Este documento presenta un problema de programación no lineal con 2 variables de decisión y múltiples restricciones. Utiliza el Teorema de Karush-Kuhn-Tucker para encontrar la solución óptima, que involucra la activación de 2 restricciones. Verifica que la solución cumple las condiciones de primer y segundo orden, lo que demuestra que es un mínimo global y el problema es convexo.

1. EJERCICIO
PROGRAMACION NO LINEAL.
Integrante:
Andrew Aguillón
CI: 22.998.456
Investigación de Operaciones II
Porlamar, 22 de marzo de 2017

2. Las condiciones de optimalidad establecidas en el Teorema de Karush
Kuhn Tucker (KKT) permiten abordar la resolución de modelos de
Programación No Lineal que consideran tanto restricciones de igualdad
(ecuaciones) como desigualdad (inecuaciones).
En términos comparativos las condiciones de KKT son más generales
que el Método de Lagrange el cual se puede aplicar a problemas no lineales
que consideran exclusivamente restricciones de igualdad.
Mostraremos cómo utilizar el Teorema de Karush Kuhn Tucker para
resolver un problema de Programación No Lineal con 2 variables de decisión.
Sin pérdida de generalidad un modelo de Programación No Lineal se
puede representar a través del siguiente formato:
Luego podemos reescribir cualquier problema en dicha estructura
manteniendo la equivalencia de la representación matemática. Para
ejemplificar lo anterior consideremos el siguiente modelo de optimización no
lineal que resulta de interés su resolución.

3. El problema anterior se puede representar gráficamente de modo de
encontrar su solución óptima (x1=2 y x2=1) en el par ordenado etiquetado con
la letra “C” en el gráfico a continuación, con valor óptimo V(P)=2.
El conjunto de factibilidad corresponde al área achurada. Adicionalmente
se puede observar que en la solución óptima se encuentran activas las
restricciones 1 y 3 (el resto de las restricciones por cierto se cumple pero no en
igualdad).

4. Por supuesto la resolución mediante el Método Gráfico es sólo
referencial y se ha utilizado en este caso para corroborar los resultados a
obtener en la aplicación del teorema. En este contexto el problema en su forma
estándar es simplemente:
Notar que sólo fue necesario cambiar la forma de las restricciones de no
negatividad (esto se puede hacer multiplicando por -1 cada una de ellas). Cabe
destacar que en este caso en particular el problema no considera restricciones
de igualdad.
Luego las condiciones necesarias de primer orden de Karush Kuhn
Tucker (KKT) están dadas por:
Por ejemplo, si en las condiciones generales anteriores consideramos el
problema no restringido (asumiendo que todas las restricciones son inactivas)
la solución óptima por simple inspección es x1=3 y x2=2, que corresponde a la
coordenada “E” de la gráfica anterior y que se puede observar no es una
solución factible para el problema.

5. De este modo la circunferencia de menor radio que intercepta el
conjunto de factibilidad es precisamente aquella que pasa por la coordenada
“C” donde las restricciones 1 y 3 se cumplen en igualdad, razón por la cual las
cuales activaremos de forma simultanea:
Al calcular los gradientes respectivos se obtiene:
Lo cual da origen al siguiente sistema de ecuaciones:
Reemplazando x1=2 y x2=1 podemos despejar los valores de los
multiplicadores los cuales cumplen con las condiciones de no negatividad:

6. Adicionalmente se puede verificar que x1=2 y x2=1 satisface las
restricciones omitidas (2, 4 y 5) por lo cual se puede afirmar que dicha solución
cumple las condiciones necesarias de primer orden de Karush Kuhn Tucker
(KKT).
A continuación verificamos el cumplimiento de las condiciones de
segundo orden de KKT, en particular lo que tiene relación con la convexidad
del problema. Para ello calculamos la Matriz Hessiana o de segundas
derivadas de la función objetivo y las restricciones activas.
El primer determinante de la Matriz Hessiana es D1=8/3>=0 y el
segundo determinante es D2=(8/3)*(8/3)=(64/9)>=0. Se concluye que el
problema es convexo y por tanto x1=2 y x2=1 es mínimo local y global para el
problema. La resolución computacional de este problema con AMPL corrobora
los resultados alcanzados:

7. BIBLIOGRAFIA
https://classesenginyeries.files.wordpress.com/2014/03/optimizacief
bfbdn_con_restricciones_de_desigualdad.pdf
file:///C:/Documents%20and%20Settings/Bleke/Mis%20documentos/
Downloads/Gu_a_No_Lineal_M._Goic_.pdf
http://ibcm.blog.unq.edu.ar/wp-
content/uploads/sites/12/2013/07/NO-lineal+-
ejemplo.pdfhttp://ibcm.blog.unq.edu.ar/wp-
content/uploads/sites/12/2013/07/NO-lineal+-ejemplo.pdf