Módulo 4
Unidad 4
Ecuaciones
Curso de nivelación de Matemática
Prof. Lic. Valenzuela María Alejandra

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4.1 Introducción
Una de las herramientas más poderosas de la Matemática son las
ecuaciones; ellas nos trasladan de una realidad concreta a un mundo de
simbolismo. Cuanto más seguros manejemos ese mundo de símbolos más
útil nos resultará como aplicación a la realidad concreta. Utilizaremos las
propiedades de los números reales, el concepto de función y expresaremos
conjuntos como solución de las ecuaciones. Su concepto es simple pero la
destreza en resolverlas es clave para completar la aprehensión de ellas.
“Transeúnte, ésta es la tumba de Diophante: es él quien con esta
sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su juventud
ocupó su sexta parte, después durante la doceava parte su mejilla se
cubrió con el primer vello. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de
tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez
alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte
desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole durante cuatro
años.
De todo esto, deduce su edad. "1
Antes de presentar la definición de ecuación, resolvamos este desafío para
ver en qué nos pueden ayudar las ecuaciones para simplificar esfuerzo.
Desafío 1
Identifica el área del triángulo obtenido de la intersección de las rectas
y=
2
3
x+3 ,y= -
2
3
x+3 , y=0
1
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/historia.html

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Para hallar las coordenadas del punto A sólo necesitamos usar el
concepto de ordenada al origen visto en el módulo 3. ¿Cómo hacemos
para reconocer las coordenadas de los puntos B y C (sin mirar la
gráfica)?
4.2 Ecuaciones lineales
Antes de definir qué es una ecuación lineal aclaremos algunos
conceptos previos necesarios.
Igualdad numérica
2
1
- =+ 2542
2
21
−
(7-3)– 1=
4
1
Igualdad algebraica a(b+c)= ab +ac
x 2 – 4= 0
ECUACIÓN
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las
letras de las expresiones algebraicas son llamadas variables. Si
sustituimos las letras por valores numéricos puede transformar o no en
una igualdad numérica
Ejemplo
3212
+=− xx
Primer
miembro
Segundo
miembro
Incógnita

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Las variables que aparecen en la ecuación se llaman incógnitas y los
miembros de la ecuación son las dos expresiones algebraicas que la
definen.
IDENTIDAD ALGEBRAICA
Una identidad algebraica es una igualdad entre dos expresiones
algebraicas que es verificada por cualquier valor que asuman sus
variables.
Ejemplo
Todos los números reales verifican:
Esta identidad es conocida como la fórmula del cuadrado del binomio.
Resolver una ecuación consiste en hallar todos los valores de la
incógnita que producen una igualdad numérica entre los dos miembros
de la ecuación. Estos valores se llaman solución de la ecuación.
Ecuaciones equivalentes: Se dice que dos ecuaciones son
equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
4.2.1 Ecuación lineal con una incógnita
Una ecuación lineal con una incógnita es una ecuación de la forma:
ax + b =0 a y b números reales
También se reconoce a una ecuación lineal con una incógnita cuando la
expresión algebraica es entera con una incógnita de exponente 1.
Recordemos que una expresión algebraica entera es una expresión
matemática donde aparece letras y números junto a las operaciones
suma, resta, multiplicación y potenciación
Ejemplos:
(x+y) 2 = x2 + 2xy + y2
Incógnitas

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5x-3=0 Es una ecuación lineal con incógnita
x
3a+2= 5 a -2 Es una ecuación lineal con incógnita
a
0
1
1
=
−x
No es una ecuación lineal porque
aparece una división
0232
=−+ xx No es una ecuación lineal porque la
incógnita aparece con exponente 2
Resolución de las ecuaciones lineales
Para resolver una ecuación lineal se utiliza la propiedad uniforme de
los números reales que dice:
a=b ⇒ a+c= b+c ∀ c∈R
a=b ⇒ a.c =b.c ∀ c∈R c ≠ 0
Esta propiedad nos dice que cuando tenemos una igualdad si sumamos
(restamos) a ambos términos la misma cantidad la igualdad
permanece, también si multiplicamos (dividimos) por un número no
nulo la igualdad se mantiene.
Ejemplos
Primer paso:
2x+8 = 6
-8 Restamos a ambos
miembros 8
-8
2x = -2
Segundo paso:
2x = -2
2
1
.
Dividimos a ambos
miembros por 2
(multiplicamos por ½)
2
1
.
x = -1
Lo que hace la propiedad uniforme es transformar, a través de las dos
operaciones elementales, nuestra ecuación en otra ecuación
equivalente.

