Este documento describe las funciones hiperbólicas, incluyendo su interpretación geométrica, definición, dominios y gráficas. Explica las relaciones entre las funciones hiperbólicas y circulares, así como fórmulas para la suma y diferencia de argumentos. Finalmente, discute la derivación de las funciones hiperbólicas.

1. LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS JUAN MANUEL PÉREZ DELGADO
MATEMÁTICA. SEPTIEMBRE, 2003
LAS FUNCIONES
HIPERBÓLICAS
Por Juan Manuel PÉREZ DELGADO
1. Interpretación geométrica del argumento de las
funciones hiperbólicas.
2. La definición de las funciones hiperbólicas.
3. Fórmulas de la suma y diferencia de argumentos.
4. Relaciones entre las funciones hiperbólicas y circulares.

2. LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS JUAN MANUEL PÉREZ DELGADO
MATEMÁTICA. SEPTIEMBRE, 2003
1. Interpretación geométrica del argumento de las funciones
hiperbólicas:
Si en el uso de las funciones circulares el argumento más frecuentemente usado es
el “ángulo central AOC = α” con origen en el centro de la circunferencia y medido
desde el semieje positivo de abcisas en el sentido contrario a las agujas del reloj,
para las funciones hiperbólicas no podemos usar este tipo de argumento porque le
faltaría la congruencia geométrica que sí posee en las funciones circulares.
Sin embargo, se podría haber tomado como argumento de las funciones circulares
un valor “x”, correspondiente al área del sector circular con ángulo central
FOC=”2α”, puesto que de la circunferencia unidad se tiene que:
Área ralmitadángulocentRx ==== αα2
2
1 2
sen x = dis DC = sen α, cos x = dis OD = cos α, tg x = dis AB = tg α
Traduciendo esta idea a la siguiente figura que obtenemos desde la rama derecha
de la hipérbola equilátera x2
– y2
= 1, se obtendría:
Si llamamos dis DC = t, dis OA = c, dis AB = s se tienen los siguientes hechos:

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1º) El punto B, de coordenadas (c,s) pertenece a la hipérbola, luego 122
=− sc .
2º) Se tiene, por el Teorema de Thales, la relación siguiente:
Si ahora calculamos el área x por métodos de cálculo integral, se tiene, con la
notación que usamos:
dxxcsxArea
c
.12.""
1
2
∫ −−==
Como una primitiva es 1
2
1
1
2
1
.1 222
−+−−=−∫ xxLxxdxx
Se tiene:
1
11.1
2
1
1
2
1
.""
2
22
1
22
−+=
=−++−−=





−+−−−==
ccL
ccLcccsxxLxxcsxArea
c
Con lo cual obtenemos que
1"" 2
−+== ccLxArea [1]
De aquí, podemos redefinir la dis OA = c, en función del área x.
⇒−=+−⇒−=−⇒−+=⇒−+= 1..2111 222222
ccceeccecceccLx xxxx
2.2
1
..21
2
2
xx
x
x
xx ee
e
e
ccee
−
+
=
+
=⇒=+
También, a partir de [1] y de la relación 122
=− sc :
,11 22
ssLscLccLx ++=+=−+= luego se obtiene que
⇒+=+−⇒+=−⇒++= 1..11
22222
ssseeessesse
xxxx
2.2
1
..21
2
2
xx
x
x
xx ee
e
e
ssee
−
−
=
−
=⇒=−
Y por último, dado que es :
c
s
t =
2
2222
2
1
1
1.1.
1
t
ccctcct
c
c
c
s
t
−
=⇒−=⇒−=⇒
−
==

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MATEMÁTICA. SEPTIEMBRE, 2003
Además,
2
1
.
t
t
tcs
−
== , luego:
( )
t
t
L
t
t
t
t
t
t
L
t
t
t
LscLx
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
−
=+=
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
11
1
2
2
222
de donde se tiene:
( ) xx
xx
x
x
xxxxx
ee
ee
e
e
tteettee
t
t
e −
−
+
−
=
+
−
=⇒+=−⇒+=−⇒
−
+
=
1
1
.111.
1
1
2
2
22222

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2. La definición de las funciones hiperbólicas:
2.1. Definición:
De lo anterior se tiene que las fórmulas deducidas para las distancias s, c, t son,
precisamente, las definiciones formales de las funciones hiperbólicas.
Seno hiperbólico:
2
xx
ee
sshx
−
−
==
Coseno hiperbólico:
2
xx
ee
cchx
−
+
==
Tangente hiperbólica:
xx
xx
ee
ee
tthx −
−
+
−
==
Se observa que, en el campo real, las funciones hiperbólicas son funciones
dependientes de la función trascendente elemental ex
.
Esto no ocurre en las funciones circulares que son funciones trascendentes
elementales, independientes de la función exponencial, en el campo real.
Sin embargo, como se obtiene por las fórmulas de Euler, en el campo complejo no
ocurre así, siendo todas las funciones, circulares e hiperbólicas, dependientes de la
función exponencial compleja ez
.
2.2. Fórmulas elementales:
Para las funciones hiperbólicas se cumplen fórmulas análogas a las fórmulas de las
funciones circulares:
1) xx
xx
ee
ee
thx
cthx −
−
−
+
==
1
2) xx
eechx
hx −
+
==
21
sec
3) xx
eeshx
echx −
−
==
21
cos
2.3. Dominios y gráficas:
Veamos los dominios y las gráficas de las funciones trigonométricas hiperbólicas:

