Gestion de calidad

Este libro trata de las nociones básicas de la ges-
tión de la calidad y de algunas técnicas estadísticas
útiles en el contexto de la ingeniería en organización
industrial. Presenta las tendencias actuales sobre
gestión de la calidad, incluyendo los modelos más
comunes: el Malcolm Baldrige Award, el European
Quality Award de la EFQM y las normas de la se-
rie ISO 9000. Proporciona la metodología y la for-
mulación estadística para poder diseñar planes de
muestreo de recepción de materiales, construir grá-
ﬁcos de control, realizar estudios de capacidad de
un proceso y estudios de control de los equipos de
medida. La terminología empleada es la que propo-
ne la International Organization for Standardization
(ISO), el organismo internacional de normalización
(v. ISO 9000). Aunque su orientación es industrial,
muchas de las cuestiones que se abordan en este
libro también son válidas para empresas de servi-
cios e incluso para la Administración pública.
Eulàlia Gríful es Doctora en Matemáticas por la Uni-
versitat de Barcelona (UB). Es profesora del Depar-
tamento de Estadística e Investigación Operativa
de la Escola Tècnica Superior d’Enginyeria Indus-
trial de Terrassa (ETSEIT) de la UPC. Actualmente
es subdirectora de Innovación Académica en la ET-
SEIT y responsable de los estudios semipresencia-
les de gestión de la calidad. Colabora en los progra-
mas de doctorado del Departamento de Estadística
e Investigación Operativa, en el Máster de Calidad
en la Empresa y en el programa de posgrado Seis
Sigma de la UPC. Ha trabajado como consultora de
gestión de la calidad en el Departamento de Toxi-
cología Medioambiental de la UPC y en el Institut
Català de Tecnologia (ICT).
Miguel Á. Canela es Doctor en Matemáticas por la
UB. Ha trabajado como profesor en el Departamen-
to de Matemática Aplicada y Análisis de dicha Uni-
versidad desde 1976. Ha colaborado como profesor
en los programas de doctorado de la Universitat
Pompeu Fabra y del IESE, y como consultor de ges-
tión de la calidad en el ICT.
Ambos autores han colaborado, en los últimos diez
años, en proyectos de asesoramiento y formación
en gestión de la calidad en empresas industriales
de Cataluña.
85
GestióndelacalidadE.Griful-M.Á.Canela
AULA POLITÈCNICA
/ ORGANIZACIÓN DE EMPRESAS
Eulàlia Griful Ponsati
Miguel Ángel Canela Campos
Gestión de la calidad
EDICIONS UPC
9 788483 017913

AULA POLITÈCNICA
/ ORGANIZACIÓN DE EMPRESAS
EDICIONS UPC
Eulàlia Griful Ponsati
Miguel Ángel Canela Campos
Gestión de la calidad

Primera edición: septiembre de 2002
Reimpresión: septiembre de 2005
Diseño de la cubierta: Jordi Calvet
© Los autores, 2002
© Edicions UPC, 2002
Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL
Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona
Tel. 93 401 68 83 Fax 93 401 58 85
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La Cup. Gran Capità s/n, 08034 Barcelona
Depósito legal: B-35993-2002
ISBN: 84-8301-791-1
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dimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella
mediante alquiler o préstamo públicos.

Este libro trata de las nociones básicas de la gestión de la
calidad y de algunas técnicas estadísticas útiles en el con-
texto de la ingeniería en organización industrial.
Presenta las tendencias actuales sobre gestión de la calidad,
incluyendo los modelos más comunes: el Malcolm Baldrige
Award, el European Quality Award de la EFQM y las normas
de la serie ISO 9000.
Proporciona la metodología y la formulación estadística para
poder diseñar planes de muestreo de recepción de materia-
les, construir gráficos de control, realizar estudios de capaci-
dad de un proceso y estudios de control de los equipos de
medida.
La terminología empleada es la que propone la International
Organization for Standardization (ISO), el organismo interna-
cional de normalización (v. ISO 9000). Aunque su orientación
es industrial, muchas de las cuestiones que se abordan en
este libro también son válidas para empresas de servicios e
incluso para la Administración pública.

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Módulo 2.Planes de muestreo 55
Módulo 2. Planes de muestreo
Capítulo 1. Introducción
Capítulo 2. Inspección por atributos
2.1 Planes de muestreo
2.2 Curva característica
2.3 Inspección con rectificación
Capítulo 3. Tablas de muestreo por atributos
3.1 Tablas de muestreo
3.2 Sistema MIL-STD-105
3.3 Sistema ISO 2859-2
3.4 Otras tablas de muestreo
ANEXO A3. Cálculo de probabilidades de aceptación
ANEXO A4. Caso práctico
ANEXO A5. Ejemplos numéricos

56 Gestión de la calidad
1. INTRODUCCIÓN
El propósito de este módulo es familiarizar al lector con los sistemas de muestreo para la inspección
de hardware. En la terminología normalizada (ISO), el término hardware designa cualquier producto
formado por unidades que no pueden dividirse ni unirse. Estas unidades se inspeccionan para verifi-
car que cumplen unos requisitos de calidad, que se han especificado de forma que cada unidad
puede ser cumplirlos o no independientemente de las otras. Cuando una unidad cumple estos requisi-
tos, decimos que es conforme.
Una no conformidad es cualquier aspecto de una unidad del producto que hace que no cumpla al-
guno de los requisitos, y, por tanto, que sea no conforme. Como normalmente los requisitos afectan a
más de una característica del producto, hay no conformidades de varios tipos, y a veces una unidad
puede presentar varias no conformidades del mismo tipo. Por ejemplo, un requisito de calidad de un
tapón para un frasco de perfume puede ser que no se observe en él ninguna raya, pero un tapón no
conforme puede presentar una o varias rayas. Se usa aquí, como es costumbre en la literatura del
control de la calidad, la expresión no conformidad, evitando expresamente el término defecto, más
habitual en el lenguaje ordinario, pero que implica cierta subjetividad. Un producto puede así tener
requisitos distintos para clientes distintos, pudiendo cumplir los de un cliente y no los del otro, inde-
pendientemente de que consideremos que tiene “defectos''.
Los métodos que se comentan en este texto se aplican para tomar decisiones sobre la aceptación o
el rechazo de conjuntos (en general grandes) de unidades de un producto, propio o ajeno. El conjun-
to aceptado o rechazado se llama lote, y, en general, ha sido producido en condiciones estables, de
forma que se puede suponer en él cierta homogeneidad, y tiene sentido aceptarlo o rechazarlo glo-
balmente. En este contexto, se llama productor a quien suministra el lote sobre el cual se ha de de-
cidir y consumidor a quien realiza la inspección para tomar la decisión de aceptar o no el lote.
Debe tenerse en cuenta que la inspección, por sí misma, no influye sobre la calidad del producto, que
es consecuencia de la fabricación. En la inspección para la aceptación o rechazo de lotes se trata
simplemente de recoger datos a partir de los cuales se toma una decisión, no habiendo posibilidad de
mejora en el caso de que ésta sea negativa. Su objetivo no es evaluar la calidad del lote, sino decidir
si se acepta o no.
En general, el muestreo es la selección de una parte o muestra dentro de un conjunto o población.
La expresión inspección por muestreo se refiere a la inspección que se limita a una muestra extraí-
da de un lote, a partir de cuyos resultados se decide la aceptación o rechazo de la totalidad. En el
contexto de la inspección por muestreo, la población es, a veces, el lote que se acepta o rechaza, y,
otras veces, el conjunto de la producción del proveedor.
Cuando la inspección consiste en la medición de una característica medible, que varía de forma con-
tinua, como la longitud, el grosor, el peso, etc., se habla de inspección por variables. La aceptación o
rechazo de un lote se basa en la media y la desviación típica de los valores que toma esa caracterís-
tica en las unidades inspeccionadas. En la inspección por atributos, en cambio, consiste en exami-
nar si la unidad que se inspecciona presenta o no disconformidades, como agujeros, rayas, abolla-
duras, etc. Entonces, la aceptación o rechazo se basa en la cantidad de no conformidades halladas
en la muestra. En general, en la inspección por variables se trabaja con muestras menores, el coste
de la inspección es menor. No obstante, los métodos de muestreo por variables presuponen la vali-
dez de determinadas hipótesis estadísticas, lo que, en general, es poco realista. En la práctica, la
inspección por muestreo se realiza casi siempre por atributos.
En este módulo nos limitamos a la inspección por atributos. Se describen con algún detalle los méto-
dos de la norma ISO 2859 (atributos). En cuanto al resto de métodos de muestreo que se mencionan,
nos limitamos a un breve comentario.

La referencia básica sobre la inspección por muestreo es Schilling (1982), que cubre casi todos los
métodos. Duncan (1986) y Wadsworth et al. (1986) tratan el control de la calidad en general, y en
particular los planes de muestreo. En la bibliografía se han incluido algunas referencias que pueden
ser útiles para el lector que esté interesado en otros métodos, como las reglas skip-lot, o el muestreo
continuo.

2. INSPECCIÓN POR ATRIBUTOS
2.1 Planes de muestreo
En la inspección por atributos se supone definido un criterio inequívoco para determinar la conformi-
dad de las unidades del producto, y, en ella, la aceptación o rechazo del lote resulta del número de
unidades no conformes halladas en la muestra inspeccionada. En algunos casos, no obstante, una
misma unidad puede presentar varias no conformidades, por lo que la aceptación o rechazo del lote
se decide en función del número total de no conformidades halladas en la muestra. Ambos problemas
se tratan igual en los planes de muestreo. Designamos por p el porcentaje de unidades no confor-
mes, o porcentaje no conforme, aunque todo lo que se dice se puede aplicar a la situación en que p
designa el número de no conformidades por 100 unidades, sin más que pequeños cambios de
terminología.
A menudo, en el control de la calidad se distingue entre no conformidades más y menos graves, y se
considera razonable una mayor permisividad para las de menor gravedad. La norma MIL-STD-105,
por ejemplo, distingue entre no conformidades críticas, mayores y menores, y en la ISO 2859-1, entre
las de clase A y clase B (se puede ampliar la clasificación añadiendo la clase C). A veces se inspec-
cionan muestras distintas que pueden tener distinto número de unidades para aplicar distintos crite-
rios de aceptación, referidos a distintos tipos de no conformidad, aunque es poco frecuente. Normal-
mente los distintos tipos de no conformidad se examinan en una misma muestra, a la que se aplican
varios criterios de aceptación diferentes.
La inspección por muestreo se lleva a cabo siguiendo planes de muestreo. Un plan de muestreo
consta de dos partes:
• Instrucciones sobre cómo extraer la muestra
• Criterio para aceptar o rechazar un lote según los resultados obtenidos
Un plan de muestreo por atributos indica el número de unidades de cada lote que se tienen que ins-
peccionar, que es el tamaño de la muestra, designado habitualmente por n, y el criterio para aceptar
o rechazar el lote, que habitualmente se concreta en el número de aceptación (Ac) y el número de
rechazo (Re). Si el número de unidades no conformes no supera Ac, se acepta el lote. Al alcanzar
Re, se rechaza.
Se puede distinguir entre distintos tipos de planes de muestreo. En los planes simples, que son los
más usados, sólo se inspecciona una muestra. El plan especifica el tamaño de muestra y el criterio de
aceptación. En los planes dobles, se inspecciona una muestra y, en función del resultado, se acepta
el lote, se rechaza o se inspecciona otra muestra. El plan especifica el tamaño y el criterio de acepta-
ción y rechazo para cada muestra. El criterio de aceptación para la segunda muestra se refiere a la
unión de ambas muestras.
Ejemplo 1
El esquema de funcionamiento de un plan de muestreo simple ( n1=50 c1=1) sería:

