1. Pregunta 1:
Construir el espacio muestral de los siguientes experimento
Es importante recordar que el espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados que
pueden ocurrir en un experimento. Se simboliza con el símbolo de Ohmnio “𝛀”
a) Al arrojar una moneda.
Espacion muestral = Ω = {𝐶𝑎𝑟𝑎, 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜}
b) Al arrojar un dado.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
c) Al escoger una Carrera de la F.C.E.A.F. de la U.A.G.R.M.
Ω = { 𝐼𝑛𝑔. 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑒𝑟𝑎, 𝐼𝑛𝑔. 𝐶𝑜𝑚𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝐸𝑐𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎, 𝐴𝑑𝑚. 𝑑𝑒 𝐸𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑠}
d) Escoger un día de la semana
Ω = { 𝐿𝑢𝑛𝑒𝑠, 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠, 𝑀𝑖𝑒𝑟𝑐𝑜𝑙𝑒𝑠 𝐽𝑢𝑒𝑣𝑒𝑠, 𝑉𝑖𝑒𝑟𝑛𝑒𝑠, 𝑆á𝑏𝑎𝑑𝑜, 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑔𝑜}
e) Al escoger una asignatura del primer semestre
Ω = {Cálculo 1,Contabilidad 1,Intr. a la Economía,Administración,Intr. a la investigación, Adm. tributaria }
f) Al arrojar 2 monedas
Ω = {𝐶𝐶, 𝐶𝑆, 𝑆𝐶, 𝑆𝑆}
Al arrojar
una moneda
Cara (C)
Sello (S)
Al arrojar un dado
1
2
3
4
5
6
Al arrojar
una
moneda
Cara (C)
Cara (C) CC
Sello (S) CS
Sello (S)
Cara (C) SC
Sello (S) SS
2. g) Al arrojar un dado y una moneda.
Ω = {1𝑐; 1𝑠; 2𝑐; 2𝑠; 3𝑐; 3𝑠; 4𝑐; 4𝑠; 5𝑐; 5𝑠; 6𝑐; 6𝑠}
h) Al arrojar dos dados
𝛺 =
{
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)}
i) Al extraer 2 cartas de una urna que contiene 3 cartas rojas, 1 blanca y 4 negras. (Con y sin
reposición).
Sin repetición
Ω = {𝑅𝑅, 𝑅𝐵, 𝑅𝑁, 𝐵𝑅, 𝐵𝑁, 𝑁𝑅, 𝑁𝐵, 𝑁𝑁}
Con repetición
Ω = {𝑅𝑅, 𝑅𝐵, 𝑅𝑁, 𝐵𝑅, 𝐵𝐵, 𝐵𝑁, 𝑁𝑅, 𝑁𝐵, 𝑁𝑁}
Urna
3 cartas Rojas
1 Cartas Blancas
4 Negras
Roja
Roja RR
Blanca RB
Negra RN
Blanca
Roja BR
Negra BN
Negra
Roja NR
Blanca NB
Negra NN
Urna
3 cartas Rojas
1 Cartas Blancas
4 Negras
Roja
Roja RR
Blanca RB
Negra RN
Blanca
Roja BR
Blanca BB
Negra BN
Negra
Roja NR
Blanca NB
Negra NN
3. j) El valor en Bs. al extraer 2 monedas de una urna que contiene 2 de Bs.1, 3 de Bs.0,5.
Ω = {𝐵𝑠. 2; 𝐵𝑠. 1,5; 𝐵𝑠. 1}
k) Resultado económico de una empresa en una gestión.
Ω = {𝑃é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎; 𝐵𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙; 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟 𝐵𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜}
Pregunta 2
Calcular las siguientes probabilidades:
Inciso a) Salga cara al arrojar una moneda
Al arrojar existen 2 posibilidades, de los cuales solo 1 es cara.
P(Cara) =
1
2
= 0.5 = 50%
Inciso b) Al arrojar 2 veces una moneda y salga una cara y una cruz (no interesa el orden)
Al arrojar 2 veces una moneda existen en total 4 posibilidades de las cuales 2 están a favor
P(CS o SC) =
2
4
= 0.5 = 50%
Inciso c) Extraer una bola blanca de una urna que contiene 2 bolas azules y 3 blancas.
P(𝐵𝑙𝑎𝑛𝑐𝑎) =
3
5
= 0.6 = 60%
Inciso d) Escoger un estudiante de economía de un aula donde ahí 10 de Adm, 20 de Com y 5 de Eco
P(𝐸𝑐𝑜) =
5
35
= 0.1428 = 14.28%
En total son 35 estudiantes, de los cuales solo 5 son de economía.