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El proceso se llama “despejar x”. Resolver una ecuación significa
“aislar” a la x en un miembro para encontrar el valor solución en el otro
miembro. Muchas veces se utiliza el argumento “lo que es positivo pasa
negativo” que lleva a equivocaciones en la resolución, pues lo que en
realidad se hace es: lo que está “sumando” lo paso “restando”(o al
revés) y lo que está “multiplicando” lo paso “dividiendo” (o al revés).
Verificación:
Una vez resuelta la ecuación es conveniente verificar que el resultado
obtenido es verdaderamente la solución. Para ello se reemplaza el valor
en la x de la ecuación.
Ejemplo.
Verifiquemos nuestro resultado en la ecuación 2x+8=6
2 .(-1) +8 = 6
-2+8 = 6
6 = 6 ¡ correcto !
Más ejemplos
4x+4=x-5
4x-x+4=-5
3x+4=-5
3x=-5-4
x= - 3
En este caso tenemos dos términos con x.
Necesitamos combinar estos términos en
un solo término con x.
Aquí procedemos de manera usual
Verificación
4(-3)+4=(-3)-5, -12+4=-3-5, -8=-8 OK
7(x-2) +2x-1=5-x
7x -14+2x-1=5-x
9x-15= 5-x
9x+x=5+15
10 x= 20
x=20/10
x= 2
Algunas veces tenemos varios términos con
x en el mismo miembro. Primero
resolvemos en este término combinando
todos los términos en x y todos los
números.
Luego se continúa como el ejemplo
anterior.
Siempre se llega a la forma ax+b=0 ó ax = -
b

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Verificación
7 (2-2) +2(2)-1= 4 –(2), 7 .0 +4-1=5-2,
3=3 OK
x/2 –x/3+1/2=- x/6 +3/2
x/2-x/3 +x/6= 3/2 -1/2
2
2
6
23
=
+− xxx
2x/6 = 1
x/3=1
x= 3.1
x=3
Esta ecuación es un ejemplo como el
anterior pero nos disgusta más porque
debemos trabajar con fracciones. En este
caso se empieza “juntando las x” en un
miembro y los números en el otro
miembro.
Luego podemos trabajar con el
denominador común (también podemos
usar calculadora)
Verificación
(3)/2-(3)/3 +1/2= - (3)/2 +3/2 ,
0=0
4.2.2 Soluciones de la ecuación lineal
• Una única solución
3(x-1) = 2x+5
3x-3= 2x+5
3x-2x= 5+3
x= 8
S={8}
• Infinitas soluciones
3(x-1) = 3x -3
3x-3= 3x-3
3 x-3 x= -3+3
0x=0
S= R
En este caso se obtuvo 0=0, eso significa que no importa cuál es el
valor de la x que siempre se llega a una igualdad (la x “desparece”).

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Por eso decimos que el conjunto solución es el conjunto de todos
los números reales.
• Ninguna solución
3 ( x-1) = 3x+2
3x-3= 3x +2
3x-3x= 2 +3
0x= 5
S= { }=φ
En este caso se obtuvo 0 =5 que no es una igualdad numérica, es un
absurdo. Como aquí también la x desaparece pero no se llega a una
igualdad significa que ningún valor de x verifica la ecuación.
Por eso decimos que el conjunto solución es el conjunto vacío.
4.2.3 Raíces de la función lineal
En el desafío 1 se nos presenta la necesidad de saber con exactitud
la abscisa del punto B y del punto C, pero estos puntos se
encuentran sobre el eje x, es decir sabemos que su ordenada “y”
vale cero.
La raíz o cero de la función lineal es la x que verifica f(x)=0
Resulta que hallar la raíz o cero de una función lineal es equivalente a
resolver una ecuación lineal (de ahí su nombre).