Se inspecciona una muestra aleatoria de n1=50 uni-
dades de un lote y se observan d1 no conformida-
des
Si d1≤c1=1 Si d1c1=1
Ejemplo 2
El esquema de funcionamiento de un plan de muestreo doble (n1=50 c1=1 n2=100 c2=3) sería:
Se inspecciona una primera muestra aleatoria de
n1=50 unidades de un lote y se observan d1 no
conformidades
Si d1≤c1=1 Si d1c2=3
Si 2 ≤d1 ≤ 3
Se inspecciona una segunda muestra aleatoria
de n1=100 unidades de un lote y se observan d2
no conformidades
Si d1+d2≤c2=3 Si d1+d2c2=3
En general, se dice que un plan de muestreo es más eficiente que otro cuando consigue objetivos
similares con menor esfuerzo de inspección. Mediante cálculos basados en argumentos de tipo pro-
babilístico, se puede probar que los planes dobles son más eficientes que los simples.
En los planes múltiples se sigue un procedimiento similar, pero el número de muestras adicionales
que se pueden tomar después de la primera es mayor que 1, típicamente 5 o 6. Después de cada una
de las muestras sucesivas se realiza la misma discusión: si se cumple el criterio de aceptación, se
interrumpe el muestreo y se acepta el lote; si se cumple el de rechazo, se rechaza, y, si no se cumple
ninguno de ambos, se extrae una nueva muestra hasta llegar al número máximo de muestras autori-
zado en el plan. Los planes múltiples son más eficientes que los dobles.
RECHAZAMOS
EL LOTE
ACEPTAMOS
EL LOTE
RECHAZAMOS
EL LOTE
ACEPTAMOS
EL LOTE
RECHAZAMOS
EL LOTE
ACEPTAMOS
EL LOTE

Los planes secuenciales son el caso límite de los planes múltiples porque en ellos no hay un núme-
ro máximo de muestras a inspeccionar. Las unidades se inspeccionan una a una y después de cada
inspección se decide si se acepta el lote, se rechaza o se continúa la inspección. Estos planes son
más eficientes que los anteriores, aunque se usan poco. McWilliams (1989) es una monografía sobre
el tema.
En los cálculos que dan las probabilidades de aceptación de los planes de muestreo que se encuen-
tran en la literatura sobre la inspección por muestreo se acepta, en general, una de las dos hipótesis
siguientes:
• La muestra se extrae aleatoriamente, es decir, de modo que todas las muestras son igualmente
probables, y las distintas unidades del lote tienen la misma probabilidad de entrar en la muestra.
Este supuesto se hace cuando se quiere aplicar un plan de muestreo para tomar una decisión
sobre un lote aislado, por ejemplo en el sistema ISO 2859-2/A (v. Capítulo 3). En los cálculos se
usa la distribución hipergeométrica, o la distribución binomial cuando el lote es mucho mayor
que la muestra (v. Anexo A3). En la práctica, el muestreo aleatorio se da poco y, en muchas oca-
siones, es físicamente imposible. Para efectuar un muestreo que realmente fuese aleatorio se
deberían numerar todas las unidades que integran el lote y seleccionar las que componen la
muestra usando una tabla de números aleatorios, extraída de un libro de estadística o generada
por un ordenador (por ejemplo, en una hoja Excel). En la mayoría de los casos, una inspección
que involucre semejante complicación tiene un coste prohibitivo.
• Las disconformidades aparecen de modo aleatorio, y el lote que se inspecciona es homogéneo
en el sentido de que el porcentaje no conforme puede considerarse el mismo en las distintas par-
tes del lote. En este caso no tiene importancia la forma en que se extraiga la muestra. En el sis-
tema MIL-STD-105 (v. Capítulo 3) se supone que la inspección se aplica a lotes de un proveedor
con un proceso de producción estable, de forma que la probabilidad de extraer una unidad no
conforme es siempre la misma, no sólo dentro del mismo lote, sino también en lotes distintos. En
los cálculos se supone que la población de la que se extrae la muestra es infinita (toda la produc-
ción del proveedor) y se usa la distribución binomial.
En general, estas hipótesis son poco realistas y, por consiguiente, las probabilidades de aceptación
que se hallan en la literatura sobre inspección por muestreo deben considerarse a título indicativo.
2.2 Curva característica
En un plan de muestreo, la curva característica o curva OC (operating characteristic curve) es una
función (o una curva, si la representamos gráficamente) que da la probabilidad de aceptación Pa de
un lote en términos de p. La probabilidad de aceptación se calcula, bajo una de las dos hipótesis co-
mentadas en la sección anterior, usando alguna de las fórmulas del Apéndice A3. Las curvas elabo-
radas bajo el primero de los supuestos, el del muestreo aleatorio en una población finita, se llaman
curvas de tipo A, y las que se basan en el supuesto del muestreo en una población infinita homogé-
nea, curvas de tipo B. Esta distinción desaparece, a efectos prácticos, cuando el lote es mucho ma-
yor que la muestra. Sea cual sea el método de cálculo, la probabilidad de aceptación decrece al au-
mentar p. En general, la curva característica tiene forma de S invertida.
El nivel de calidad aceptable es el porcentaje no conforme que se considera aceptable en la inspec-
ción. Se designa por AQL (acceptable quality level). El AQL es una indicación que se da al productor,
y depende de criterios económicos y técnicos. Al usar este parámetro, es importante tener bien claro
lo que significa, ya que, de lo contrario, puede generar expectativas sin fundamento. El AQL puede
ser cualquier valor de p para el cual la probabilidad de aceptación sea muy alta (en general superior
al 90%). Por consiguiente, podemos asignar distintos valores de AQL a un mismo plan. Por ejemplo,
si en un plan de muestreo la probabilidad de aceptación de un lote con p = 2% es aproximadamente
igual al 95%, podemos asignar a este plan AQL = 2%, pero también AQL = 1,5%, o AQL = 2,25%, etc.

La calidad límite es el porcentaje no conforme máximo que se considera aceptable en la inspección.
Se designa por LQ (limiting quality), LQL (limiting quality level), RQL (rejectable quality level) o LTPD
(lot tolerance percent defective). El significado de la LQ en un plan de muestreo es similar al del AQL,
pero de sentido contrario. Si p = LQ, la probabilidad de aceptación es baja (en general inferior al
10%). Estos valores se usan en la selección de planes de muestreo, siendo el AQL el más corriente.
Hay dos probabilidades asociadas a estos parámetros que aparecen a veces en la literatura sobre la
inspección por muestreo. El riesgo del productor α es la probabilidad de rechazar un lote con p
=AQL (que debería ser aceptado). Al hacer p = AQL, la curva característica nos da Pa = 1 - α. Natu-
ralmente, α representa el riesgo de cometer un error, que, en un plan bien escogido, debe ser bajo. El
riesgo del consumidor, β, es la probabilidad de aceptar un lote con p = LQ (que debería ser recha-
zado). Una vez fijados el AQL y la LQ, los riesgos α y β son las probabilidades de error al usar el plan
de muestreo, sea rechazando lo que debería ser aceptado, sea aceptando lo que debería rechazarse.
En la selección del plan deben tenerse en cuenta estos riesgos, ya que, para que un plan sea acep-
table, ambos deben ser bajos (ordinariamente por debajo del 10%). Las tablas de muestreo disponi-
bles, como las de la norma MIL-STD-105, son recopilaciones de planes de muestreo que cumplen
este criterio.
El nivel de calidad indiferente, abreviadamente IQL (indifference quality level), es el porcentaje no
conforme al que corresponde una probabilidad de aceptación del 50%. Se usa, a veces, en las tablas
de muestreo.
El modo habitual de presentar los planes de muestreo en tablas; es identificarlos por el AQL No obs-
tante, si alguien utiliza un plan seleccionado en una tabla de muestreo usando un cierto AQL podría
creer que, como promedio, los lotes aceptados tienen un porcentaje no conforme inferior o igual al
AQL, pero, en realidad, no es así. El AQL no representa más que un nivel de calidad que se conside-
ra aceptable, y, por lo tanto, el plan tendrá entre otras consecuencias, la de no rechazar más que una
proporción muy pequeña de lotes cuyo porcentaje no conforme sea inferior o igual al AQL. Pero eso
no asegura que los lotes que aceptamos tengan esa calidad. Dicho de otro modo, el uso de un AQL
determinado supone una protección del productor en el sentido de que los lotes con p ≤ AQL serán
rechazados muy raramente, pero no una garantía para el consumidor, en el sentido de que los lotes
aceptados cumplan p ≤ AQL.
Si el consumidor desea protegerse de la aceptación de lotes de calidad inferior, el camino es estable-
cer un valor de LQ adecuado. Si, por ejemplo, LQ = 8%, con un riesgo del consumidor β = 0,05, en un
plan de muestreo que cumpla estos requisitos será aceptado un 5%, aproximadamente, de los lotes
con p = 8%. Si p 8%, el porcentaje de lotes aceptados será menor del 5%.
Naturalmente, se puede rebajar α y β con muestras mayores, pero eso aumenta el coste de inspec-
ción. La elección del plan debe resultar de un compromiso entre la moderación del coste y el poder de
discriminación del plan. En general, en los esquemas de muestreo, que son conjuntos de planes es-
cogidos con un cierto método, se propone el plan más barato dentro de los que mantienen los riesgos
en un nivel satisfactorio.
Ejemplo 3
Vamos a calcular algunas probabilidades de aceptación para dos planes de muestreo simple:
• Plan A: Extraer una muestra de 20 unidades y aceptar el lote si no hay unidades no conformes
(n = 20, Ac = 0).
• Plan B: Extraer una muestra de 50 unidades y aceptar el lote si hay, como máximo, una no con-
forme (n = 50, Ac = 1).

La tabla 2.1 da algunos valores de la probabilidad de aceptación para estos planes, calculados a par-
tir de la fórmula binomial en una hoja Excel. Se puede pasar de la tabla a un gráfico (la curva caracte-
rística) en la misma hoja de cálculo (Figura 2.1).
TABLA 2.1 Probabilidades de aceptación en función del porcentaje
no conforme del lote para los planes A y B
Porcentaje Plan A Plan B
0,1% 0,9802 0,9988
0,2% 0,9608 0,9954
0,5% 0,9046 0,9739
1% 0,8179 0,9106
2% 0,6676 0,7358
3% 0,5438 0,5553
4% 0,4420 0,4005
5% 0,3585 0,2794
6% 0,2901 0,1900
7% 0,2342 0,1265
8% 0,1887 0,0827
9% 0,1516 0,0532
10% 0,1216 0,0338
15,0% 0,0388 0,0029
20,0% 0,0115 0,0002
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0% 1,5% 3,0% 4,5% 6,0% 7,5% 9,0% 10,5% 12,0% 13,5% 15,0%
Porcentaje de no conformidades
Probabilidadaceptacióndel
lote
Figura 2.1 Curvas características de los planes A (línea con cuadrado)
y B (línea con rombo) del Ejemplo 3.
De la tabla resulta que el plan A sólo podría ser adecuado para AQL 0.50%, mientras que el plan B
sería adecuado para AQL ≤ 1%. Por otro lado, el plan A no sería adecuado para LQ = 8%, pero el
plan B sí.

