Estudio intuitivo de funciones

1. Funciones Reales. Propiedades locales.
© Marta Martín Sierra www.aulamatematica.com
03. Sea la función f(x) definida a trozos por la siguiente representación gráfica:
2
41 6 8
- 3
5
- 1- 6
Responde a las siguientes cuestiones en el lugar indicado para ello:
(a) Indica el Dominio de f(x)
{ ∀x∈ℜ / x ≠ – 9 ; x ≠ – 3 ; x ≠ 4 ; x ≠ 5 ; x ≠ 7; x ∉ (9, 10]
(– ∞, –9) ∨ (– 9, –3) ∨ (– 3, 4) ∨ (4, 5) ∨ (5, 7) ∨ (7, 9] ∨ (10, + ∞)
(b) ¿Cuánto vale f(0)?
f(0) = 3
(c) ¿Cuánto vale f(5)?
∃/ f(5)
(d) ¿Cuánto vale f(6)?
f(6) = 0
(e) ¿Cuánto vale f(7)?
∃/ f(7)
(f) ¿Para qué valores f(x) = 3 ?
x ≅ – 7 ; x = – 6 ; x = – 2 ; x = 0 ; x ≅ 5.5 ; x ≅ 8.5 ; x = 11
(g*) Asintóticas verticales:
x = – 9 ; x = – 6 ; x = – 3 x = 0; x = 4 ; x = 5 ; x = 7 x = 10
(h) Asíntotas horizontales:
y = 0 ; y = 4
(i) Máximos relativos:
Punto (2, 0)
(j) Mínimos relativos:
Punto (4.5, 4)
(k) Intervalos de crecimiento:
(– 9, – 6) (– 3, 0) (0, 2) (4.5, 5) (7, 9) (10, + ∞)
(l) Intervalos de decrecimiento:
(– ∞, – 9) (– 6, – 3) (2, 4) (4, 4.5) (5, 7)
(m) Intervalos donde la función es cóncava (Intervalos de concavidad hacía arriba):
(– 7, – 6) (4, 5) (5, 6)
(n) Intervalos donde la función es convexa (Intervalos de concavidad hacia abajo):

2. Monotonía. Máximos, mínimos y puntos de inflexión. Tendencias. Discontinuidades
Teoría y problemas resueltos
(– ∞, – 9) (– 9, – 7) (– 3, 0) (0, 4) (6, 7) (10, + ∞)
(ñ) Discontinuidades:
x = – 9 ; x = – 6 ; x = – 3 ; x = 0 ; x = 4 ; x = 5 ; x = 7 ; (9, 10)
(o) Puntos de inflexión:
(– 7.5, 0.5) (6, 0)
(p) ¿Es continua la función f(x) en x = 0? Explica por qué.
NO, ya que hay un salto en dicho punto.
Calcula el valor de los siguientes límites (TENDENCIAS):
(q) )x(fLím
x 8−→
(r) )x(fLím
x +
−→ 3
(s) )x(fLím
x +
→4
(t) )x(fLím
x +
→7
0 – ∞ + ∞ 0
(u) )x(fLím
x −
→2
(v) )x(fLím
x −
→5
(w) )x(fLím
x 6−→
(x) )x(fLím
x 5→
0 + ∞ ∃/ + ∞
(y) )x(fLím
x −
−→ 3
(z) )x(fLím
x −
→7
(A) )x(fLím
x 9−→
(B) )x(fLím
x +
→5
0 – ∞ – ∞ + ∞
(C) )x(fLím
x ∞−→
(D) )x(fLím
x ∞+→
(E) )x(fLím
x 10→
(F) )x(fLím
x 0→
0 4 ∃/ ∃/

