Distrubuciones Continuas

1. Universidad Fermín Toro
Escuela de Ingeniería Mecánica

2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS
•Distribución Gamma
•Distribución Exponencial
•Distribución Erlang
•Distribución Weibull

3. DISTRIBUCIÓN GAMMA
Primeramente definimos la función gamma;
Siendo p un número real positivo no necesariamente entero.
Γ(p)=(p-1)!
∫
∞
−−
>=
0
1
0pdxex)p( xp
Γ
A partir de la función gamma definimos la distribución de probabilidad
gamma como: Sea una variable aleatoria X ~ Gamma(p,a)
{ } 0xaxexp
)p(
xa
)x(f
pp
>−=
−
Γ
1
Función de densidad de probabilidad, parámetros de forma p y
de escala a.

4. DISTRIBUCIÓN GAMMA
La distribución gamma se suele utilizar en:
•Intervalos de tiempos entre dos fallos de un motor,
•Intervalos de tiempos entre dos llegadas de automóviles a una
gasolinera,
•Tiempos de vida de sistemas electrónicos, etc.
Estadísticos:
Media= p/a
Varianza= p/a2
Propiedad reproductiva
Si x1,...,xn son n variables aleatorias independ.
Distribuidas según una Γ(pi,a)
La nueva variable aleatoria Y= x1,...,xn
sigue una distribución Γ(p1....+ pn ,a)

5. DISTRIBUCIÓN GAMMA
Propiedad
Si x1,...,xn son n variables aleatorias independientes distribuidas
según una N(0,1).
La nueva variable aleatoria Y= x2
1,...,x2
n
sigue una distribución Γ(n/2,1/2)
Cuando el parámetro p es entero, a la distribución Γ(p,a) se le
conoce con el nombre de distribución Erlang

6. El tiempo de duración X de una pieza de un cierto equipo se
distribuye según una ley gamma de parámetros p=3 y a=2.
Determinar:
a) Probabilidad de que el equipo funcione más de 10 horas,
b) Probabilidad de que el equipo funcione entre 10 y 15 horas.

7. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Caso particular de la distribución gamma cuando p=1, Γ(1,a)
Aplicación (caso equivalente continua de la dist. Geométrica)
Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado
evento, sabiendo que, el tiempo que pueda ocurrir desde
cualquier instante dado t hasta que ocurra el evento en el instante
t’ no depende del tiempo transcurrido anteriormente. NO TIENE
MEMORIA.
Sea una variable aleatoria X∼Exp(λ)

8. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Función de distribución
Media, Varianza

9. Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de
marcapasos sigue una distribución exponencial con media 16 años.
¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha
implantado un marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20
años? Si el marcapasos lleva funcionado correctamente 5 años en un
paciente, ¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de
25 años?

10. Distribución de Erlang
En estadística y simulación la distribución Erlang, también llamada
distribución de Erlang, es una distribución de probabilidad continua
con dos parámetros k y θ cuya función de densidad para valores x > 0
es
La distribución Erlang es el equivalente de la distribución gamma
con el parámetro y λ = 1 / θ. Para k = 1 eso es la
distribución exponencial.
Esperanza
E(X) = k / λ
Varianza
V(X) = k / λ2

11. Función Generadora de Momento
(1 − t / λ) − k
Se aplica en modelos de sistemas de servicio masivo, ejemplo: En
situaciones donde el servicio tiene que realizar dos operaciones c/u
con tiempo de servicio exponencial.
Se utiliza para describir el tiempo de espera hasta el suceso número k
en un proceso de Poisson.

12. Distribucion Weibull
La distribución de Weibull es una distribución de probabilidad
continua. Recibe su nombre de Waloddi Weibull, que la describió
detalladamente en 1951, aunque fue descubierta inicialmente por
Fréchet (1927) y aplicada por primera vez por Rosin y Rammler
(1933) para describir la distribución de los tamaños de
determinadas partículas.
Se trata de un modelo continuo asociado a variables del tipo tiempo
de vida, tiempo hasta que un mecanismo falla, etc.

13. La función de densidad de una variable aleatoria con la
distribución de Weibull x es:1
donde es el parámetro de forma y es el parámetro de escala de la
distribución.
La distribución modela la distribución de fallos (en sistemas) cuando la
tasa de fallos es proporcional a una potencia del tiempo:
•Un valor k<1 indica que la tasa de fallos decrece con el tiempo.
•Cuando k=1, la tasa de fallos es constante en el tiempo.
•Un valor k>1 indica que la tasa de fallos crece con el tiempo