Ondas planas unlocked (1) (1)

> UE
Telecomunicación
Ciudad Universitaria
MADRID
UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID
ONDAS PLANAS
Autores:
J. E. Page de la Vega
C. Camacho Peñalosa
Ingenieros
Telecomunicación
Ciudad Universitaria
ID)
UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID
ONDAS PLANAS
Autores:
J. E. Page de la Vega
C. Camacho Peñalosa

ONDAS PLANAS
J.E. Page de La Vega
Carlos Camacho Peñalosa
Departamento de Teoría Electromagnética
Madríd, Octubre de 1.983
ONDAS PLANAS
Departamento de Teoría Electromagnética
Madríd, Octubre de 1.983

Edita e Imprime:
Departamento de Publicaciones
E.T.S. Ingenieros de Telecomunicación.
Ciudad Universitaria, s/n
28040 MADRID
1.S.B.N.: 84-7402-151-0
24. Edición.
Dp. Legal: M-38149 - 1984
Edita e Imprime:
Departamento de Publicaciones
E.T.S. Ingenieros de Telecomunicación.
Ciudad Universitaria, s/n
28040 MADRID
1.S.B.N.: 84-7402-151-0
22 Edición.
Dp. Legal: M-38149 - 1984

INDICE
PARTE I.- ONDAS PLANAS HOMOGENEAS
1. Introducción ....oooooooooooonooomor.»o..
2. Ondas planas homogéneas en el dominio de la fre-
CUENCÍA roooooooomoncnooooooooooo.. e... nonnonoso
2.1. Onda plana homogénea ....o.ooooonoonoooooo.. ...
2.2. Características generales ............ e ......
2.3. Propagación en diferentes medios ........... .
2.3.1. Medios sin pérdidas .......... ono onoooonro»».
2.3.2. Medios sin pérdidas magnéticas ....... co...
3. Ondas planas homogéneas en el dominio del tiempo
3.1. Ondas monocromáticaS .......... corno. oooos
3.1.1. Flujo de la energía ............. concen.
3.1.2. Velocidad de fase ......oooo..... ...oonoo no...
3.1.3. Perpendicularidad de los CAMPOS c.ooooooo...
3.1.4. Polarización ........oo..... e. onooonon.o. ...
3.2. Dependencia temporal arbitraria .............
3.2.1. Perpendicularidad de los CAampoS ...... co...
3.2.2. Velocidades de propagación ......oooooo....
3.2.3. Polarización ....o.ooooooconcrronroromoroo..
SN
PYODÍeMasS coocoococorccocccanoror
rr
PARTE II.- ONDAS PLANAS Y OBSTACULOS
1. Introducción ....oooooomcoooooooomooo.»o». Lon... .os
2. Incidencia normal sobre discontinuidades planas ..
2.1. Concepto de coeficiente de reflexión ...... ..
2.2. Concepto de impedancia co. ...o.onoon.n..o.n..n..n. . eo. .o oso
2.3. Valores permitidos del coeficiente de refle-
XÍÓN ..o..o..o.o.. ..o.» ec... ..o oo... .o.. ne... noe. .o..oo
2.4. Distribución espacial del campo ec. ........o..o
2.5. Determinación experimental del diagrama de on
da estacionaria .....ooooooomonororomonroooo..
2.6. Balance energético ....oooooconronomommomm..o.o.
33
39
41
44
49
52
53
57
60
INDICE
PARTE I.- ONDAS PLANAS HOMOGENEAS
1. Introducción ....oooooooooooonooomor.»o..
2. Ondas planas homogéneas en el dominio de la fre-
CUENCÍA roooooooomoncnooooooooooo.. e... nonnonoso
2.1. Onda plana homogénea ....o.ooooonoonoooooo.. ...
2.2. Características generales ............ e ......
2.3. Propagación en diferentes medios ........... .
2.3.1. Medios sin pérdidas .......... ono onoooonro»».
2.3.2. Medios sin pérdidas magnéticas ....... co...
3. Ondas planas homogéneas en el dominio del tiempo
3.1. Ondas monocromáticaS .......... corno. oooos
3.1.1. Flujo de la energía ............. concen.
3.1.2. Velocidad de fase ......oooo..... ...oonoo no...
3.1.3. Perpendicularidad de los CAMPOS c.ooooooo...
3.1.4. Polarización ........oo..... e. onooonon.o. ...
3.2. Dependencia temporal arbitraria .............
3.2.1. Perpendicularidad de los CAampoS ...... co...
3.2.2. Velocidades de propagación ......oooooo....
3.2.3. Polarización ....o.ooooooconcrronroromoroo..
SN
PYODÍeMasS coocoococorccocccanoror
rr
PARTE II.- ONDAS PLANAS Y OBSTACULOS
1. Introducción ....oooooomcoooooooomooo.»o». Lon... .os
2. Incidencia normal sobre discontinuidades planas ..
2.1. Concepto de coeficiente de reflexión ...... ..
2.2. Concepto de impedancia co. ...o.onoon.n..o.n..n..n. . eo. .o oso
2.3. Valores permitidos del coeficiente de refle-
XÍÓN ..o..o..o.o.. ..o.» ec... ..o oo... .o.. ne... noe. .o..oo
2.4. Distribución espacial del campo ec. ........o..o
2.5. Determinación experimental del diagrama de on
da estacionaria .....ooooooomonororomonroooo..
2.6. Balance energético ....oooooconronomommomm..o.o.
33
39
41
44
49
52
53
57
60

2.7. Tratamiento matricial de los problemas de in-
cidencia normal ......... coo nono naoanoo.oon.
2.7.1. Matriz de transferencia de una discontinui-
2.7.2. Matriz de transferencia de una región sin
discontinuidadeS ...oooooonoooooononoonoo.»
2.8. Estudio particular de algunos casos de inte-
TÉS ..ooooooooo.o»» Lon...» coo ononono.o. Con. ..o..
2.8.1. Discontinuidad entre dos medios indefinidos
2.8.2. Discontinuidad dieléctrico-conductor ......
2.8.3. El problema de los tres medioS ............
2.8.4. Efecto de las pérdidaS +....ooooooooonoo.o.o..
2.8.5. Eliminación de reflexiones en banda ancha
2.8.6. Eliminación de reflexiones sobre un conduc-
TOY .ooo ooo... cono ra noonronrarnrro
cn...
Incidencia oblicua sobre discontinuidades planas
3.1. Introducción ....... eooronnnnano.o on oon.oo..
3.2. Leyes de Snell ....oooooooooononooooooooo ....
3.3. Discusión de las Leyes de Snell. La onda pla-
na no homogénea ...ooooonooooooo.. Lonomonno..
. Propiedades de la onda plana no homogénea ...
4
.5. Interpretación geométrica de las Leyes de
Snell ....ooo...... Lo... n..o.o con. onoooo.o..o.s
. Leyes de Fresnel ............ cono rooono...
. Balance energético .......... cono ooooooo.. ...
ración de dos medios dieléctricos sin pérdi
ÍAS cooocooomomoooooo.. cono ooooooo.-. L.oomn.o..
3.8.2. Incidencia de una onda homogénea sobre un
buen Conducto! ....oooo... como... e. ..o..o».
3.9. Incidencia oblicua sobre discontinuidades múl
tipleS ....oooomo.oo... coonamoooo.. cono. .o.. ...
3.9.1. Lámina dieléctrica ....... Lon onnoon oo.» o...
63
64
65
69
09
71
73
380
100
100
100
102
103
108
112
117
120
120
124
128
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2.7. Tratamiento matricial de los problemas de in-
cidencia normal ......... coo nono naoanoo.oon.
2.7.1. Matriz de transferencia de una discontinui-
2.7.2. Matriz de transferencia de una región sin
discontinuidadeS ...oooooonoooooononoonoo.»
2.8. Estudio particular de algunos casos de inte-
TES ..ooooooooo.o»» Lon...» coo ononono.o. Con. ..o..
2.8.1. Discontinuidad entre dos medios indefinidos
2.8.2. Discontinuidad dieléctrico-conductor ......
2.8.3. El problema de los tres medioS ............
2.8.4. Efecto de las pérdidas +....ooooooooonoo.o.o..
2.8.5. Eliminación de reflexiones en banda ancha
2.8.6. Eliminación de reflexiones sobre un conduc-
TOY .ooo ooo... cono ra noonronrarnrro
cn...
Incidencia oblicua sobre discontinuidades planas
3.1. Introducción ....... ccc e on oon.oo..
3.2. Leyes de Snell ....oooooooooononooooooooo ....
3.3. Discusión de las Leyes de Snell. La onda pla-
na no homogénea ...ooooonooooooo.. Lonomonno..
. Propiedades de la onda plana no homogénea ...
4
.5. Interpretación geométrica de las Leyes de
Snell ....ooo...... Lo... n..o.o con. onoooo.o..o.s
. Leyes de Fresnel ............ cono rooono...
. Balance energético .......... cono ooooooo.. ...
ración de dos medios dieléctricos sin pérdi
ÍAS cooocooomomoooooo.. cono ooooooo.-. cocoa...
3.8.2. Incidencia de una onda homogénea sobre un
buen Conducto! ....oooo... como... e. ..o..o».
3.9. Incidencia oblicua sobre discontinuidades múl
tipleS ....oooomo.oo... coonamoooo.. cono. .o.. ...
3.9.1. Lámina dieléctrica ....... Lon onnoon oo.» o...
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120
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PARTE I
ONDAS PLANAS HOMOGENEAS
PARTE I
ONDAS PLANAS HOMOGENEAS

1. INTRODUCCION
Vamos a analizar un determinado tipo de soluciones de las
ecuaciones de Maxwell en un medio homogéneo, lineal, isótropo y
sin fuentes, es decir, vamos a estudiar una determinada familia
de posibles campos electromagnéticos: las denominadas ondas pla-
nas homogéneas. Dichas soluciones se caracterizan porque solo de
penden del tiempo y de una coordenada de traslación. El interés
de su estudio radica en su sencillez y en que: a) permiten intro
ducir fácilmente las ideas básicas de propagación, reflexión y
refracción, ideas que se manejan en el estudio de otros fenóme-
nos en los que intervienen estructuras de campo u ondas más com-
plejas; b) son muy buenas aproximaciones de los campos realmente
existentes lejos de los generadores que los originan; y c) ondas
de estructura más complicada se pueden considerar como superposi
ción de ondas planas,
Así pues, estudiaremos las propiedades de las ondas planas
homogéneas sin considerar cuáles podrían ser las distribuciones
de carga y corriente necesarias para generarlas.
2. ONDAS PLANAS HOMOGENEAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
2.1. ONDA PLANA HOMOGENEA
Estamos interesados en obtener aquellos campos electromag-
néticos que solo dependen del tiempo y de una coordenada de tras
lación, y que son soluciones de las ecuaciones de Maxwell en un
medio homogéneo, lineal, isótropo y sin fuentes.
Puesto que el eje sobre el que se mida la coordenada no
tiene por qué coincidir con ninguno de los ejes del sistema de
referencia, denotaremos mediante el vector unitario 2 la direc-
ción de dicho eje y denominaremos í a la distancia existente en-
tre un punto cualquiera del eje y el origen de nuestro sistema
de referencia (fig. 1).
Como ya se ha comentado, la transformada de Fourier nos
1. INTRODUCCION
Vamos a analizar un determinado tipo de soluciones de las
ecuaciones de Maxwell en un medio homogéneo, lineal, isótropo y
sin fuentes, es decir, vamos a estudiar una determinada familia
de posibles campos electromagnéticos: las denominadas ondas pla-
nas homogéneas. Dichas soluciones se caracterizan porque solo de
penden del tiempo y de una coordenada de traslación. El interés
de su estudio radica en su sencillez y en que: a) permiten intro
ducir fácilmente las ideas básicas de propagación, reflexión y
refracción, ideas que se manejan en el estudio de otros fenóme-
nos en los que intervienen estructuras de campo u ondas más com-
plejas; b) son muy buenas aproximaciones de los campos realmente
existentes lejos de los generadores que los originan; y c) ondas
de estructura más complicada se pueden considerar como superposi
ción de ondas planas,
Así pues, estudiaremos las propiedades de las ondas planas
homogéneas sin considerar cuáles podrían ser las distribuciones
de carga y corriente necesarias para generarlas.
2. ONDAS PLANAS HOMOGENEAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
2.1. ONDA PLANA HOMOGENEA
Estamos interesados en obtener aquellos campos electromag-
néticos que solo dependen del tiempo y de una coordenada de tras
lación, y que son soluciones de las ecuaciones de Maxwell en un
medio homogéneo, lineal, isótropo y sin fuentes.
Puesto que el eje sobre el que se mida la coordenada no
tiene por qué coincidir con ninguno de los ejes del sistema de
referencia, denotaremos mediante el vector unitario 2 la direc-
ción de dicho eje y denominaremos í a la distancia existente en-
tre un punto cualquiera del eje y el origen de nuestro sistema
de referencia (fig. 1).
Como ya se ha comentado, la transformada de Fourier nos

z
5 TA.
A
A
A 6
O ”
/ Figura 1
n
permite reducir el problema a un sistema de ecuaciones en el do-
minio de la frecuencia que, en nuestro caso, es el constituido
por
V-E(z,f) =0
V-H(z,£) =0
VXE(2,£) = -joyH(z,£)
VxH(2,f) = jueE(t,£)
donde Elxz,f) y H(xz,f) son las transformadas de Fourier de los
campos E(c,t) y H(cz,t), respectivamente, y e y | son parámetros
característicos
del medio (en general, complejos).
Puesto que en este caso el operador V se puede expresar
d_
dz
V = E
las anteriores ecuaciones se reducen a
E? =0
az
z
5 TA.