3. Funciones Reales. Propiedades locales.
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06 Sea la función I(x) definida a trozos por la siguiente representación gráfica
–1 4
1 9
3
– 5
-1
-7
Responde a las siguientes cuestiones en el lugar indicado para ello:
(a) Indica el Dominio de I(x).
{ ∀x∈ℜ / x ≠ – 5 ; x ≠ – 2 ; x ≠ 0 ; x ≠ 6}
(– ∞, – 5) ∨ (– 5, – 2) ∨ (– 2, 0) ∨ (0, 6) ∨ (6, 8) ∨ [8, + ∞)
(b) ¿Cuánto vale I(– 8)?
3
(c) ¿Cuánto vale I(– 2)?
∃/ I(– 2)
(d) ¿Cuánto vale I(7)?
0
(e) ¿Cuánto vale I(5)?
– 1
(f) ¿Para qué valores I(x) = 3?
x ≅ – 7.5 ; x ≅ – 2.1 ; x ≅ – 1.9 ; x ≅ 6.1 ; x = 8.9
(g*) Asintóticas verticales.
x = – 5 ; x = – 2 ; x = 0 ; x = 6 ; x = 8
(h) Ramas asintóticas horizontales.
No tiene
(i) Máximos relativos
(3, 2)
(j) Mínimos relativos.
(7, 0)
(k) Intervalos de crecimiento.
(– 5, – 2) (0, 3) (7, 8)
(l) Intervalos de decrecimiento.
(– ∞, – 5) (– 2, 0) (3, 6) (6, 7) (8, +∞)
(m) Intervalos de concavidad hacia arriba (Cóncava).
(– 3, – 2) (– 2, – 1) (– 7, 8)
(n) Intervalos de concavidad hacia abajo (Convexa).
(– 5, – 3) (– 1, 0) (0, 6)
(ñ) Discontinuidades.
x = – 5 ; x = – 2 ; x = 0 ; x = 6 ; x = 8
(o) Puntos de inflexión.

4. Monotonía. Máximos, mínimos y puntos de inflexión. Tendencias. Discontinuidades
Teoría y problemas resueltos
Punto (– 3, – 0.3) Punto (– 1, – 1)
(p) ¿Es continua la función I(x) en x = 3? Explica por qué.
Sí, es continua porque no hay ningún salto.
Calcula el valor de los siguientes límites:
(q) )x(ILím
x 2→
(r) )x(ILím
x +
−→ 3
(s) )x(ILím
x 0→
(t) )x(ILím
x +
→ 7
0 ≅ – 0.2 – ∞ 0
(u) )x(ILím
x −
→ 4
(v) )x(ILím
x −
→ 5
(w) )x(ILím
x −
−→ 8
(x) )x(ILím
x +
→ 4
0 – 2 3 ≅ 0.2
(y) )x(ILím
x +
→ 0
(z) )x(ILím
x −
→ 7
(A) )x(ILím
x 6−→
(B) )x(ILím
x +
→ 5
– ∞ 0 2 – 2
(C) )x(ILím
x ∞−→
(D) )x(ILím
x ∞+→
(E) )x(ILím
x 2−→
(F) )x(ILím
x 5−→
+ ∞ – ∞ + ∞ ∃/ )x(ILím
x 5−→
10 Sea la función P(x) definida a trozos por la siguiente representación gráfica
1- 7 - 4 6
3
Responde a las siguientes cuestiones en el lugar indicado para ello:
(a) Indica el Dominio de P(x).
{ ∀x∈ℜ / x ≠ – 8 ; x ≠ – 3 ; x ≠ 3 ; x ≠ 5
(– ∞, – 8) ∨ (– 8, – 3) ∨ (– 3, 3) ∨ (3, 5) ∨ (5, + ∞)
(b) ¿Cuánto vale P(– 8)?
No existe
(c) ¿Cuánto vale P(– 3)?

