Propiedades Ópticas y Eléctricas de los sistemas de baja dimensión.

1. Instituto de F´ısica, Universidad de Antioquia
Propiedades ´Opticas y El´ectricas en S´olidos
Alejandro Correa L´opeza*
.
a
Universidad de Antioquia.
10 de marzo de 2014
Resumen
En este trabajo cndfnsdikfnsdikjfnsdkjnfsdklf
Palabras Claves: Interferencia, interfer´ometro, Michelson–Morley.
*alejandro@gfif.udea.edu.co
1

2. Curso Electivo Sistemas de baja dimensi´on
1. INTRODUCCI´ON
La ´Optica es la rama de la F´ısica que se enfoca en el modelamiento del comportamiento de luz y su interacci´on
con la materia la cual, a su vez, se puede dividir en dos aspectos: los fen´omenos lineales y los no–lineales.
1.1. ´Optica Lineal
Cuando un haz de luz atraviesa un material transparente, como el vidrio, puede percibirse que la radiaci´on
sufre modificaciones en su intensidad o en su estado de polarizaci´on. De forma similar, cuando el haz incide sobre
una superficie opaca, puede reflejarse de forma especular, percibi´endose la modificaci´on de su polarizaci´on. Pero,
en ambos casos, las caracter´ısticas esenciales de sus propiedades ondulatorias, tales como su longitud de onda o
frecuencia, no se ven modificadas.
La interacci´on de la luz con la materia que no modifica las propiedades de las ondas se conoce como fen´omeno
´optico lineal, y se presentan cuando la intensidad de la luz es relativamente moderada o baja, que son precisamente
los fen´omenos ´opticos que se observan cotidianamente. Algunos de estos efectos ´opticos lineales son la absorci´on, la
difracci´on, la refracci´on, entre otros.
A continucaci´on, se muestra una imagen de los fen´omenos refractivos y reflexivos de una haz de luz que interact´ua
con un medio acuoso1
.
En la ´optica lineal, la onda electromagn´etica induce una separaci´on de las cargas en el material, es decir, una
polarizaci´on PL, la cual es directamente proporcional al campo el´ectrico. La polarizaci´on inducida puede ser lineal
(el desplazamiento es peque˜no) o significativamente no lineal, dependiendo de la magnitud del campo el´ectrico
aplicado. En el caso lineal, la polarizaci´on es directamente proporcional al campo el´ectrico, por lo que
PL = 0χ(1)
E
donde εo es la permitividad el´ectrica del vac´ıo y χ(1)
es la susceptibilidad el´ectrica.
1.2. ´Optica No Lineal
Por otra parte, un fen´omeno no-lineal ocurre cuando alguna de las propiedades ondulatorias principales de la luz
se ven modificadas como consecuencia de la interacci´on entre el medio material y la onda electromag´etica. Empero,
los fen´omenos no lineales no son evidentes cuando la fuente de radiaci´on es poco intensa y dispersa, por lo cual su
contribuci´on en los fen´omenos ´opticos cotidianos es pr´acticamente nula.
Con la invenci´on de los dispositivos l´aser, fue posible obtener fuentes de luz de altas intensidades, dando lugar a la
observaci´on de fen´omenos nuevos, conocidos como efectos ´opticos no lineales, los cuales se presentan a intensidades
muy altas de luz (∼ 108
V/m ).
La ´optica no lineal es la rama de la ´optica que describe el comportamiento de la luz en medios no lineales, es decir,
1Imagen tomada de http://www.ua.es/personal/ferri/todo/MIOPE/TETS/opfisica/reflex/TEMA %204.pdf
2

3. Instituto de F´ısica Universidad de Antioquia
medios en los cuales el componente diel´ectrico de la polarizaci´on responde a la forma no lineal del campo el´ectrico
de la luz. Ergo, en la ´optica no lineal el principio de superposici´on ya no es v´alido, por lo que en el r´egimen no
lineal la polarizaci´on se puede expandir en una serie de Taylor, en t´erminos del campo el´ectrico aplicado. En otras
palabras, la polarizaci´on del material oscila m˜A¡s all˜A¡ del modelo de Hook. As´ı la polarizaci´on inducida puede ser
escrita como
P = P(1)
+ P(2)
+ P(3)
... ∝ χ(1)
E + χ(2)
E2
+ χ(3)
E3
Donde χ(1)
es el comportamiento lineal de la susceptibilidad y origina los fen´omenos lineales, χ(2)
es el compor-
tamiento cuadr´atico y origina fen´omenos no lineales de segundo orden y χ(3)
es el comportamiento c´ubico origina
fen´omenos no lineales de tercer orden. Y as´ı sucesivamente, las susceptibilidades van generando fen´omenos no linea-
les de su orden correspondiente, donde las susceptibilidades mayores de segundo orden se llaman susceptibilidades
no lineales.