Inciso e) Al arrojar un dado la probabilidad de obtener
𝑃( 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟) =
3
6
= 50%
𝑃( 𝑥 = 6) =
1
6
= 16.67%
𝑃( 𝑋 ≤ 6) =
6
6
= 100%
𝑃( 𝑋 < 6) =
5
6
= 83.33%
Al arrojar
una moneda
Cara (C) (A favor)
Sello (S) (NO)
Al arrojar
una
moneda
Cara (C)
Cara (C) CC (No)
Sello (S) CS (SI)
Sello (S)
Cara (C) SC (SI)
Sello (S) SS (NO)
4. Inciso f) Al arrojar 2 veces una moneda obtener:
i) 2 caras
P(CC) =
1
4
= 0.25 = 25%
ii)1 cara
P(1C) =
2
4
= 0.5 = 50%
iii) ninguna cara
P(0 𝐶) =
1
4
= 0.25 = 50%
iv) por lo menos 1 cara.
P(CS o SC) =
3
4
= 0.75 = 75%
Inciso g) Al extraer 2 bolas de una urna que contiene 3 bolas rojas, 1 blanca y 2 negras, salga 2 rojas.
(Con reposición). (Resuelto bajo el concepto clásico)
𝑃(𝑅𝑅) =
1
9
Al arrojar
una
moneda
Cara (C)
Cara (C) CC (SI)
Sello (S) CS (NO)
Sello (S)
Cara (C) SC (NO)
Sello (S) SS (NO)
Al arrojar
una
moneda
Cara (C)
Cara (C) CC (No)
Sello (S) CS (SI)
Sello (S)
Cara (C) SC (SI)
Sello (S) SS (NO)
Al arrojar
una
moneda
Cara (C)
Cara (C) CC (No)
Sello (S) CS (SI)
Sello (S)
Cara (C) SC (SI)
Sello (S) SS (NO)
Al arrojar
una
moneda
Cara (C)
Cara (C) CC (No)
Sello (S) CS (SI)
Sello (S)
Cara (C) SC (SI)
Sello (S) SS (NO)
5. Pregunta 3
Calcular los números de elementos indicados en los siguientes conjuntos y las probabilidades que se
requieran:
Inciso a)
De un grupo de 80 radio oyentes, 50 escuchan Radio Disney (D), 60 escuchan Radio Activa (A), 40
escuchan ambas. Al escoger al azar a un radio oyente cual es la probabilidad:
𝑈 = 80, 𝐷 = 50, 𝐴 = 60, 𝐷 𝑦 𝐴 = 40
Pregunta i: ¿Que escuche D?
P(𝐷) =
50
80
= 0.625 = 62.5%
Pregunta ii: ¿Que escuche solo D?
P(𝑆𝑜𝑙𝑜 𝐷) =
50 − 40
80
=
10
80
= 0.125 = 12.5%
Pregunta iii: ¿Que escuche A?
P(𝐷) =
60
80
= 0.75 = 75%
Pregunta iv: ¿Que escuche solo A?
P(𝑆𝑜𝑙𝑜 𝐴) =
60 − 40
80
=
20
80
= 0.25 = 25%
Pregunta v: ¿Escuche D o A?
P(𝐷 𝑜 𝐴) = P(D) + 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐷 𝑦 𝐴) =
60
80
+
50
80
−
40
80
=
70
80
= 0.875 = 87.5%
Pregunta vi: ¿No escuche ni D ni A?
P(𝐷 𝑜 𝐴̅̅̅̅̅̅̅) = 1 − P(𝐷 𝑜 𝐴) = 1 − 0.875 = 12.5%
D=50 A=60
40
U=80
6. Inciso b)
Dentro de una muestra de 60 estudiantes que les gustas ver películas, a 40 les gusta verlas en la TV, a
30 en el Cine y a 25 le es indiferente
𝑈 = 60, 𝑇 = 40, 𝐶 = 30, 𝐷 𝑦 𝐴 = 25
Cuál es la probabilidad de escoger al azar un estudiante que:
Le guste ver en el Cine o en la TV
P(𝑇 𝑜 𝐶) = P(𝑇) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝑇 𝑦 𝐶) =
40
60
+
30
60
−
25
60
=
45
60
= 0.75 = 75%
Le guste ver en el Cine
𝑃(𝐶) =
30
60
= 0.5 = 50%
Le guste ver solo en el cine
𝑃(𝐶) =
30 − 25
60
=
5
60
= 0.0833 = 8.33%
Inciso c)
En una empresa que cuenta con 200 empleados, a 150 empleados se le abona el sueldo en su cuenta
que mantienen en el Banco Unión S.A., 80 cuentan con algún préstamo en esta entidad y 50 tienen
ambos.
𝑈 = 200, 𝐶 = 150, 𝑃 = 80, 𝐷 𝑦 𝐴 = 50
Cuál es la probabilidad de escoger al azar a un empleado y este:
No tenga préstamos
𝑃( P̅̅̅ ) = 1 − P(P) = 1 −
150
200
= 0.25 = 25%
Le abonen sueldo o tenga un Préstamo en el Banco Unión.