2.3 Inspección con rectificación
A veces se aplica una variante de la inspección por muestreo, en la cual los lotes rechazados (según
el plan usado) se inspeccionan al 100%, separándose las unidades no conformes, que, a veces, se
reemplazan por conformes. Se reemplacen o no las unidades no conformes, se llama lotes rectifica-
dos a los lotes inicialmente rechazados en los que, después de la inspección 100%, el porcentaje de
no conformidades es p = 0. Cuanto más estricto es el criterio de aceptación, mayor es la calidad re-
sultante, al haber más lotes rectificados. La calidad resultante media, abreviadamente AOQ (avera-
ge outgoing quality), es el porcentaje no conforme final medio (contando los lotes aceptados inicial-
mente y los rectificados). Se puede dar en función de p, obteniendo la curva AOQ. Su valor máximo
es el límite de calidad resultante media, abreviadamente AOQL (average outgoing quality limit).
Los planes de inspección con rectificación se clasifican por LQ o AOQL. Se usaban tradicionalmente
en la inspección final de la producción propia. Modernamente, la eliminación de los stocks de materia-
les obliga, a veces, a usar estos métodos en el control de recepción para asegurar el cumplimiento de
los planes de fabricación. En estos caso, el coste de la inspección 100 % de los lotes rechazados se
traslada al proveedor.
Es fácil ver que la calidad resultante media se puede obtener como el producto de la abscisa por la
ordenada de la curva característica,
AOQ = p × Pa .
Ejemplo 4
Vamos a calcular la calidad resultante media los planes de muestreo simple A y B del ejemplo 3. Su-
ponemos ahora que se rectifican los lotes no aceptados. Si, por ejemplo, p = 1%, con el plan A se
acepta el 81,8% de los lotes. El 18,2% restante será rectificado y acabará teniendo el 0% de unidades
no conformes. En total, como promedio, tendremos
AOQ = (1%) × (81,8)% = 0,818%.
Para el plan B, un razonamiento análogo da
AOQ = (1%) × (91,1%) = 0,911%.
La tabla 2.2 da algunos valores del porcentaje de la calidad resultante media en función del porcenta-
je de no conformidades del lote antes del muestreo rectificativo para los planes A y B, calculados a
partir de la fórmula AOQ = Pa× p en una hoja Excel. A partir de la tabla se puede calcular de forma
aproximada el AOQL que para el plan A es un porcentaje de 1,79 de no conformidades y en el plan B
de 1,67. Esto indica que en el caso más desfavorable en media saldrán 1,79% de unidades no con-
formes para el plan A después de un muestreo rectificativo, y un 1,67% para el plan B.
Se puede pasar de la tabla 2.2 a un gráfico (la curva de calidad resultante media AOQ) utilizando la
hoja de cálculo (Figura 2.2).

Tabla 2.2 Porcentajes de la calidad resultante media AOQ
en función del porcentaje de no conformidades del lote
0,1% 0,10% 0,10%
0,2% 0,19% 0,20%
0,5% 0,45% 0,49%
1% 0,82% 0,91%
2% 1,34% 1,47%
3% 1,63% 1,67%
4% 1,77% 1,60%
5% 1,79% 1,40%
6% 1,74% 1,14%
7% 1,64% 0,89%
8% 1,51% 0,66%
9% 1,36% 0,48%
10% 1,22% 0,34%
15,0% 0,58% 0,044%
20,0% 0,23% 0,004%
0,00%
0,20%
0,40%
0,60%
0,80%
1,00%
1,20%
1,40%
1,60%
1,80%
2,00%
0,0% 2,0% 4,0% 6,0% 8,0% 10,0% 12,0% 14,0% 16,0% 18,0% 20,0%
Porcentaje no conformidades
AOQ
Plan A
Plan B
Figura 2.2 Curvas de calidad resultante media AOQ de los planes A y B

Para evaluar el coste de la inspección con rectificación se puede usar otro parámetro, la inspección
total media, abreviadamente ATI (average total inspection), que es el número medio de unidades
inspeccionadas, teniendo en cuenta las proporciones de lotes aceptados y rectificados. En estos últi-
mos, la inspección acaba realizándose al 100%. El ATI se calcula con la fórmula:
ATI = n + (1 - Pa)(N - n),
en la que N es el tamaño de lote, n es el tamaño de la muestra y Pa es la probabilidad de Si represen-
tamos el ATI como función de p, obtenemos la curva ATI, que tiene forma de S.
Ejemplo 5
Vamos a calcular la inspección total media de los planes de muestreo simple A y B del Ejemplo 3.
Suponemos ahora que se rectifican los lotes no aceptados. Para un lote de tamaño N = 1000, la ins-
pección total media del plan A, si el lote tiene un 1% de no conformidades, es
ATI = 20 + (1 - 0,818)(1000 - 20) = 198,36,
y la del plan B,
ATI = 50 + (1 - 0,911)(1000 - 50) = 134,56
La tabla 2.3 da algunos valores de la inspección total en función del porcentaje de no conformidades
del lote antes del muestreo rectificativo para los planes A y B, calculados a partir de la fórmula ATI = n
+ (1 - Pa)(N - n) en una hoja Excel. Se puede pasar de la tabla 2.3 a un gráfico (la curva de inspección
total media ATI) en la misma hoja de cálculo (Figura 2.3).
Tabla 2.3 Inspección total media para los planes A y B en función del porcentaje de no conformida-
des del lote de 1.000 unidades
0,1% 39,41 51,13
0,2% 58,46 54,37
0,5% 113,48 74,82
1% 198,45 134,96
2% 345,74 301,02
3% 467,08 472,48
4% 566,84 619,54
5% 648,68 734,54
6% 715,70 819,50
7% 770,45 879,83
8% 815,08 921,42
9% 851,39 949,42
10% 880,85 967,90
15,0% 962,02 997,24
20,0% 988,70 999,82

0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0,00% 2,00% 4,00% 6,00% 8,00% 10,00% 12,00% 14,00% 16,00% 18,00% 20,00%
Porcentaje no conformidades
ATI
Plan A
Plan B
Figura 2.3 Curvas de la inspección total media (ATI) de los planes A y B

3. TABLAS DE MUESTREO POR ATRIBUTOS
3.1 Tablas de muestreo
Habitualmente, los técnicos seleccionan los planes de muestreo de entre los contenidos en las tablas
de muestreo de los manuales de control de la calidad, o en normas como la MIL-STD-105 o la ISO
2859, donde las tablas suelen venir agrupadas en esquemas y sistemas de muestreo. Un esquema
de muestreo es un conjunto de planes con reglas para cambiar de unos a otros. Naturalmente, esto
sólo tiene sentido cuando se aplica a una serie continua de lotes. Normalmente, un esquema está
tabulado por el tamaño del lote y por AQL, LQ o AOQL. Un sistema de muestreo es una colección
de esquemas con instrucciones para escoger el más adecuado.
El sistema MIL-STD-105 es el más conocido y mejor documentado, pudiendo encontrarse una des-
cripción más o menos resumida de él en casi todos los manuales de control de calidad. Fue desarro-
llado bajo el patrocinio del Departamento de Defensa de los Estados Unidos, más tarde adoptado en
el resto del mundo, y finalmente incorporado a diversas normas internacionales. La primera versión
apareció en la norma MIL-STD-105A (1950). La última versión es la MIL-STD-105E (1989). La versión
civil equivalente es la ANSI Z1.4, adoptada en 1974 como norma internacional, presentada como
norma ISO 2859 y más tarde (1989) como norma ISO 2859-1. En el sistema MIL-STD-105, los planes
de muestreo están tabulados por el AQL.
Las tablas de Dodge-Romig constituyen uno de los sistemas de muestreo más antiguos. Fueron
desarrolladas en los años 30 en los Bell Telephone Laboratories por H. F. Dodge y H. G. Romig, pio-
neros de la inspección por muestreo. Los planes de estas tablas son planes para inspección con recti-
ficación, simples o dobles, con valores bajos de AOQL.
Recientemente, la tendencia se ha desplazado hacia los planes tabulados por la LQ, particularmente
en la industria electrónica, donde es necesario trabajar con valores de β muy ajustados cuando se
trata de elementos como circuitos integrados. En particular, esta tendencia ha dado lugar a sistemas
LQ, compatibles con los esquemas AQL de la MIL-STD-105. El más común es el que propone la
norma ISO 2859-2 (y anteriormente la norma británica British Std. 6.001). En ella se ha intentado
garantizar al máximo la compatibilidad con el sistema AQL del MIL-STD-105, en el aspecto de que los
tamaños de lote y muestra sean los mismos. Las tablas de Dodge-Romig también puede usarse co-
mo un sistema LQ. En los sistemas LQ no hay reglas para cambiar de plan, ya que se aplican a lotes
aislados.
3.2 Sistema MIL-STD-105 (ISO 2859-1)
El sistema MIL-STD-105 es un conjunto de planes, simples, dobles y múltiples, tabulados según el
tamaño de lote y AQL, estructurado en la forma que comento más abajo. Se aplica en la recepción de
series de lotes fabricados de forma continua, y las curvas características son de tipo B, calculadas
con la distribución binomial o la distribución de Poisson (ver Anexo A3). Contiene dos tablas con
información sobre valores de LQ a los que corresponderían (aproximadamente) riesgos β del 10 y del
5%. Consta de tres esquemas de muestreo formados, respectivamente, por planes simples, dobles y
múltiples. Cada esquema contiene un conjunto de planes de muestreo, agrupados en varias tablas,
en las que los planes vienen tabulados por tamaño de lote y AQL. Los planes se han escogido de
modo que el riesgo α sea aproximadamente del 5%, aunque el valor de α no se especifica en las
tablas. Tampoco tienen en cuenta explícitamente un valor de LQ ni del riesgo β, aunque, para LQ = 5
× AQL, β suele ser pequeño. Además de las tablas mencionadas, las normas MIL-STD-105 e ISO
2859-1 contienen información adicional sobre los planes de las tablas.
Conviene insistir en que este sistema es un conjunto de esquemas para ser aplicados a series de
lotes que provienen de un mismo proceso productivo, que se puede considerar estable (en estado de

control estadístico). Al usar este sistema, se elige un esquema (esto es, no un plan fijo, sino un con-
junto de planes con unas reglas para pasar de unos a otros) y se aplica el plan que corresponde a
cada uno de los sucesivos lotes. Naturalmente, siempre se le puede considerar como una simple
recopilación de planes de muestreo y elegir uno. Lo que se debe hacer entonces (siempre, pero con
más razón al apartarse de la norma) es examinar la curva característica del plan elegido y evaluar α y
β. En el caso de la norma ISO 2589-1, se indica explícitamente que no se puede acreditar que se
sigue la norma si no se respetan las reglas allí establecidas.
El propósito del sistema es ejercer presión sobre el productor, a través del rechazo de lotes (e incluso
mediante la interrupción de la recepción), para que suministre un material con p ≤ AQL. Por otra par-
te, si p AQL, el paso a la inspección reducida (ver más abajo) permite rebajar el coste de inspec-
ción. Observa que la norma establece unas “reglas de juego'' que deben quedar claras entre el pro-
ductor y el consumidor. Recuerda también la advertencia hecha anteriormente sobre el hecho de que
el uso de un plan de muestreo al que se le ha asociado un determinado AQL no garantiza que los
lotes aceptados cumplan p≤ AQL.
En el sistema MIL-STD-105 se distingue entre distintos niveles y rigores de inspección. El nivel de
inspección se fija en función del coste de inspección, y, en principio, no se cambia a lo largo de la
misma. El rigor de inspección se va ajustando en función de los resultados, como se verá más ade-
lante, lo que en la práctica significa cambiar de una tabla a otra.
El nivel de inspección determina la relación entre los tamaños del lote y de la muestra, lo que controla
la potencia del esquema de muestreo y la probabilidad de rechazar un lote con p AQL. Hay tres
niveles de inspección generales, designados I, II y III, para los que los tamaños de muestra van de
menor a mayor, y que corresponden a costes de inspección bajo, estándar y alto, respectivamente.
Hay además cuatro niveles de inspección especiales, designados como S-1, S-2, S-3 y S-4, que se
adoptan cuando es necesario usar muestras pequeñas y se pueden tolerar riesgos mayores (por
ejemplo, en ensayos destructivos). Para escoger un plan de muestreo, la norma la ISO 2859 propone
que a menos que se indique lo contrario se utilizará la inspección para usos generales nivel II. En
general, es válida la misma regla: cuanto mayor es la muestra, mayor la protección del consumidor,
aunque no hay una regla fija que prevea la forma concreta en que esto se produce para cada caso (v.
Ejemplo 6). Una vez decidido el nivel de inspección y conocido el tamaño de lote, se consulta una
tabla, reproducida parcialmente en la tabla 3.1, para obtener una letra-código de inspección, que se
usará después para seleccionar el plan en las tablas de muestreo.
Tabla 3.1 Letra-código del tamaño de lote
Tamaño de lote S-1 S-2 S-3 S-4 I II III
16-25 A A B B B C D
26-50 A B B C C D E
51-90 B B C C D E F
91-150 B B C D D F G
151-280 B C D E E G H
281-500 B C D E F H J
501-1200 C C E F G J K
1201-3200 C D E G H K L
3201-10000 C D F G J L M
10001-35000 C D F H K M N
35001-150000 D E G J L N P
150001-500000 D E G J M P Q
500000 D E H K N Q R