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4.3 Sistemas de ecuaciones lineales
Cuando resolvemos una ecuación lineal con una incógnita, nuestro
problema se reduce a buscar el valor de un número que cumpla ciertas
restricciones. Pero muchas veces nos encontramos con problemas
mayores donde hay numerosos valores que deseamos conocer, con
diferentes restricciones.
Antes de definir un sistema de ecuaciones lineales vamos a intentar
pensar el siguiente desafío como introducción al tema.
Desafío 2
Identifica el área del triángulo obtenido de la intersección de las rectas
y= x
y= -x+2
y=0
Si realizamos su gráfico es fácil ver en el papel cuáles son las
coordenadas del punto A. Pero ¿cómo podemos hallar sus coordenadas
con exactitud?
4.3.1 Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x,y es
un sistema de la forma:

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


=+
=+
feydx
cbyax
, ∈fedcba ,,,,, R
Resolver un sistema es encontrar un valor para la x y otro valor para l y
que verifiquen las dos ecuaciones simultáneamente
Ejemplo



+−=
=
2xy
xy
En este caso si pasamos las x al otro lado de la igualdad
tenemos:



=+
=+−
2
0
yx
yx
siendo a =-1 , b =1, c =0, d =1 , e=1, f =2
4.3.2 Métodos de resolución de sistemas
Método de sustitución
El método consiste en eliminar unas de las variables sustituyéndola en una
ecuación. La idea es tomar una ecuación y hacer que una de las variables
“absorba” a la otra y luego utilizando la ecuación restando suplantar la
variable que “absorbe”.
Ejemplos
1)



+−=
=
2xy
xy
)2(
)1(
De la ecuación (1) tenemos la y escrita en función de la x. La y “absorbe” a la
x.
y=x
Luego sustituimos en la ecuación (2) a la y por su equivalente:
(x)=-x+2
Resultando así una ecuación en una sola variable. Resolvemos esta
ecuación:
x+x=2
2x=2
x= 2/2
x=1
Finalmente volvemos a la (1) y reemplazamos a la x por el valor 1

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y= (1)
La solución buscada es S= {(1,1)}
2)



−=+−
=−
64
823
yx
yx
)2(
)1(
Para evitar a las fracciones, podemos empezar tomando la ecuación (2) y
despejando de ella la variable x. Nos quedaría
-x= -4y - 6
x= (-1).(-4y +6)= 4y +6
Sustituimos ahora a la x obtenida en la ecuación (1),
3 (4y +6) - 2y=8
Propiedad distributiva:
12y + 18 -2y = 8
Y resolvemos a la ecuación con una sola incógnita “y”
10y= -10
y= -10/10
y= -1
Para terminar volvemos a la expresión de x que “absorbe” a la y,
sustituyendo el valor de y hallado:
x= 4(-1) +6= 2
la solución al sistema es:
S={(2,-1)}
Método de Igualación
El método consiste en eliminar una de las variables igualándolas en una
ecuación.
• Se despeja una de las variables en la primera ecuación, por
ejemplo, la y.
• Se despeja la misma variable en la segunda ecuación.
• Se igualan las dos expresiones obtenidas resultando una
ecuación lineal en una variable x.
• Se resuelva esta ecuación, hallándose un valor para x

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• Se sustituye el valor encontrado en el paso anterior en
cualquiera de los dos primeros pasos.
Ejemplos
Resolvamos los dos sistemas anteriores pero utilizando ahora el método de
igualación.
1)



+−=
=
2xy
xy
En la primera ya tenemos despejada la y: y=x
En la segunda también ya tenemos despejada la y: y= -x+2
Igualando las y de las dos expresiones obtenemos
x =-x+2
es una ecuación lineal con incógnita x. Resolvemos:
x+x= 2
2x=2
x=1
Volvemos con este número a cualquiera de las dos primeras ecuaciones y
obtenemos y=1
Que es la misma solución que obtuvimos por el método de sustitución.
2)



−=+−
=−
64
823
yx
yx
Empezamos despejando la y de la primera ecuación:
-2y= 8 -3x
y= -8/2 + 3/2 x
Despejamos y de la segunda ecuación:
4y = -6 +x
y= -6/4 + x/4= -3/2 + x/4
Igualamos
-8/2 + 3/2 x = -3/2 + x/4