P(𝐶 𝑜 𝑃) = P(𝐶) + 𝑃(𝑃) − 𝑃(𝑆 𝑦 𝑃) =
150
200
+
80
200
−
50
200
=
180
200
= 0.90 = 90%
T=40 C=30
25
U=60
C=150 P=80
50
U=200
7. Inciso d) Según un estudio realizado en la Universidad Gabriel René Moreno, se llegó a concluir que
40% de los estudiantes tienen caja de ahorro en los Bancos, 35% tienen en las cooperativas y un 25%
en ambas.
𝑈 = 100%, 𝐵 = 40%, 𝑃 = 35%, 𝐷 𝑦 𝐴 = 25%
¿Qué porcentaje de estudiantes solo confían en los bancos?
P(𝑆𝑜𝑙𝑜 𝐵) = 40% − 25% = 15%
¿Qué porcentaje de los estudiantes solo confían en las cooperativas?
P(𝑆𝑜𝑙𝑜 𝐶) = 35% − 25% = 10%
¿Qué porcentaje de estudiantes tienen caja de ahorro?
P(𝐵 𝑜 𝐶) = P(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐵 𝑦 𝐶) = 40% + 35% − 25% = 50%
¿Qué porcentaje de estudiantes no confían en las cooperativas?
𝑃( C̅̅̅ ) = 1 − P(C) = 1 − 0.35 = 0.65 = 65%
¿Qué porcentaje de estudiantes no tienen caja de ahorro?
𝑃( B o C̅̅̅̅̅̅̅̅ ) = 1 − P(B o C) = 1 − 0.50 = 0.50 = 50%
Inciso e) Según el Ministro de Finanzas en el 2011 la confianza del público en el sistema Financiero a
mejorado, según su informe el 30% de la población confía su dinero a los Bancos, el 26% a las
Cooperativas, el 24% a Fondos Financieros Privados, 8% a bancos y cooperativas, 5% a Bancos y
Fondos, 4% a cooperativas y fondos y 2% mantiene depósitos en los tres tipo de instituciones financiera.
𝑃(𝐵) = 30%, 𝑃(𝐶) = 26%, 𝑃(𝐹) = 24%
𝑃(𝐵 𝑦 𝐶) = 8%, 𝑃(𝐵 𝑦 𝐹) = 5%, 𝑃(𝐶 𝑦 𝐹) = 4%, 𝑃 (𝐵 𝑦 𝐶 𝑦 𝐹) = 2%
¿Si el 2010 el 58% del publico confiaba en el sistema Financiero, es cierta la afirmación del
Ministro?
𝑃(𝐵 ∪ 𝐶 ∪ 𝐹) = 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) + 𝑃(𝐹) − 𝑃(𝐵 𝑦 𝐶) − 𝑃(𝐵 𝑦 𝐹) − 𝑃(𝐶 𝑦 𝐹) + 𝑃 (𝐵 𝑦 𝐶 𝑦 𝐹)
𝑃(𝐵 ∪ 𝐶 ∪ 𝐹) = 30% + 26% + 24% − 8% − 5% − 4% + 2%
𝑃(𝐵 ∪ 𝐶 ∪ 𝐹) = 65%
La afirmación del ministro es cierta
¿Qué porcentaje del público confía solo en los bancos?
𝑃(𝑆𝑂𝐿𝑂 𝐵) = 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐵 𝑦 𝐶) − 𝑃(𝐵 𝑦 𝐹) + 𝑃 (𝐵 𝑦 𝐶 𝑦 𝐹)
𝑃(𝑆𝑂𝐿𝑂 𝐵) = 30% − 8% − 5% + 2%
𝑃(𝑆𝑂𝐿𝑂 𝐵) = 19%
¿Qué porcentajes del público no confía en las Cooperativas?
𝑃( 𝐶̅̅̅ ) = 1 − 𝑃(𝐶)
𝑃( 𝐶̅̅̅ ) = 100% − 26%
𝑃( 𝐶̅̅̅ ) = 74%
B=40% P=35%
25%
U=100%
8. Pregunta 4: Calcular la probabilidad de los siguientes Eventos, analizando si son o no mutuamente
excluyentes.
Inciso a) Se lanzan 2 dados buscando que la suma sea 7 o que ambos sean impares
Son eventos exclusivos
𝑃(7 𝑜 𝐼) = 𝑃(7) + 𝑃(𝐼) =
6
36
+
9
36
=
15
36
= 41.67%
Inciso b) Se lanzan 2 dados buscando que la suma sea 6 o que ambos sean pares.
𝑃(6 𝑜 𝑃) = 𝑃(6) + 𝑃(𝑃) − 𝑃(6 𝑦 𝑃) =
5
36
+
9
36
=
2
36
= 44.44%
Inciso c) Se lanza un dado buscando impar o menor que 5.