En las tablas del sistema MIL-STD-105 se dan valores de AQL típicos: 0,010, 0,015, 0,025, 0,040,
etc., hasta 1000. Estos valores se pueden interpretar de dos formas: como porcentaje de unidades no
conformes (sólo si el valor dado es menor o igual que 10), o como número de no conformidades por
cada 100 unidades. Una vez fijado el tipo de plan (simple, doble o múltiple), y el nivel de inspección (I,
II, etc.), se decide entre usar un plan simple, doble o múltiple, y se elige el plan en una tabla, entrando
en ella por tamaño de lote y AQL. Hay tres tablas posibles, correspondientes a los tres rigores de
inspección: reducida, normal y rigurosa (o estricta). Una vez fijado el nivel de inspección, el tamaño
de muestra es el mismo para la inspección normal y la rigurosa, pero menor para la reducida. La le-
tra-código se entra en la tabla propia del rigor de inspección que corresponde, dando el tamaño de
muestra, y entrando el AQL se obtienen Ac y Re.
Se comienza con un plan normal y según los resultados obtenidos en las sucesivas inspecciones, se
va variando el rigor de inspección. La norma contiene una colección de reglas para variar el rigor de
inspección:
• Paso de inspección normal a rigurosa. Cuando dos de cinco lotes consecutivos sean rechazados
en inspección normal.
• Paso de inspección rigurosa a normal. Cuando se acepten cinco lotes consecutivos en inspección
rigurosa.
• Paso de inspección normal a reducida. Cuando se aceptan diez lotes consecutivos en inspección
normal.
• Paso de inspección reducida a normal. Cuando se rechace un lote en inspección reducida.
En las sucesivas inspecciones se va ajustando el rigor de inspección siguiendo estas reglas. Las re-
glas se completan con la recomendación de interrumpir el suministro, cuando se llegue a una situa-
ción en la que se hayan rechazado cinco lotes seguidos. La suspensión debe mantenerse hasta que
haya evidencia de la aplicación de medidas destinadas a la mejora de la calidad. En las tablas 3.2,
3.3 y 3.4 se han reproducido parcialmente las tablas de muestreo simples, para inspección normal,
reducida y rigurosa, respectivamente.
Tabla 3.2 Tabla de muestreo simple para inspección normal
AQL
0.15 0.25 0.40 0.65 1.0 1.5 2.5 4.0 6.5
Letra
código
Tamaño
de
muestra Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re
A 2 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1
B 3 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 ↑
C 5 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑ ↓
D 8 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 ↑ ↓ 1 2
E 13 ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 ↑ ↓ 1 2 2 3
F 20 ↓ ↓ ↓ 0 1 ↑ ↓ 1 2 2 3 3 4
G 32 ↓ ↓ 0 1 ↑ ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6
H 50 ↓ 0 1 ↑ ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8
J 80 0 1 ↑ ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11
K 125 ↑ ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15
L 200 ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22
M 315 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 ↑
N 500 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 ↑ ↑
P 800 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 ↑ ↑ ↑
Q 1500 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 ↑ ↑ ↑ ↑
R 2000 7 8 10 11 14 15 21 22 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

Tabla 3.3 Tabla de muestreo simple para inspección reducida
AQL
0.15 0.25 0.40 0.65 1.0 1.5 2.5 4.0 6.5
Letra
código
Tamaño
de
A 2 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1
B 2 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 ↑
C 2 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 ↑ ↓
D 3 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 ↑ ↓ 0 2
E 5 ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 ↑ ↓ 0 2 1 3
F 8 ↓ ↓ ↓ 0 1 ↑ ↓ 0 2 1 3 1 4
G 13 ↓ ↓ 0 1 ↑ ↓ 0 2 1 3 1 4 2 5
H 20 ↓ 0 1 ↑ ↓ 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6
J 32 0 1 ↑ ↓ 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8
K 50 ↑ ↓ 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10
L 80 ↓ 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13
M 125 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13 ↑
N 200 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13 ↑ ↑
P 315 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13 ↑ ↑ ↑
Q 500 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13 ↑ ↑ ↑ ↑
R 800 3 6 5 8 7 10 10 13 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
↓ Indica plan de muestreo inferior ↑ indica plan de muestreo superior
Tabla 3.4 Tabla de muestreo simple para inspección rigurosa
AQL
0.15 0.25 0.40 0.65 1.0 1.5 2.5 4.0 6.5
Letra
código
Tamaño
de
A 2 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
B 3 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1
C 5 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 ↓
D 8 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 ↓ ↓
E 13 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 ↓ ↓ 1 2
F 20 ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 ↓ ↓ 1 2 2 3
G 32 ↓ ↓ ↓ 0 1 ↓ ↓ 1 2 2 3 3 4
H 50 ↓ ↓ 0 1 ↓ ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6
J 80 ↓ 0 1 ↓ ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9
K 125 0 1 ↓ ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13
L 200 ↓ ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19
M 315 ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19 ↑
N 500 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19 ↑ ↑
P 800 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19 ↑ ↑ ↑
Q 1500 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19 ↑ ↑ ↑ ↑
R 2000 5 6 8 9 12 13 18 19 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
↓ Indica plan de muestreo inferior ↑ indica plan de muestreo superior
Salvo para inspección reducida, en los planes simples la diferencia entre el Re y Ac es 1, con lo cual
bastaría dar uno de ellos. En inspección reducida, si el número de unidades está comprendido entre
el Ac y Re, se acepta el lote, pero se restablece la inspección normal. En cuanto a tamaño de mues-
tra y número de aceptación, los planes para inspección reducida coinciden con los normales del nivel

inferior de inspección, de acuerdo con la filosofía de la norma de rebajar el coste de inspección cuan-
do los resultados son satisfactorios. Por el contrario, los planes para inspección normal y rigurosa
tienen el mismo tamaño de muestra dentro del mismo nivel, y el plan para inspección rigurosa asig-
nado a un cierto AQL coincide en muchos casos con el plan normal propuesto para el AQL inferior.
Ejemplo 6
Supongamos el tamaño de lote comprendido entre 35.001 y 150.000. Los planes para inspección
normal a los niveles de inspección I, II y III, corresponden a las letras-código L, N y P, con tamaños
de muestra 200, 500 y 800, respectivamente. En la Tabla 3.5 se pueden ver algunas probabilidades
de aceptación, calculadas usando la fórmula binomial para AQL = 0,65% donde la letra código L da n
= 200 y Ac = 3, la letra código N, n = 500 y Ac = 7 y la letra código P, n = 800 y Ac = 10.
Tabla 3.5 Probabilidades de aceptación (Ejemplo 6)
p Nivel I Nivel II Nivel III p Nivel I Nivel II Nivel III
0,25% 0,998 1,000 1,000 2,25% 0,339 0,125 0,029
0,50% 0,981 0,996 0,997 2,50% 0,261 0,067 0,010
0,75% 0,935 0,963 0,958 2,75% 0,198 0,034 0,003
1,00% 0,858 0,868 0,817 3,00% 0,147 0,017 0,001
1,25% 0,758 0,710 0,583 3,25% 0,108 0,008 0,000
1,50% 0,647 0,524 0,346 3,50% 0,078 0,004 0,000
1,75% 0,536 0,352 0,173 3,75% 0,056 0,002 0,000
2,00% 0,431 0,217 0,075 4,00% 0,040 0,001 0,000
Figura 3.1 Curvas características del Ejemplo 6
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,00% 0,50% 1,00% 1,50% 2,00% 2,50% 3,00% 3,50% 4,00%
Nivel I
Nivel II
Nivel III

Ejemplo 7
Supongamos como antes el tamaño de lote comprendido entre 35.001 y 150.000, y tomemos AQL =
0,65% (valor típico de la MIL-STD-105). Si usamos el nivel de inspección II, la letra-código es N, que
nos da:
• Inspección normal: n = 500, Ac = 7, Re = 8.
• Inspección rigurosa: n = 500, Ac = 5, Re = 6.
• Inspección reducida: n = 200, Ac = 3, Re = 6 .
En la inspección reducida, Ac = 3 y Re = 6 indica que el lote se acepta si la muestra (n =200) tiene
como máximo 5 no conformidades; en caso de que el número de no conformidades sea de 4 o 5, el
siguiente lote se pasa a inspección normal. Obsérvese que el plan para inspección rigurosa de
AQL=0,65% coincide con el plan normal correspondiente a AQL = 0,40%. En la tabla 3.6 se dan algu-
nas probabilidades de aceptación, calculadas con la fórmula binomial. Para el plan de inspección
reducida se ha realizado el cálculo teniendo en cuenta que un lote se acepta hasta con 5 unidades no
conformes.
Tabla 3.6 Probabilidades de aceptación (Ejemplo 7)
p Reducida Normal Rigurosa p Reducida Normal Rigurosa
0,25% 1,000 1,000 0,998 2,25% 0,704 0,125 0,031
0,50% 0,999 0,996 0,958 2,50% 0,616 0,067 0,014
0,75% 0,996 0,963 0,824 2,75% 0,528 0,034 0,006
1,00% 0,984 0,868 0,616 3,00% 0,443 0,017 0,003
1,25% 0,959 0,710 0,405 3,25% 0,365 0,008 0,001
1,50% 0,918 0,524 0,239 3,50% 0,296 0,004 0,000
1,75% 0,859 0,352 0,130 3,75% 0,236 0,002 0,000
2,00% 0,787 0,217 0,065 4,00% 0,186 0,001 0,000
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,00% 0,50% 1,00% 1,50% 2,00% 2,50% 3,00% 3,50% 4,00%
Porcenteje no conformidades
Probabilidadacceptación
Reducida
Normal
Rigurosa
Figura 3.2 Curvas características del Ejemplo 7