Puesto que hay fen´omenos cuya magnitud depende del cuadrado, cubo u ´ordenes superiores de la intensidad del
campo el´ectrico, el fen´omeno m´as conocido de la ´optica no lineal es la generaci´on del segundo arm´onico. Entre
mayor sea el orden del proceso no lineal a generar es necesario una mayor intensidad del haz incidente, lo cual
representa una gran limitaci´on.
En la siguiente figura se muestran los reg´ımenes correspondientes de la resspuesta de la polarizaci´on respecto a la
magnitud del campo el´ectrico inducido.
2. MARCO TE´ORICO
2.1. Polarizaci´on el´ectrica y respuesta ´optica en sistemas de baja dimensi´on
En general, en un medio diel´ectrico con una densidad no nula del momento dipolar el´ectrico, la respuesta de
polarizaci´on viene dada por
P(t) = oχ(t)E(t) (1)
donde E(t) es el campo el´ectrico en el sistema, o el la permitividad diel´ectrica del vac´ıo y χ es el tensor de la
susceptibilidad diel´ectrica del medio. En el caso en el que el sistema sea diel´ectricamente isotr´opico, la mayor´ıa de
las expresiones se convierten en relaciones escalares del tipo
3

4. Curso Electivo Sistemas de baja dimensi´on
P(t) = 0χ(t)E(t). (2)
Por otra parte, si ˆM es el operador de momento dipolar el´ectrico del sistema, la F´ısica Estad´ıstica nos permite
obtener la polarizaci´on el´ectrica macrosc´opica a trav´es de
P(t) =
1
V
Tr(ˆρ ˆM). (3)
En esta expresi´on, V es el vol´umen del sistema y ˆρ es el operador estad´ıstico o matriz densidad.
Ahora, se considera que el sistema experimenta la influencia de una radiaci´on ´optica cuya frecuencia es ω y con pola-
rizaci´on definida a lo largo de una direcci´on espec´ıfica (por ejemplo el eje z). Se define esta radiaci´on monocrom´atica
a partir de la intensidad de su campo el´ectrico asociado:
E(t) = Re(E0e−iωt
) =
1
2
E0e−iωt
+
1
2
E0eiωt
= ˜Ee−iωt
+ ˜Eeiωt
, (4)
de esta manera, para el caso de estudio, se tiene que
P(t) = 0χ(ω) ˜Ee−iωt
+ 0χ(ω) ˜Eeiωt
=
1
V
Tr(ˆρ ˆM).. (5)
Sea ˆH0 el hamiltoniano “no perturbado” del sistema. El operador correspondiente a la energ´ıa cuando el campo
el´ectrico incide en el medio ser´a
ˆH = ˆH0 − ˆME(t). (6)
Ahora bien, se sabe que la evoluci´on temporal de la matriz densidad se expresa mediante la expresi´on de Von
Neumann
∂ˆρ
∂t
=
1
i
[ ˆH, ˆρ]. (7)
Reescribiendo la expresi´on
∂ˆρ
∂t
=
1
i
[ ˆH0 − ˆME(t), ˆρ] −
1
2
[ˆΓ(ˆρ − ˆρ(0)
) − (ˆρ − ˆρ(0)
)ˆΓ]. (8)
Lo que se hizo anteriormente fue suponer que la respuesta diel´ectrica del sistema ante E(t) tiene alguna clase
de “amortuguamiento” producido por mecanismos de dispersi´on que afectan la polarizaci´on a nivel microsc´opico.
Por ejemplo, si los momentos dipolares representados por ˆM, tienen origen electr´onico, los eventos dispersivos
pueden atribuirse a procesos de interacci´on electr´on–fon´on, electr´on–excit´on, electr´on–electr´on, etc. Lo que se hice
anteriormente, en la eciaci´on (8) fue representyar dichas nteracciones por medio del operador fenomenol´ogico ˆΓ. Se
supone que este operador es diagonal y sus elementos matriciales Γmm no son otra cosa que el inverso del tiempo de
relajaci´on del estado |m >, producto del evento de dispersi´on. Adem´as, ρ(0)
es la matriz densidad no perturbada.