𝑃(𝐼 𝑜 < 5) = 𝑃(𝐼) + 𝑃(< 5) − 𝑃(𝐼 𝑜 < 5) =
3
6
+
4
6
−
2
6
=
5
6
Inciso d) De un mazo de 52 cartas, calcular la probabilidad de extraer un 9 o un rey.
𝑃(9 𝑜 𝑅) = 𝑃(9) + 𝑃(𝑅) =
4
52
+
4
52
= 15.38%
Inciso e) De un mazo de 52 cartas, calcular la probabilidad de extraer un 7 o un trébol.
𝑃(7 𝑜 𝑇) = 𝑃(7) + 𝑃(𝑇) − 𝑃(7 𝑦 𝑇) =
4
52
+
13
52
−
1
52
= 30.77%
Pregunta 5: Al lanzar 2 dados y se sumen las caras que dan al cielo ¿a qué suma apostaría?
Revisando el cuadro del inciso a) de la pregunta 4, se puede indicar que es 7, ya que comparado con
los demas tiene mayor probarbilidad de salir
Pregunta 6: Ud. Es Gerente de Auditoría interna del Banco Ganadero S.A., hoy ingreso la ASFI a realizar
una auditoría externa, le solicito el expediente de 10 clientes, de los cuales 3 contenían algún error de
procedimiento. Si el ejecutivo de la ASFI por falta de tiempo solo reviso 2 de estos expedientes ¿Cuál
es la probabilidad que ninguna de ellas contenga algún error de procedimiento?
Al escoger la primera carpeta sin error la probabilidad es 7 de 10, al escoger la segunda como ya salio
una carpeta sin error, la probabilidad estraer un sin erro seria 6 de 9 por lo tanto:
𝑃(𝐵𝐵) =
7
10
×
6
9
= 0.4667 = 46.67%
Pregunta 7: Ud. Es cajero en una agencia del Banco Nacional de Bolivia, donde en este momento hay
12 personas esperando ser atendidas por cajas, 4 desean realizar depósitos, 3 desean pagar su cuota
de préstamo y 5 desean retirar dinero.
4 van Clientes Depositar
3 Pagaran préstamos
5 van Retirar
Calcular la probabilidad de los siguientes casos, llamar:
Inciso a) Un cliente que desea depositar.
𝑃(𝐷) =
4
12
= 0.3333 = 33.33%
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Dado2
Dado 1
9. Inciso b) Dos clientes que desean retirar.
Al llamar al primer cliente en la agencia existe 5 personas que desean retiran de un total de 12.
Al llamar al segundo cliente, hay que tomar en cuenta que existe me nos una persona que ya retiro
por lo tanto quedan 4 personas que desean retirar de 11.
𝑃(𝑅𝑅) =
5
12
×
4
11
= 0.1515 = 15.15%
Inciso c) Que el 2 cliente que atienda desee pagar su cuota
𝑃(2𝑑𝑜 𝑃) = 𝑃(𝐷𝑃) + 𝑃(𝑅𝑃) + 𝑃(𝑃𝑃)
𝑃(2𝑑𝑜 𝑃) =
4
12
×
3
11
+
5
12
×
3
11
+
3
12
×
2
11
𝑃(2𝑑𝑜 𝑃) =
4
12
×
3
11
+
5
12
×
3
11
+
3
12
×
2
11
𝑃(2𝑑𝑜 𝑃) = 0.25 = 15%
Inciso d) 3 clientes, el 1º retire, el 2º deposite y el 3º pague su cuota.
𝑃(𝑅𝐷𝑃) =
5
12
×
4
11
×
3
10
= 0.0454 = 4.54%
Pregunta 8: De un grupo de estudiantes 50% aprobó cálculo (M), 55% contabilidad (C) y 15% aprobó
ambas, eligiendo un estudiante al azar, calcular la probabilidad:
Inciso a) Haber aprobado M o C.
𝑃(𝑀 𝑜 𝐶) = 𝑃(𝑀) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝑀 𝑌 𝐶)
𝑃(𝑀 𝑜 𝐶) = 50% + 55% − 15%
𝑃(𝑀 𝑜 𝐶) = 90%
Inciso b) Haber aprobado M dado que aprobó C.
𝑃(𝑀| 𝐶) =
𝑃(𝑀 𝑌 𝐶)
𝑃(𝐶)
=
0,15
0,55
= 0,2727 = 27,27%
Inciso c) Haber aprobado C dado que aprobó M.
𝑃(𝐶| 𝑀) =
𝑃(𝐶 𝑌 𝑀)
𝑃(𝑀)
=
0,15
0,50
= 0,3 = 30%
Inciso d) Haber aprobado solo M.