A 6
O ”
/ Figura 1
n
permite reducir el problema a un sistema de ecuaciones en el do-
minio de la frecuencia que, en nuestro caso, es el constituido
por
V-E(z,f) =0
V-H(z,£) =0
VXE(2,£) = -joyH(z,£)
VxH(2,f) = jueE(t,£)
donde Elxz,f) y H(xz,f) son las transformadas de Fourier de los
campos E(c,t) y H(cz,t), respectivamente, y e y | son parámetros
característicos
del medio (en general, complejos).
Puesto que en este caso el operador V se puede expresar
d
dr
V = E
las anteriores ecuaciones se reducen a
E? =0
az

añ (z,£)
ESP —_—_—__——
az
dE(z,f)
ii
—jwuH(t,£)
S>
Xx
dz
dH(z,f)
Ex jweñc,f)
dz
Haciendo uso de las mismas se puede escribir
A a A dE(xz,f) A dá _
To —x TX —__——— = Z —xX | -JjwpH(z,f) |
dí dz dí
de donde 0
A d .S (2, £) nad dEl(z,f) a» aH(z,f)
E — IE” = (2 —) —— = —j0OpT x
at az | az az az
es decir,
arE(z,f) _
+ w?peE(2,f) = 0
dz?
que es la ecuación de ondas (en el dominio de la frecuencia) que
debe satisfacer el campo eléctrico.
De manera análoga se obtiene la ecuación de ondas para el
campo magnético, pudiéndose expresar ambas en la forma
a? oa oa]
- y? = 0
dz? | Híx,f) H(c,£)
con y? = -u%je y cuyas soluciones son
F(2,£) = E (£) e Ye + ES (E) er
0
H(2,f) =H ,(£) e Y? + Ho (E) ev?
0
dE (©, E)
C © ——
ar
dE(z,f)
|
—jwpH(r,Ef)
LAS
Xx
dz
dH(z,f)
CR jweE(r, E)
ar
Haciendo uso de las mismas se puede escribir
A a A dE(r, Ef) A a _
To —x TX —__——— = Z — xx | -jwpH(r,E) |
ar ar dí
de donde 0
A d a (©, E) aa d AdE(r, E) a aH(z,f)
E — IE” = (2 —) —— = —j0OpT x
ar ar | ar ar ar
es decir,
AE(r,f) _.
+ wpeE(r,f) = 0
dz?
que es la ecuación de ondas (en el dominio de la frecuencia) que
debe satisfacer el campo eléctrico.
De manera análoga se obtiene la ecuación de ondas para el
campo magnético, pudiéndose expresar ambas en la forma
a? oa oa]
- y? = 0
dz? | Híx,f) H(c,£)
con y? = -w’pe y cuyas soluciones son
F(2,£) = E (£) e Ye + ES (E) el
0
E(c,f) =E(f eſs + Ho (E) els
0

siendo EQ(£)+ ED +, HQ (£) y H¿ (£) vectores complejos dependien-
tes solamente de la frecuencia, y y el valor principal* de la
raiz vV-w?pe .
Puesto que la variable z de un punto genérico del espacio
cuyo vector posición es r viene dada por
PO
G= C:r
los campos buscados tienen necesariamente la forma
E(2,£) AS
E (£) e
H(T,£) = E, (£) eTYr* (t2)
Como se verá posteriormente, estas expresiones definen pro
cesos de propagación de energía electromagnética en las direccio
nes Ñ = *2, lo que permite escribir en el dominio de la frecuen-
cia la estructura básica de una onda plana homogénea referida a
la dirección del flujo de energía en la forma
n —
n+Y
tl
E(t,f) = E, (£) et
>» ed
-yvn+Y
H(t,£) = Hy(£) e
2.2. CARACTERISTICAS GENERALES
Si se multiplica la ecuación
an aE(z,f) _
EX ——— = -jupHlz,f)
dz
A
escalarmente por z se obtiene
* Consideramos la fase de un número complejo definida en el intervalo (1,1)
por lo que la de su raiz cuadrada principal se encuentra en el intervalo
(-1/2,1/2].
siendo EQ(£)+ ED +, Ag (E) y Hg (E) vectores complejos dependien-
tes solamente de la frecuencia, y y el valor principal* de la
raiz vV-w?pe .
Puesto que la variable z de un punto genérico del espacio
cuyo vector posición es r viene dada por
A
CL = L°r
los campos buscados tienen necesariamente la forma
E(2,£) AS
E (£) e
H(T,£) = Hg (E) ero (7)
Como se verá posteriormente, estas expresiones definen pro
cesos de propagación de energía electromagnética en las direccio
nes Ñ = *2, lo que permite escribir en el dominio de la frecuen-
cia la estructura básica de una onda plana homogénea referida a
la dirección del flujo de energía en la forma
A —
n+Y
tl
E(t,f) = E, (£) el
A ed
-yvn+Y
H(t,£) = Hy(£) e
2.2. CARACTERISTICAS GENERALES
Si se multiplica la ecuación
an aE(z,f) _
EX ——— = -jupHlz,f)
dz
A
escalarmente por z se obtiene
* Consideramos la fase de un número complejo definida en el intervalo (1,1)
por lo que la de su raiz cuadrada principal se encuentra en el intervalo
(-1/2,1/2].

0
A A dE(z,f) An
E* X ——— | = -Jjuu cu-H(cz,f)
dz
esto es,
n+«H, (£) = 0
De manera análoga,
A A dH(x,f) no
E” E _—_— = Jwe c-Elz,f)
dz
luego
n+E, (£) = 0
De la expresión
E(c,£) = Ef (£) ev
se obtiene
dE (z,f) _
——_—_—_—— = "vrElc,f)
dz
con lo que
E. o _
E RX ——_——— = [ X (-y) E(z,f) = —jwuH (zx ,f)
dz
lo que referido a la dirección de propagación se escribe
y a]
Hy (£) = — Nx E (1) = . n Xx Eo (£)
Jwp
Jjuy Y
donde n = — = — = Yuj/e es un parámetro con dimensiones de im
Y jwe
pedancia, característico del medio y denominado impedancia intrín
0
A A dE(z,f) A ]
Co X ——— | = —jwp c-H(cr,E)
ar
esto es,
n «Hg (E) = 0
De manera análoga,
A A dH(x,f) no
Lo RN —— = Jwe c-Elz,f)
dz
luego
n+E, (£) = 0
De la expresión
E(c,£) = Ef (£) ev
se obtiene
dE (z,f) _
—BE(L,E)
dz
con lo que
E. o _
C KM "CR (-y) E(z,f) = —jwuH (zx ,f)
dr
lo que referido a la dirección de propagación se escribe
y 1.
Hg (E) = Nx E (1) = 7 n Xx Eg (E)
JwP
Jun Y
donde n = — = — = vP/E es un parámetro con dimensiones de im
Y Jue
pedancia, característico del medio y denominado impedancia intrín

seca. Obsérvese que s./. n es real las componentes de los vectores
E, (£) y H¿ (£) tienen la misma fase.
La anterior relación conduce de manera inmediata a que
Ey (£) *H, (£) =0
Al parámetro y definido anteriormente como el valor princi
pal de la raiz V-w?*Le se le llama constante de propagación* y
tiene dimensiones de inverso de longitud.
La parte real de y, a, se denomina constante de atenuación
y Caracteriza la variación de tipo exponencial que con 7 presen-
tan las amplitudes de los campos. Su valor se mide en neper/m.
La parte imaginaria de y, 8, se denomina constante de fase
y caracteriza la variación que con z presentan las fases de las
componentes de los campos. Su valor se mide en rad/m.
Un concepto estrechamente relacionado con la constante de
fase es el de longitud de onda (A) y que se define como la míni-
ma distancia para la que se verifica la relación
e7TBT - ¿38B(3+M)
de donde
27
Im (y)
>
w
la
2.3. PROPAGACION EN DIFERENTES MEDIOS
Se ha visto que la variación que con Y experimentan los
«¿campos de una onda plana homogénea está determinada
¡por el pará-
metro denominado constante de propagación, que sólo depende del
medio y de la frecuencia. En el presente apartado se pretende
analizar un poco más detalladamente las características genera-
* Habitualmente el valor principal de la raiz Vw? ue se denomina Yo"
seca. Obsérvese que s./. n es real las componentes de los vectores
E, (£) y Hg (E) tienen la misma fase.
La anterior relación conduce de manera inmediata a que
Ey (£) *H, (£) =0
Al parámetro y definido anteriormente como el valor princi
pal de la raiz V-w?*Le se le llama constante de propagación* y
tiene dimensiones de inverso de longitud.
La parte real de y, a, se denomina constante de atenuación
y caracteriza la variación de tipo exponencial que con 7 presen-
tan las amplitudes de los campos. Su valor se mide en neper/m.
La parte imaginaria de y, 8, se denomina constante de fase
y caracteriza la variación que con z presentan las fases de las
componentes de los campos. Su valor se mide en rad/m.
Un concepto estrechamente relacionado con la constante de
fase es el de longitud de onda (A) y que se define como la míni-
ma distancia para la que se verifica la relación
e7TBT - ¿38B(3+M)
de donde
27
Im (y)
>
w
la
2.3. PROPAGACION EN DIFERENTES MEDIOS
Se ha visto que la variación que con Y experimentan los
«¿campos de una onda plana homogénea está determinada
¡por el pará-
metro denominado constante de propagación, que sólo depende del
medio y de la frecuencia. En el presente apartado se pretende
analizar un poco más detalladamente las características genera-
* Habitualmente el valor principal de la raiz Vw? ue se denomina Yo"

les de dicho parámetro en los materiales habitualmente empleados.
2.3.1. Medios sin pérdidas
Los medios sin pérdidas se caracterizan por tener e y y
reales. En consecuencia la constante de propagación vale
y = Y-u*pe = juvVpe
esto es, 0 = 0 y B = wyYue.
La impedancia intrínseca del medio en este caso es real y
de valor
= [4
n e
Cualquier medio que no sea el vacío siempre tiene pérdidas
aunque estas sean pequeñas, pero son muchos los que, aproximada-
mente, pueden considerarse como medios sin pérdidas.
En el caso del vacío (Ll = Uy = 4 107? H/m, € = Eg *
-9
2 (1/36) 10 F/m) los anteriores parámetros valen
B = wYuyEg = w/c
siendo c = 1//U0€0 = 3 10? m/s (velocidad de propagación de la
interacción electromagnética en el vacío), y
n = nm) * YU0/Eg = 1207 = 377 £
2.3.2. Medios sin pérdidas magnéticas
Tales medios están caracterizados por una y real y una e =
= £'-je" compleja. La constante de propagación viene dada por
y? = (a+38)2 = -u.p(er-je") = -0?pe' (1-jtg6)
e igualando partes reales e imaginarias se obtiene
Zo
-=w Je
e
1
Dm
il
20.8 ope 'tgs
sistema de ecuaciones cuya resolución (valores principales) con-
duce a
les de dicho parámetro en los materiales habitualmente empleados.
2.3.1. Medios sin pérdidas
Los medios sin pérdidas se caracterizan por tener e y y
reales. En consecuencia la constante de propagación vale
y = /=-w’pe = ju/pe
esto es, 0 = 0 y B = wyYue.
La impedancia intrínseca del medio en este caso es real y
de valor
= [4
n E
Cualquier medio que no sea el vacío siempre tiene pérdidas
aunque estas sean pequeñas, pero son muchos los que, aproximada-
mente, pueden considerarse como medios sin pérdidas.
En el caso del vacío (Ll = Uy = 4 107? H/m, € = Eg *
-9
2 (1/36) 10 F/m) los anteriores parámetros valen
B = wYuyEg = w/c
siendo c = 1//U0€0 = 3 103 m/s (velocidad de propagación de la
interacción electromagnética en el vacío), y
n= ng * YUg/Eg = 120n = 377 £
2.3.2. Medios sin pérdidas magnéticas
Tales medios están caracterizados por una y real y una e =
= £'-je" compleja. La constante de propagación viene dada por
y? = (a+38)2 = -u.p(er-je") = -0?pe' (1-jtg6)
e igualando partes reales e imaginarias se obtiene
2-0
-=w PE
Q
1
TD
il
20.8 ope 'tgs
sistema de ecuaciones cuya resolución (valores principales) con-
duce a