Para simpl˜nificar el an´alisis, el estudido se centrar´a en la situaci´on en la que el efecto de la radiaci´on incidente se
representa en transisiones de un sistema cu´antico de dos niveles de energ´ıa (|1 >, |2 >). De este modo, los elementos
diagonales del operador ˆΓ estar´an dados por
< 1|ˆΓ|1 >= γ11 =
1
τ1
,
< 2|ˆΓ|2 >= γ22 =
1
τ2
. (9)
4

5. Instituto de F´ısica Universidad de Antioquia
La soluci´on a la ecuaci´on (8) puede buscarse en la forma de una serie pertubativa en ˆρ
ˆρ(t) =
n=0
ˆρ(n)
(t) = ˆρ(0)
(t) + ˆρ(1)
(t) + ˆρ(2)
(t)... (10)
En el equilibrio t´ermico, ˆρ(0)
es diagonal y sus elementos diagonales constituyen la ocupaci´on t´ermica de cada
estado. Para esta situaci´on en particular, sea
ˆρ
(n)
11 =< 1|ˆρ(n)
|1 >,
ˆρ
(n)
12 =< 1|ˆρ(n)
|2 >,
ˆρ
(n)
21 =< 2|ˆρ(n)
|1 >,
ˆρ
(n)
22 =< 2|ˆρ(n)
|2 > .
Como la matriz densidad es herm´ıtica, se tiene que ρ12(t) = ρ21(t). Sustituyendo (10) en (8) se obtiene que
n
∂ ˆρ(n)
∂t
=
1
i n=0
ˆH0 − ˆME(t) ˆρ(n) − ˆρ(n) ˆH0 − ˆME(t)
−
1
2 n=0
ˆΓ ˆρ(n)
− ˆρ(0)
− ˆρ(n)
− ˆρ(0) ˆΓ . (11)
N´otese que
n=0
ˆρ(n)
− ˆρ(0)
=
n=0
ˆρ(n+1). (12)
Entonces
n
∂ ˆρ(n)
∂t
=
1
i n=0
ˆH0 − ˆME(t) ˆρ(n) − ˆρ(n) ˆH0 − ˆME(t)
−
1
2 n=0
ˆΓ
n
ˆρ(n+1)
−
n
ˆρ(n+1) ˆΓ . (13)
Con esta ´ultima expresi´on se puede calcular el elemento de matriz < 2|∂ ˆρ
∂t |1 > como
n
∂ˆρ
(n)
21
∂t
=
1
i n=0
< 2| ˆH0 − ˆME(t) ˆρ(n)|1 > − < 2| ˆρ(n) ˆH0 − ˆME(t) |1 >
−
1
2 n
< 2|ˆΓˆρ(n+1)
|1 > − < 2|ˆρ(n+1) ˆΓ|1 > . (14)
Hay que tener en cuenta que se est´a considerando que los estados |i >, (i = 1, 2, 3...) son autoestados del
problema no perturbado. Luego, debe cumplirse que
ˆH0|m >= εm|m > (15)
< m| ˆH0 =< m|εm
ˆH0 es herm´ıtico.