𝑃(𝑆𝑜𝑙𝑜 𝐶) = 50% − 15% = 35%
Pregunta 9: De un grupo de 300 universitarios de Ingeniería Financiera y Economía, 30% son mujeres,
un 60% son de Ingeniería Financiera de las que un ¼ son mujeres.
Inciso a) Calcular las probabilidades marginales
𝑃( 𝐹) =
180
300
= 60%
𝑃( 𝐸) =
120
300
= 40%
𝑃( 𝑀) =
90
300
= 30%
𝑃( 𝐻) =
210
300
= 70%
Mujeres Hombres Total
Ing. Fina 45 135 180
Economía 45 75 120
Total 90 210 300
10. Inciso b) Calcular las probabilidades conjuntas
𝑃( 𝐹 𝑦 𝑀) =
45
300
= 15%
𝑃( 𝐹 𝑦 𝐻) =
135
300
= 45%
𝑃( 𝐸 𝑦 𝑀) =
45
300
= 15%
𝑃( 𝐸 𝑦 𝐻) =
75
300
= 25%
Inciso c) Calcular las probabilidades condicionales
𝑃( 𝐹| 𝑀) =
𝑃( 𝐹 𝑦 𝑀)
𝑃(𝑀)
=
0.15
0.30
= 0.50
𝑃( 𝐹| 𝐻) =
𝑃(𝐹 𝑦 𝐻)
𝑃(𝐻)
=
0.45
0.70
= 0.6429
𝑃( 𝐸| 𝑀) =
𝑃( 𝐸 𝑦 𝑀)
𝑃(𝑀)
=
0.15
0.30
= 0.50
𝑃( 𝐸| 𝐻) =
𝑃(𝐸 𝑦 𝐻)
𝑃(𝐻)
=
0.25
0.70
= 0.3571
𝑃( 𝑀| 𝐹) =
𝑃( 𝑀𝑦 𝐹)
𝑃(𝐹)
=
0.15
0.60
= 0.25
𝑃( 𝑀| 𝐸) =
𝑃(𝑀 𝑦 𝐸)
𝑃(𝐸)
=
0.15
0.40
= 0.375
𝑃( 𝐻| 𝐹) =
𝑃( 𝐻 𝑦 𝐹)
𝑃(𝐹)
=
0.45
0.60
= 0.75
𝑃( 𝐻| 𝐸) =
𝑃(𝐻 𝑦 𝐸)
𝑃(𝐸)
=
0.25
0.40
= 0.625
Pregunta 10: En una empresa de 400 trabajadores 70% de los empleados son hombres de los cuales
40 % son profesionales, entre las mujeres solo el 25% son profesionales
Inciso a) Calcular las probabilidades marginales
𝑃( 𝑃) =
142
400
= 35.5%
𝑃( 𝑛𝑜 𝑃) =
258
400
= 64.5%
𝑃( 𝑀) =
120
400
= 30%
𝑃( 𝐻) =
280
300
= 70%
Inciso b) Calcular las probabilidades conjuntas
𝑃( 𝑃 𝑦 𝑀) =
30
400
= 7.5%
𝑃( 𝑃 𝑦 𝐻) =
112
400
= 28%
𝑃( 𝑛𝑜 𝑃 𝑦 𝑀) =
90
400
= 22.5%
𝑃( 𝑛𝑜 𝑝 𝑦 𝐻) =
168
400
= 0.42%
Pregunta 11: Se tienen 2 cajas A y B, en A hay 6 bolas negras y 3 rojas, en B hay 2 rojas, 3 negras y
4verdes, se retira una bola de la caja A si es negra se la deposita en la caja B caso contrario se la coloca
a un lado, se retira una bola de la caja B, cual es la probabilidad.
Hombres Mujeres Total
Profesional 112 30 142
No profesional 168 90 258
Total 280 120 400
11. Inciso a) Que sea negra
𝑃(𝑁) = 𝑃(𝑁𝑁) + 𝑃(𝑅𝑁)
𝑃(𝑁) =
24
90
+
9
81
=
17
45
= 0,3778 = 37,78%
Inciso b) Que sea verde
𝑃(𝑉) = 𝑃(𝑁𝑉) + 𝑃(𝑅𝑉)
𝑃(𝑉) =
24
90
+
12
81
=
58
135
= 0,4148 = 41,48%
Inciso c) Que sea roja
𝑃(𝑅) = 𝑃(𝑁𝑅) + 𝑃(𝑅𝑅)
𝑃(𝑅) =
12
90
+
6
81
=
28
135
= 0,2074 = 20,74%
Pregunta 12: Se tiene 2 cajas A y B; en A hay 5 bolas negras y 4 rojas, en B hay 2 rojas, 3 negras y 4
verdes, se retira una bola de la caja A y se la deposita en la caja B y luego se retira una bola de la caja
B.
Inciso a) Dibuje un diagrama de árbol.