- 10-
e
ú
NS
NES
> cs 6
B.= wvpe' sl 1+v1+tg?* 6) wr fue! FE (£ +)
So y a, 8
ly
es decir, 8
La impedancia intrínseca viene dada por
n= tn = |
e* (1-jtg6)
2 _ 4
n ni = E cos S
de donde
' cos? tgó
N:
>.
3
tl
mir
sistema cuya resolución permite obtener los valores de Y NM
A
a
E
E'
O.
IA
>
r = Y o "Mp;
es decir, n
Las expresiones obtenidas se pueden simplificar
en los ca-
sos de materiales que, además de no presentar pérdidas magnéti-
cas, puedan ser considerados buenos dieléctricos o buenos conduc
tores.
2.3.2.1. Buenos dieléctricos
Un buen dieléctrico es un material en el que se verifica
que la tangente del angulo de pérdidas es muy pequeña, es decir,
tgS8 << 1. Esta condición permite obtener expresiones más senci-
llas tanto para la constante de propagación como para la ¿impe-
- 10 —
e
l
NS wr ur UL
NES
> “ul
B.= wvype! sl 1+v1+tg?* 6) wr fue! FE (£ +)
So y a, 8
iv
es decir, B
La impedancia intrínseca viene dada por
n= 0450, =|—
e* (1-jtg6)
2 _ U
n ni = E cos S
de donde
' cos? tgó
da.
>.
3
tl
mir
sistema cuya resolución permite obtener los valores de n Y ni
A
a
a
el
0.
UV.
>
r = Y o "Mp;
es decir, n
Las expresiones obtenidas se pueden simplificar
en los ca-
sos de materiales que, además de no presentar pérdidas magnéti-
cas, puedan ser considerados buenos dieléctricos o buenos conduc
tores.
2.3.2.1. Buenos dieléctricos
Un buen dieléctrico es un material en el que se verifica
que la tangente del angulo de pérdidas es muy pequeña, es decir,
tgs << 1. Esta condición permite obtener expresiones más senci-
llas tanto para la constante de propagación como para la ¿impe-

- 11 -
dancia intrínseca.
Puesto que tgó << 1, es posible desarrollar la expresión
para la constante de propagación en la forma
y = 0+j8 = juVue' Vi-jtgé =
= ju/Yue' (1 - Litgs + Lig?s + +L3tg?s +...)
2 8 16
Igualando partes reales e imaginarias, y despreciando los
términos de orden superior al primero, se obtiene
e
1
wvue'
Dm
rR
La impedancia intrínseca vale en este caso con el mismo
grado de aproximación
Ju . tgó
n= fea
+ 3 335)
En la figura 2 se ha re
presentado w en función de
a y B (diagramas u-a y w-8)
despreciando la posible varia
ción de la e con la frecuen-
cia. Aunque pueda parecer un
poco extraña esta forma de re
presentación es preciso seña-
lar que es la más conveniente
a, E _
Figura 2 para analizar las caracterís
ticas de provagación del me-
dio como se verá posteriormente.
2.3.2.2. Buenos conductores
En el caso de que el material sin pérdidas magnéticas sea
un buen conductor se tendrá que tgó >> 1, pudiéndose expresar,
por consiguiente, la constante de propagación en la forma
- 11 -
dancia intrínseca.
Puesto que tgó << 1, es posible desarrollar la expresión
para la constante de propagación en la forma
y = 0+j8 = juVue' Vi-jtgé =
= ju/Yue' (1 - Litgs + Lig?s + +L3tg?s +...)
2 8 16
Igualando partes reales e imaginarias, y despreciando los
términos de orden superior al primero, se obtiene
e
1
wvue'
Dm
R
La impedancia intrínseca vale en este caso con el mismo
grado de aproximación
Ju . Ego
n= Ea +3)
En la figura 2 se ha re
presentado w en función de
a y B (diagramas u-a y w-8)
despreciando la posible varia
ción de la e con la frecuen-
cia. Aunque pueda parecer un
poco extraña esta forma de re
presentación es preciso seña-
lar que es la más conveniente
a, E _
Figura 2 para analizar las caracterís
ticas de propagación del me-
dio como se verá posteriormente.
2.3.2.2. Buenos conductores
En el caso de que el material sin pérdidas magnéticas sea
un buen conductor se tendrá que tgó >> 1, pudiéndose expresar,
por consiguiente, la constante de propagación en la forma

- 12 -
2
Il a+tjg = wv/pe'tgsS NS + j .58 = a UE ESÉ (143)
donde se ha hecho uso de la relación
A=4
Y2
y se ha efectuado la aproximación
1
+3 2
: 1 tg3
Puesto que en un conductor prácticamente todas las pérdi-
das proceden del fenómeno de conducción, se puede poner
o
tgó (w) = DET
lo que permite escribir
y = at+j8 => (143) /nhpo = ==
1
vrf£uo
que se denomina 'profundidad de penetración'
siendo $ = un parámetro con dimensiones de longitud y
Igualando partes reales e imaginarias en la expresión ante
rior se obtiene
a =8== /nfuo
En consecuencia, en los buenos conductores tanto la cons-
tante de atenuación como la de fase toman valores muy grandes de
bido al elevado valor de la conductividad.
La longitud 'de'onda viene dada por
NN
A = E = 218
Ys al igual que la $, su valor es muy pequeño en un buen conduc-
tor. | |
Por otra parte, la impedancia intrínseca vale
- 12 -
2
11 a+jB = wvYue'tgs re + j EST = w [EEES (143)
donde se ha hecho uso de la relación
HG =
2
y se ha efectuado la aproximación
1
+71 2
: 1 tg3
Puesto que en un conductor prácticamente todas las pérdi-
das proceden del fenómeno de conducción, se puede poner
o
tgs(w) = Ger
lo que permite escribir
Y = a+Ï8 *: (1+3) /rEuo = ==
1
vrf£uo
que se denomina 'profundidad de penetración!
siendo $ = un parámetro con dimensiones de longitud y
Igualando partes reales e imaginarias en la expresión ante
rior se obtiene
a =8== /nfuo
En consecuencia, en los buenos conductores tanto la cons-
tante de atenuación como la de fase toman valores muy grandes de
bido al elevado valor de la conductividad.
La longitud
de onda viene dada por
da
A = É= 2n6
Ye al igual que la $, su valor es muy pequeño en un buen conduc-
tor. | |
Por otra parte, la impedancia intrínseca vale

- 13 -
¡
n= AM pl (143)
(1+3)/8 20
alo
|.
En la figura 3 se puede
apreciar la variación de a y
8 con la frecuencia.
Fícura 3
3, ONDAS PLANAS HOMOGENEAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
En esta sección se analizan las características que las on
das planas homogéneas presentan en el dominio del tiempo. En pri
mer lugar se consideran las ondas monocromáticas, y aunque en
sentido estricto tales campos no existen realmente puesto que
exigen una excitación sinusoidal perfecta (amplitud y frecuencia
constantes) durante un periodo de tiempo infinito, su estudio re
sulta muy útil porque en muchos casos los campos reales son apro
ximadamente monocromáticos y porque, en definitiva, cualquier on
da plana con dependencia temporal arbitraria no es más que la su
perposición de ondas planas monocromáticas de diferentes frecuen
cias e igual sentido de propagación (transformada de Fourier).
No obstante, el proceso de superposición de estas componentes
presenta una serie de nuevos aspectos que serán tambien tratados.
3.1. ONDAS MONOCROMATICAS
Si el proceso electromagnético es monocromático de frecuen
cia £o (wy=21£p) las transformadas de Fourier de los campos de
una onda plana homogénea que se propaga en dirección n se escri-
ben
- 13 -
1
n= AL. pl (143)
(1+3)/8 20
alo
|.
En la figura 3 se puede
apreciar la variación de a y
8 con la frecuencia.
Fícura 3
3, ONDAS PLANAS HOMOGENEAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
En esta sección se analizan las características que las on
das planas homogéneas presentan en el dominio del tiempo. En pri
mer lugar se consideran las ondas monocromáticas, y aunque en
sentido estricto tales campos no existen realmente puesto que
exigen una excitación sinusoidal perfecta (amplitud y frecuencia
constantes) durante un periodo de tiempo infinito, su estudio re
sulta muy útil porque en muchos casos los campos reales son apro
ximadamente monocromáticos y porque, en definitiva, cualquier on
da plana con dependencia temporal arbitraria no es más que la su
perposición de ondas planas monocromáticas de diferentes frecuen
cias e igual sentido de propagación (transformada de Fourier).
No obstante, el proceso de superposición de estas componentes
presenta una serie de nuevos aspectos que serán tambien tratados.
3.1. ONDAS MONOCROMATICAS
Si el proceso electromagnético es monocromático de frecuen
cia Eg (wg=27Eg) las transformadas de Fourier de los campos de
una onda plana homogénea que se propaga en dirección n se escri-
ben

- 14
-o-— ER. Br Eb A +
E(r,f) = — S(£+£,) e + — 8(£-£,) eY 2-.E
2 2
— HE —*ñ.Y Ho CAT
H(r,f) = — S(f+f£,) e — 8(f-£,) eY ”-*
2 0 2 0
con lo que se obtiene
_ jojyt-=ylw Jñ-T
: Re | Eg € o 0 ]
Ú
E(r,t)
H(r,t)
o jopt=y (A+ y
se [5 EUA
verificándose, naturalmente, que
A —
n xXx Ep
n
3.1.1. Flujo de energía
El campo electromagnético definido por las anteriores ex-
presiones representa un fenómeno de transporte de energía de un
punto a otro del espacio cuyas características están dadas por
el vector de Poynting.
Resulta fácil comprobar que el valor medio de dicho vector
está dado por
SN 1 E0 Ef -20ñ-T E
<S(r,t)> = 5 e“. . Coso. n
n
[|
Mi
donde $, = arctg n + es decir, si cos Pm > 0 ( lo que se ve
r
rifica si el medio es pasivo) la propagación de la energía tiene
lugar en la dirección ñ. Nótese que 5 (T,t)> es constante sobre
los planos definidos por fñi.r=cte, y que, en general, la energía
transportada por la onda disminuye (0729 :
paga.
El valor medio de la potencia que atraviesa una sección pla
Y
) conforme esta se pro
na de área unidad normal a la dirección de propagación suele deno
minarse potencia transmitida por la onda y vale
- 14
— E ] Br Eg ] A +
E(r,f) = — S(£+£,) e + — 8(£-£,) eY 2-.E
2 2
— HE —*ñ.Y Ho CAT
H(r,f) = — S(f+f£,) e — 8(f-£,) eY ”-*
2 0 2 0
con lo que se obtiene
_ Jjougt-y(w )Ñ°r
: Re | Eg € 0 0 ]
ll
E(r,t)
H(r,t)
o jopt=y (A+ y
se [5 EUA
verificándose, naturalmente, que
A —
n xXx Eg
n
3.1.1. Flujo de energía
El campo electromagnético definido por las anteriores ex-
presiones representa un fenómeno de transporte de energía de un
punto a otro del espacio cuyas características están dadas por
el vector de Poynting.
Resulta fácil comprobar que el valor medio de dicho vector
está dado por
E/— 11 1 E0 Ef —2af-F E
<S(r,t)> = 5 e “. . cos dó n
n
[nl
Mi
donde $, = arctg n + es decir, si cos Pm > 0 ( lo que se ve
r
rifica si el medio es pasivo) la propagación de la energía tiene
Lugar en la dirección ñ. Nótese que 5 (T,t)> es constante sobre
los planos definidos por fñi.r=cte, y que, en general, la energía
transportada por la onda disminuye (0729 :
paga.
El valor medio de la potencia que atraviesa una sección pla
Y
) conforme esta se pro
na de área unidad normal a la dirección de propagación suele deno
minarse potencia transmitida por la onda y vale