5

6. Curso Electivo Sistemas de baja dimensi´on
Entonces,
n
∂ˆρ
(n)
21
∂t
=
1
i n=0
ε2 < 2|ˆρ(n)
|1 > − < 2| ˆM ˆρ(n)
|1 > E(t)
−
1
i n=0
ε1 < 2|ˆρ(n)
|1 > − < 2|ˆρ(n) ˆM|1 > E(t)
−
1
2 n
< 2|ˆΓˆρ(n+1)
|1 > − < 2|ˆρ(n+1) ˆΓ|1 > . (16)
Cabe recordar que en el problema de Schr¨odinger definido por la ecuaci´on (15) se cumple la llamada relaci´on de
completez
m
|m >< m| = ˆ1. (17)
En el supuesto de que el sistema admite ´unicamente la ocupaci´on de dos estados, la relac´ıon (17) puede reescri-
birse como
|1 >< 1| + |2 >< 2| = ˆ1, (18)
la cual puede introducirce de manera adecuada en la ecuaci´on (16) para obtener
n
∂ˆρ
(n)
21
∂t
=
1
i n=0
(ε2 − ε1)ˆρ
(n)
21 − < 2| ˆM (|1 >< 1| + |2 >< 2|) ˆρ(n)
|1 > E(t)
+
1
i n=0
< 2|ˆρ(n)
(|1 >< 1| + |2 >< 2|) ˆM|1 > E(t)
−
1
2 n
< 2|ˆΓ (|1 >< 1| + |2 >< 2|) ˆρ(n+1)
|1 >
−
1
2 n
< 2|ˆρ(n+1)
(|1 >< 1| + |2 >< 2|) ˆΓ|1 > . (19)
Puesto que ˆΓ solamente posee elementos matriciales diagonales, < 2|ˆΓ|1 >=< 1|ˆΓ|2 >= 0, y renombrando
M11 =< 1|ˆΓ|1 >, M22 =< 2|ˆΓ|2 >, M12 = M21 =< 1|ˆΓ|2 >, ε12 = ε2 − ε1, se tiene que
n
∂ˆρ
(n)
21
∂t
=
1
i n
E21 ˆρ
(n)
21 − M21 ˆρ
(n)
11 + M22 ˆρ
(n)
21 E(t) + M11 ˆρ
(n)
21 + M21 ˆρ
(n)
22 E(t)
−
n
1
2
1
τ2
+
1
τ1
ˆρ
(n+1)
21 , (20)
lo cual puede reescribirse como
n
∂ˆρ
(n)
21
∂t
=
1
i n
E21 ˆρ
(n)
21 − ˆρ
(n)
11 − ˆρ
(n)
22 M21E(t) − (M22 − M11) ˆρ
(n)
21 E(t)
−
n
1
2
1
τ2
+
1
τ1
ˆρ
(n+1)
21 . (21)
6

7. Instituto de F´ısica Universidad de Antioquia
Por simplicidad en los c´alculos, se define
γ12 = γ21 =
1
2
1
τ2
+
1
τ1
. (22)
Puesto que, en equilibrio, los elementos matriciales no diagonales de ˆρ son nulos2
se puede plantear que
n=0
ˆρ
(n)
21 =
n=0
ˆρ
(n+1)
12 , (23)
lo cual permite expresar
n
∂ˆρ
(n+1)
21
∂t
=
n
1
i
E21 − γ12 ˆρ
(n+1)
21 −
n
1
i
ˆρ
(n)
11 − ˆρ
(n)
22 M21E(t) −
n
1
i
(M22 − M11) ˆρ
(n)
21 E(t). (24)
Debe notarse que en el ´ultimo t´ermino de la ecuaci´on (24)no se ha redefinido el ´ındice de la sumatoria. Esto
se hace con la intenci´n de buscar la forma de obtener relaciones de recuerrencia. Entonces, igualando t´ermino a
t´ermino se tiene que
∂ˆρ
(n+1)
21
∂t
=
1
i
E21 − γ12 ˆρ
(n+1)
21 −
1
i
ˆρ
(n)
11 − ˆρ
(n)
22 M21E(t) −
1
i
(M22 − M11) E(t)ˆρ
(n)
21 . (25)
Realizando procedimientos completamente an´alogos se obtienen expresiones similares
∂ˆρ
(n+1)
12
∂t
=
1
i
E12 − γ21 ˆρ
(n+1)
12 −
1
i
ˆρ
(n)
22 − ˆρ
(n)
11 M12E(t) −
1
i
(M11 − M22) E(t)ˆρ
(n)
12 , (26)
∂ˆρ
(n+1)
22
∂t
= −γ22 ˆρ
(n+1)
22 + i M21 ˆρn
12 − M12 ˆρ
(n)
21 E(t), (27)
∂ˆρ
(n+1)
11
∂t
= −γ11 ˆρ
(n+1)
11 + i M12 ˆρn
21 − M21 ˆρ
(n)
12 E(t). (28)
Las ecuaciones (25)–(28) se pueden resolver si se escriben los elementos matriciales del operador estad´ıstico en
t´erminos de sumas proporcionales a exp(±iωt), e igualando t´erminos con la misma dependencia temporal en ambos
miembros de las ecuaciones. Por el momento se desprecian los t´erminos que corresponden a emciones y absorciones
sicesivas de fotones, es de cir, aquellos t´erminos asociados a arm´onicos de orden superior.