𝑃 𝑁 =
6
9
𝑃 𝑅 =
2
10
, 𝑃 𝑁𝑅 =
6
9
×
2
10
=
12
90
𝑃 𝑁 =
4
10
, 𝑃 𝑁𝑁 =
6
9
×
4
10
=
24
90
𝑃 𝑉 =
4
10
, 𝑃 𝑁𝑉 =
6
9
×
4
10
=
24
90
𝑃 𝑅 =
3
9
𝑃 𝑅 =
2
9
, 𝑃 𝑅𝑅 =
3
9
×
2
9
=
6
81
𝑃 𝑁 =
3
9
, 𝑃 𝑅𝑁 =
3
9
×
3
9
=
9
81
𝑃 𝑉 =
4
9
, 𝑃 𝑅𝑉 =
3
9
×
4
9
=
12
81
12. Inciso b) Calcule la probabilidad que salga negra
𝑃(𝑁) =
20
90
+
12
90
=
32
90
= 35,56%
Inciso c) Calcule la probabilidad que salga roja
𝑃(𝑅) =
10
90
+
12
90
=
22
90
= 24,44%
Inciso d) Cuál es la probabilidad que salga negra, si la bola que se trasladó de A a B es roja.
𝑃(𝑁| 𝑅) =
𝑃(𝑅𝑁)
𝑃(𝑅)
=
12
90
22
90
=
12
22
= 0,5454 = 54,54%
Inciso e) Cuál es la probabilidad que salga verde, si la bola que se trasladó de A a B es negra.
𝑃(𝑉| 𝑁) =
𝑃(𝑁𝑉)
𝑃(𝑁)
=
20
90
32
90
=
12
32
= 0,375 = 37,5%
𝑃 𝑁 =
5
9
𝑃 𝑅 =
2
10
, 𝑃 𝑁𝑅 =
5
9
×
2
10
=
10
90
𝑃 𝑁 =
4
10
, 𝑃 𝑁𝑁 =
5
9
×
4
10
=
20
90
𝑃 𝑉 =
4
10
, 𝑃 𝑁𝑉 =
5
9
×
4
10
=
20
90
𝑃 𝑅 =
4
9
𝑃 𝑅 =
3
10
, 𝑃 𝑅𝑅 =
4
9
×
3
10
=
12
90
𝑃 𝑁 =
3
10
, 𝑃 𝑅𝑁 =
4
9
×
3
10
=
12
90
𝑃 𝑉 =
4
10
, 𝑃 𝑅𝑉 =
4
9
×
4
10
=
16
90
13. Pregunta 13: UD es gerente de una agencia del Banco Mercantil Santa Cruz y tiene 3 ejecutivos de
plataforma a su cargo, hoy le realizaran una auditoria sorpresa, el ejecutivo “A” ha realizado 9
operaciones de las cuales 3 están incompletas, el ejecutivo “B” a realizado 15 operaciones de las cuales
4 están incompletas y el ejecutivo C a realizado 12 operaciones en las cuales 6 esta incompletas. El
analistas selecciona al azar uno de los ejecutivos y escoge una carpeta.
Pregunta 13
Inciso a) ¿Cuál es la probabilidad que la operación seleccionada esta completa?
𝑃(𝑃) = 𝑃(𝐴𝑃) + 𝑃(𝐵𝑃) + 𝑃(𝐶𝑃)
𝑃(𝑃) =
1
3
×
6
9
+
1
3
×
11
15
+
1
3
×
6
12
𝑃(𝑃) = 0,6333
𝑃(𝑃) = 63,33%
Inciso b) ¿Cuál es la probabilidad que la operación pertenezca al ejecutivo A dado que la operación está
completa?
𝑃(𝐴|𝑃) =
𝑃(𝐴𝑃)
𝑃(𝑃)
=
1
3
×
6
9
0,6333
= 35,09%
Pregunta 14: En una fábrica se conoce que cierta máquina que produce tornillos, trabaja correctamente
el 95% del tiempo. Si la maquina no está trabajando correctamente, el 2% de los tornillos son
defectuosos cuando está trabajando bien solamente el 0.1% de los tornillos son defectuosos. Si se
escoge un tornillo aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?
𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐶𝐷) + 𝑃(𝐶̅ 𝐷)
𝑃(𝐷) = 0,95 × 0,001 + 0,05 × 0,02
𝑃(𝐷) = 0,00195 = 0,195%
𝑃(𝐷) = 0,195%
𝑃 𝐴 =
1
3
𝑃 𝑃 =
6
9
𝑃 𝐼 =
3
9
𝑃 𝐵 =
1
3
𝑃 𝑃 =
11
15
𝑃 𝐼 =
4
15
𝑃 𝐶 =
1
3
𝑃 𝑃 =
6
12
𝑃 𝐼 =
6
12
14. Pregunta 15: Una compañía de desarrollo urbano está considerando la posibilidad de construir un
condominio en el Urubo. Un elemento Vital de esta consideración es el proyecto del Puente
Centenario. Si el consejo municipal aprueba la construcción del Puente Centenario, hay una
probabilidad del 90% de que la compañía construya el condominio, en tanto en que si la construcción
del puente centenario no es aprobada es de solo 30%. Basándose en la información disponible el
presidente de la compañía estima que hay una probabilidad del 80% que la construcción del Puente
Centenario se aprobado.