o
We (1)
= 3
Eg «E
*
0
[In]
cosó,,
Si el medio es un buen dieléctrico la potencia transmitida
se puede aproximar por
Ñ p*
— Eq-E,
Wip (1)
*
2Yu/e'
donde se ha considerado |n|=-Vu/e'
-2aR.r
e
y cosó_=1, si, además, se
n Y
verifica que a|fñ.r|<<1 es posible otra aproximación de la forma
— ok
t 24y/e'
3.1.2. Velocidad de fase
(1-2aR.1r)
Las superficies de fase constante son planos perpendicula-
res a la dirección de propagación definidos por wuyt-Br=cte, y se
'desplazan' con una velocidad, que se denomina velocidad de fase,
de valor
Ve (W7)
Sobre el diagrama w-8
de la figura 4 la velocidad
de fase es igual a la pen-
diente de la recta que une
el punto P con el origen.
En el caso de una on-
da monocromática propagándo
se en el vacío la velocidad
de fase es constante y de
valor V¿=C.
as
as
dt
9
8 (wp)
o o
Figura
4
Py
Para un buen dieléctrico V£ es sensiblemente independiente
de la frecuencia, esto es
o
We (1)
= 3
Eg «E
*
0
[In]
cosó,,
Si el medio es un buen dieléctrico la potencia transmitida
se puede aproximar por
Ñ p*
— Eg-Eg
Wip (1)
*
2v/p/e!
donde se ha considerado |[n|*/u/e?
-2aR.r
e
y cosó_=1, si, además, se
n Y
verifica que a|fñ.r|<<1 es posible otra aproximación de la forma
— ok
T 2v/p/e!
3.1.2. Velocidad de fase
(1-2aR.1r)
Las superficies de fase constante son planos perpendicula-
res a la dirección de propagación definidos por wuyt-Br=cte, y se
'desplazan' con una velocidad, que se denomina velocidad de fase,
de valor
ve (wg)
Sobre el diagrama w-8
de la figura 4 la velocidad
de fase es igual a la pen-
diente de la recta que une
el punto P con el origen.
En el caso de una on-
da monocromática propagándo
se en el vacío la velocidad
de fase es constante y de
valor Ve=C.
Qs
de
dt
9
8 (wp)
o
o o — — — — — ——
Figura
4
®
y
Para un buen dieléctrico ve es sensiblemente independiente
de la frecuencia, esto es

mientras que para un buen conductor la velocidad de fase depende
fuertemente de la frecuencia siendo su valor :
12w
vv, 2 |—
f uo
3.1.3. Perpendicularidad de los campos
Las relaciones N.E,=0 y n.H,¿=0 que se obtuvieron al anali-
0
zar la onda plana homogénea en el dominio de la frecuencia impli
can la perpendicularidad de los campos a la dirección de propaga
ción en el dominio del tiempo ya que, como es fácil de comprobar
'R-E(T,t) =0 y n-H(r,t) =0. Vr,t
- si n+E, =00 y Ms, =0 , respectivamente.
Por el contrario, la relación
nx E
5, = —0
ep 7
n
no implica que los campos E(r,t) y H(r,t) sean perpendiculares.
En efecto, dichos campos serán perpendiculares si su producto es
calar:es nulo en cualquier punto y en cualquier instante de tiem
— - : *Rk — ?
po, lo que se verifica si E¿*H, = 0 y, además, Re [E . Hp] = 0.
La segunda de estas condiciones exige que
o : A E¿XE% o 2 YA _ o
Re 0 o | = Re. | 2 n-» (E,xE ¿e
siendo Es = E, + JE; (E, y E,» vectores reales), lo que se cum-
ple si el medio carece
de pérdidas (n real) o, aún existiendo
pérdidas, si el campo está linealmente polarizado (E¿xE,=0), con
cepto este cuyo significado se estudia en el siguiente apartado.
mientras que para un buen conductor la velocidad de fase depende
fuertemente de la frecuencia siendo su valor :
12w
v. 2 |—
f uo
Las relaciones n.E.=0 y n.H,¿=0 que se obtuvieron al anali-
0
zar la onda plana homogénea en el dominio de la frecuencia impli
can la perpendicularidad de los campos a la dirección de propaga
ción en el dominio del tiempo ya que, como es fácil de comprobar
'R-E(T,t) =0 y n-H(r,t) =0. Vr,t
- si n+E, =00 y Ms, =0 , respectivamente.
Por el contrario, la relación
nx E
5, = —0
ep 7
n
no implica que los campos E(r,t) y H(r,t) sean perpendiculares.
En efecto, dichos campos serán perpendiculares si su producto es
calar:es nulo en cualquier punto y en cualquier instante de tiem
— - : *Rk — -
po, lo que se verifica si E¿*H, = 0 y, además, Re [E . Hp] = 0.
La segunda de estas condiciones exige que
o - A E xEX o 25 a _ o
Re E o | = Re. | 2 n-» (E,xE JE
siendo Eg = E. + JE; (E, y E, o vectores reales), lo que se cum-
ple si el medio carece
de pérdidas (n real) o, aún existiendo
pérdidas, si el campo está linealmente polarizado (E¿xE,=0), con
cepto este cuyo significado se estudia en el siguiente apartado.

= 17 -
3.1.4. Polarización
El concepto de polarización de una onda está relacionado
con la variación que con el tiempo experimentan los vectores del
campo electromagnético en un punto dado del espacio.
El valor instantáneo del campo eléctrico de una onda mono-
cromática que se propaga en la dirección ñ=2 se puede escribir
E(r, t) =Re (EE) edot=rs | =
=00c[ E, cos (wt-82)-E, sen (ut=80) |
lo que no permite determinar de manera inmediata el lugar geomé-
trico descrito por el extremo del vector campo eléctrico ya que
E, y E, no son, en general, perpendiculares.
Puesto que no siempre se verifica que E, -E,=0, el producto
Eo «Es es, en general, un escalar complejo. Si su argumento es 2y
se puede escribir
5,-E2=|5, 5, WE 2-8. .5,4238..5
Eo «Ep [Fo-=o|* E_-E E¡-E,+2jE «E,
de donde
Una forma sencilla de obtener el lugar geométrico buscado
consiste en introducir el vector complejo Bb definido por
b=b ¡b_=E =Jv
b,+3b, Eo e
siendo ba y b, vectores reales. De acuerdo con ésto, el producto
b.b vale
—b.b=b b.-B..B.+23b..b.=E,.E. e JV21E_ E l=
1 -P,7b2-+b,+23b, -b,=E, -E, e =|E¿
«E |=real>0
de donde by -b,=0 Y by -b,>b)-.b1 esto es, bz Y b» son perpendicula
res entre sí con |b,|>|b.,|.
Esto nos permite expresar el campo eléctrico en la forma
E(r,t) = Re [(5,+35,) dute
= 17 -
El concepto de polarización de una onda está relacionado
con la variación que con el tiempo experimentan los vectores del
campo electromagnético en un punto dado del espacio.
El valor instantáneo del campo eléctrico de una onda mono-
cromática que se propaga en la dirección ñ=2 se puede escribir
E(r, t) =Re (EE) eJut=yz | =
-e “|El cos (wt-82)-E, sen (ut=80) |
lo que no permite determinar de manera inmediata el lugar geomé-
trico descrito por el extremo del vector campo eléctrico ya que
E, y E, no son, en general, perpendiculares.
Puesto que no siempre se verifica que E, -E,=0, el producto
Eg -Eg es, en general, un escalar complejo. Si su argumento es 2y
se puede escribir
Ey Eg= [Ey 5, WE 2-8. .5,4238..5
Eo «Ep [oz] E .E E¡-E,+2jE «E,
de donde
Una forma sencilla de obtener el lugar geométrico buscado
consiste en introducir el vector complejo Bb definido por
b=b ¡b_=E -Ïv
b,+3b, Eg e
siendo ba y b, vectores reales. De acuerdo con ésto, el producto
b.b vale
—b.b=b b.-B..B.+23b..b.=E,.E. e JV21E_ E l=
1 -P,7b2-+b,+23b, -b,=E, -E, e =|E¿
«E |=real>0
de donde by -b,=0 Y by -b,>b)-.b1 esto es, bz Y b» son perpendicula
res entre sí con |b,|>|b.,|.
Esto nos permite expresar el campo eléctrico en la forma
E(r,t) = Re [(5,+35,) dute |..

-18-
="b, e ** cos(wt-=Br+yp) - b, es sen (wt- Bz+y)
donde ba y b» están dados por
b, = E- cos. Y + Ej sen Y
b, = - E, sen y + Ej COS Y
Considerando las direcciones definidas por los vectores ba
y b» como los ejes £' y n', respectivamente, de un nuevo sistema
de referencia (fig. 5) se tiene
E(r,t) = Egr (1, t) EL+ En (r,t) n'
siendo
B¿,(E,t) = [b, | eee cos (wt-Bz+vp)
E, 1 (£,t) =-|b, | e“%% sen (wt-82+p)
De las ecuaciones anteriores se obtiene
2
Egs (E, t) E, (E,te) 1?
[B, [e”** [B,]e7**
que es la ecuación de una elipse. Es decir, en general, el extre
mo del vector campo eléc.
trico de una onda mono-
cromática en un punto da
do describe una elipse
al variar el tiempo. Los
ejes de dicha elipse (fi
gura 5) coinciden con
las direcciones de los
vectores b, y b,- Puesto
_ 1
que lb, |>[b,| el semieje
mayor vale [B, 1879, y
[B5,]e”** el menor.
-18-
="b, e ** cos(wt-=Br+yp) - b, eras sen (wt- Bz+y)
donde ba y b» están dados por
b, = E. cos. y + E, sen Y
b, = - E, sen y + E, cos Y
Considerando las direcciones definidas por los vectores ba
y b, como los ejes £' y n', respectivamente, de un nuevo sistema
de referencia (fig. 5) se tiene
E(r,t) = Egr (1, t) EL+ En (r,t) n'
siendo
B¿,(E,t) = [b, | e 5 cos (wt-Bz+vp)
Eg (ret) =-|b, | e“%% sen (wt-82+p)
De las ecuaciones anteriores se obtiene
2
Ec (Et) E, (E,te) 1?
[b, |e *5 [b,|e *°
que es la ecuación de una elipse. Es decir, en general, el extre
mo del vector campo eléc.
trico de una onda mono-
cromática en un punto da
do describe una elipse
al variar el tiempo. Los
ejes de dicha elipse (fi
gura 5) coinciden con
las direcciones de los
vectores b, y b,- Puesto
_ L
que lb, |>[b,| el semieje
mayor vale [b, le °°, y
[b, le 5 el menor.

Es importante hacer notar que si la atenuación del medio
no es cero, los valores de los semiejes de la elipse disminuyen,
manteniéndose constante la relación entre ellos (relacion axial),
conforme la onda se propaga.
Aunque, en general, el lugar geométrico es una elipse, es
posible que en ciertos casos la elipse degenere en una circunfe-
rencia o en un segmento. Se dice que una onda monocromática está
elípticamente polarizada (o que la polarización es elíptica) si
el extremo del vector campo eléctrico en cada punto del espacio
describe una elipse al variar el tiempo. Si |b,|=|b,| la elipse
se convierte en una circunferencia de radio [B, 1e7%=/5,]e" 95, y
se dice que la onda está circularmente polarizada (o que la pola
rización es circular). Si b0*, la elipse degenera en un segmen
to cuya dirección permanece fija en el tiempo, y se dice que la
onda está linealmente polarizada (o que la polarización es li-
neal).
Se define la relación axial (r) de la onda como el cocien-
te entre los valores máximo y mínimo del módulo del campo, esto
es,
máx _ eje mayor _ 15, |
eje menor T
J EN
|E(z,t)|
r=
[Ellen
IA
BA
Y, evidentemente, 1 r o,
Conviene transformar las condiciones para los vectores 4
y b, que proporcionan el tipo de polarización en condiciones pa-
ra los vectores E, y Es con el fin de determinar la polarización
de la onda sin necesidad de calcular ba y b,-
si E,=0, se tiene que
Eq «Ey97E,-E,>2Y=1>c0sy=0>b,=0
* b4 no puede anularse puesto que la relación [b,|>[b,] exigiría, en tal caso,
la anulación simultánea de b>.
Es importante hacer notar que si la atenuación del medio
no es cero, los valores de los semiejes de la elipse disminuyen,
manteniéndose constante la relación entre ellos (relacion axial),
conforme la onda se propaga.
Aunque, en general, el lugar geométrico es una elipse, es
posible que en ciertos casos la elipse degenere en una circunfe-
rencia o en un segmento. Se dice que una onda monocromática está
elípticamente polarizada (o que la polarización es elíptica) si
el extremo del vector campo eléctrico en cada punto del espacio
describe una elipse al variar el tiempo. Si |b,|=|b,| la elipse
se convierte en una circunferencia de radio [bz [e *°=[b,|e °°, y
se dice que la onda está circularmente polarizada (o que la pola
rización es circular). Si b0*, la elipse degenera en un segmen
to cuya dirección permanece fija en el tiempo, y se dice que la
onda está linealmente polarizada (o que la polarización es li-
neal).
Se define la relación axial (r) de la onda como el cocien-
te entre los valores máximo y mínimo del módulo del campo, esto
es,
máx _ eje mayor _ 15, |
eje menor 3
J EN
|E(z,t)|
r=
[Ellen
IA
BA
Y, evidentemente, 1 r o,
Conviene transformar las condiciones para los vectores 4
y b, que proporcionan el tipo de polarización en condiciones pa-
ra los vectores E, y E; con el fin de determinar la polarización
de la onda sin necesidad de calcular ba y b,-
si E,=0, se tiene que
Eq «Ey97E,-E,>2Y=1>c0sy=0>b,=0
* b4 no puede anularse puesto que la relación [b,|>[b,] exigiría, en tal caso,
la anulación simultánea de ba -