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Nos quedó una ecuación lineal con una incógnita x. Resolvemos,
3/2 x - x/4 = -3/2 + 8/2
(6x-x)/4 = 5/2
5x/ 4 = 5/2
x=
5
4
2
5
×
x= 2
Reemplazamos este valor en cualquiera de las dos primeras
y= -8/2 + 3/2 . (2)
y= -4 +3=-1
que es la misma solución que obtuvimos por el método de sustitución.
Método Gráfico
Otra forma de resolver los sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas es utilizar las herramientas gráficas vistas en el módulo de
función lineal.
Toda ecuación del tipo, ax+by=c , representa una recta. Efectivamente si
b ≠ 0, podemos despejar la y de la ecuación en función de la x,
by= c –ax
y= c/b – a/c x
que es la ecuación de una recta con pendiente –a/c y ordenada al origen
c/b.
Si b=0 la ecuación ax=c, representa a la recta vertical (no es función) x= c/a
Por eso un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas representa
gráficamente dos rectas en el plano cartesiano xy. La solución del sistema,
si existe, es el conjunto de coordenadas del punto intersección de las
mismas (o los puntos de intersección de las mismas).
Ejemplos:
Utilizando los mismos ejemplos para los dos métodos anteriores vemos que
el ejemplo 1 tiene como gráfico el gráfico del desafío 2.

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1)



+−=
=
2xy
xy
)2(
)1(
La ecuación (1) es una recta con pendiente 1 y ordenada al origen 0.
La ecuación (2) es una recta con pendiente -1 y ordenada al origen 2.
Graficamos en un mismo sistema cartesiano y vemos que las coordenadas
del punto intersección son (1,1). Eso significa que x=1 e y=1 son las
soluciones buscadas, coincidiendo con los otros métodos.
Para hallar con exactitud el valor de la solución este método no es muy
apropiado ya que puede haber errores en la precisión del gráfico, además de
no ser muy práctico. Pero este método nos orienta a la existencia o no de
solución o soluciones. Por el análisis gráfico de los sistemas podemos
clasificar a los mismos.
4.3.3 Clasificación de los sistemas de ecuaciones
lineales según sus soluciones
De acuerdo a las posibles relaciones de dos rectas en un mismo plano
cartesiano podemos clasificar a los sistemas de dos ecuaciones lineales con
dos incógnitas como:

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Sistemas compatibles
determinados.
Tienen una única solución S={
(x0,y0)}
Dos rectas que se intersecan en un
punto A de coordenadas ( x0,y0)
Sistemas compatibles
indeterminados.
Tienen infinitas soluciones
Gráficamente parece una única
recta pero en realidad hay una
superposición de las dos rectas.
Son dos rectas coincidentes. Todos
sus puntos forman la intersección
de ellas.
Sistemas Incompatibles
No hay solución
Dos rectas paralelas NUNCA se
cortan. No tienen puntos en
común
Problemas
Hay muchas situaciones de la vida diaria que tiene como modelo
matemático a las ecuaciones lineales. Uno de los mayores desafíos no sólo
para los estudiantes sino para los profesionales es “traducir” el lenguaje
cotidiano a la expresión matemática. Logrado el modelo, se pueden aplicar
técnicas de resolución, como las vistas en los sistemas de ecuaciones
lineales, para hallar una solución a la problemática concreta. Como
ejercitación al tema nos vamos a encontrar con problemas a resolver.
Tengamos en cuenta los siguientes pasos para ejecutar la resolución de los
mismos:
A= (x0,y0)

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1. Leer y releer tantas veces como sea necesaria las consignas hasta
que se comprenda los enunciados.
2. Extraer datos de los enunciados
3. Identificar la/s incógnita/s
4. Traducir al lenguaje simbólico
5. Unir el paso 2 ,3 y 4 para plantear la ecuación correspondiente
6. Resolver y verificar el resultado
Algunos ejemplos de traducción
Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico
La suma de dos números x+y
El doble de un número 2x
El consecutivo de un número x+1
La tercera parte de la diferencia de
dos números 3
yx −
La suma de dos números pares
consecutivos
2x+ (2x+2)
Otra ayuda para esta traducción es entender dónde está el signo “igual”.
Ejemplos:
1. La suma de tres números consecutivos es igual al cuádruplo del
menor de los tres números.
Obviamente aquí el verbo indica dónde está el igual:
x + (x+1) + (x+2) = 4 x
2. La suma de dos números excede en 10 unidades al producto de
ellos
Aquí el verbo excede equivale al igual
x +y = x×y + 10
3. El valor de y representa el 10% el valor de x
Aquí el verbo representa significa es igual