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Seno hiperbólico y su inverso, la cosecante hiperbólica:
Coseno hiperbólico y su inverso, la secante hiperbólica:
( ) RshxDom
ee
shxy
xx
=
−
==
−
2
)()(0)0( IMPARshxxshsh −=−=
( ) { }0cos
2
cos
−=
−
== −
RehxDom
ee
ehxy xx
( ) RchxDom
ee
chxy
xx
=
+
==
−
2
)()(1)0( PARchxxchch =−=
xx
ee
hxy −
+
==
2
sec
( ) RhxDom =sec

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Tangente hiperbólica y su inverso, la cotangente hiperbólica:
2.4. Otras relaciones:
De la fórmula básica 122
=− shxch se obtienen, por ejemplo, las dos relaciones
siguientes:
1) Dividiendo por :2
xsh xechxctgh 22
cos1=−
2) Dividiendo por :2
xch xhxth 22
sec1 =−
Análogamente se obtienen de forma inmediata otras cualesquiera relaciones que
permiten expresar una función mediante otra del mismo argumento.
( ) RtghxDom
ee
ee
thxy xx
xx
=
+
−
== −
−
( ) { }0−=
−
+
== −
−
RctghxDom
ee
ee
ctghxy xx
xx

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3. Fórmulas de la suma y diferencia de argumentos:
Si partimos de las expresiones del seno y coseno hiperbólico para dos argumentos
distintos:
22
22
yyxx
yyxx
ee
chy
ee
chx
ee
shy
ee
shx
−−
−−
+
=
+
=
−
=
−
=
Se tienen las siguientes expresiones de los productos:
42
.
2
.
42
.
2
.
42
.
2
.
42
.
2
.
yxyxyxyxyyxx
yxyxyxyxyyxx
yxyxyxyxyyxx
yxyxyxyxyyxx
eeeeeeee
shyshxD
eeeeeeee
chychxC
eeeeeeee
shychxB
eeeeeeee
chyshxA
−−+−−+−−
−−+−−+−−
−−+−−+−−
−−+−−+−−
+−−
=
−−
==
+++
=
++
==
−+−
=
−+
==
−−+
=
+−
==
Así, se puede deducir de forma algebraica:
)(
4
.2.2
..
)(
yxsh
ee
shychxchyshxBA
yxyx
+=
−
=+=+
+−+
O sea:
shychxchyshxyxsh ..)( +=+
Del mismo modo, se obtienen de inmediato las relaciones:
shyshxchychxyxch ..)( +=+
shychxchyshxyxsh ..)( −=−
shyshxchychxyxch ..)( −=−
Para las fórmulas del argumento doble bastará hacer en las sumas x=y, con lo cual
xshxch
xshxchxch
chxshxxsh
22
22
.211.2
)2(
..2)2(
+=−=
=+=
=
Y de esta última expresión obtenemos las fórmulas del argumento mitad:
( ) ( )
( ) ( )1
2
1
2
12
2
1
1
2
1
2
12
2
1
22
22
+=





⇒+=
−=





⇒−=
chx
x
chxchxch
chx
x
shxchxsh

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4. Relaciones entre las funciones hiperbólicas y circulares:
Como comentábamos antes –ver página 5-, las funciones trigonométricas en el
campo complejo no son independientes de la función exponencial, pues de hecho
podemos definir:
...
!5!32
53
−+−=
−
=
−
zz
z
i
ee
zsen
iziz
...
!4!2
1
2
cos
42
−+−=
+
=
−
zzee
z
iziz
...
!5!32
53
+++=
−
=
−
zz
z
ee
zsh
zz
...
!4!2
1
2
42
+++=
+
=
−
zzee
zch
zz
Por lo que se deducen algunas relaciones:
zseni
i
iee
izsh
iziz
..
2
)( =
−
=
−
O bien, )(. izshizsen −=
Análogamente, se deducen las siguientes:
)(
)cos(
)(
)(
)(cos
izitgzth
izzch
izisenzsh
izithztg
izchz
−=
=
−=
−=
=
Estas expresiones para el argumento real x tienen como consecuencias las
relaciones de Euler y el poder demostrar, a partir de las fórmulas de la
trigonometría circular, las fórmulas de la trigonometría hiperbólica. Veamos, como
ejemplo de demostración de este tipo, la fórmula del argumento suma en la
trigonometría hiperbólica a partir de la fórmula del argumento suma en la
trigonometría circular:
Es decir, partimos de la expresión senyxysenxyxsen .coscos.)( +=+ para probar
que también es shychxchyshxyxsh ..)( +=+ :
[ ]
( )( ) ( )( )[ ] shychxchyshxshyichxchyshxii
iysenixiyixseniiyixseniyxiseniyxsh
.......
)().cos()cos().(.)(.)(.)(
+=+−=
=+−=+−=+−=+
En cuanto a la derivación de las funciones hiperbólicas, es inmediato obtener las
funciones derivadas a partir de la derivada de la función exponencial elemental ex
:
( ) xx
ee ='

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Así, se tiene, para el seno y coseno hiperbólicos, las derivadas:
( )
( ) shx
eeee
chx
chx
eeee
shx
xxxx
xxxx
=
−
=






 +
=
=
+
=






 −
=
−−
−−
2
'
2
'
2
'
2
'
---oo0oo---

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