- 20 -
Si, por el contrario, E,=0, resulta
Eq -E¿“E, -E,>2v=0>seny=0>b,=0
Por último, si E AVE se puede escribir E-. =aE, siendo a
un _escalar (comprado) y, en consecuencia,
2aE..E. -* 2a
: a E,.E,-E..E. a -1
1
a
con lo que
b,=-aE,seny+E,cosY=E,cosy
(-a tgy+1)=0
Así pues, si se verifica que E, =0, E,¿70 6 E MES es decir,
E, Xx E¿=0, ?la polarización de la onda. es lineal.
En el caso de polarización circular tiene que ocurrir que
EN |=]b, |, es decir,
de donde
(E_*E_ - E¡'E,) cos 2y + 2E, *E, sen 2y = 0
Teniendo en cuenta que
o, 2E, *E
tg 2y = = ZA
E *E. — E.-E
rr ii
resulta
= > = 7 412-_ = = 12
(E, E, - E; Ej) = (2E, Ej)
Esta igualdad solo puede verificarse si ambos términos son
nulos, esto es, si
E E, =0 y E-E =E-E,
lo que equivale a decir que la polarización es circular si los
vectores E, y E, son perpendiculares y, además, sus módulos son
iguales. En este caso el ángulo y queda indeterminado (tg2y=0/0),
- 20 -
Si, por el contrario, E,=0, resulta
Eq -E¿“E, -E,>2v=0>seny=0>b,=0
Por último, si E AVE se puede escribir E. =aE, siendo a
un _escalar (comprado) y, en consecuencia,
2aE..E. -* 2a
: a E,.E,-E..E. a -1
1
a
con lo que
b,=-aE,seny+E,cosY=E,cosy
(-a tgy+1)=0
Así pues, si se verifica que E. =0, E,¿70 6 E MES es decir,
E, Xx E¿=0, |la polarización de la onda. es Lineal.
En el caso de polarización circular tiene que ocurrir que
EN |=]b, |, es decir,
de donde
(E_*E_ - E¡'E,) cos 2y + 2E, *E, sen 2y = 0
o, 2E, *E
tg 2y = — ZA
E *E. — E.-E
rr ii
resulta
= > = 7 412-_ = = 12
(E, E, - E; E.) = (2E.. Ej)
Esta igualdad solo puede verificarse si ambos términos son
nulos, esto es, si
E ‘E, =0 y E E = E. E.
lo que equivale a decir que la polarización es circular si los
vectores E, Y E, son perpendiculares y, además, sus módulos son
iguales. En este caso el ángulo y queda indeterminado (tg2y=0/0),

- 21 -
lo que debe interpretarse en el sentido de que se le puede asig-
nar el valor que se desee; si se elige, por ejemplo, y = 0 se ob
tiene b,=E, y DE, -
De no verificarse ninguna de las relaciones anteriores la
polarización de la onda será elíptica.
Además de la forma que tiene el lugar geométrico descrito
por el extremo del vector campo eléctrico es interesante conocer
en qué sentido describe el campo dicha curva. Se dice que la po-
larización (elíptica o circular) de la onda es positiva, 'a dere
chas' o dextrógira, si al mirar en la dirección de propagación
se ve girar al campo eléctrico en el sentido de las agujas del
reloj. La polarización se dice que es negativa, 'a izquierdas' o
levógira, en caso contrario.
Para determinar si la polarización de una onda es positiva
o negativa consideremos que by es el representado en la figura 6.
Puesto que b, debe ser
perpendicular a by y fijado
este, solo existen dos posi-
bilidades para bar una de
las cuales es la representa-
da en la citada figura. En
esta situación y en un ins-
tante ta tal que
0ty = BE+Y= 0, o E(r,t,)
F£qura 6
el campo eléctrico vale
PH (7 F A, F 08 71
E(T,t,) = Eg (24t4) E" = [Bb| e “e
mientras que en un instante t, = ty + 7 , el valor del campo es
H(+ + A, O -=0aí A,
E(r,t,) = E, (£,t)) n =-|b,| e n
Puesto que la diferencia entre los dos instantes considera
dos es z (<5) podemos estar seguros de que el campo eléctrico se
mueve desde la posición en t, a la posición en t, por el camino
- 21 -
lo que debe interpretarse en el sentido de que se le puede asig-
nar el valor que se desee; si se elige, por ejemplo, y = 0 se ob
tiene b,=E, y DE, -
De no verificarse ninguna de las relaciones anteriores la
polarización de la onda será elíptica.
Además de la forma que tiene el lugar geométrico descrito
por el extremo del vector campo eléctrico es interesante conocer
en qué sentido describe el campo dicha curva. Se dice que la po-
larización (elíptica o circular) de la onda es positiva, 'a dere
chas' o dextrógira, si al mirar en la dirección de propagación
se ve girar al campo eléctrico en el sentido de las agujas del
reloj. La polarización se dice que es negativa, 'a izquierdas' o
levógira, en caso contrario.
Para determinar si la polarización de una onda es positiva
o negativa consideremos que by es el representado en la figura 6.
Puesto que b» debe ser
perpendicular a by y fijado
este, solo existen dos posi-
bilidades para bar una de
las cuales es la representa-
da en la citada figura. En
esta situación y en un ins-
tante ta tal que
ut) - 87 + 0 =0, o E(r,t,)
F£qura 6
el campo eléctrico vale
== F 2, F ar 71
E(T,t,) = Eg (24t4) E" = [Bb| e “e
mientras que en un instante t, = ty + 7 , el valor del campo es
H(+ + A, O -aLl A,
E(r,t,) = E, (£,t)) n =-|b,| e n
Puesto que la diferencia entre los dos instantes considera
dos es z (<H) podemos estar seguros de que el campo eléctrico se
mueve desde la posición en t, a la posición en t, por el camino

- 22 -
más corto, lo que a la vista de la figura 6 nos permite afirmar
que en ese caso la polarización de la onda es negativa. Si se hu
biese elegido la otra posibilidad para b, la polarización habría
sido positiva.
De acuerdo con lo anterior
si (b,xb,) «n = (E, xE, O polarización negativa
y si (b,xb,) «n = E, «E,
3>8>
) >
) > 0. polarización positiva
Por otra parte, siempre es posible escribir
(0, -E,)-3(4,.E.)
0) IET os
siendo ú, Y ú, vectores unitarios reales que verifican 4, -U),=
=4, -A=ú,.5=0, lo que puede interpretarse en la forma siguiente:
una onda con polarización arbitraria puede considerarse como la
superposición bien de dos ondas linealmente polarizadas en direc
ciones perpendiculares, bien de dos ondas con polarización circu
lar de diferente signo. Se puede comprobar fácilmente que la den
sidad de potencia transmitida por una onda es la suma de las
transmitidas por cada una de sus componentes lineales (o circula
res) por separado (ortogonalidad).
Aunque solo se ha hecho referencia al campo eléctrico, las
conclusiones y criterios obtenidos son directamente aplicables
al estudio de la polarización del campo magnético. Resulta muy
fácil demostrar que ambos campos describen en el mismo sentido
lugares geométricos similares (figura 7), siendo esta la razón
de que cuando se estudia la polarización de una onda únicamente
se considere la polarización bien del campo eléctrico, bien del
campo magnético. En el caso de polarización elíptica los ejes de
ambas elipses están orientados perpendicularmente entre sí inclu
so cuando los campos no son perpendiculares en el dominio del
tiempo lo que sucede si el medio tiene pérdidas.
- 22 -
más corto, lo que a la vista de la figura 6 nos permite afirmar
que en ese caso la polarización de la onda es negativa. Si se hu
biese elegido la otra posibilidad para Pb, la polarización habría
sido positiva.
De acuerdo con lo anterior
si (b,xb,) «n = (E, xE, O polarización negativa
y sí (b,xb,) -n = (E. «E,
3>8>
) >
) > 0. polarización positiva
Por otra parte, siempre es posible escribir
(0, -E,)-3(4,.E.)
a, IET os
siendo ü Y ú, vectores unitarios reales que verifican 4, -U),=
=4, -A=ú,.5=0, lo que puede interpretarse en la forma siguiente:
una onda con polarización arbitraria puede considerarse como la
superposición bien de dos ondas linealmente polarizadas en direc
ciones perpendiculares, bien de dos ondas con polarización circu
lar de diferente signo. Se puede comprobar fácilmente que la den
sidad de potencia transmitida por una onda es la suma de las
transmitidas por cada una de sus componentes lineales (o circula
res) por separado (ortogonalidad).
Aunque solo se ha hecho referencia al campo eléctrico, las
conclusiones y criterios obtenidos son directamente aplicables
al estudio de la polarización del campo magnético. Resulta muy
fácil demostrar que ambos campos describen en el mismo sentido
lugares geométricos similares (figura 7), siendo esta la razón
de que cuando se estudia la polarización de una onda únicamente
se considere la polarización bien del campo eléctrico, bien del
campo magnético. En el caso de polarización elíptica los ejes de
ambas elipses están orientados perpendicularmente entre sí inclu
so cuando los campos no son perpendiculares en el dominio del
tiempo lo que sucede si el medio tiene pérdidas.

ta]
n
N
H
Lineal
Figura
7
- 23 -
Circular (-)
(caso general de medio con pérdidas)
3.2. DEPENDENCIA TEMPORAL ARBITRARIA
Elíptica (+)
Si el proceso electromagnético presenta una dependencia
temporal arbitraria, los campos de una onda plana homogénea que
A
se propaga en dirección n se escriben
E(r,t)
y
H(r,t)
con
Hy (£)
«00 Doo .
=Ygn+Y jwut
= | Ey (£) e e df
+0 A
_ =ypyN+r jwt
= Hy (£) e e af
_ nx EQ (£)
n(£)
Puesto que para todas las frecuencias del espectro de los
campos de una onda plana se verifica que ñ «E, (£)=0 y ñ-H, (£)=0,
sigue que
n«E(r,t)
n-«H(r,t)
ti
tal
n
N
H
Lineal
Figura 7
- 23 -
Circular (-)
(caso general de medio con pérdidas)
3.2. DEPENDENCIA TEMPORAL ARBITRARIA
Elíptica (+)
Si el proceso electromagnético presenta una dependencia
temporal arbitraria, los campos de una onda plana homogénea que
A
se propaga en dirección n se escriben
E(r,t)
y
H(r,t)
con
Hg (E)
+00 A — .
_ =Ygn+Y jwut
= | Ey (£) e e df
+0 A
_ —Ygn°x jJwt
= Hg (E) e e af
_ nx EQ (£)
n(£)
Puesto que para todas las frecuencias del espectro de los
campos de una onda plana se verifica que ñ «E, (£)=0 y ñ-H, (£)=0,
sigue que
n«E(r,t)
n-«H(r,t)
1