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y = 0,10 x
4.4 Ecuaciones Cuadráticas
Una función de la forma cbxaxxf ++= 2
)( con 0≠a se llama función
cuadrática y su gráfica en el plano cartesiano es una curva llamada
parábola.
Ejemplo:
2
( ) 2 3f x x x= − −
Los puntos donde la curva corta al eje de las abscisas x son los ceros o raíces
de la función. Esos puntos tienen ordenadas y =0 por eso para calcular
cuáles son las raíces se debe plantear la ecuación:
cbxax ++= 2
0
llamada ecuación cuadrática.
4.4.1 Resolvente.
La fórmula de cálculo para resolver la ecuación es:

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2
4
2
b b ac
x
a
− ± −
=
donde los signos ± implica utilizar la fórmula dos veces: una sumando y la
otra, restando. Esta fórmula es conocida como la resolverte de la ecuación
cuadrática.
Ejemplo:
Hallar las raíces de la ecuación
2
2 3 0x x− − =. En este caso a= 2,b= -1 y c=
-3.
( )
2
2
4
2
1 1 4.2.( 3)
2.2
1 1 24
4
1 25
4
1 5
4
1 5 1 5
y
4 4
b b ac
x
a
x
x
x
x
x x
− ± −
=
± − − −
=
± +
=
±
=
±
=
+ −
= =
6 4
y
4 4
3
y 1
2
x x
x x
= = −
= = −
Encontramos dos soluciones reales y distintas.
Casos especiales
Aunque para resolver la ecuación cuadrática contamos con la fórmula de la
resolvente, no siempre es necesario utilizarla.
Ejemplos:
a. Hallar las raíces de la ecuación
2
25 0x − =. En este caso, podemos
despejar la incógnita:

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2
2
25 0
25
25
5
x
x
x
x
− =
=
= ±
= ±
Encontramos dos raíces reales y distintas, una x= 5 y la otra x=-5, sin
necesidad de utilizar la fórmula de la resolverte.
b. Hallar las raíces de la ecuación
2
2 4 0x x− =. Sacamos factor común
2 x y obtenemos 2 ( 2) 0x x − =. La ecuación es un producto de dos
factores igualados a 0. Esto implica que al menos uno de ellos es
igual a 0.
Si el primer factor es igual a 0, obtenemos:
2 0
0
x
x
=
=
Si el segundo factor es igual a 0:
2 0
2
x
x
− =
=
Luego los valores 0 y 2 son las raíces de la ecuación cuadrática.
4.4.2 El discriminante
Puede suceder que al aplicar la resolvente la raíz cuadrada se tenga que
calcular a un número negativo o al cero. En ese caso o no existiría ninguna
solución o existiría una única solución.
Llamamos discriminante de la ecuación cuadrática a la expresión que se
halla bajo la raíz cuadrada de la resolvente:
∆= acb 42
−
Se simboliza con la letra griega “delta”
Luego, para una ecuación cuadrática cualquiera, los casos que se pueden
presentar para el discriminante son:

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∆>0
Hay dos raíces reales distintas
En este caso la parábola corta al eje
x en dos puntos.
∆=0
Hay una única raíz real
En este caso la parábola corta al eje
x en un único punto, su vértice
∆ <0
No hay raíces reales.
La ecuación tiene raíces complejas y
conjugadas
En este caso la parábola no corta al
eje de las x.

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Bibliografía Lectura 4
Apostol, Tom M.,(1982) “Calculus”, Argentina, Editorial Reverté S. A.
Cugno, Haydeé, (2009)” Curso de Nivelación en Matemática”. Universidad
Empresarial Siglo 21.
Haeussler Ernest F, Jr, Paul Richard S., Wood, Richard J.,(2008),”Matemáticas
para administración y Economía”, México, Pearson, Prentice Hall.
Lopez, Antonio Roberto, (1984) “Matemática Moderna 1, 2, 3 y 4”, Buenos Aires,
Editorial Stella.
Tarzia D. A, (2000) “Curso de nivelación de Matemática", Santiago de Chile,
McGraw-Hill Interamericana.
http://www.regentsprep.org/Regents/math/ALGEBRA/math-
ALGEBRA.htm#Equations_and_Inequalities__
http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm1.html
http://www.ing.unp.edu.ar/matematica/Modulos/Unidad_2.PDF