Inciso a) ¿Cuál es la probabilidad que la compañía construya el condominio?
𝑃(𝐶) = 𝑃(𝑃 𝑦 𝐶) + 𝑃(𝑛𝑜 𝑃 𝑦 𝐶)
𝑃(𝐶) = 0.72 + 0.06
𝑃(𝐶) = 0.78
Inciso b) Dado que el condominio fue construido ¿Cuál es la probabilidad que la construcción del puente
haya sido aprobada?
𝑃(𝑃| 𝐶) =
𝑃(𝑃 𝑦 𝐶)
𝑃(𝐶)
=
0.72
0.78
= 0.9231 = 92.31%
Pregunta 16: De cuantas maneras se podrá acomodar 6 niños y 4 niñas en una fila si:
Inciso a) No existe ninguna restricción
10! = 3628800
Inciso b) Los niños deben estar siempre juntos
5! × 6! = 86400
Inciso c) Las niñas deben estar siempre juntas
7! × 4! = 120960
Inciso d) Deben estar separados en dos grupos (niños, niñas)
2! × 6! × 4! = 34560
Inciso e) Se los acomoda de forma circular
(10 − 1)! = 9! = 3628800
Pregunta 17: Ud. es inversionista en la Bolsa de Valores de Nueva York y desea invertir en diferentes
empresas, su asesor de inversiones le ofrece invertir en 20 empresas, si solo invertirá en 3 ¿cuántas
opciones tiene a su disposición?
Se aplica combinación
𝐶3
20
=
20!
3! × (20 − 3)!
= 1140
P(P)= 0.80
P(C)=0.90 P(P y C)=0.80X0.90=0.72
P(no C)=0.10 P(P y no C)=0.80X0.10=0.08
P(no P)=0.20
P(C)=0.30 P(no P y C)=0.20X0.30=0.06
P(no C)=0.70 P(no P y no C)=0.20X0.70=0.06=0.14
15. Pregunta 18: Ud. es Analista de RRHH de una empresa multinacional que esta aperturando su sucursal
en Bolivia y por referencias personales convoca a 20 personas, después de haber realizado pruebas
psicotécnicas y de conocimiento deberá escoger a 3 personas para los siguientes cargos: Ejecutivo
Comercial, Ejecutivo de Riesgo y Ejecutivo de servicios, cuantas opciones se pueden formar.
Se aplica permutación
𝑃3
20
=
20!
(20 − 3)!
= 6840
Pregunta 19: En un curso de estadística inferencial hay 15 hombres y 20 mujeres de cuantas maneras
se pueden formar grupos de tres personas si el grupo de esta conformado de la siguiente manera:
Inciso a) Dos mujeres y un hombre
𝐶1
15
× 𝐶2
20
= 2850
Inciso b) Dos hombres y una mujer
𝐶2
15
× 𝐶1
20
= 2100
Pregunta 20: Repsol quiere conformar un grupo para un proyecto de inversión debe estar conformado
por 3 Ing. Financieros y 4 Administradores, cuantas opciones se podrán conformar si existen en la
empresa 8 ing. Financieros y 12 Administradores disponibles.
𝐶3
8
× 𝐶4
12
= 27720
Pregunta 21: Si en ENDE S.A. hay disponible 7 Ing. Financieros y 9 Administradores cuantas opciones
de grupo de 4 tendrá si el grupo estará conformado por:
Inciso a) 3 Ing. Financieros y 1 Administradores.
𝐶3
7
× 𝐶1
9
= 63
Inciso b) 2 Administradores y 2 Ing. Financiero.
𝐶2
7
× 𝐶2
9
= 756
Inciso c) Todos sean Ing. Financieros.
𝐶4
7
= 35
Inciso d) Todos sean administradores.
𝐶4
9
= 126
Pregunta 22: De 12 proyectos un gerente debe escoger cuatro. ¿De cuántas maneras puede llevar
acabo su selección?