- 24 -
es decir, los campos eléctrico y magnético de una onda plana ho-
mogénea con dependencia temporal arbitraria son perpendiculares
a la dirección de propagación.
Los campos E(r,t) y H(r,t) serán perpendiculares si se ve-
rifica que
E(r,t)-H(r,t) = 0. y r,t.
Es posible comprobar (ver apéndice) que tal condición se satisfa
ce si para todas las frecuencias involucradas la impedancia in-
trínseca del medio es real y constante, o/y si todas las compo-
nentes del espectro de los campos están linealmente polarizadas
en la misma dirección.
3.2.2. Velocidades de propagación
Analicemos en primer lugar la variación que con el tiempo
presenta una onda plana homogénea que. se propaga en un medio en
el que la constante de atenuación y la velocidad de fase son in-
dependientes de la frecuencia.
En tal caso se podrá escribir
= -0z o jale
E(z,t)=e E¿(f) e
mw” 00
c)
af
E(0,t) . EQ (6) edot a
y que, al no haber dispersión, 7" vgacte, resulta
E(í,t)=e ““E(0,t-L,)
v£
es decir, una perturbación tipo onda plana homogénea se propaga
en tales medios sin alterar su forma relativa (sin distorsión) y
con una velocidad igual a la velocidad de fase. Resultado lógico
puesto que todas las componentes del espectro tienen la misma ve
locidad de fase y mantienen constante su amplitud relativa. El
aspecto que presentaría un posible campo en diferentes instantes
- 24 -
es decir, los campos eléctrico y magnético de una onda plana ho-
mogénea con dependencia temporal arbitraria son perpendiculares
a la dirección de propagación.
Los campos E(r,t) y H(r,t) serán perpendiculares si se ve-
rifica que
E(r,t)-H(r,t) = 0. y r,t.
Es posible comprobar (ver apéndice) que tal condición se satisfa
ce si para todas las frecuencias involucradas la impedancia in-
trínseca del medio es real y constante, o/y si todas las compo-
nentes del espectro de los campos están linealmente polarizadas
en la misma dirección.
3.2.2. Velocidades de propagación
Analicemos en primer lugar la variación que con el tiempo
presenta una onda plana homogénea que. se propaga en un medio en
el que la constante de atenuación y la velocidad de fase son in-
dependientes de la frecuencia.
En tal caso se podrá escribir
= -0z o jale
E(z,t)=e E¿(f) e
mw” 00
c)
af
E(0,t) -| Eg (E) edot a
y que, al no haber dispersión, 7" vgacte, resulta
E(í,t)=e ““E(0,t-L,)
v£
es decir, una perturbación tipo onda plana homogénea se propaga
en tales medios sin alterar su forma relativa (sin distorsión) y
con una velocidad igual a la velocidad de fase. Resultado lógico
puesto que todas las componentes del espectro tienen la misma ve
locidad de fase y mantienen constante su amplitud relativa. El
aspecto que presentaría un posible campo en diferentes instantes

= 25 -
de tiempo se muestra en la figura 8.
e
E, (6,t) ó Eg (Crt)
Por el contrario, si el medio es dispersivo, la velocidad
de fase y la constante de atenuación dependen de la frecuencia y
es de esperar que el campo altere su forma (se distorsione) al
propagarse puesto que se modifican las fases y las amplitudes re
lativas de las componentes de su espectro. Sin embargo, bajo
ciertas condiciones es posible la propagación de campos electro-
magnéticos sin distorsión apreciable.
Consideremos un medio dispersivo y una onda plana homogé-
nea de banda limitada. Sea 2Af la anchura de su espectro y Lo
(0¿=21£p) la frecuencia central. El campo eléctrico de dicha on-
da se escribe
+
Lo Af
E(z,t) ="Re|| E, (£) ¿(wz ¿r3l8(w)z-wt] qe
£y"A£
y si las funciones a(w) y 8(w) se desarrollan en serie, los co-
rrespondientes términos exponenciales toman la forma
-a (w) z =0 (09) 3 =0* (09) (0-09) 3 => a” (W9) (ww) 77
e = e . e . e . . .
= 25 -
de tiempo se muestra en la figura 8.
e
E, (6,t) ó Eg (Crt)
Por el contrario, si el medio es dispersivo, la velocidad
de fase y la constante de atenuación dependen de la frecuencia y
es de esperar que el campo altere su forma (se distorsione) al
propagarse puesto que se modifican las fases y las amplitudes re
lativas de las componentes de su espectro. Sin embargo, bajo
ciertas condiciones es posible la propagación de campos electro-
magnéticos sin distorsión apreciable.
Consideremos un medio dispersivo y una onda plana homogé-
nea de banda limitada. Sea 2Af la anchura de su espectro y Lo
(w,=27f) la frecuencia central. El campo eléctrico de dicha on-
da se escribe
+
Lo Af
E(z,t) ="Re|| E, (£) ¿(wz ¿r3l8(w)z-wt] qe
£y"A£
y si las funciones a(w) y B(w) se desarrollan en serie, los co-
rrespondientes términos exponenciales toman la forma
-a (w) z =0 (09) 3 =0* (09) (0-09) 3 => a" (wgy) (ww) 77
e = e . e . e . . .

- 26 -
-38 (0) z =j8(w9) 3 -38" (07) (w-0p)3 — j8" (07) (0=wp)*z
e = e . e .*. |
Ahora bien, si se pueden efectuar las aproximaciones
-a (w) z 20 (py) z
e = e
-58 (w) z -38(wp)3 -38" (w7) (o0-wp)7
e . e
R
e
para lo cual es preciso que se verifiquen (ancho de banda, deri-
vadas sucesivas y distancia Z, pequeños)
a* (07) Awz z=0, a a" (9) (Aw) 2 2 0, ...
5 8" (up) (6u)% = 0, Ego (d0) 2 0, ...
el campo eléctrico se puede expresar
E_+Af
| 80 [Fotet
_ =a (wp) o joy (t- 0] j(w-w09) (t-892)
E(7,t)=e 2Re| e 0 Ef (1) e df
E¿7Af
con 8,28 (0) y 8978" (my) -
En 7¿=0 el campo eléctrico vale
£¿+Af
_ jwpyt _ j (w-w7)t
E(0,t)=2Re| e Ef (1) e df
£y7Af
es decir, el campo eléctrico en =0 es el resultado de modular
(en amplitud y fase, en general) con la función
£¿+Af
o j(w0-w,)t
Ef (£) e df
EyTAf
. e,
- 26 -
-38 (0) z =j8(w9) 3 -38" (07) (w-0p)3 + j8" (07) (0=wp)*z
e = e . e .*. |
Ahora bien, si se pueden efectuar las aproximaciones
-a (w) z -a (wz) z
e = e
-58 (w) z -Ï8(wg) © -Ï8" (wg) (w-u}) z
e . e
[e
e
para lo cual es preciso que se verifiquen (ancho de banda, deri-
vadas sucesivas y distancia Z, pequeños)
a* (07) Awz = 0, 5 a" (wg) (du) *z 2 0, ...
5 8" (up) (6u)% = 0, Ergo) 2 0, ...
el campo eléctrico se puede expresar
E_+Af
| eg Cort
_ -a (wz) 2 joy (t- 0] j(w-w09) (t-892)
E(7,t)=e 2Re| e 0 Ef (1) e df
E¿7Af
con 8,28 (0) y 8978" (my) -
En 7¿=0 el campo eléctrico vale
£¿+Af
_ jwpyt _ Ï(w-—uy) t
E(0,t)=2Re| e Eg (E) e “dE
£y7Af
es decir, el campo eléctrico en ¿=0 es el resultado de modular
(en amplitud y fase, en general) con la función
£¿+Af
o Ï(w-wg) E
Ef (£) e df
EyTAf
. e,

- 27 -
Jwpt
la 'portadora' e .
Esto nos permite concluir a la vista de la expresión para
E(,t) que, en estas condiciones, el campo eléctrico se propaga
sin distorsión puesto que en un punto cualquiera el campo es, ex
cluyendo el término exp 20 (wp) z , el resultado de modular con la
función
E¿tAf
j(w-w,) (t-B12)
Ey (£) e 0 07 af
que es la función moduladora anterior retardada una cantidad Bo
la misma 'portadora' retardada una cantidad Blu - Según esto la
envolvente y, por consiguiente, la energía asociada a ella se
mueve en la dirección É con una velocidad, denominada velocidad
de grupo, dada por
g
ag w
y que, en general, es diferente de la velocidad de fase wo/Bo de
la 'portadora'. Es decir, en las condiciones de las aproximacio-
nes efectuadas, la superposición (interferencia) con diferentes
velocidades de fase pero igual amplitud relativa de las componen
tes del espectro origina un fenómeno de propagación en el que
prácticamente toda la energía del campo se propaga con una velo-
cidad que es la velocidad de grupo. Sobre el diagrama 4-8 de la
figura 2 la velocidad de grupo es igual a la pendiente de la tan
gente a la curva en el punto P. El término exp | =a (wy) 2] es la
causa de que la amplitud de la envolvente disminuya conforme tie
ne lugar la propagación. La evolución con el tiempo que presenta
la envolvente del campo es similar a la representada en la figu-
ra 8.
Cuando las aproximaciones efectuadas no son válidas, el
análisis del problema es bastante complicado y es preciso estu-
diar algunos casos particulares para así poder extraer conclusio
nes de tipo físico. En tales casos el campo experimenta una dis-
- 27 -
Jwpt
la 'portadora' e .
Esto nos permite concluir a la vista de la expresión para
E(,t) que, en estas condiciones, el campo eléctrico se propaga
sin distorsión puesto que en un punto cualquiera el campo es, ex
cluyendo el término exp 20 (wp) z , el resultado de modular con la
función
E¿tAf
j(w-w,) (t-B12)
Eg (E) e 0 o ar
que es la función moduladora anterior retardada una cantidad Bo
la misma 'portadora' retardada una cantidad Blu - Según esto la
envolvente y, por consiguiente, la energía asociada a ella se
mueve en la dirección É con una velocidad, denominada velocidad
de grupo, dada por
g
ag y
y que, en general, es diferente de la velocidad de fase wo/Bo de
la 'portadora'. Es decir, en las condiciones de las aproximacio-
nes efectuadas, la superposición (interferencia) con diferentes
velocidades de fase pero igual amplitud relativa de las componen
tes del espectro origina un fenómeno de propagación en el que
prácticamente toda la energía del campo se propaga con una velo-
cidad que es la velocidad de grupo. Sobre el diagrama 4-8 de la
figura 2 la velocidad de grupo es igual a la pendiente de la tan
gente a la curva en el punto P. El término exp | =a (wy) 2] es la
causa de que la amplitud de la envolvente disminuya conforme tie
ne lugar la propagación. La evolución con el tiempo que presenta
la envolvente del campo es similar a la representada en la figu-
ra 8.
Cuando las aproximaciones efectuadas no son válidas, el
análisis del problema es bastante complicado y es preciso estu-
diar algunos casos particulares para así poder extraer conclusio
nes de tipo físico. En tales casos el campo experimenta una dis-

(y)
Figura
9
torsión que puede llegar a ser considerable y la energía del mis
mo se propaga con una gama continua de velocidades que en ningún
caso superan la velocidad de la luz en el vacío. Obsérvese que
en estas circunstancias el concepto de velocidad de grupo no es
aplicable puesto que la energía de la onda no se propaga con una
velocidad definida. No obstante, una fracción importante de la
energía total, y que se considera asociada con la información o
señal a transmitir, se propaga con una velocidad que recibe el
nombre de velocidad de la señal (v,) y que coincide con la velo-
cidad de grupo en la región de dispersión normal*. En la región
de dispersión anómala (cercanías de una banda de absorción) la
velocidad de la señal difiere sensiblemente de la velocidad de
- grupo, pero siempre se verifica que vo<ctr,
Aunque la definición de las diferentes velocidades de pro-
pagación se ha hecho con referencia a ondas planas homogéneas,
los conceptos y las conclusiones obtenidos son directamente apli
cables a la propagación de otros campos electromagnéticos.
* Se dice que un medio es dispersivo si la velocidad de fase varía con la fre
cuencia. La dispersión se denomina 'normal' si un incremento en frecuencia
origina una disminución de la velocidad de fase, y 'anómala' en caso contra
rio. : :
** Un análisis detallado de estas cuestiones se puede encontrar en: J.S. Stra-
ton, "Electromagnetic Theory" y J.D. Jackson, "Electrodinámica Clásica".
(y)
Figura
9
torsión que puede llegar a ser considerable y la energía del mis
mo se propaga con una gama continua de velocidades que en ningún
caso superan la velocidad de la luz en el vacío. Obsérvese que
en estas circunstancias el concepto de velocidad de grupo no es
aplicable puesto que la energía de la onda no se propaga con una
velocidad definida. No obstante, una fracción importante de la
energía total, y que se considera asociada con la información o
señal a transmitir, se propaga con una velocidad que recibe el
nombre de velocidad de la señal (v,) y que coincide con la velo-
cidad de grupo en la región de dispersión normal*. En la región
de dispersión anómala (cercanías de una banda de absorción) la
velocidad de la señal difiere sensiblemente de la velocidad de
- grupo, pero siempre se verifica que vacet*.
Aunque la definición de las diferentes velocidades de pro-
pagación se ha hecho con referencia a ondas planas homogéneas,
los conceptos y las conclusiones obtenidos son directamente apli
cables a la propagación de otros campos electromagnéticos.
* Se dice que un medio es dispersivo si la velocidad de fase varía con la fre
cuencia. La dispersión se denomina 'normal' si un incremento en frecuencia
origina una disminución de la velocidad de fase, y 'anómala' en caso contra
rio. : :
** Un análisis detallado de estas cuestiones se puede encontrar en: J.S. Stra-
ton, "Electromagnetic Theory" y J.D. Jackson, "Electrodinámica Clásica".