3.3 Sistema ISO-2859-2
El sistema ISO 2859-2 se presenta como un sistema de muestreo para lotes aislados. Aparte de
presentar una colección de planes de muestreo tabulados por QL, pretende cubrir una serie de situa-
ciones en las que la primera parte de la norma (el sistema MIL-STD-105) se aplica incorrectamente.
La más típica de estas situaciones es la de lotes aislados. Se habla de lotes aislados cuando la regla
de decisión para aceptar o rechazar un lote se aplica a cada lote independientemente de lo sucedido
con los lotes anteriores.
El sistema ISO 2859-2 contiene una colección de planes de muestreo, tabulados según QL, de forma
que β 10%, salvo en una minoría de casos, en los cuales no supera el 13%. Consta de dos esque-
mas, denominados procedimiento A (hipergeométrica) y procedimiento B (binomial). El procedi-
miento A se usa cuando hay interés, por parte del productor y del consumidor, en considerar los lotes
aisladamente (puede haber razones que fuercen a hacerlo así). En este caso, el procedimiento de
cálculo usado en la elaboración de los planes de la norma ISO 2859-1, basado en la fórmula binomial,
puede dar lugar a errores apreciables. La magnitud de los errores obtenidos al usar esta fórmula en el
cálculo de las curvas características depende de los tamaños de lote y muestra.
En cualquier caso, la norma ISO 2859-2 propone para esta situación el uso de los planes del proce-
dimiento A, que se ha recogido parcialmente en la tabla 3.7. El cálculo de las probabilidades de acep-
tación se basa en la fórmula hipergeométrica, aunque, salvo en el caso de los planes de aceptación
cero (Ac = 0), la binomial da una buena aproximación. Por consiguiente, las curvas características de
los planes con Ac ≠ 0 pueden aproximarse por las curvas de los planes correspondientes del proce-
dimiento B. Cuando el tamaño de muestra n supere al del lote, se entiende que el muestreo es al
100%.
Tabla 3.7. Tabla de planes de muestreo tabulados por la calidad límite LQ (ISO 2859-2; procedi-
miento A). Cuando n accede el tamaño del lote, utilizar la inspección 100% con un número de aceptación cero.
Tamaño Calidad límite en porcentaje LQ
de lote 0.5 0.8 1.25 2.0 3.15 5.0 8.0 12.5 20
16-25 n → → → → 25 17 13 9 6
Ac 0 0 0 0 0
26-50 n → → → 50 50 28 22 15 10
Ac 0 0 0 0 0 0
51-90 n → → 90 50 44 34 24 16 10
Ac 0 0 0 0 0 0 0
91-150 n → 150 90 80 55 38 26 18 13
Ac 0 0 0 0 0 0 0 0
151-280 n 200 170 130 95 65 42 28 20 20
Ac 0 0 0 0 0 0 0 0 0
281-500 n 280 220 155 105 80 50 32 32 20
Ac 0 0 0 0 0 0 0 1 1
501-1200 n 380 255 170 125 125 80 50 32 32
Ac 0 0 0 0 1 1 1 1 3
1201-3200 n 430 280 200 200 125 125 80 50 50
Ac 0 0 0 1 1 3 3 3 5
3201-10000 n 450 315 315 200 200 200 125 80 80
Ac 0 0 1 1 3 5 5 5 10
10001-35000 n 500 500 315 315 315 315 200 125 125
Ac 0 1 1 3 5 10 10 10 18
35001-150000 n 800 500 500 500 500 315 200 200 125
Ac 1 1 3 5 10 18 18 18 18

El procedimiento A es muy simple, ya que se basa en una sola tabla, donde los planes se dan por
tamaño de lote y LQ. La norma contiene asimismo información adicional sobre:
• Los riesgos β asociados a los valores de LQ usados para seleccionar los planes, así como valo-
res de p con probabilidades altas de aceptación.
• Curvas características para los planes de aceptación cero.
El procedimiento B se utiliza cuando el consumidor tiene interés en considerar el lote como aislado,
mientras que para el productor forma parte de una serie continua de lotes. De cara al consumidor,
ofrece una protección, basada en la LQ, y de cara al productor, proporciona el valor de AQL corres-
pondiente al plan escogido en las tablas de la ISO 2859-1, con lo cual el productor tiene una indica-
ción sobre el nivel de calidad que no va a tener problemas de aceptación.
Se trata de un esquema que consta de varios subesquemas, correspondientes a los siete niveles de
inspección, que son los mismos de la ISO 2859-1. El plan se identifica por LQ y tamaño de lote. Para
escoger el plan se dispone de 10 tablas, correspondientes a distintos valores de LQ: 0,5%, 0,8%, etc.
Entrando en la tabla el nivel de inspección escogido (la norma recomienda usar, el nivel II salvo espe-
cificación en sentido contrario) y el tamaño de lote, obtenemos:
• El tamaño de muestra n
• El número de aceptación Ac
• La curva característica del plan
• El riesgo β asociado al valor de LQ fijado
• El valor de AQL que la norma ISO 28591, para inspección normal, asigna a ese plan
Por consiguiente, los planes del procedimiento B se seleccionan de entre los de la norma ISO 2859-1
(para inspección normal), con lo que se consigue la compatibilidad. Por último, la norma ISO 2859-2
contiene una tabla con las correspondencias entre ambos sistemas. El procedimiento B no contiene
planes de aceptación cero, reemplazándolos por la inspección 100%.
3.4 Otras tablas de muestreo
En el caso de un producto que se suministra en lotes que se reciben ininterrumpidamente y provienen
de un proceso estable, puede ser interesante reducir el coste de inspección. El sistema MIL-STD-105
combina planes de distinto rigor, de acuerdo con unas reglas para pasar de uno a otro, según los
resultados de las inspecciones precedentes, y la aplicación de estas reglas puede llevar a la conclu-
sión de que el proceso de producción no es satisfactorio. Sin embargo, los resultados de las inspec-
ciones precedentes no se incorporan específicamente al criterio de aceptación, sino que sólo dan
lugar a cambios de un plan de muestreo a otro.
En los planes de muestreo basados en resultados acumulados, las reglas de decisión se van
modificando en función de los resultados que se van obteniendo de la inspección. El objetivo de estos
planes es minimizar el coste de inspección, manteniendo una protección razonable. En general, los
planes basados en resultados acumulados requieren que se den ciertas condiciones, para ser aplica-
dos de forma satisfactoria:
• El lote inspeccionado forma parte de una serie continua.
• Se espera que los lotes sean de calidad similar.

• El consumidor no tiene razones para creer que el lote que se inspecciona sea de peor calidad que
los precedentes.
• El consumidor tiene confianza en el productor, en el sentido de que no aprovechará los resultados
favorables de la inspección para suministrar lotes de calidad inferior.
Entre estos planes, los más usados son los planes de muestreo en cadena, abreviadamente ChSP
(chain sampling plans), y los planes skip-lot, abreviadamente SkSP. Los planes de muestreo en
cadena ligan la decisión sobre un lote a los resultados de la inspección de los lotes precedentes, de
forma que los resultados de las sucesivas inspecciones se combinan obteniendo un efecto equivalen-
te al proporcionado por el muestreo con tamaños mayores de muestra. Estos planes tratan de cubrir
situaciones en las cuales, por razones de coste, el tamaño de muestra debe ser pequeño, lo que obli-
ga a escoger planes de aceptación cero, que tienen poco poder de discriminación.
En los planes skip-lot la inspección se realiza sólo sobre una fracción de los lotes. La fracción depen-
de del resultado de la inspección en los lotes precedentes. Se usan cuando los resultados de la ins-
pección sobre una serie de lotes han proporcionado suficiente evidencia como para considerar que el
proceso de producción opera de forma estable a un nivel satisfactorio. Pueden hallarse planes de
muestreo de este tipo en la norma ANSI/ASQC S1 o en la tercera parte de la norma ISO 2859.
Entre los planes basados en resultados acumulados, ocupan un lugar especial los planes de mues-
treo en continuo, abreviadamente CSP (continuous sampling plans), que se usan cuando el produc-
to no se recibe agrupado en lotes diferenciados, sino en un flujo continuo de unidades. Estos planes
alternan la inspección 100% con el muestreo, en función de la calidad observada. La manera de tra-
bajar de estos planes es muy similar a la de los planes skip-lot, con la diferencia de que en lugar de
lotes se consideran aquí unidades. De hecho, los planes skip-lot fueron desarrollados a partir de los
planes de muestreo continuo.
Los primeros planes de muestreo continuo fueron propuestos por Dodge en 1943, y con el tiempo han
pasado a conocerse por las siglas CSP-1. Estos planes estaban tabulados por AOQL, es decir, para
ser usados en la inspección con rectificación. Dodge y M. N. Torrey introdujeron en 1951 nuevas va-
riantes, conocidas como CSP-2 y CSP-3, para cubrir situaciones en las que la aparición de defectos
de poca importancia no justifica el paso a la inspección 100%. La norma MIL-STD-1235 incluye cinco
tipos de planes: los CSP-1 y CSP-2 citados anteriormente, y otros tres, CSP-F, CSP-T y CSP-V, a fin
de ofrecer una mayor flexibilidad para adaptarse a situaciones reales.
Básicamente hay dos tipos de planes de muestreo continuo, según se autorice o no alguna unidad no
conforme antes de volver a la inspección 100%. En los planes más sencillos (simple continuous sam-
pling), como los de la tabla CSP-1, se inicia la inspección al 100%, y se prosigue hasta hallar i unida-
des conformes consecutivas. Entonces se pasa a inspeccionar solamente una fracción f de las unida-
des. Cuando se halla una unidad no conforme, se vuelve a la inspección 100% hasta haber hallado i
unidades conformes consecutivas, y así sucesivamente.
En otros planes de muestreo en continuo no se vuelve inmediatamente a la inspección 100% después
de hallar una unidad no conforme (continuous sampling allowing a defective). Un ejemplo sería el
siguiente:
• Se inspecciona 100% hasta hallar 50 unidades conformes consecutivas.
• Se pasa a inspeccionar 10% (f = 1/10) hasta hallar alguna no conforme.
• Al hallar una unidad no conforme, se prosigue inspeccionando una de cada 10, pero si se vuelve
a encontrar otra entre las siguientes 50 inspeccionadas, se vuelve a la inspección 100%. En caso
contrario, se prosigue con la inspección 10% hasta hallar otra unidad no conforme, y entonces se
vuelve a hacer el planteamiento de antes (pasar a inspección 100% si hay otra unidad no confor-
me entre las siguientes 50 inspeccionadas).

A3. CÁLCULO DE PROBABILIDADES DE ACEPTACIÓN
Las probabilidades de aceptación de los lotes en los planes de muestreo se calculan, siempre bajo la
hipótesis de que el muestreo es aleatorio, usando alguna de las tres distribuciones de probabilidad
siguientes:
Distribución hipergeométrica
Da la probabilidad de obtener, extrayendo una muestra de tamaño n de un lote de tamaño N que con-
tiene d unidades no conformes, un resultado de x no conformes (x es el número de no conformes en
la muestra, y d en el lote), donde este tipo de muestreo se asimila al conocido muestreo sin reposi-
ción.
Sea X = número de unidades no conformes en una muestra de tamaño n. X puede tomar valores
entre 0 y el mínimo de d y n.
La probabilidad de que el número de no conformidades de la muestra sea x es:
Px = Prob(X =x) =
d N d
x n x
N
n
−  
  
−  
 
 
 
, x = 0, 1, 2, ..., min{d,n}.
donde los términos que aparecen en el numerador y el denominador de la fracción son números
combinatorios. Por ejemplo:
!
!( )!
N N
n n N n
 
= 
− 
.
La probabilidad de aceptación se obtiene sumando las probabilidades Px desde x = 0 hasta x = Ac.
Nota: El cálculo manual de los números combinatorios resulta inasequible para los valores de N que
se dan en la industria, pero la disponibilidad de medios electrónicos de cálculo permite superar esta
dificultad fácilmente y el cálculo de probabilidades mediante la fórmula hipergeométrica puede reali-
zarse sin problemas en una hoja electrónica de cálculo e incluso con algunas calculadoras de bolsillo.
Distribución binomial
Da la probabilidad de obtener x veces un resultado cuya probabilidad es p, realizando n pruebas in-
dependientes. Sea X = número de no conformidades en una muestra de tamaño n; la probabilidad de
obtener x no conformidades es
Px = Prob(X = x)=
n
x
 
 
 
p
x
(1 - p)
n-x
x = 0, 1,..., n
La distribución binomial puede aplicarse al cálculo de probabilidades de aceptación en la inspección
por muestreo, suponiendo que la muestra se extrae de un conjunto muy grande, de modo que poda-
mos considerar que las extracciones sucesivas son independientes. Como antes, la probabilidad de
aceptación Pa se obtiene sumando las probabilidades Px desde x = 0 hasta x = Ac.
Nota: Puede probarse que la fórmula hipergeométrica da como límite la binomial cuando N es muy
grande y d/N = p, por lo que en la práctica la binomial se usa para aproximar la hipergeométrica
cuando n/N 0.1.

