DEFINCIÓN Y EJEMPLOS DE NÚMEROS COMPLEJOS

1. NÚMEROS COMPLEJOS
Elaborado por: Zaira Mayari Castañeda Pichardo

2. Conjunto de los números
Complejos
Reales
Racionales Enteros Naturales
Cero
Enteros
negativos
Fraccionarios
Exactos y
periódicos
Irracionales
Imaginarios
Los antiguos matemáticos llamaban números imaginarios a los números como −5 y −16 , y no permitieron que
esta clase de números fuera utilizada como solución.
Gradualmente se han descubierto aplicaciones que exigen su uso, lo que hizo necesario extender el conjunto de los
números reales para formar el conjunto de los números complejos.

3. Carl F. Gauss
Estampilla postal que honra
la gran cantidad de
contribuciones hechas por
Gauss a nuestra
comprensión de los
números complejos
Los números Imaginarios surgen de la necesidad de
resolver ecuaciones cuadráticas sin solución en el
campo real.
Considera la ecuación 𝒙 𝟐
+ 𝟏 = 𝟎
No tiene solución en los números reales, ya que
cualquier solución debe ser un numero cuya raíz
cuadrada es -1
Dentro del conjunto de los números reales, todas las
raíces cuadradas son números no negativos, debido a
que el producto, ya sea de dos números positivos o dos
números negativos, es positivo.
Para dar una solución a la ecuación
𝒙 𝟐 + 𝟏 = 𝟎 se define un nuevo número, el numero 𝒊

4. NÚMERO 𝑖
Esto es, 𝑖 es un número cuya raíz cuadrada es −1
Esta definición de 𝑖 permite establecer la raíz cuadara de cualquier número
negativo como sigue:
Para cualquier número real positivo 𝒃, −𝒃 = 𝒊 𝒃
Ejemplo de número
imaginario

5. Números complejos.
Si 𝑎 y 𝑏 son números reales, entonces cualquier número de la
forma 𝑎 + 𝑏𝑖 se llama número complejo
En el número complejo 𝒂 + 𝒃𝒊 , el número 𝒂 representa la parte real y
𝒃 representa la parte imaginaria.
Cuando 𝒃 = 𝟎, 𝒂 + 𝒃𝒊 es un número real, por lo tanto los números reales son
un subconjunto de los números complejos, como vimos en el diagrama de la
primera diapositiva

6. Potencias de 𝑖
Un patrón interesante aparece cuando consideramos varias potencias de 𝒊.
Por definción, 𝒊 𝟎 = 𝟏 y las demás potencias como sigue:
𝒊 𝟏
= 𝒊
𝑖2
= −1
𝑖3
= −𝑖
𝑖4
= 1
𝒊 𝟓
= 𝒊
𝑖5
= −1
𝑖7
= −𝑖
𝑖8
= 1
𝒊 𝟗
= 𝒊
𝑖10
= −1
𝑖11
= −𝑖
𝑖12
= 1
Las potencias más grandes de 𝒊 pueden simplificarse con solo basarse en el hecho de que 𝒊 𝟎 = 𝟏 .
Por ejemplo 𝒊 𝟕𝟓:
𝒊 𝟕𝟓
= 𝒊 𝟒 𝟏𝟖
∙ 𝒊 𝟑 = 𝟏 𝟏𝟖
∙ 𝒊 𝟑
=1∙ 𝒊 𝟑 = −𝐢

7. Operaciones con números
complejos

8. 8
Suma y producto de números complejos
Suma
)()( 212121 yyixxzz 
)()( 1221212121 yxyxiyyxxzz 
Producto
Sean:
222
111
iyxz
iyxz


Parte real Parte imaginaria

9. ii
iiiiii
223)1012()158(
]2)5(34[]3)5(24[)32)(54(


1)00()10()0)(0(2
 iiii(1)
(2)
Ejemplos:
De modo que podemos sustituir siempre:
12
i
Esto nos permite una manera práctica de operar.
Por ejemplo:
  1111
2
ii

10. 10
La resta y la división se definen como operaciones
inversas de la suma y la multiplicación respectivamente
Resta
División
(operación inversa a la suma)
(operación inversa al producto)
zzz  21
z
z
z

2
1
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
yx
yxyx
i
yx
yyxx
z






¿Qué es z ? Es un número complejo tal que:
z z2 = z1, siempre que z20.
¿Qué es z ? z + z2 = z1
)()( 2121 yyixxz 
Ejercicio:
demostrar
que es cierto.

11. 11
Calcular:
Re(z1) = 18, Re(z2) = -7
Im(z1) = 3, Im(z2) = 2
z1+z2 = 11 + 5i, z1-z2 = 25+i
z1z2 = (18+3i)(-7+2i) = -132 + 15i
Ejemplo:
Sean z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i

12. Soluciones de ecuaciones cuadráticas en el conjunto de
los complejos
Encuentre las soluciones de la ecuación:
Aplicando la fórmula general: 𝒙 =
−𝒃 ± 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Donde 𝟐𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙 + 𝟗 = 𝟎
𝒂 𝒃 𝒄
𝒂 = 𝟐 𝒃 = −𝟑 𝒄 = 𝟗
𝟐𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟗 = 𝟎
Sustituyendo en la fórmula
𝑥 =
− −3 ± −3 2 − 4 2 9
2 2
𝑥 =
3 ± −𝟔𝟑
4
Tenemos la raíz cuadrada de un número
negativo, lo que significa que
emplearemos números complejos
Resolviendo la raíz negativa:
−𝟔𝟑 = −𝟏 · 𝟔𝟑 = 𝒊 𝟔𝟑
Volviendo a la ecuación y sustituyendo el valor
encontrado queda:
𝑥 =
3 ± 𝒊 𝟔𝟑
4
Por lo tanto:
𝑥1 =
3 + 𝒊 𝟔𝟑
4
𝑥2 =
3 − 𝒊 𝟔𝟑
4
Estas son las soluciones de
la ecuación cuadrática

13. ¡¡A practicar!!