 2𝑧
De la segunda fila 𝑦 = 0
𝑥
𝑦
𝑧
=
2𝑧
0
𝑧
= 𝑧
2
0
1
→ 𝑣2 =
2
0
1
Para 𝜆3 = 4
4 0 2
0 6 0
2 0 1
𝑥
𝑦
𝑧
=
0
0
0
4 0 2 0
0 6 0 0
2 0 1 0
1
2
𝐹3
𝐹13
1 0 Τ
1 2 0
0 6 0 0
4 0 2 0
𝐹3 − 4𝐹1
1
6
𝐹2
1 0 Τ
1 2 0
0 1 0 0
0 0 0 0
De la primera fila 𝑥 + 1
2
𝑧 = 0 → 𝑧 = −2𝑥
De la segunda fila 𝑦 = 0

8. 𝑥
𝑦
𝑧
=
𝑥
0
−2𝑥
= 𝑥
1
0
−2
→ 𝑣3 =
1
0
−2
Por lo tanto
𝑃 =
0 2 1
1 0 0
0 1 −2
Hallando su inversa
0 2 1 1 0 0
1 0 0 0 1 0
0 1 −2 0 0 1
𝐹12
1 0 0 0 1 0
0 2 1 1 0 0
0 1 −2 0 0 1
𝐹23
1 0 0 0 1 0
0 1 −2 0 0 1
0 2 1 1 0 0
𝐹3 − 2𝐹2
1 0 0 0 1 0
0 1 −2 0 0 1
0 0 5 1 0 −2
1
5
𝐹3
1 0 0 0 1 0
0 1 −2 0 0 1
0 0 1 Τ
1 5 0 − Τ
2 5
𝐹2 + 2𝐹3
1 0 0 0 1 0
0 1 0 Τ
2 5 0 − Τ
1 5
0 0 1 Τ
1 5 0 − Τ
2 5
𝑃−1 =
0 1 0
Τ
2 5 0 − Τ
1 5
Τ
1 5 0 − Τ
2 5
Entonces
𝐷 = 𝑃−1𝐴𝑃
𝐷 =
0 1 0
Τ
2 5 0 − Τ
1 5
Τ
1 5 0 − Τ
2 5
0 0 −2
0 −2 0
−2 0 3
0 2 1
1 0 0
0 1 −2
0 1 0
Τ
2 5 0 − Τ
1 5
Τ
1 5 0 − Τ
2 5
0 −2 4
−2 0 0
0 −1 −8
=
−2 0 0
0 −1 0
0 0 4
Otra forma de Diagonalizar es:
Como 𝑣1 ∙ 𝑣2 =
0
1
0
∙
2
0
1
= 0 + 0 + 0 = 0
𝑣2 ∙ 𝑣3 =
2
0
1
∙
1
0
−2
= 2 + 0 − 2 = 0

9. 𝑣1 ∙ 𝑣3 =
0
1
0
∙
1
0
−2
= 0 + 0 + 0 = 0
Normalizando estos vectores se tiene:
𝑢1 =
0
1
0
, 𝑢1 =
Τ
2 5
0
Τ
1 5
, 𝑢1 =
Τ
1 5
0
− Τ
2 5
Entonces
𝑃 =
0 Τ
2 5 Τ
1 5
1 0 0
0 Τ
1 5 − Τ
2 5
→ 𝑃𝑇 =
0 1 0
Τ
2 5 0 Τ
1 5
Τ
1 5 0 − Τ
2 5
Por lo tanto
𝐷 = 𝑃𝑇𝐴𝑃
0 1 0
Τ
2 5 0 Τ
1 5
Τ
1 5 0 − Τ
2 5
0 0 −2
0 −2 0
−2 0 3
0 Τ
2 5 Τ
1 5
1 0 0
0 Τ
1 5 − Τ
2 5
=
0 1 0
Τ
2 5 0 Τ
1 5
Τ
1 5 0 − Τ
2 5
0 − Τ
2 5 Τ
4 5
−2 0 0
0 − Τ
1 5 − Τ
8 5
=
−2 0 0
0 −1 0
0 0 4
Ejemplo 2
Sea 𝐴 =
2
3
−2
3
1
3
2
3
1
3
−2
3
1
3
2
3
2
3
, ¿ 𝐴 es una matriz
ortogonal?
Solución
2
3
2
3
1
3
−
2
3
1
3
2
3
1
3
−
2
3
2
3
2
3
−
2
3
1
3
2
3
1
3
−
2
3
1
3
2
3
2
3
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1

10. Por lo tanto la matriz 𝐴 es ortogonal.