Distribución de Poisson
Da la probabilidad de que un suceso esporádico, como la aparición de una disconformidad, se dé x
veces en un intervalo de tiempo dado o en una muestra de tamaño dado. Para que sea válida se ha
de suponer que el número medio de veces que se da ese suceso es una constante λ y que sus apari-
ciones son independientes entre sí.
Sea X = número de no conformidades por unidad; la probabilidad de x no conformidades por unidad
es
Px = Prob (X =x) =
!
x
e
x
λλ− , x = 0, 1, 2 ,... , ∞; λ 0.
Sumando Px desde x = 0 hasta x = Ac se obtiene la probabilidad de aceptación en la inspección por
muestreo.
Nota: La fórmula de Poisson se utilizaba clásicamente como aproximación de la binomial para n
grande y p pequeña (n 20 y np 5), haciendo λ = np, pero con los medios de cálculo disponibles
actualmente estas aproximaciones han perdido interés.

A4. CASO PRÁCTICO
PRESENTACIÓN DEL CASO:
Una empresa dedicada a la fabricación de aparatos de aire acondicionado va a incorporar en un nue-
vo producto un componente metálico suministrado por un proveedor. No se trata de un proveedor
nuevo y el responsable de calidad es consciente de que los lotes suministrados por ese proveedor
contienen a veces un porcentaje de unidades no conformes elevado (a veces superior al 10%). El
Departamento de Ingeniería ha elaborado un plano para este componente donde se establecen lími-
tes de tolerancia para una serie de características dimensionales. Los lotes constarán de 25 cajas de
200 unidades, en total 5000 unidades.
El responsable de calidad decide reunir a los responsables de Compras, Producción e Ingeniería y
someter a discusión la posibilidad de realizar un control de recepción para estos componentes, por lo
menos hasta que los datos recogidos en las sucesivas recepciones permitan confiar en el control de
calidad del proveedor. En este control se inspeccionaría cada lote, para decidir aceptarlo o rechazarlo
en función del resultado de la inspección. La inspección al 100% parece inviable, y propone inspec-
cionar solamente una muestra de cada lote. Propone asimismo que la inspección se realice de forma
sistemática, de acuerdo con un procedimiento preestablecido y dando a todos los lotes el mismo tra-
tamiento. Considera que se debe evitar la subjetividad de procedimientos basados en la experiencia,
en criterios personales o en el “sentido común”, adoptando procedimientos “científicos”, basados en
principios de tipo estadístico. A los restantes directivos les parece razonable la propuesta del respon-
sable de Calidad. Sin embargo, al concretar los detalles de cómo se va a llevar a cabo la inspección
surgen numerosos interrogantes.
La primera cuestión que se plantea se refiere al método a seguir para extraer la muestra. El respon-
sable de Compras sugiere que se extraigan unidades de todas las cajas que componen el lote para
que la muestra sea “representativa”, aunque no consigue aclarar lo que eso significa. El responsable
de Ingeniería, que ha seguido varios cursos de Estadística, sugiere que la extracción de la muestra
debe hacerse de forma “aleatoria”, pero tampoco está claro cómo se consigue la aleatoriedad, ni qué
ventajas aporta, sino solamente que al utilizar las fórmulas estadísticas siempre se da por hecho que
las muestras son aleatorias. La segunda cuestión hace referencia al número de unidades que hay
que inspeccionar de cada lote, es decir, al tamaño de la muestra. No queda claro si es el tamaño de
la muestra lo que la hace representativa o es el procedimiento de muestreo, o ambas cosas.
REFLEXIONES:
¿Cómo se debe extraer la muestra? ¿Qué quiere decir que una muestra es aleatoria? ¿Qué se ha de
hacer para que lo sea? ¿Es esencial que la muestra sea aleatoria? ¿Cuál debe ser el tamaño de la
muestra?
CONTINUACIÓN DEL CASO:
Se decide que se consultará una tabla de muestreo para establecer el tamaño de la muestra. Una vez
aclarado este punto, habrá que decidir de dónde se extrae la muestra, ya que al estar dividido el lote
en cajas, se debe especificar si la muestra se extrae de una o de varias cajas. La primera variante
simplifica el problema, pero la segunda garantiza aparentemente que la muestra sea más representa-
tiva.
Una vez extraída la muestra e inspeccionadas las unidades que la componen, hay que disponer de
un criterio para aceptar o rechazar el lote. No está claro si deben tenerse en cuenta los valores numé-
ricos obtenidos para las medidas dimensionales, o sólo si caen dentro de los límites de tolerancia. Si

se decide simplificar y tener en cuenta solamente la conformidad o disconformidad para cada dimen-
sión especificada en el plano, el criterio de aceptación se puede basar en el número de unidades no
conformes, contando igual las unidades que no son conformes para una sola característica y las que
presentan varias no conformidades, o por el contrario se puede basar en el número global de no con-
formidades. Se deciden por la primera alternativa. Deberán ahora especificar el número máximo de
no conformidades admisible.
REFLEXIONES:
¿Está Vd. de acuerdo con los criterios con los cuales se va a decidir la aceptación o rechazo de un
lote? ¿Cuál debe ser el número máximo de disconformidades para aceptar un lote?
Tanto el responsable de Calidad como el de Producción disponen de alguna experiencia en la ins-
pección por muestreo, concretamente en el uso de las tablas de la norma MIL-STD-105. En estas
experiencias previas, las unidades inspeccionadas se clasificaban en conformes y no conformes se-
gún cumplieran o no unos requisitos especificados y conocidos por el proveedor, y la decisión de
aceptar o rechazar el lote se tomaba en función del número de unidades no conformes halladas en la
muestra, de acuerdo con la tabla de muestreo. Sin embargo, ninguno de los dos tiene una idea muy
clara sobre las garantías que proporciona seguir estas tablas. El responsable de Calidad ha oído de-
cir que el sistema MIL-STD-105 está obsoleto y que ya no lo usa casi nadie, aunque no tiene tampoco
muy claro si está obsoleto porque las tablas son defectuosas o porque la inspección resulta muy cara.
El responsable de Producción está de acuerdo en que la inspección según las tablas MIL-STD-105
representa un coste elevado que sólo puede asumirse con carácter excepcional.
REFLEXIONES:
Así pues, ¿es aconsejable usar las tablas MIL-STD-105 o hay otra alternativa basada en principios
estadísticos sólidos?
En realidad la experiencia con el sistema MIL-STD-105 se limita al uso de una sola tabla, la titulada
“Planes simples para inspección normal”, de la que se dispone de fotocopia desde hace bastantes
años. No se sabe muy bien qué quiere decir inspección normal, pero parece lógico utilizar la variante
“normal” cuando no se tienen las ideas claras.
Para aclararlas, se decide consultar la norma completa, que no es difícil de conseguir, ya que hay una
norma ISO equivalente, la 2859-1, de fácil adquisición en España. La verdad es que el sistema MIL-
STD-105 no viene presentado de forma muy pedagógica y la consulta de la norma no aclara mucho
las ideas. En primer lugar hay que usar una tabla que da una letra-código, en función del tamaño del
lote y del nivel de inspección. Manejando ambas tablas conjuntamente, se ve que la selección del
nivel de inspección implica un tamaño de muestra mayor o menor. En experiencias previas siempre
se ha mantenido el nivel de inspección II, y así se decide hacerlo en este caso, con lo cual corres-
ponde utilizar la letra-código L. En la tabla de planes de inspección, la letra L da un tamaño de mues-
tra de 200 unidades, el equivalente de una caja, lo que representa mucho trabajo. Esto desanima a
nuestros directivos, que no obstante deciden seguir adelante.

REFLEXIONES:
¿No puede reducirse el tamaño de muestra? ¿Qué se pierde en tal caso?
Hasta el momento no se ha entendido muy bien lo que se hacía, pero se han hecho las cosas como
todo el mundo. Para concluir y seleccionar efectivamente un plan en la tabla, hay que establecer un
valor para un parámetro denominado nivel de calidad admisible, que se designa habitualmente como
AQL, usando la abreviatura anglosajona. Parece que el AQL debe establecerse en función del perjui-
cio que representen las unidades no conformes que pueda contener el lote, lo que debería traducirse
a un porcentaje máximo admisible de unidades no conformes.
REFLEXIONES:
¿Cómo se establece el valor del AQL y qué garantías proporciona el uso de un AQL determina-
do?¿Garantiza el sistema MIL-STD-105 que el porcentaje de unidades no conformes en los lotes
aceptados no supere el valor del AQL?
El responsable de Producción considera que lo máximo que puede aceptarse es un 5% de unidades
no conformes e interpreta que se debe hacer AQL = 5. La tabla solamente permite unos cuantos valo-
res de AQL, y el más cercano a 5 es AQL = 4. Si se usa este valor, la tabla da un número de acepta-
ción Ac = 14 y un número de rechazo Re = 15. Esto significa que se aceptará un lote cuando de las
200 unidades inspeccionadas haya, como máximo, 14 no conformes.
En este punto de la discusión, el Responsable de Compras recuerda que los lotes vienen divididos en
cajas y plantea un problema de orden práctico sobre la ejecución del plan de muestreo. Cuando el
lote está dividido en varios cajas, ¿puede repartirse la muestra entre ellas? ¿Hay que repartir enton-
ces el número de aceptación, y se puede aceptar unas cajas y rechazar las otras? Por ejemplo, en
nuestro caso una muestra de 200 unidades puede repartirse entre 5 cajas para que sea más “repre-
sentativa”. ¿Hay que repartir entonces el número de rechazo Re = 15, y rechazar una caja donde se
hallen 3 unidades no conformes?
REFLEXIONES:
¿Cree Vd. que tienen sentido estas operaciones con el tamaño de muestra y el número de aceptación
cuando un lote esté dividido en varios segmentos?
La opinión de los otros tres es contraria a complicar más el asunto. El responsable de Calidad argu-
menta que en la literatura de su especialidad se habla sólo de aceptar y rechazar lotes. Si se quiere
aplicar el sistema a las cajas lo que debería hacerse, según él, es usar un tamaño de lote 200, lo que
encarecería mucho el coste de la inspección. El responsable de Compras acepta el argumento, pero
no ve claro que se rechace un lote porque una caja sea peor que las otras o vivecersa. El responsa-
ble de Calidad considera que no debe haber cajas buenas y cajas malas, si el proveedor tiene un

