Este documento describe las propiedades de diferentes funciones cuadráticas. Explica cómo calcular el vértice, los puntos de corte con el eje x y realizar un esbozo gráfico para cada función. Además, proporciona ejemplos resueltos de funciones cuadráticas como f(x)=x^2, f(x)=x^2-1 y f(x)=2x-x^2.

1. Tipos de funciones. Interpretación de fenómenos sociales y económicos
©Abel Martín & Marta Martín Sierra www.aulamatematica.com
FUNCIONES CUADRÁTICAS
ACTIVIDADES
Dadas las siguientes funciones, señala qué nombre reciben este tipo de funciones.
(a) Si tienen algún punto o elemento notable, calcúlalo algebraicamente.
(b) Calcula algebraicamente los puntos de corte con el eje OX.
(c) Haz un esbozo de su representación gráfica, señalando el nombre de las asíntotas en el
caso de que las tenga.
02. f(x) = x2
– x
f (x) = x2
– x se trata de una parábola.
Obtenemos la tabla de valores y, ayudándonos de las propiedades locales de la función
cuadrática, realizamos un esbozo de la función:
f(x) = x2
– x
– Al ser a > 0, tendrá un mínimo (Vértice)
(A) PUNTOS DE CORTE CON EL EJE OX Y VÉRTICE CON LA CALCULADORA
La función corta al eje OX en (1, 0) (0, 0) y tiene por vértice (1/2, – 1/4)
(B) VÉRTICE Y PUNTOS DE CORTE CON EL EJE OX CON LÁPIZ Y PAPEL
Las coordenadas del vértice vendrán dadas por la expresión:
V(–b/2a, y)
V ( 





y,
2
1
Miro la tabla de valores
V ( 





− 250
2
1
.,
Puntos de corte con eje de abscisas (OX)
Buscamos el valor de la parábola para el que y = 0
x2
– x = 0
x =
12
01411 2
⋅
⋅⋅−±
=
2
11±
x1 = 1 x2 = 0
La función corta al eje OX en (1, 0), (0, 0) y tiene por vértice (1/2, – 1/4)
(A) TABLA REALIZADA CON CALCULADORA

2. Representación gráfica de las familias de funciones más habituales
Teoría y actividades resueltas
(B) TABLA REALIZADA CON LÁPIZ Y PAPEL
f(x) = x2
– x
x y
– 5 30
– 2 6
0 0
0.5 – 0.25
3 6
5 20
06. f(x) = x2
+ 1
RESOLUCIÓN
f (x) = x2
+ 1 se trata de una parábola.
Obtenemos la tabla de valores y, ayudándonos de las propiedades locales de la función
cuadrática, realizamos un esbozo de la función:
f(x) = x2
+ 1
– Al ser a > 0, tendrá un mínimo (Vértice)
(A) PUNTOS DE CORTE CON EL EJE OX Y VÉRTICE CON LA CALCULADORA
La función NO corta al eje OX y tiene por vértice (0, 1)
(B) VÉRTICE Y PUNTOS DE CORTE CON EL EJE OX CON LÁPIZ Y PAPEL
Las coordenadas del vértice vendrán dadas por la expresión:
V(–b/2a, y)

3. Tipos de funciones. Interpretación de fenómenos sociales y económicos
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V ( 





y,
2
0
V(0, y)
Luego miramos tabla de valores para x = 0 (o mentalmente) → V(0, 1)
Puntos de corte con eje de abscisas (OX)
Buscamos el valor de la parábola para el que y = 0
x2
+ 1 = 0
x2
= – 1
x = ± 1− ∉ℜ
La función NO corta al eje OX
(A) TABLA REALIZADA CON CALCULADORA
(B) TABLA REALIZADA CON LÁPIZ Y PAPEL
f(x) = x2
– 1
x y
– 4 17
– 1 2
0 1
1 2
4 17
07. f(x) = 2x – x2
RESOLUCIÓN
f (x) = 2x – x2
se trata de una parábola.
Obtenemos la tabla de valores y, ayudándonos de las propiedades locales de la función
cuadrática, realizamos un esbozo de la función:
f(x) = 2x – x2
– Al ser a < 0, tendrá un máximo (Vértice)

4. Representación gráfica de las familias de funciones más habituales
Teoría y actividades resueltas
(A) PUNTOS DE CORTE CON EL EJE OX Y VÉRTICE CON LA CALCULADORA
La función corta al eje OX en (2, 0) (0, 0) y tiene por vértice (1, 1)
(B) VÉRTICE Y PUNTOS DE CORTE CON EL EJE OX CON LÁPIZ Y PAPEL
Las coordenadas del vértice vendrán dadas por la expresión:
V(–b/2a, y)
V (
)·( 12
2
−
−
, y)
V(1, y)
Luego miramos tabla de valores para x = 1 (o mentalmente)
V(1, 1)
Puntos de corte con eje de abscisas (OX)
Buscamos el valor de la parábola para el que y = 0
– x2
+ 2x = 0
x (– x + 2) = 0
x1 = 0 ; x2 = 2
Puntos de corte: (0, 0) (2, 0)
(A) TABLA REALIZADA CON CALCULADORA
(B) TABLA REALIZADA CON LÁPIZ Y PAPEL
f(x) = 2x – x2
x y
– 1 – 3
0 0
1 1
2 0
3 – 3

