Ecuación de Ergún para estimar la caída de presión derivada del flujo de un fluido a través de un lecho poroso fijo.

1. Flujo a través de lechos porosos –lechos fijos–
Objetivo de cálculo: Relacionar las caídas de presión del fluido con los flujos o velocidades del mismo.
L
(−∆𝑃) = (−∆𝑃)(𝐿, 𝐷 𝑃, 𝑣𝑠, 𝜇, 𝜌, 𝜖, 𝜓)
vs: Velocidad superficial; vs = Q/ATotal
ε: Porosidad del lecho;
ψ: Esfericidad de la partícula
L: Longitud del lecho
Factores de forma o geometría
𝜓 ≡
Á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑉𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 𝑉𝑃𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎
Á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎
Ejemplos
a) Esfera ψ = 1
b) Cubo
Acubo = 6L2
; Vcubo = L3
𝑉𝐶𝑢𝑏𝑜 = 𝐿3
≡ 𝑉𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =
4
3
𝜋𝑟𝑒𝑞
3
=
𝜋
6
𝐷𝑒𝑞
3
; 𝐷𝑒𝑞 = (6
𝜋⁄ )
1
3⁄
𝐿
𝐴 𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 𝜋𝐷𝑒𝑞
2
= 𝜋 {(6
𝜋⁄ )
1
3⁄
𝐿 }
2
𝜓 ≡
𝜋 {(6
𝜋⁄ )
1
3⁄
𝐿 }
2
6𝐿2
= ( 𝜋
6⁄ )
1
3⁄
= 0.81
c) Cilindro con L/D = 10
𝐴 𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋𝐷𝐿 + 2( 𝜋
4⁄ )𝐷2
= 𝜋[𝐷(10𝐷) + 0.5𝐷2] = 10.5𝜋𝐷2
𝑉𝑃𝑎𝑟𝑡 =
𝜋
4
𝐷2
𝐿 =
𝜋
4
𝐷2(10𝐷) =
10𝜋
4
𝐷3
≡ 𝑉𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =
𝜋
6
𝐷𝑒𝑞
3
; 𝐷𝑒𝑞 = 15
1
3⁄
𝐷
𝐴 𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 𝜋𝐷𝑒𝑞
2
= 𝜋 {15
1
3⁄
𝐷 }
2

2. 𝜓 ≡
𝜋 {15
1
3⁄
𝐷 }
2
10.5𝜋𝐷2
= 0.58
Porosidad
𝜖 ≡
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 ℎ𝑢𝑒𝑐𝑜𝑠
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑒𝑐ℎ𝑜
𝜖: 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 ℎ𝑢𝑒𝑐𝑜𝑠
1 − 𝜖: 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠
Determinar la porosidad de un acomodo cúbico de esferas
Considerando una celda unitaria
Es equivalente a
𝑉𝐶𝑒𝑙𝑑𝑎 = 𝐷 𝑃
3
; 𝑉𝑃𝑎𝑟𝑡 =
𝜋
6
𝐷 𝑃
3
𝜖 =
𝐷 𝑃
3
−
𝜋
6 𝐷 𝑃
3
𝐷 𝑃
3 =
1 − 𝜋
6⁄
1
= 0.48
En un arreglo aleatorio, la porosidad debería ser menor.
La densidad a granel de un lecho de sólidos granulares es de 1300 Kg/m3
y la densidad real de las
partículas es de 2000 Kg/m3
. Determine la porosidad del lecho.
1 − 𝜀 =
1300
2000
2000 =
1300
1 − 𝜖
; 𝜖 = 0.35
Experimentalmente varios autores (Leva, Ergún, Sato, Brown, Karman, Kozeny, Blake, Plummer, etc.)
han logrado correlaciones para el cálculo de caída de presión para un fluido a través de lechos porosos,
siendo la expresión más sencilla pero con razonable exactitud la ecuación de Ergún:
(−∆𝑃)𝐷 𝑃 𝜓𝜖3
𝜌𝑣𝑠
2 𝐿(1 − 𝜖)
=
150(1 − 𝜖)𝜇
𝜓𝐷 𝑃 𝑣𝑠 𝜌
+ 1.75
Hay extremos en el comportamiento de Reynolds en el cálculo que permiten hacer simplificaciones.
Si se trata de un régimen laminar
150(1 − 𝜖)𝜇
𝜓𝐷 𝑃 𝑣𝑠 𝜌
≫ 1.75 ∴ (−∆𝑃) =
150(1 − 𝜖)2
𝜇𝑣𝑠 𝐿
𝜓2 𝐷 𝑃
2
𝜖3
Si es altamente turbulento
150(1 − 𝜖)𝜇
𝜓𝐷 𝑃 𝑣𝑠 𝜌
≪ 1.75 ∴ (−∆𝑃) =
1.75(1 − 𝜖)𝑣𝑠
2
𝐿𝜌
𝜓𝐷 𝑃 𝜖3

3. Aprecie que en la ecuación de Ergún aparecen distintos grupos adimensionales: Re, Dp/L, Euler, ε, ψ.
Ejemplo:
Una tubería de 20 cm de diámetro tiene 10 cm de lecho empacado con partículas esféricas de 2 mm de
diámetro acomodadas de tal manera que la porosidad del lecho es del 40%. Determine la caída de
presión del agua a 20 °C, al fluir 5 L/s a través del lecho.
𝑣𝑠 =
𝑄
𝐴
=
. 005
𝜋(0.1)2
= 0.16
𝑚
𝑠
(−∆𝑃)𝐷 𝑃 𝜓𝜖3
𝜌𝑣𝑠
2 𝐿(1 − 𝜖)
=
150(1 − 𝜖)𝜇
𝜓𝐷 𝑃 𝑣𝑠 𝜌
+ 1.75
(−∆𝑃)(. 002)(1)(0.4)3
(1000)(0.16)2(0.1)(0.6)
=
150(0.6)(. 001)
1(. 002)(0.16)(1000)
+ 1.75
(−∆𝑃) = 2.4 𝑥 104
𝑃𝑎
Potencia de la bomba
𝑃𝑜𝑡 =
(−∆𝑃)𝑄
𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
=
(2.4 𝑥 104)(0.005)
0.7
= 171 𝑊 = 0.23 𝐻𝑃