proceso “en estado de control”. El de Compras considera que ésta es una suposición muy cándida.
Finalmente, se decide inspeccionar sólo una de las cajas, entera.
REFLEXIONES:
¿Está Vd. de acuerdo con esta decisión?
El responsable de Producción, que trabajaba antes en una empresa donde se utilizaban estos planes
de muestreo, recuerda una anécdota inquietante. En su anterior empresa utilizaban estos planes por
partida doble. En primer lugar, el personal de Producción inspeccionaba cada lote dentro del control
de proceso. Por otro lado, al entrar en el almacén de producto acabado, el personal de Calidad ins-
peccionaba algunos lotes. El resultado era que la segunda inspección rechazaba a veces lotes acep-
tados en la primera, lo que provocaba el consiguiente malestar, además del coste de una inspección
100% para separar las unidades no conformes del lote rechazado. Sin embargo, las muestras utiliza-
das en la primera inspección, conservadas por el Departamento de Producción, habían sido inspec-
cionadas correctamente.
REFLEXIONES:
¿Por qué pasa esto? ¿No hay forma de evitarlo? ¿No hay garantías de que al repetir una inspección
realizada con un plan del MIL-STD-105 el resultado va a ser el mismo?
El responsable de Ingeniería opina que tal cosa es posible si en ambas inspecciones las muestras
son distintas, del mismo modo que dos encuestas distintas no dan exactamente los mismos resulta-
dos, aunque está de acuerdo en que la posibilidad de que el proveedor realice el mismo tipo de ins-
pección y su resultado sea distinto complica el asunto. Se decide finalmente seguir con el plan de
inspección propuesto por la norma, y ver más adelante si estas complicaciones se presentan.
REFLEXIÓN FINAL:
¿Son correctos los argumentos que han conducido a nuestros directivos a adoptar este plan de ins-
pección? ¿Hay un procedimiento mejor?

A5. EJEMPLOS NUMÉRICOS
1. Sea un lote de N=30 unidades que contiene d=5 no conformes. Se toma una muestra aleatoria de
n=10 unidades del lote.
Sea X la variable aleatoria “número de no conformidades en una muestra de tamaño n=10 de un lote
de tamaño N=30 que contiene d=5 no conformes”.
La variable aleatoria X puede tomar los valores 0,1,2,3,4 y 5 donde X se distribuye según la distribu-
ción hipergeométrica H(N=30;d=5;n=10).
La distribución de probabilidades es:
P(X = x) = Px ,
d N d
x n x
N
n
x
−  
  
−  
 
 
 
== 1, 2, 3, 4, 5
a. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga x=2 no conformidades?
Que la muestra contenga 2 no conformidades es el suceso X=2, por lo que la probabilidad es:
P( X = 2)
5 30 5
2 10 2
30
10
−  
  
−  
 
 
 
= = 0,35999
Para el cálculo puede utilizarse la función de la hoja de cálculo Excel
=DISTR.HIPERGEOM(2;10;5;30).
b. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga como máximo x=1 no conformidades?
Que la muestra contenga como máximo 1 no conformidad es la unión de dos sucesos independientes
X=0 y X=1, por lo que la probabilidad es la suma:
P(X ≤ 1) = P(X=0) + (X=1)
5 25 5 25
0 10 1 9
30 30
10 10
     
     
     
   
   
   
= + = 0,10879+ 0,33999= 0,44878
Para el cálculo puede utilizarse la función de la hoja de cálculo Excel
=DISTR.HIPERGEOM(0;10;5;30)+ DISTR.HIPERGEOM(1;10;5;30).

2. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote de tamaño N=500 con 25 no conformidades si utiliza-
mos el plan de muestreo n=16 Ac=1?
Sea X la variable aleatoria “número de no conformidades en una muestra de tamaño n=16”.
Como n×10N=500 podemos aproximar la variable aleatoria por una binomial de parámetros n=16 y
p = probabilidad de no-conformidad=25/500=0,05.
Dado el plan de muestreo n=16, Ac=1, la probabilidad de aceptar el lote para una proporción de no
conformidad p=0,05 es:
P(aceptar el lote | p=0,05)=P(X≤1)=B(1;16;0,05)=0,8108
3. Calcule el riesgo α para un plan doble n1=18,c1=2,n2=25,c2=4 si el nivel de calidad aceptable (AQL)
es 0,05, suponiendo que el lote es grande.
Sea X1 la variable aleatoria “número de no conformidades en una muestra de tamaño n=18”.
X1≅ B(18; p)
Sea X2 la variable aleatoria “número de no conformidades en una muestra de tamaño n=25”.
X2≅ B(25;p)
P(aceptar el lote |p=0,05)=P(X1≤2)+ P(X1=3)×P(X2≤1)+ P(X1=4) ×P(X2=0) = =0,9419 +(0,9891-0,9419)
×0,6424+(0,9985-0,9891) ×0,2774=0,9748.
α=P(rechazar el lote |p=0,05)=1-0,9748=0,0252
4. Un contrato de compra estipula que el nivel de calidad aceptable es AQL=0,04 y el nivel de calidad
límite es LQ=0,3. Se propone un plan de muestreo n=10 y Ac= 1 para recepcionar lotes de tamaño
N=100.
a. Calcular la curva característica utilizando para el cálculo de probabilidades la distribución hiper-
geométrica.
En la segunda columna de la tabla A5.1 se encuentra el cálculo de probabilidades de la curva carac-
terística utilizado la fórmula de la hoja de cálculo Excel :
=DISTR.HIPERGEOM(0;10;A3*100;100)+DISTR.HIPERGEOM(1;10;A3*100;100)
donde A es la columna de proporciones de unidades no conformes.
La figura A5.1 es la gráfica de la curva característica cuyos valores están calculados en la segunda
columna de la tabla A5.1.

Curva característica
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4
Proporción no conformidades
Probabilidadaceptación
dellote
Figura A5.1 Curva característica del ejemplo 4 utilizando la distribución hipergeométrica
b. Calcular el riesgo del productor y el riesgo del consumidor.
La probabilidad de aceptación del lote si éste tiene una proporción de no conformidades igual al
AQL=0,04 es 0,951, por lo que el riesgo del productor es α=1-0,951=0,049.
La probabilidad de aceptación del lote si éste tiene una proporción de no conformidades igual al
LQL=0,3 es 0,136, por lo que el riesgo del consumidor es β=0,136.
c. ¿Cuál es el nivel de calidad indiferente?
El nivel de calidad indiferente es aquel que tiene una probabilidad asociada del 0,5; en este caso es
0,16. Este índice se interpreta de la forma siguiente: si los lotes llevarán un 16% de las unidades no
conformes, la aceptación del lote podría decidirse al azar lanzando una moneda: si sale cara acep-
tarlo y si sale cruz rechazarlo. De todas formas hay que remarcar
d. Realizar los apartados anteriores utilizando para el cálculo la distribución binomial.
En la tercera columna de la tabla A5.1 se encuentran los cálculos de las probabilidades de la curva
característica se utiliza la hoja de cálculo Excel donde la fórmula en este caso es
= DISTR.BINOM(1;10;A3;VERDADERO)
y A es la columna de proporciones de unidades no conformes. Se puede pasar de la tabla al gráfico
de la curva característica en la misma hoja de cálculo (Figura A5.2).

0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4
Proporción de no conformidades
Probabilidadaceptacióndel
lote
Figura A5.2 Curva característica del ejemplo 4 utilizando la distribución binomial
Tabla A5.1 Cálculo de las probabilidades de la curva característica del ejemplo 4
utilizando la distribución hipergeométrica y la binomial
Proporción de unida-
des no conformes
Probabilidad de
aceptación del lote
(Hipergeométrica)
Probabilidad de
aceptación del lote
(Binomial)
0,02 0,991 0,984
0,04=AQL 0,951 0,942
0,06 0,891 0,882
0,08 0,818 0,812
0,1 0,738 0,736
0,12 0,657 0,658
0,14 0,576 0,582
0,16 0,500 0,508
0,18 0,428 0,439
0,2 0,363 0,376
0,22 0,333 0,318
0,24 0,278 0,267
0,26 0,229 0,222
0,28 0,187 0,183
0,3=LQL 0,136 0,149
0,32 0,108 0,121
0,34 0,085 0,096
0,36 0,066 0,076
0,38 0,051 0,060
0,4 0,039 0,046
0,42 0,029 0,036

Conclusión: A la vista de los cálculos realizados en la tabla A5.1, puede observarse que hay diferen-
cias utilizando la distribución hipergeométrica y la binomial. El procedimiento correcto en este caso
sería utilizar la distribución hipergeométrica puesto que el tamaño del lote no es suficientemente
grande.
5. Un contrato de compra estipula la compra de componentes en lotes grandes que han de contener
como máximo un 5% de componentes no conformes (el AQL=0,05). Para comprobar la calidad se
inspeccionan 10 unidades del producto de cada lote, aceptando si hay como máximo una unidad de-
fectuosa. Estudiar la probabilidad de aceptación de un lote cuando la proporción real de componentes
no conformes en los lotes es 0,05, 0,10, 0,15 y 0,20.
Se trata de un plan de muestreo simple donde el tamaño de la muestra es n=10 y la aceptación del
lote es Ac=1.
Sea X la variable aleatoria “numero de no conformidades en una muestra de tamaño n=10”.
Como que el tamaño del lote N es grande (supongamos 10nN) podemos aproximar la distribución de
la variable aleatoria por una binomial de parámetros n=10 y p=probabilidad de no conformidad.
Dado el plan de muestreo n=10, Ac=1, la probabilidad de aceptar el lote si la proporción de no con-
formidad es P= 0,01; 0,05; 0,10; 0,15; 0,20 son
1
:
P(aceptar el lote | p=0,01)=P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1)=B(1;10;0,01)=0,9957
A la vista de los resultados, podemos observar que:
• Si el lote tiene un 1% de piezas no conformes (por debajo del nivel aceptable), tiene una probabi-
lidad de aceptarlo de 0,9957, con lo cual al consumidor le puede parecer bien el plan de muestreo
pero al fabricante no, ya que el contrato estipula un nivel de calidad aceptable de un 5% y si él
sirve lotes con 1% de no conformidades le devolverán un 1,47% de los lotes.
• Si el lote tiene un 5% de las piezas no conformes, tiene una probabilidad de aceptarlo de 0,9139,
con lo cual al consumidor le puede parecer bien pero al fabricante no, ya que el contrato estipula
un nivel de calidad aceptable de un 5% y si él sirve lotes con esta proporción le devolverán un
8,61% de los lotes.
1
Las probabilidades pueden calcularse con la hoja de cálculo excel con la fórmula
B(1;10;p=A·3)=DISTR.BINOM(1;10;A3;VERDADERO) o con las tablas de la Binomial del Anexo.