El t´ermino de orden n en el desarrollo perturvatibo, ˆρ(n)
, para el estado estacionario puede ser expresado como
ˆρ(n)
(t) = ˆ˜ρ(n)
(ω)e−iωt
+ ˆ˜ρ(n)
(−ω)eiωt
, (29)
v´alido para cuando n es impar. Cuando n es par, solamente los t´erminos DC.3
Si n = 1 en (29) se obtiene
ˆρ(1)
(t) = ˆ˜ρ(1)
(ω)e−iωt
+ ˆ˜ρ(1)
(−ω)eiωt
. (30)
Luego, si adem´as se toma n = 0 en (25), se obtiene una ecuaci´on para ˆρ
(1)
21 (t) de la forma
∂ˆρ
(1)
21
∂t
=
1
i
E21 − γ12 ˆρ
(1)
21 −
1
i
ˆρ
(0)
11 − ˆρ
(0)
22 M21E(t) −
1
i
(M22 − M11) E(t)ˆρ
(0)
21 . (31)
2 ˆρ
(0)
21 = ˆρ
(0)
12 = 0
3T´erminos de contribuci´on de frecuencia cero ´o t´erminos de primer orden.
7

8. Curso Electivo Sistemas de baja dimensi´on
Ahora bien, recordando que ˆρ
(0)
21 = 0,
∂ˆρ
(1)
21
∂t
=
1
i
E21 − γ12 ˆρ
(1)
21 −
1
i
ˆρ
(0)
11 − ˆρ
(0)
22 M21E(t). (32)
Por lo tanto, se puede hacer uso de las ecuaciones (4) y (30) en la soluci´on de la ecuaci´on (32). Trabajando en la
parte dependiente de e−iωt
, al igualar los coeficientes de cada t´ermino, se obtiene
− iωˆ˜ρ
(1)
21 (ω) =
1
i
E21 − γ12
ˆ˜ρ
(1)
21 (ω) −
1
i
ˆρ
(0)
11 − ˆρ
(0)
22 M21
˜E. (33)
De este modo, se puede llegar a a expresiones para ˆ˜ρ
(0)
ab (ω). As´ı,
ˆ˜ρ
(1)
21 (ω) =
ˆρ
(0)
11 − ˆρ
(0)
22 M21
E21 − ω − i γ12
˜E. (34)
Si hacemos n = 3 en (29),
ˆρ(3)
(t) = ˆ˜ρ(3)
(ω)e−iωt
+ ˆ˜ρ(3)
(−ω)eiωt
., (35)
y para obtener ˆ˜ρ
(3)
21 (ω) se procede a tomar n = 2 en (25) se obtiene
∂ˆρ
(3)
21
∂t
=
1
i
E21 − γ12 ˆρ
(3)
21 −
1
i
ˆρ
(2)
11 − ˆρ
(2)
22 M21E(t) −
1
i
(M22 − M11) E(t)ˆρ
(2)
21 . (36)
Luego, el ´ultimo paso es sustituir las ecuaciones (4) y (35) e igualar t´erminos en e−iωt
.
Sin embargo, se necesita aclarar un aspecto. Se hab´ıa mencionado que, cuando n = 2, los t´erminos dominantes
son de tipo DC. En el caso de la ´optica lineal, la polarizaci´on inducida depende linealmente de la intensidad del
campo el´ectrico,
˜P(t) = oχ(1) ˜E(t),
donde la cosntante de proporcionalidad χ(1)
se denomina susceptibilidad lineal. En la ´optica no lineal, la respuesta
´optica se puede describir generalizando la anterior expresi´on , escribiendo la polarizaci´on ˜P(t) como una serie de
potencias de laintensidad del campo:
˜P(t) = 0 χ(1) ˜E(t) + χ(2) ˜E2
(t) + χ(3) ˜E3
(t) + · · ·
= ˜P(1)
(t) + ˜P(2)
(t) + ˜P(3)
(t) + · · ·
Las cantidades χ(2)
y χ(3)
se conocen en la literatura como susceptibilidades ´opticas no lineales de segundo y tercer
orden, respectivamente. Por simplicidad, se han tomado los campos ˜P(t) y ˜E(t) como magnitudes escalares. Tam-
bi´en se ha supuesto que la polarizaci´on en un instante de tiempo t depende solamente del valor instant´aneo de la
intensidad del campo el´ectrico. Esto implica que el medio es no dispersivo; pero en general, las susceptibilidades no
lineales son tambi´en funciones de las frecuencias de los campos aplicados.