De acuerdo con el análisis efectuado en la sección 3.1.4
una onda monocromática siempre está polarizada, esto es, los ex-
tremos de los vectores del campo electromagnético en un punto da
do del espacio describen a lo largo del tiempo elipses que, cla-
ro está, pueden degenerar en una circunferencia o en un segmento.
Cuando la onda presenta una dependencia temporal arbitra-
ria, los extremos de dichos vectores describirán una trayecto-
ria, en general, irregular. Si la trayectoria es absolutamente
irregular, la onda presenta las mismas características en cual-
quier dirección transversal a la dirección de propagación y se
dice que no está polarizada O, también, que está aleatoriamente
polarizada. En aquellos casos en los que las trayectorias de los
extremos de los vectores del campo no son absolutamente irregula
res la onda se dice que está parcialmente polarizada*.
* Un excelente tratamiento del tema de la:polarización parcial de las ondas
puede encontrarse en: M. Born y E. Wolf, "Principles of Optics".
De acuerdo con el análisis efectuado en la sección 3.1.4
una onda monocromática siempre está polarizada, esto es, los ex-
tremos de los vectores del campo electromagnético en un punto da
do del espacio describen a lo largo del tiempo elipses que, cla-
ro está, pueden degenerar en una circunferencia o en un segmento.
Cuando la onda presenta una dependencia temporal arbitra-
ria, los extremos de dichos vectores describirán una trayecto-
ria, en general, irregular. Si la trayectoria es absolutamente
irregular, la onda presenta las mismas características en cual-
quier dirección transversal a la dirección de propagación y se
dice que no está polarizada O, también, que está aleatoriamente
polarizada. En aquellos casos en los que las trayectorias de los
extremos de los vectores del campo no son absolutamente irregula
res la onda se dice que está parcialmente polarizada*.
* Un excelente tratamiento del tema de la:polarización parcial de las ondas
puede encontrarse en: M. Born y E. Wolf, "Principles of Optics".

-= 31 -
APENDICE
El producto escalar E(r,t) H(r,t) se puede expresar (convo
lución en el dominio de la frecuencia)
— — o . = 1
E (x,t) «H(r,t) = glr,f') edo t df'
siendo =>e
+00
g(,£%) = | El)
E (1-1) COVE TDAE ¿vEñEqe
+00
= | EQ (EE)
E (E) e VETORE ¿ERE qe ,
=—00
de manera que la condición
E(r,t) -H(r,t) = 0 V r,t
se traduce en
glr,f') =0 Vr, £' .
La transformada g(r,f') se puede escribir
+00
= ¿E (ELEVA ZN. Y(£) fer y (£'-£)ñer
[EQ (£) -Hy (£'-£)+E, (£'-£) -E, (£)]e e df
== 00
g(r,f')=
N]P
lo que, teniendo en cuenta la relación
_ ñ x E (£)
Hp (£) = ——_— ,
n(f)
se convierte en
400
_ A _— _ 1 Z S.r ”_ >. 7
g(r,£')= > Re [E, (£)xE, (£'-£)] Ar Nine Y (E fin Lar
o n(£) n(f'-f£)
La transformada g(r,f') será nula VY,f' si se verifica:
a) n(f) = n(f'-£) vi,f'
y/o Zoo
b) Eq (8) xE, (£'-£) = 0 Vf,f' .
-= 31 -
APENDICE
El producto escalar E(r,t) H(r,t) se puede expresar (convo
lución en el dominio de la frecuencia)
— — o . 3 1
E (xX, E) «H(r,t) = glr,f') edo t dE!
siendo =>e
+00
g(r E) = | EQU)
Ay (ere) e VE TDR MODALae >
+00
= | EQ (EE)
E (E) e VE TDR VOR qe ,
=—00
de manera que la condición
E(r,t) -H(r,t) = 0 V r,t
se traduce en
glr,f') =0 Vr, £' .
La transformada g(r,f') se puede escribir
+00
= 7 (ELEVA Le => —y (E) Rex ——y(E'-E)R.xr
[EQ (£) -Hy (£'-£)+E, (£'-£) -E, (£)]e e df
== 00
g(r,f')=
N]P
lo que, teniendo en cuenta la relación
_ ñ x E (£)
Hp (£) = ——_— ,
n(f)
se convierte en
+00
_ A _— _ 1 Z Ber Lo 1 >. 7
g(r,£')= > Re [E, (£)xE, (£'-£)] Ar Nine Y (E fin Lar
o n(£) n(f'-Ff)
La transformada g(r,f') será nula VY,f' si se verifica:
a) n(f) = n(f'-£) vi,f'
y/o LL
b) Eq (8) xE, (£'-£) = 0 vE,F! .

- 32
Obsérvese que la condición a) exige que
para f'=fy > n(f)=n(f£,-f)
y para £'=2f-£, > nt£)=n(f-£,)=0n* (£,-£) ,
es decir, dicha condición equivale a que n(f)] sea real e indepen
diente de la frecuencia.
De la misma manera, la condición b) se puede expresar
E, (£) Xx Ey (£-£*) = E 0 0
lo que se traduce en
E, (£) x E,(£-£') = E,(£) x E,(£-£')
E, (£) x E¡(£-£') = - E¿(f) x E, (£-£')
EL (£) x E, (f-£') = - E,(£) x E, (£-£')
EL(£) x E,(£-£') = E,(f) x E, (f£-£')
con EQ (£) = E, (£) + jE, (£) (E, (£) y E, (£), reales), y que, evi
dentemente, conducen a
E, (£) x E, (£-£') = 0
E, (£) x E, (£-£') = 0 VO f£,£'
5
O
E, (£) x E, (£-£')
Esto es, la condición b) equivale a que todas las componen
tes del espectro de los campos estén linealmente polarizadas en
la misma dirección.
- 32
Obsérvese que la condición a) exige que
para f'=fy > n(f)=n(f£,-f)
y para £'=2f-£, > nt£)=n(f-£,)=0n* (£,-£) ,
es decir, dicha condición equivale a que n(f)] sea real e indepen
diente de la frecuencia.
De la misma manera, la condición b) se puede expresar
E, (£) Xx Ey (£-£*) = E 0 0
lo que se traduce en
E, (£) x E,(£-£') = E,(£) x E,(£-£')
E, (£) x E¡(£-£') = - E¿(f) x E, (£-£')
E (E x E, (f-£') = - E,(£) x E, (£-£')
EL(£) x E,(£-£') = E,(f) x E, (f£-£')
con EQ (£) = E, (£) + JE, (E) (E, (£) y E, (£), reales), y que, evi
dentemente, conducen a
E, (£) x E, (£-£') = 0
E, (£) x E, (£-£') = 0 VO f£,£'
1
O
E, (£) x E, (£-£')
Esto es, la condición b) equivale a que todas las componen
tes del espectro de los campos estén linealmente polarizadas en
la misma dirección.

PROBLEMAS
] La amplitud compleja del campo eléctrico de una onda plana homogénea mo-
nocromática que se propaga en el vacío está dada por
E- [2iV3rje2jo] eS2072/3 y
Determinar: a) La dinección de propagación, b) La frecuencia, c) el tipo
de polarización, d) La relación axial, el el ángulo que el eje mayor de
la elipse descrita por el campo eléctrico forma con el eje X, 4) el cam-
po magnético, y g) La potencía transmitida.
Solución:
a) De acuerdo con la expresión para la amplitud compleja de una onda pla
na homogénea propagándose en el vacío se tiene
Mer= -jBher
= -jBh-(ay9rzb) = 3 2»
luego ñ=2 (dirección
de propagación).
Obsérvese que efectivamente se verifica
ñ*E, = 2-[2(V3+3)+239] = 0
27 _ 2f _ 207 DN
pe--XE-LL > £=1
0) EQ = 2(V343)+239 = /3R+] (229) = E, +E,
E, XE, = (13%)x(2+29) = 2V32
ñ* (E xE,) =2V/3 > 0
ri
Puesto que [8] = 13% lE, | = /5, se concluye que la polarización de
la onda es elíptica y negativa.
d) El cálculo de la relación axial requiere la obtención de los vectores
b, y b..
1 2 =
- 2
E *E
tg 2) = > = 2 = -/3
E *E -E.*E
r ii
de donde Y 77302
=N 609
Cualquiera de los dos valores de Y se puede emplear en los cálculos
que siguen puesto que, aún cuando dan lugar a vectores b,
tes en cada caso, no afectan ni al valor de la relación axial ni a la po
Y b, diferen-
sición de los ejes de la elipse de polarización.
Con Y= -30%se obtiene
PROBLEMAS
1 La amplitud compleja del campo eLictirico de una onda plana homogénea mo-
nochomática que se propaga en el vacío está dada por
E- [2iV3rje2jo] eS2072/3 y
Determinar: a) La dinección de propagación, b) La frecuencia, e) el tipo
de potarización, d) La relación axial, e) el ángulo que el eje mayor de
la elipse descrita por el campo eléctrico forma con el eje X, 4) el cam-
po magnético, y g) La potencía transmitida.
Solución:
a) De acuerdo con la expresión para la amplitud compleja de una onda pla
na homogénea propagándose en el vacío se tiene
Mer= -jBher
= -jBh-(ay9rzb) = 3 2»
luego A = 2 (dirección
de propagación).
Obsérvese que efectivamente se verifica
ñ*E, = 2-[2(V3+3)+239] = 0
27 _ 2f _ 207 DN
bp 8 G=-LE=A > £=1
0) EQ = 2(V343)+239 = /3R+3 (2+29) = E +ÏE,
EXE, = (/32)x(2+2$) = 2/32
ñ* (E xE,) =2V/3 > 0
ri
Puesto que [8] = 13% lE, | = /5, se concluye que la polarización de
la onda es elíptica y negativa.
d) El cálculo de la relación axial requiere la obtención de los vectores
b, y b..
1 2 =
- 2
E *E
tg 2) = > = 22 = -/3
E *E -E.*E
r ii
de donde Y 77302
“> 60°
Cualquiera de los dos valores de Y se puede emplear en los cálculos
que siguen puesto que, aún cuando dan lugar a vectores b,
tes en cada caso, no afectan ni al valor de la relación axial ni a la po
Y b, diferen-
sición de los ejes de la elipse de polarización.
Con Y = -30%se obtiene

Big 0, 5 = MD
con lo que «lo, 1>Ib, D s
relación axial NU = Y/3
vV2
e) El ángulo Y que forma el eje mayor de la elipse (b,) con el eje X ven
y
drá dado por
SB, = [B,] cos a = 3 >
cos O = 1/42 >. 0= 45%
n=
ZXEÉE
== O -3j20Tz/3 _ 1 oz Luny -3202/3 A
f£) H = o e = mon | 23%+(V3+3)Y] e m
E_*E*
* * *
Determinar La amplitud compleja del campo eléctrico de una onda plana ho
mogénea monocromática con polanización elíptica negativa sabiendo que:
a) se propaga en el vacío según una dinección que 5e considera como efe 2;
b) La relación entre el valor máximo y el valor mínimo del campo eléct
co es N; e) La dinección según La cual se mide el máximo valor del campo
eléctrico se toma como eje Y; d) el valor medio de La densidad de poten-
cía que transmite la onda es P 0/m2; e) el campo eléctrico en el plano
2=0 tiene dirección £ en el instante £=0.
Solución:
si ñ = 2, y puesto que se propaga en el vacío,
O :
TL j2nfz/c
Teniendo en cuenta que los valores máximo y mínimo del campo coinciden
con los semiejes de la elipse de polarización resulta, teniendo en cuen-
ta que [b, | 2 [b,!.
b = + a E > b = b
Al ser la polarización negativa tiene que verificarse
o A
«A >
(b,xb,) n>o0
lo que conduce a
b, = +lb,| (-2)
pudiéndose escribir
_ _ _ . O a
E = (b,+3b,) ¿Y e mur Y e j2nfz/c
= £]b,| (09-32) e
Big 0, 5, = 3
con lo que (lb, |>|>, |) ‘
relación axial - le = 3
2
e) El ángulo Y que forma el eje mayor de la elipse (b,) con el eje X ven
y
drá dado por
SB, = [B,] cos a = 3 >
cos O = 1/42 >. 0= 45%
A —
Z RE
== O -3j20Tz/3 _ 1 oz Luny -3202/3 A
f£) H = o e = mon | 23%+(V3+3)Y] e m
E_*E*
* * *
Determinar La amplitud compleja del campo eléctrico de una onda plana ho
mogénea monocromática con polanización elíptica negativa sabiendo que:
a) se propaga en el vacío según una dinección que 5e considera como efe 2;
b) La relación entre el valor máximo y el valor mínimo del campo eléct
co es N; e) La dinección según La cual se mide el máximo valor del campo
eléctrico se toma como eje Y; d) el valor medio de La densidad de poten-
cía que transmite la onda es P w/m*; e) el campo eléctrico en el plano
2=0 tiene dirección Y en el instante £=0.
Solución:
si ñ = 2, y puesto que se propaga en el vacío,
O :
TL j2nfz/c
Teniendo en cuenta que los valores máximo y mínimo del campo coinciden
con los semiejes de la elipse de polarización resulta, teniendo en cuen-
ta que [b, | 2 [b,!.
b = + pls > b = b
Al ser la polarización negativa tiene que verificarse
o A
«A >
(b,xb,) n>o0
lo que conduce a
b, = +lb,| (-2)
pudiéndose escribir
_ _ _ . O La
E= (b,+3b,) ¿Y e Ver Y e j2nfz/c
= £]b,| (09-32) e

