Matematicas ud10

10 Límites de funciones. Continuidad
UD10: LÍMITES Y
CONTINUIDAD
1. LÍMITES
1.1. IDEA
INTUITIVA
1.2. LIMITE DE
UNA FUNCIÓN
1.3. OPERACIONES
1.4. CÁLCULO
DE LÍMITES
INDETERMINACIONES
2. ASÍNTOTAS
2.1. VERTICALES
2.2. HORIZONTALES
2.3. OBLÍCUAS3. CONTINUIDAD

1. LÍMITES. 1.1. Idea intuitiva
Vamos a estudiar el
comportamiento de la función f(x) =
x2 – 2x para valores próximos a x =
4. Para ello, vemos cómo se
comporta esta función para valores
próximos a 4, pero menores que 4,
y para valores próximos a 4, pero
mayores que 4.

En la tabla que figura a continuación observamos que, cuando damos
a x valores próximos a 4 y superiores a 4, la función f(x) se aproxima o
tiende a 8. Decimos que, cuando x tiende a 4 por la derecha, f(x)
tiende a 8, y escribimos: x → 4+ ⇒ f(x) → 8
En la tabla siguiente observamos que, cuando damos a x valores
próximos a 4 e inferiores a 4, la función f(x) se aproxima o tiende a
8. Decimos que, cuando x tiende a 4 por la izquierda, f(x) tiende a 8,
y escribimos: x → 4– ⇒ f(x) → 8

Por todo lo anterior, podemos decir que
cuando x tiende a 4, f(x) tiende a 8, y
podemos escribir:
x → 4 ⇒ f(x) → 8
Cuando nos hemos acercado a la función
por la izquierda y derecha hemos obtenido
el mismo resultado. Decimos que la función
es convergente en x = 4.

1. LÍMITES. 1.2. Límite de una función. 1.2.1. Límites laterales

1. LÍMITES. 1.2. Límite de una función. 1.2.2. Existencia de límite
El concepto de límite está íntimamente unido al concepto de
convergencia de una función.

¿Hay límite en -2, 0 o en 2?

¿Hay límite en -1, 0 o en 1?
¿Hay límite en -2, 0, 2 o en 3?

EJERCICIO
Calcula los límites laterales y determina si existe el límite en las
funciones siguientes definidas a trozos, en los puntos en los que se
unen dos ramas:

1. LÍMITES. 1.2. Límite de una función 1.2.3. Límites en el infinito
La idea de límites infinito de una función en el infinito queda
recogida en el siguiente esquema:
Cuando existe uno de estos cuatro límites, decimos que la función y =
f(x) tiene una rama parabólica.

1. LÍMITES. 1.3. Operaciones con límites
1. Límite de la suma o diferencia de funciones. Es la suma o
diferencia de los límites de dichas funciones:
2. Límite del producto de funciones. Es el producto de los límites de
esas funciones:

3. Límite del cociente de dos funciones. Es el cociente de los límites
de esas funciones, siempre que el límite del denominador no sea
nulo:
4. Límite de la función logarítmica. Es el logaritmo del límite de la
función, siempre que este límite sea positivo:

5. Límite de una función elevada a otra función. Es el límite de la
función de la base, siempre que este sea positivo, elevado al límite de
la función del exponente:

1. LÍMITES. 1.4. Calculo de límites

OPERACIONES CON 0 E INFINITO

EJERCICIO:
Resuelve los siguientes límites:

1. LÍMITES. 1.4. Calculo de límites. 1.4.1. Indeterminaciones
INDETERMINACIONES
La forma más habitual para calcular límites consiste en sustituir el
valor al que tiende la x. Sin embargo, hay ocasiones en el que este
valor no se puede determinar de manera inmediata. Es el caso de
la indeterminaciones.
INDETERMINACIÓN RESOLUCIÓN
Se compara el grado del polinomio numerador
y denominador (dividiendo).
Haciendo operaciones con ambas funciones
«f(x)-g(x)» y simplificando.
Suelen resolverse operando y simplificando
«f(x)·g(x)».
Factorizar los polinomios numerador y
denominador y simplificar.
Aplicar la «fórmula» para simplificar el límite
según la definición del número e.

FICHA
INDETERMINACIÓN EJERCICIO
6, 7, 8, 25, 28-33, 39
34, 67 - 69, 84,
14, 26, 27, 40, 56, 65, 66, 70 – 74, 97, 98
Sin indeterminación: 1 - 5, 9-13, 15, 16, 19 - 21, 41- 54, 55, 57 – 64,
70, 75, 76, 80 – 83, 85 – 87, 92 – 96, 99, 100.
No hacer: 17, 18, 23, 24, 35 – 38, 77, 78, 88 – 91.

CASO 1 gr[P(x)] > gr[Q(x)]
CASO 2 g[P(x)] = gr[Q(x)]
CASO 3 gr[P(x)] < gr[Q(x)]

CASO 1 gr[P(x)] > gr[Q(x)]

CASO 2 g[P(x)] = gr[Q(x)]

CASO 3 gr[P(x)] < gr[Q(x)]
EJERCICIOS:

EJERCICIOS :

EJERCICIO RESUELTO :
lim
𝑥→3
1
𝑥2 − 9
−
1
𝑥 − 3
lim
𝑥→3
1
𝑥2 − 9
−
1
𝑥 − 3
= ∞ − ∞ 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛
lim
𝑥→3
1 − 1 · (𝑥 + 3)
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
= lim
𝑥→3
−𝑥 − 2
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
=
−5
0
𝑉𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠
lim
𝑥→3−
−𝑥 − 2
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
=
−5−
6− · 0−
=
−5−
0−
= +∞
lim
𝑥→3+
−𝑥 − 2
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
=
−5+
6+ · 0+ =
−5+
0+ = −∞
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒

EJERCICIO RESUELTO :
𝑓 𝑥 =
−𝑥 − 2
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)

EJERCICIOS:

2. ASÍNTOTAS
Una asíntota es una recta hacia la cual se dirige la gráfica de la
función sin llegar a tocarla.
Una función puede presentar tres tipos de asíntotas:
1) Asíntota vertical: es una recta de la forma x = x0 que verifica:
2) Asíntota horizontal: es una recta de la forma y = L que verifica:

2. ASÍNTOTAS
Una asíntota es una recta hacia la cual se dirige la gráfica de la
función sin llegar a tocarla.
Una función puede presentar tres tipos de asíntotas:
3) Asíntota oblicua: es una recta de la forma y = mx + b que verifica:

3. CONTINUIDAD

3. CONTINUIDAD
Una función es discontinua en un punto de abscisa x cuando no es continua
en él, es decir, cuando falta alguna de las condiciones de continuidad.
DISCONTINUIDAD
EVITABLE
(existe límite)
INEVITABLE
(no existe límite)
DE SALTO FINITO
DE SALTO
INFINITO

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