Sea entonces ˜P(2)
(t) = 0χ(2) ˜E2
(t) la polaricazi´ıon no lineal de segundo orden y ˜P(3)
(t) = 0χ(3) ˜E3
(t) como la
polarizaci´on lineal de tecer orden. Los procesos f´ısicos que ocurren como resultado de la polarizaci´on de segundo
orden suelen ser diferentes a quellos que ocurren gracias a la polarizaci´on de tercer orden.
Las interacciones ´opticas no lineales de sesegundo orden s´olo ocurren en cristales no centrosim´etricos, es decir, en
cristales que no son sim´etricos bajo una transformaci´on de inversi´on. Pueso que los l´ıquidos, los gases los s´olidos
amorfos (el vidrio, por ejemplo) y muchos cristales poseen esta clase de simetr´ıa, la susceptibilidad χ(2)
se anula
en ellos y, consecuentemente, son materiales que no pueden producir interacciones ´opticas de segundo orden. Por
otra parte, las interacciones no lineales de tercer orden pueden ocurrir tanto en medios centrosim´etricos como no
centrosim´etricos.
8

9. Instituto de F´ısica Universidad de Antioquia
En cuanto al orden de magnitud, se tiene que, para la materia condensada, χ(1)
∼ 1. Por otra parte, experimental-
mente, se encuentra que
χ(2)
≈
(4π 0)3 4
m2e5
, χ(3)
≈
(4π 0)6 8
m4e10
.
Ahora, retomando el hechode que se hab´ıa planteado que el campo el´ectrico de la se˜nal que incide sobre el sistema
(por ejemplo un haz de luz l´aser) se representa como
˜E(t) = Ee−iωt
+ c.c.
Para la polarizaci´on de segundo orden se tiene entonces quellos
˜P(2)
(t) = 2 0χ
(2)
0 EE∗
+ 0χ(2)
(ω)e−i2ωt
+ c.c. .
Es claro entonces que la polarizaci´on de segundo orden consiste en una contribuci´on de frecuencia cero, o DC, y
una contribuci´on con frecuencia 2ω. La primera contribuci´on lleva a un proceso en el que no se genrea radiaci´on
electromagn´etica, sino que resulta en un proceso denominado rectificaci´on ´optica, en el cual se crea un campo
el´ectrico est´atico a trav´es del cristal no lineal. Por otra parte, el segundo t´ermino no conduce a la generaci´on de
radiaci´on con una frecuencia doble a la incidente (segundo arm´onico).
Ahora, teniendo en cuenta la ecuaci´on (5) y la anterior discuci´on, los t´erminos en la ecuaci´on (36), ˆρ
(2)
11 (t), ˆρ
(2)
22 (t)
y ˆρ
(2)
21 (t), son t´erminos de rectificaci´on que no cambian en el tiempo4
. Entonces, pueden ser sustitu´ıdos por ˆρ
(2)
11 (0),
ˆρ
(2)
22 (0) y ˆρ
(2)
21 (0). As´ı,
− iωˆ˜ρ
(3)
21 (ω) =
1
i
E21 − γ12
ˆ˜ρ
(3)
21 (ω) −
1
i
ˆρ
(2)
11 (0) − ˆρ
(2)
22 (0) M21
˜E −
1
i
(M22 − M11) ˜Eˆ˜ρ
(2)
21 (0). (37)
As´ı,
ˆ˜ρ
(3)
21 (ω) =
1
E21 − ω − i γ12
ˆρ
(2)
11 (0) − ˆρ
(2)
22 (0) M21 + (M22 − M11) ˜ˆρ
(2)
22 (0) ˜E. (38)
Haciendo uso de las expresiones (27) y (28) se puede encontar la diferencia ˆρ
(2)
11 (0) − ˆρ
(2)
22 (0). Entonces,
∂ˆρ
(2)
22
∂t
= −γ22 ˆρ
(2)
22 + i M21 ˆρ1
12 − M12 ˆρ
(1)
21 E(t), (39)
∂ˆρ
(2)
11
∂t
= −γ11 ˆρ
(2)
11 + i M12 ˆρ
(1)
21 − M21 ˆρ
(1)
12 E(t). (40)
Enfocando la atenci´on en la expresi´on (40), considerando que ˆρ
(2)
11 es un t´ermino de rectificaci´on, se sustituyen ˆρ
(1)
21
y ˆρ
(1)
12 por sus componentes estacionarias5
y se conseva la parte DC del campo E(t)6
se obtiene entonces que
0 = −γ11
ˆ˜ρ
(2)
11 (0) −
1
i
M12
ˆ˜ρ
(1)
21 (ω) + ˆ˜ρ
(1)
21 (−ω) − M21
ˆ˜ρ
(1)
12 (ω) + ˆ˜ρ
(1)
12 (−ω) ˜E. (41)
Los t´erminos ˆ˜ρ
(1)
21 (ω) y ˆ˜ρ
(1)
21 (−ω) se conocen en la literatura como t´erminos no resonantes y pueden ser calculados
de la misma forma a la que se lleg´o a la expresi´on (34). En otras palabras,
ˆ˜ρ
(1)
12 (ω) =
M12 ˆρ
(0)
11 − ˆρ
(0)
22
E21 + ω + i γ12
˜E, (42)
ˆ˜ρ
(1)
21 (−ω) =
M21 ˆρ
(0)
11 − ˆρ
(0)
22
E21 + ω − i γ21
˜E. (43)
4Sin dejar de lado que se busca una respuesta ´optica del tipo e−iωt.