5. Funciones Reales. Propiedades locales.
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No existe
(d) ¿Cuánto vale P(0)?
No existe
(e) ¿Cuánto vale P(5)?
No existe
(f) ¿Para qué valores P(x) = 2?
x ∈ (– ∞, – 8) ; x = – 7 ; x = – 4 ; x = 0 ; x ≅ 3.1 ; x ≅ 4.9
(g*) Asintóticas verticales.
x = – 8 ; x = – 3 ; x = 3 ; x = 5
(h) Asíntotas horizontales.
No tiene
(i) Máximos relativos.
(4, 5)
(j) Mínimos relativos.
(– 5.5, 0)
(k) Intervalos de crecimiento.
(– 5.5, – 3) (– 3, 3) (3, 4) (4, 5) (5, 7)
(l) Intervalos de decrecimiento.
(– 8, – 5.5) (4, 5) (5, +∞)
(m) Intervalos de concavidad hacia arriba (Cóncava).
(– 8, – 3) (0, 3)
(n) Intervalos de concavidad hacia abajo (Convexa).
(– 3, 0) (3, 5)
(ñ) Discontinuidades.
x = – 8 ; x = – 3 ; x = 0 ; x = 3 ; x = 5
(o) Puntos de inflexión.
No tiene
(p) ¿Es continua la función P(x) en x = 0? Explica por qué.
No es continua porque hay un salto.
Calcula el valor de los siguientes límites:
(q) )x(PLím
x 8−→
(r) )x(PLím
x +
−→ 3
(s) )x(PLím
x −
→ 0
(t) )x(PLím
x +
→5
∃/ )x(PLím
x 8−→ – ∞ 2 2
(u) )x(PLím
x −
→ 7
(v) )x(PLím
x −
→ 5
(w) )x(PLím
x −
−→ 8
(x) )x(PLím
x +
→ 7
0 – ∞ 2 0
(y) )x(PLím
x +
→ 0
(z) )x(PLím
x 7→
(A) )x(PLím
x 4→
(B) )x(PLím
x −
−→ 3
4 0 5 + ∞

6. Monotonía. Máximos, mínimos y puntos de inflexión. Tendencias. Discontinuidades
Teoría y problemas resueltos
(C) )x(PLím
x ∞−→
(D) )x(PLím
x ∞+→
(E) )x(PLím
x +
−→ 8
(F) )x(PLím
.x 55−→
2 – ∞ + ∞ 0
13 Sea la función S(x) definida a trozos por la siguiente representación gráfica
1- 7 - 4 5
3
Responde a las siguientes cuestiones en el lugar indicado para ello:
a) Indica el Dominio de S(x).
{ ∀x∈ℜ } (– ∞, + ∞)
b) ¿Cuánto vale S(– 7)?
1
c) ¿Cuánto vale S(3)?
2
d) ¿Cuánto vale S(0)?
2
e) ¿Cuánto vale S(6)?
2
f) ¿Para qué valores S(x) = 2?
x ≅ – 7.2 x ∈ [ – 3, 3] x ∈ [ 6, + ∞)
g*) Asintóticas verticales.
No tiene
g) Ramas asintóticas verticales.
No tiene
h) Ramas asintóticas horizontales.
No tiene
i) Máximos relativos.
No tiene
j) Mínimos relativos.
(– 5, 0)
k) Intervalos de crecimiento.

7. Funciones Reales. Propiedades locales.
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(– 5, – 3)
l) Intervalos de decrecimiento.
(– ∞, – 5) ; (3, 6)
m) Intervalos de concavidad hacia arriba (Cóncava).
(– ∞, – 3)
n) Intervalos de concavidad hacia abajo (Convexa).
No tiene
ñ) Discontinuidades.
x = 6
o) Puntos de inflexión.
No tiene
p) ¿Es continua la función S(x) en x = 6? Explica por qué.
NO es continua porque hay un salto.
Calcula el valor de los siguientes límites:
(q) )x(SLím
x 5−→
(r) )x(SLím
x +
−→ 3
(s) )x(SLím
x −
→ 0
(t) )x(SLím
x +
→ 7
0 2 2 2
(u) )x(SLím
x −
→ 6
(v) )x(SLím
x 8→
(w) )x(RLím
x −
−→ 1
(x) )x(SLím
x 19→
1 2 2 2
(y) )x(SLím
x +
→ 0
(z) )x(SLím
x +
→ 3
(A) )x(SLím
x 2−→
(B) )x(SLím
x −
→3
2 2 2 2
(C) )x(SLím
x ∞−→
(D) )x(SLím
x ∞+→
(E) )x(SLím
x +
→ 2
(F) )x(RLím
x −
→ 5
+ ∞ 2 2 1