𝐶4
12
= 495
16. Pregunta 23: Grafique la distribución de probabilidad y Calcule la esperanza matemática y la varianza
para cada una de las tablas:
Inciso a)
𝑥 𝑃(𝑥) 𝑥 ∙ 𝑃(𝑥) 𝑥2
∙ 𝑃(𝑥)
0 0,15 0 0
1 0,2 0,2 0,2
2 0,25 0,5 1
3 0,25 0,75 2,25
4 0,1 0,4 1,6
5 0,05 0,25 1,25
Total 2,1 6,3
𝐸(𝑥) = ∑ 𝑥 ∙ 𝑃(𝑥) = 2,1
𝐸(𝑥2) = ∑ 𝑥2
∙ 𝑃(𝑥) = 6,3
𝑉(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − [𝐸(𝑥)]2 = 6,3 − (2,1)2 = 1,89
Inciso b)
𝑥 𝑃(𝑥) 𝑥 ∙ 𝑃(𝑥) 𝑥2
∙ 𝑃(𝑥)
0 0,1 0 0
1 0,2 0,2 0,2
2 0,3 0,6 1,2
3 0,3 0,9 2,7
4 0,1 0,4 1,6
Total 1 2,1 5,7
𝐸(𝑥) = ∑ 𝑥 ∙ 𝑃(𝑥) = 2,1
𝐸(𝑥2) = ∑ 𝑥2
∙ 𝑃(𝑥) = 5,7
𝑉(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − [𝐸(𝑥)]2
= 5,7 − (2,1)2
= 1,29
Pregunta 24: Aplique la esperanza matemática y la varianza en los siguientes casos:
Inciso a) Un negocio ofrece una ganancia de 500 Bs con probabilidad de 0,7, si existe perdida será de
200 Bs.
𝐸(𝑥) = 500 × 0.7 − 200 × 0.3 = 410
𝑉(𝑥) = (5002
× 0.7 + 2002
× 0.3) − (410)2
=
Inciso b) En un juego se gana 10 Bs. con probabilidad de 0.2 y 5 Bs. con probabilidad de 0.8.
𝐸(𝑥) = 10 × 0.2 + 5 × 0.8 = 6
𝑉(𝑥) = (102
× 0.2 + 52
× 0.8) − 62
=
Inciso c) Si se vende 3000 billetes de lotería a un dólar cada uno para el sorteo de un coche de $us.4.000
¿Cuál es la ganancia esperada?
𝐸(𝑥) = 3999 ×
1
3000
− 1 ×
2999
3000
= 0.3333
17. 𝑉(𝑥) = (39992
×
1
3000
− 12
×
2999
3000
) − (0.3333)2
=
Inciso d) En un día soleado un heladero gana 90 Bs., si el día está nublado su pérdida es de Bs.8 La
probabilidad de día soleado es de 0.4.
𝐸(𝑥) = 90 × 0.4 − 8 × 0.6 = 31.2
𝑉(𝑥) = (902
× 0.4 + 52
× 0.8) − (31.2)2
=
Inciso e) El deber publica 150.000 unidades de periódicos por día a un costo de Bs.3 cada unidad, según
un centro de investigación indica que existe la probabilidad del 10%, que venda 50.000 unidades 20%,
que venda 100.000 unidades 70%, que venda a un precio de Bs. 5.- la unidad.
Precio
Cantidad
vendida
Ingreso Costo Utilidad (x) 𝑃(𝑥) 𝑥 ∙ 𝑃(𝑥) 𝑥2
∙ 𝑃(𝑥)
5 50,000 250,000 450,000 -200,000 20% -40,000 8,000,000,000
5 100,000 500,000 450,000 50,000 70% 35,000 1,750,000,000
5 150,000 750,000 450,000 300,000 10% 30,000 9,000,000,000
Total 25,000 18,750,000,000
𝐸(𝑥) = 25´000
𝑉(𝑥) = 1875´0000´000 − (25´000)2
= 18´125´000
Pregunta 25: Para las siguiente funciones de densidad, la esperanza matemática, la varianza, y en los
dos últimos casos la probabilidad que x<=1.
Inciso a) f(y)=2y 0<y<1 y 0 para otro y
Esperanza Matemática
𝐸(𝑦) = ∫ 𝑦 ∙ 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦
+∞
−∞
𝐸(𝑦) = ∫ 𝑦 ∙ 2𝑦
1
0
𝑑𝑦
𝐸(𝑦) = ∫ 2𝑦2
1
0
𝑑𝑦
𝐸(𝑦) =
2
3
𝑦3
|0
1
𝐸(𝑦) =
2
3
Varianza
𝑉(𝑦) = 𝐸(𝑦2) − [𝐸(𝑦)]2
𝑉(𝑦) = 0.5 − (
2
3
)
2
𝑉(𝑦) = 0.0556
𝐸(𝑦2) = ∫ 𝑦2
∙ 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦
+∞
−∞
𝐸(𝑦2) = ∫ 𝑦2
∙ 2𝑦 𝑑𝑦
1
0
𝐸(𝑦2) = ∫ 2𝑦3
1
0
𝑑𝑦
𝐸(𝑦2) =
2𝑦4
4
|0
1
𝐸(𝑦2) = 0,5