5Haciendo t = 0 en la ecuaci´on (30).
6Es decir, ˜E.
9

10. Curso Electivo Sistemas de baja dimensi´on
Es claro que los t´erminos dados por la expresiones (42) y (43) presentan una diferencia del tipo E21 + ω en sus
denominadores Por tal raz´on, estos no tienen la posibilidad de entrar en resonancia en alg´un momento. Esto motiva
el hecho de que desprecien sus contribuciones en lo que resta de los c´alculos. Luego,
0 = −γ11
ˆ˜ρ
(2)
11 (0) −
1
i
M12
ˆ˜ρ
(1)
21 (ω) − M21
ˆ˜ρ
(1)
12 (−ω) ˜E, (44)
de modo que
ˆ˜ρ
(2)
11 (0) =
i
γ11
M12
ˆ˜ρ
(1)
21 (ω) − M21
ˆ˜ρ
(1)
12 (−ω) ˜E. (45)
Una vez que se sustituyen las expresiones correspondientes7
se llega directamente a
ˆ˜ρ
(2)
11 (0) = −
2|M21|2
ˆρ
(0)
11 − ˆρ
(0)
22 γ12
γ11 (E21 − ω)
2
+ ( γ12)2
˜E2
. (46)
Si se tiene en cuenta que |M21|2
= |M12|2
= M21M12 y γ12 = γ21 se llega
ˆ˜ρ
(2)
22 (0) = −
2|M21|2
ˆρ
(0)
11 − ˆρ
(0)
22 γ12
γ22 (E21 − ω)
2
+ ( γ12)2
˜E2
. (47)
Finalmente,
ˆ˜ρ
(2)
11 (0) − ˆ˜ρ
(2)
22 (0) = −2
1
γ11
+
1
γ22
|M21|2
ˆρ
(0)
11 − ˆρ
(0)
22 γ12
(E21 − ω)
2
+ ( γ12)2
˜E2
. (48)
Ahora, para obtener ˆ˜ρ21(0) se usa la expresi´on (24) con n = 1. Recordando que s´olo interesan los t´erminos estacio-
narios, se obtiene que
∂ˆρ
(2)
21 (0)
∂t
= 0 =
1
i
E21 − γ12 ˆρ
(2)
21 (0) −
1
i
ˆρ
(1)
11 (0) − ˆρ
(1)
22 (0) M21
˜E −
1
i
(M22 − M11) ˆρ
(1)
21
˜E, (49)
y usando la expresi´on (30) con t = 0 se tiene que
0 =
1
i
E21 − γ12 ˆρ
(2)
21 (0)−
1
i
ˆρ
(1)
11 (ω) + ˆρ
(1)
11 (−ω) − ˆρ
(1)
22 (−ω) − ˆρ
(1)
22 (−ω) M21
˜E−
1
i
(M22 − M11) ˆ˜ρ
(1)
21 (ω) + ˆ˜ρ
(1)
21 (−ω) ˜E.,
(50)
Continuando ahora con el c´alculo, para el t´ermino ˆρ11(ω) se parte de la ecuaci´on (28) con n = 0,
∂ˆρ
(1)
11
∂t
= −γ11 ˆρ
(1)
11 −
1
i
M12 ˆρ
(0)
21 − M21 ˆρ
(0)
12 E(t),
pero, ˆρ
(0)
21 = ˆρ
(0)
12 = 0. Entonces,
∂ˆρ
(1)
11
∂t
= −γ11 ˆρ
(1)
11 . (51)
Una vez m´as, haciendo uso de la expresi´on (30) e igualando t´erminos de e−iωt
es posible obtener
ˆ˜ρ11(ω)(γ11 − ω) = 0, (52)
7Sustituyendo ˆ˜ρ21(ω) dada por (34) y reemplazando ω → −ω en (42)
10

11. Instituto de F´ısica Universidad de Antioquia
lo cual implica que ˆ˜ρ11(ω) = 0. De la misma manera, ˆ˜ρ
(1)
11 (−ω) = ˆ˜ρ
(1)
22 (ω) = ˆ˜ρ
(1)
22 (−ω) = 0. Con estos ´ultimos