5. Tipos de funciones. Interpretación de fenómenos sociales y económicos
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08. f(x) = 3x2
– 6x + 10
RESOLUCIÓN
f (x) = 3x2
– 6x + 10 se trata de una parábola.
Obtenemos la tabla de valores y, ayudándonos de las propiedades locales de la función
cuadrática, realizamos un esbozo de la función:
f(x) = 3x2
– 6x + 10
– Al ser a > 0, tendrá un mínimo (Vértice)
(A) PUNTOS DE CORTE CON EL EJE OX Y VÉRTICE CON LA CALCULADORA
La función NO corta al eje OX y tiene por vértice (1, 7)
(B) VÉRTICE Y PUNTOS DE CORTE CON EL EJE OX CON LÁPIZ Y PAPEL
Las coordenadas del vértice vendrán dadas por la expresión:
V(–b/2a, y)
→ V (
32
6
·
, y)
V(1, y)
Luego miramos tabla de valores para x = 1 (o mentalmente)
V(1, 7)
Puntos de corte con eje de abscisas (OX)
Buscamos el valor de la parábola para el que y = 0
x =
2
120366 −±
=
2
846 −±
∉ℜ
No corta al eje OX
(A) TABLA REALIZADA CON CALCULADORA
(B) TABLA REALIZADA CON LÁPIZ Y PAPEL
f(x) = x2
– 1
x y
– 2 34
– 1 19

6. Representación gráfica de las familias de funciones más habituales
Teoría y actividades resueltas
0 10
1 7
3 19
09. f(x) = x2
– 2x
RESOLUCIÓN
f (x) = x2
– 2x se trata de una parábola.
Obtenemos la tabla de valores y, ayudándonos de las propiedades locales de la función
cuadrática, realizamos un esbozo de la función:
f(x) = x2
– 2x
– Al ser a > 0, tendrá un mínimo (Vértice)
(A) PUNTOS DE CORTE CON EL EJE OX Y VÉRTICE CON LA CALCULADORA
La función corta al eje OX en (1, 0) (0, 0) y tiene por vértice (1, – 1)
(B) VÉRTICE Y PUNTOS DE CORTE CON EL EJE OX CON LÁPIZ Y PAPEL
Las coordenadas del vértice vendrán dadas por la expresión:
V(–b/2a, y)
→ V (
2
2
, y)
V(1, y)
Luego miramos tabla de valores para x = 1 (o mentalmente)
V(1, – 1)
Puntos de corte con eje de abscisas (OX)
Buscamos el valor de la parábola para el que y = 0 → x (x – 2) = 0
x1 = 0 ; x2 = 2
La función corta al eje OX en (1, 0) (0, 0) y tiene por vértice (1, – 1)
(A) TABLA REALIZADA CON CALCULADORA

7. Tipos de funciones. Interpretación de fenómenos sociales y económicos
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(B) TABLA REALIZADA CON LÁPIZ Y PAPEL
f(x) = x2
– 2x
x y
– 1 3
0 0
1 – 1
2 0
3 3
12 f(x) = x2
– 3x + 2
RESOLUCIÓN
f (x) = x2
– 3x + 2, se trata de una parábola.
Obtenemos la tabla de valores y, ayudándonos de las propiedades locales de la función
cuadrática, realizamos un esbozo de la función: f(x) = x2
– 3x + 2
– Al ser a > 0, tendrá un mínimo (Vértice)
(A) PUNTOS DE CORTE CON EL EJE OX Y VÉRTICE CON LA CALCULADORA
La función corta al eje OX en (2, 0) (1, 0) y tiene por vértice (1.5, – 0.25)
(B) VÉRTICE Y PUNTOS DE CORTE CON EL EJE OX CON LÁPIZ Y PAPEL

8. Representación gráfica de las familias de funciones más habituales
Teoría y actividades resueltas
Las coordenadas del vértice vendrán dadas por la expresión:
V(–b/2a, y)
V (3/2, y)
Luego miramos tabla de valores para x = 1.5 (o mentalmente) → V (1.5, – 0.25)
Puntos de corte con eje de abscisas (OX)
Buscamos el valor de la parábola para el que y = 0
x2
– 3x + 2 = 0
x =
12
21433 2
⋅
⋅⋅−±
=
2
13 ±
=
2
13 ±
=
x1 = 2 ; x2 = 1
La función corta al eje OX en (2, 0) (1, 0) y tiene por vértice (1.5, – 0.25)
(A) TABLA REALIZADA CON CALCULADORA
(B) TABLA REALIZADA CON LÁPIZ Y PAPEL
f(x) = x2
– 3x + 2
x y
– 3 20
1.5 – 0.25
3 2
5 12