• Si el lote tiene un 10% de las piezas no conformes, tiene una probabilidad de aceptarlo de
0,7361. con lo cual al consumidor no le parecerá bien, ya que el contrato estipulaba como máxi-
mo un 5% de piezas no conformes y sólo rechaza un 26,39% de los lotes con un 10% de no con-
formidades.
6. Dado el plan de muestreo n=25, Ac=1, utilizando la hoja de cálculo Excel, resolver las siguientes
cuestiones teniendo en cuenta que el lote es de tamaño N = 1.000.
a. Calcular y dibujar la curva característica o curva operativa (OC) del plan de muestreo. Justificar la
distribución de probabilidad utilizada para calcular las probabilidades.
En un plan de muestreo, la curva característica, o curva OC (operating characteristic curve), es una
función (o una curva, si la representamos gráficamente) que da la probabilidad de aceptación Pa de
un lote en términos de el porcentaje de no conformidades p. Dado el plan de muestreo n=25, Ac =1
para calcular las probabilidades asociadas a los porcentajes de no conformidades utilizaremos el
modelo probabilístico binomial puesto que el tamaño de la muestra 25 N/10 donde N=1000 es el
tamaño del lote.
Sea la variable aleatoria X = ”número de unidades no conformes en la muestra de tamaño n=25”. X~
Binomial(25;p).
En la tabla A5.2 se dan algunas probabilidades de aceptación, calculadas a partir de la distribución
binomial.
Tabla A5.2 Probabilidades de aceptación
Porcentaje
Probabilidad de acep-
tación
1% 0,974
1,3% 0,958
1,4% 0,952
1,6% 0,940
2% 0,911
3% 0,828
4% 0,736
5% 0,642
6% 0,553
7% 0,470
8% 0,395
9% 0,329
10% 0,271
12% 0,180
14% 0,117
16% 0,074
18% 0,045
20% 0,027
22% 0,016
26% 0,005

Indicación: los cálculos pueden hacerse con la hoja de cálculo Excel con la fórmula
=DISTR.BINOM(1;25;A3;1) o utilizando las tablas estadísticas del anexo.
Utilizando la hoja de cálculo puede dibujarse la curva característica:
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%
Porcentaje de no conformidades
probabilidadde
aceptación
Figura A5. Curva característica del ejemplo 6 utilizando la distribución Binomial.
b. ¿Qué valor identificarías como nivel de calidad aceptable (AQL)?
El nivel de calidad aceptable es el porcentaje no conforme que se considera aceptable en la inspec-
ción. Se designa por AQL (acceptable quality level). El AQL es una indicación que se da al productor,
y depende de criterios económicos y técnicos. Al usar este parámetro, es importante tener bien claro
lo que significa, ya que, de lo contrario, puede generar expectativas sin fundamento. El AQL puede
ser cualquier valor de p para el cual la probabilidad de aceptación sea alta (en general superior al
90%) . Normalmente se escoge del 0,95 y en este caso podría ser AQL=1,4%.
c. ¿Qué valor identificarías como nivel de calidad límite (LQ)?
La calidad límite es el porcentaje no conforme máximo que se considera aceptable en la inspección.
Se designa por LQ (limiting quality), LQL (limiting quality level), RQL (rejectable quality level) o LTPD
(lot tolerance percent defective). El significado de la LQ en un plan de muestreo es similar al del AQL,
pero de sentido contrario. Si p=LQL, la probabilidad de aceptación es baja (en general inferior al
10%). En este caso particular se podría coger LQ=16%. ( Tabla A5.2).
d. ¿Cuál sería el riesgo del productor (α) y el del consumidor (β), teniendo en cuenta los valores
AQL y LQ que se haya escogido?
El riesgo del productor α es la probabilidad de rechazar un lote con p=AQL (que debería ser acepta-
do). Al escoger AQL= 1,4 % en la tabla A5.2, le corresponde una probabilidad de aceptación de
0,952, de donde se deduce que al hacer p=AQL la curva característica nos da Pa=1-α
En este caso α=1-0,952=0,048
El riesgo del consumidor, β, es la probabilidad de aceptar un lote con LQ de no conformidades (que
debería ser rechazado).
Si LQ = 16 %, en la tabla A5.2 le corresponde una β=0,074.

7. Indicar el plan de muestreo (para inspección rigurosa) que propone la ISO 2859 1ª parte si se
quieren inspeccionar lotes de N=20.000 unidades de forma continuada y el nivel de calidad aceptable
(AQL) pactado con el proveedor es de 0,25% no conformidades.
Para escoger un plan de muestreo, la norma la ISO 2859 propone que a menos que se indique lo
contrario se utilizará la inspección para usos generales nivel II.
Mirando la tabla 3.1 del capítulo 2 (Módulo 2), para un lote de tamaño N=20.000 unidades le corres-
ponde la letra código M.
Para la letra código M, para inspección rigurosa, mirando la tabla 3.4 del capítulo 2, le corresponde
para un AQL=0,25% el plan de muestreo n=315 Ac=1
8. Indicar el plan de muestreo (para inspección normal) que propone la ISO 2859 1ª parte si se quie-
ren inspeccionar lotes de N=700 unidades de forma continuada y el nivel de calidad aceptable (AQL)
pactado con el proveedor es de 0,15% no conformidades.
Mirando la tabla 3.1 del capítulo 2 (Módulo 2), para un lote de tamaño N=700 unidades le correspon-
de la letra código J.
Para la letra código J, para inspección normal, mirando la tabla 3.4 del capítulo 2, le corresponde para
un AQL=0,15% el plan de muestreo n=80 Ac=0.
9. Indicar el plan de muestreo (para inspección reducida) que propone la ISO 2859 1ª parte si se
quieren inspeccionar lotes de N=500 unidades de forma continuada y el nivel de calidad aceptable
(AQL) pactado con el proveedor es de 1% no conformidades.
Mirando la tabla 3.1 del capítulo 2 (Módulo 2), para un lote de tamaño N=500 unidades le correspon-
de la letra código H.
Para la letra código H, para inspección reducida, mirando la tabla 3.3 del capítulo 2, le corresponde
para un AQL=1% el plan de muestreo n=20 Ac=0 y Re=2, lo que indica que en caso de detectar una
unidad no conforme se acepta el lote y se restablece la inspección normal.
10. Con el plan escogido en el ejercicio 9 determinar ¿cuál sería la probabilidad de aceptar un lote de
N=500 con 50 no conformidades?
La proporción de no conformidades del lote es p=50/500=0,10.
Sea X la variable aleatoria “número de no conformidades en una muestra de tamaño n=20”. Por ser
10nN podemos aproximar X por la distribución binomial de parámetros n=20 y p=0,10. La probabili-
dad de aceptar el lote con un 10% de no conformidades es:
P(aceptar el lote p=0,10)=P( X ≤ 1)=B(1;20;0,10)=0,3917 ( mirando las tablas de la binomial).

Obsérvese que se ha hecho el cálculo de la probabilidad de aceptar el lote con el plan de muestreo
n=20 Ac=1 ya que en el apartado anterior para inspección reducida, mirando la tabla 3.3 del capítulo
2, le corresponde para un AQL=1% el plan de muestreo n=20 Ac=0 y Re=2, lo que indica que en
caso de detectar una unidad no conforme se acepta el lote y se restablece la inspección normal.
11. Con el plan escogido en el ejercicio 9 determinar ¿cuál sería la el riesgo del productor α?.
El riesgo del productor, α, es la probabilidad de rechazar un lote con p=AQL (que debería ser acepta-
do). La probabilidad de aceptar el lote cuando p=AQL=1% es:
P(aceptar el lote p=0,01)= P( X ≤ 1)=B(1;20;0,01)=0,9831 ( mirando las tablas de la binomial).
Por lo que la probabilidad de rechazarlo es:
α=1- P(aceptar el lote p=0,01)=1-0,9831=0,0169.

Módulo 3. Control estadístico de proceso 91
Módulo 3. Control estadístico de proceso
Capítulo 1. Introducción
Capítulo 2. Gráficos de control
2.1 Algunas fórmulas de los gráficos de control
2.2 Primeras ideas de los gráficos de control
2.3 Variantes de los gráficos de control
2.4 Límites de control
2.5 Pautas en los límites de control
Capítulo 3. Capacidad de un proceso
3.1 Variantes en la expresión de la capacidad
3.2 Índices de capacidad
3.3 Validez de los índices
Capítulo 4. Gráficos de control para variables
4.1 Gráficos de control para subgrupos
4.2 Gráficos /X R y /X s
4.3 Gráficos para observaciones individuales
Capítulo 5. Gráficos de control para atributos
5.1 Control de la proporción de unidades no conformes
5.2 Control del número de no conformidades
5.3 Control del número de deméritos
Anexo A6. Distribuciones de probabilidad
Anexo A7. Caso práctico 1
Anexo A8. Caso práctico 2

1. INTRODUCCIÓN
Este módulo trata sobre la construcción e interpretación de los gráficos de control. La mayor parte
de ellas está dedicada a los gráficos de control clásicos, que fueron diseñados por W. E. Shewhart en
los años 20 y a los que modernamente denominamos gráficos de Shewhart.
Los métodos que presentamos se ilustran con su aplicación a cinco ejemplos de proceso, que se han
considerado representativos y que se describen brevemente en este capítulo. Tanto las tablas como
los gráficos que se han incluido en estas notas, han sido preparados en hojas de cálculo Excel.
La terminología estadística que se usa es completamente estándar y no difiere de la que se pueda
hallar en cualquier manual de control estadístico de proceso. En este sentido, estas notas son autosu-
ficientes.
En el anexo A1 del módulo 1 se incluyen unas notas históricas sobre la evolución del control estadís-
tico de la calidad, desde Shewhart hasta hoy. Confiamos en que estos apuntes, respaldados por las
referencias bibliográficas que se dan al final, resulten suficientes para los lectores que deseen adquirir
una perspectiva histórica de los gráficos de control.
Hemos incluido en la bibliografía las normas americanas, británicas e internacionales que se ocupan
de los gráficos de control y algunos artículos que pueden ayudar a los lectores a profundizar en algún
aspecto que nosotros tratamos muy por encima, como la relación entre los métodos SPC y el control
automático de proceso.
En este primer capítulo daremos un repaso a las nociones básicas del control de proceso, algunas de
ellas introducidas en el módulo 1, a fin de dejarlas bien claras y establecer la terminología del lengua-
je del control de proceso, que se usará con frecuencia en estas notas. El concepto de proceso es
fundamental en la empresa contemporánea. En los orígenes del control de la calidad (años 20), el
término proceso se usaba para designar un proceso de fabricación, que implicaba operarios, máqui-
nas, materias primas, etc. Poco a poco el concepto fue adquiriendo mayor alcance, extendiéndose a
los procesos de soporte o de servicio. En el lenguaje empresarial de hoy, proceso es la transforma-
ción de unos elementos de entrada o inputs en unos elementos de salida o outputs. Un proceso
puede subdividirse en subprocesos, o fases, según convenga desde el punto de vista práctico.
Se denomina producto al resultado de un proceso. Controlar un proceso significa gestionarlo de mo-
do que el producto sea predecible y satisfactorio. Cuando se alcanza tal situación, se dice que el pro-
ceso está en estado de control. El control de un proceso es el conjunto de actividades que se rea-
lizan para controlarlo. Cuando el control de un proceso se lleva a cabo según un programa predefini-
do, a éste se le denomina plan de control del proceso. La existencia del plan de control no presu-
pone que haya un documento único, con ese nombre u otro, que lo describa.
El objetivo del control de proceso es conseguir que se satisfagan de forma continuada unos requisi-
tos. Los requisitos hacen referencia al proceso en sí (al modo en que se realiza la transformación) o
al producto. El documento que recoge estos requisitos (si existe) se denomina especificación (de
proceso o de producto). En caso de cumplirse los requisitos especificados, se habla de proceso o
producto conforme. Una especificación debe indicar, en la medida de lo posible, cómo puede verifi-
carse la conformidad.
Una estrategia clásica del control de proceso consiste en el seguimiento, a lo largo del tiempo, de uno
o varios indicadores relacionados con él. Los gráficos de control, de los que trataremos en estas
notas, constituyen una herramienta sencilla para realizar este seguimiento. La denominación control
estadístico de proceso, abreviadamente SPC (statistical process control), se refiere al uso de los
gráficos de control y las fórmulas estadísticas asociadas a ellos en el control de la producción.

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