resultados, y despreciando el t´ermino no resonante ˆ˜ρ
(1)
21 (−ω), se obtiene que
0 =
1
i
E21 − γ12
ˆ˜ρ
(2)
21 (0) −
1
i
(M22 − M11) ˆρ
(1)
21 (ω) ˜E. (53)
Manipulando (53) se obtiene ˆρ
(2)
21 (0) al sustituir la expresi´on (34):
ˆρ
(2)
21 (0) =
M21 (M22 − M11) (ˆρ
(0)
11 − ˆρ
(0)
22 )
(E21 − i γ12)(E21 − ω − γ12)
˜E2
. (54)
Ahora, sustituyendo (48) y (54) en la ecuaci´on (38) y efectuando las manipulaciones algebraicas correspondientes
de llega finalmente a
ˆ˜ρ
(3)
21 (ω) = −
M21(ˆρ
(0)
11 − ˆρ
(0)
22 )
(E21 − ω − γ12)
2
(1/γ11 + 1/γ22)γ12|M21|2
(E21 − ω)2 + ( γ12)2
−
(M22 − M11)2
(E21 − i γ12)(E21 − ω − i γ12)
˜E2 ˜E (55)
Usando los anteriores resultados es posible calcular los t´erminos ˆ˜ρ
(3)
11 (ω) y ˆ˜ρ
(3)
22 (ω). Sin embargo, estos t´erminos van
a contribuir con mucho menor peso a la evaluaci´on de los coeficientes ´opticos. Tales t´ermino son:
ˆ˜ρ
(3)
22 (ω) =
2i|M12|2
ω + i γ22
Im
(M22 − M22)(ˆρ
(0)
11 − ˆρ
(0)
22 )
(E21 − i γ12)(E21 − ω − γ12)
˜E2 ˜E, (56)
y
ˆ˜ρ
(3)
11 (ω) = −
2i|M12|2
ω + i γ11
Im
(M22 − M22)(ˆρ
(0)
11 − ˆρ
(0)
22 )
(E21 − i γ12)(E21 − ω − γ12)
˜E2 ˜E. (57)
2.2. Coeficientes de absorci´on lineal y no lineal en sistemas de baja dimensi´on
Retomando la discusi´on de las propiedades diel´ectricas de un material isotr´opico debe tenerse en cuenta que,
a parte de la relaci´on entre la polarizaci´on P y el campo el´ectrico E dada por(2.1), se tiene el llamado campo de
desplazamiento, D, en medios materiales
D = 0E + P, (58)
que tambi´en puede expresarse a trav´es de una relaci´on directa con el campo el´ectrico a trav´es de
D = E, (59)
y as´ı
= 0(1 + χ). (60)
la susceptibilidad es, con frecuencia, una funci´on fuertemenmte dependiente de la frecuencia ω cerca de la resonancia
y es una cantidad compleja con una parte real dispersiva y una parte imaginaria de car´acter absorbente
χ = χ + iχ . (61)
La conocida relaci´on del espacio libre, (kc/ω)2
= 1, se modifica en un medio diel´ectrico como
kc
ω
2
= 1 + χ, (62)
es decir, en un medio diel´ectrico, la cantidad kc/ω se convierte en una compleja que se expresa convencionalmente
como
kc
ω
= η + iκ, (63)
donde η es el ´ındice de refracci´on y κ es el coeficiente de extinci´on del medio diel´ectrico.
11