= 35
El doble signo puede englobarse en la indeterminación del origen de
Y
tiempos asociada con el término e?” lo que da lugar a un campo eléctri
co de la forma
=-_ k (N9-32) ¿JU ¿32Miz/0
La densidad de potencia (valor medio) transmitida por la onda vale
- LE*E% _ k%(0%1) > Anaméma
P=>5 o "am, > k = /2n,P/(M +1)
luego 3N.P
Eu (9-32) Y ¿732mfz/0
N%+1
Por último, la condición e) permite obtener el valor de U, esto es
2n,P
E(z=0,t=0) = 0 (N$-32) eV | = k'2 con k'>0
N?+1
de donde
2n,¿P e cos Y =0
(NÍ cos Y + 2 seny ) =kx'2 > > y = 1/2
N?+1 sen Y > 0
Por consiguiente,
2npP -321£2/0
E = (2+3N9) e V/m
N?+1
l * * *
Demostrar, en el caso general de medio con pérdidas, que Los campos eléc
buico y magnético de una onda plana homogénea monocromática tienen el
másmo £ipo de polarización, y que en el caso de que estén elípticamente
polarizados los ejes de ambas elipses están orientados perpendicularmen-
te entre sí,
* * *
Para cada una de las tres ondas planas monocromáticas que 5e propagan en
el vacío y cuyas amplítudes complejas están dadas por
1) E = (-2-2/39+/32]exp[-j0.041[/3x-2y-32)] V/m
2) H = [2(V3+5)+9(1-¿43)]expl-$105z) mA/m
3) E = [VZ(2V3-4) (2-91-2(4+52/3)] exp[-$/Z(x+y)/2] V/m
determinar: La dirección de propagación, La frecuencia, el tipo de pola-
rázación, La relación axíal, el ángulo que el eje mayor de La elipse des
críta por el campo eléctrico forma con el plano z=0 len el caso que pro-
ceda), el conmespondiente campo magnético o eléctrico, y La potencia
biansmitida.
= 35
El doble signo puede englobarse en la indeterminación del origen de
Y
tiempos asociada con el término e?” lo que da lugar a un campo eléctri
co de la forma
—_ k (N9-32) ¿JU ¿32Miz/0
La densidad de potencia (valor medio) transmitida por la onda vale
- LE*E% _ k%(0%1) — LA BTS
P=>5 2 + k = /angze/ es +1)
luego 27 P
E = (9-32) Y ¿732mfz/0
N*+1
Por último, la condición e) permite obtener el valor de V, esto es
2n,P
E(z=0,t=0) = ol (N$=32) eb = k'2 con k'>0
N*+1
de donde
2n,¿P e cos Y =0
(NÍ cos Y + 2 seny ) =kx'2 > > y = 1/2
N?+1 sen Y > 0
Por consiguiente,
2ngP -321£2/0
E = (2+3N9) e V/m
N?+1
] * * *
Demostrar, en el caso general de medio con pérdidas, que Los campos eléc
buico y magnético de una onda plana homogénea monocromática tienen el
másmo £ipo de polarización, y que en el caso de que estén elípticamente
polarizados los ejes de ambas elipses están orientados perpendicularmen-
te entre 54.
* * *
Para cada una de Las tres ondas planas monocromáticas que 5e propagan en
el vacío y cuyas amplítudes complejas están dadas por
1) E = (-2-2/39+/32]exp[-j0.041[/3x-2y-32)] V/m
2) H = [2(V3+5)+9(1-¿43)]expl-$105z) mA/m
3) E = [VZ(2V3-4) (2-91-2(4+52/3)] exp[-$/Z(x+y)/2] V/m
determinar: La dirección de propagación, La frecuencia, el tipo de pola-
rázación, La relación axial, el ángulo que el eje mayor de La elipse des
críta por el campo eléctrico forma con el plano z=0 len el caso que pro-
ceda), el conmespondiente campo magnético o eléctrico, y La potencia
biansmitida.

- 36-
Solución:
1) B=(Y43%-29-32)/4; £f=24 MHz; lineal; r=>; H,=-(/32+2) /607 A/m;
9W 721.2 mw
2) fi=2; f=1.5 GHz; circular(+); r=1; E,=-121[2 (1-33) 9 (/3+3) ] V/m;
21.51 mw
T
3) B=(2+9) /V2; £247.75 MHz; elíptica(=); r=2; 0=30%;
1 =16-9 (4+32/3)+2V2(2V3-3)2]/120/27 A/m; W,*106.1 mu
. * * *
Una onda plana homogénea monocromática se propaga en el vacío según 2 y
está constituida por la superposición de dos componentes linealmente po
Larizadas cuyos valores instantáneos en 2=0 están dados por E, (0,4) =
X 3coswt V/m y E¿10,t] = Y 2co05[wt+r/2] V/m, respectivamente.
Determinar La relación entre Los valones máximo y mánimo del campo, el
tipo de polarización, el ángulo entre el eje mayor de La elipse y el
eje X, y Las potencias transmitidas por La onda y por cada una de 5us
componentes por separado.
Solución:
r=3/2; elíptica(-); a=09; W, 13/2401 W; W, 59/240 W;
W 74/2401 €W
- 36 —- ©
Solución:
1) R=(/ 32-29-32) /4; £f=24 MHz; lineal; r=>; H,=-(/32+2) /607 A/m;
9W 721.2 mw
2) fi=2; f=1.5 GHz; circular(+); r=1; E,=-121[2 (1-33) 9 (/3+3) ] V/m;
21.51 mw
T
3) B=(2+9) /V2; £247.75 MHz; elíptica(=); r=2; 0=30%;
#,=-( (4-7) (4+32/3)+2/2
(2/3-3) 2]1/120/27 A/m: w.,=106.1 mu
. * * *
Una onda plana homogénea monocromática se propaga en el vacío según 2 y
está constituida por la superposición de dos componentes linealmente po
Larizadas cuyos valores instantáneos en 2=0 están dados por E, (0,4) =
2 3cosut V/m y E, (0,4) = Y 2co05[wt+r/2] V/m, respectivamente.
Determinar La relación entre Los valones máximo y mánimo del campo, el
tipo de polarización, el ángulo entre el eje mayor de La elipse y el
eje X, y Las potencias transmitidas por La onda y por cada una de ¿us
componentes por separado.
Solución:
r=3/2; elíptica(-); a=0°; W, 13/2401 W; W, 59/240 W;
W 74/2401 Y

PARTE Il
ONDAS PLANAS Y OBSTACULOS
PARTE Il
ONDAS PLANAS Y OBSTACULOS

- 39 -
1. INTRODUCCION
En la primera parte del capítulo se ha estudiado en detalle
la solución de onda plana homogénea de las Ecuaciones de Maxwell
para una región sin fuentes y carente de discontinuidades de me-
dio. Ya se ha comentado que este tipo de solución corresponde
con muy buena aproximación, en una región limitada del espacio,
al campo producido por un generador lejano.
En lo que sigue vamos a presentar algunas ideas relaciona-
das con la interacción de ondas planas y obstáculos, que nos ini
cien en la comprensión de estos fenómenos y sirvan de base a la
introducción dé algunos conceptos de amplia utilización en otras
situaciones.
El problema de la interacción del campo creado por un gene-
rador y un obstáculo ha sido analizado por diversos autores pero
su extremada complejidad le hace caer fuera del contenido de un
curso básico. Sin embargo destacaremos que su resolución comple-
ta incluye dos aspectos que se ilustran con el ejemplo siguien-
te: Supongamos un generador cualquiera que ocupa el volumen Vi
de un espacio homogéneo. El campo en un punto cualquiera del es-
H
pacio tendrá valores E 0
0!
E, P
En, H
” e r
Generador 0 0
Consideremos ahora la presencia de un obstáculo cualquiera
ocupando el volumen V>- El campo en el punto P será ahora E,» H,
H
diferente, en general, del Eo1 o
Eq
Generador
Obstáculo
- 39 -
1. INTRODUCCION
En la primera parte del capítulo se ha estudiado en detalle
la solución de onda plana homogénea de las Ecuaciones de Maxwell
para una región sin fuentes y carente de discontinuidades de me-
dio. Ya se ha comentado que este tipo de solución corresponde
con muy buena aproximación, en una región limitada del espacio,
al campo producido por un generador lejano.
En lo que sigue vamos a presentar algunas ideas relaciona-
das con la interacción de ondas planas y obstáculos, que nos ini
cien en la comprensión de estos fenómenos y sirvan de base a la
introducción dé algunos conceptos de amplia utilización en otras
situaciones.
El problema de la interacción del campo creado por un gene-
rador y un obstáculo ha sido analizado por diversos autores pero
su extremada complejidad le hace caer fuera del contenido de un
curso básico. Sin embargo destacaremos que su resolución comple-
ta incluye dos aspectos que se ilustran con el ejemplo siguien-
te: Supongamos un generador cualquiera que ocupa el volumen Vi
de un espacio homogéneo. El campo en un punto cualquiera del es-
H
pacio tendrá valores E 0
0’
E, P
En, H
- La. r
Generador 0 0
Consideremos ahora la presencia de un obstáculo cualquiera
ocupando el volumen Vo. El campo en el punto P será ahora E e H,
H
diferente, en general, del Eg’ 0
EU
Generador
Obstáculo

Tal diferencia entre los campos está provocada por la pre-
sencia del obstáculo, es decir, por la aparición de condiciones
de contorno nuevas en la superficie 57 que lo limita, a través
de dos efectos simultáneos e interrelacionados:
a) Las modificaciones que se producen en el propio genera-
dor debido a la presencia del obstáculo, y
b) La necesidad de que el campo total cumpla las condicio-
nes de contorno sobre S,-
De esta forma el efecto de la presencia de un obstáculo no
puede, en general, estudiarse simplemente como la interacción en-
tre éste y el campo preexistente Eo! Ho ya que el propio genera-
dor cambia con la presencia de aquél.
Raramente el problema completo tiene una solución asequible
por lo que, engeneral, se admite conocido el comportamiento del ge
nerador en presencia del obstáculo y por tanto el campo E!, Ho
que produce en tal situación . Utilizando este campo como dato
(campo incidente) se resuelve entonces, de forma exacta o apro-
ximada, el problema de su interacción con el obstáculo de forma
que se satisfagan las condiciones de contorno sobre su superfi-
cie.
De acuerdo con este punto de vista el problema que nos ocu-
pará en esta parte del capítulo se plantea de la siguiente for-
ma: consideremos una onda plana, que supondremos conocida, que
interacciona con un obstáculo cualquiera. ¿Cuál es el campo re-
sultante de tal interacción?
Desgraciadamente ni siquiera esta pregunta tiene una res-
puesta sencilla, salvo para obstáculos de geometría muy simple.
Por ello nos limitaremos a considerar un modelo, adecuado a obs-
táculos planos, en el que admitiremos la existencia de una dis-
continuidad plana indefinida que separa dos medios homogéneos,
así como algunas otras situaciones algo más generales que se de-
rivan de ésta.
*En la práctica suele usarse una estimación razonable para este campo, que a
veces no es más que el valor EQ ,Hy obtenido para el caso de no existir obs-
táculo , presuponiendo así que la presencia de éste no afecta al generador.
Tal diferencia entre los campos está provocada por la pre-
sencia del obstáculo, es decir, por la aparición de condiciones
de contorno nuevas en la superficie Sa que lo limita, a través
de dos efectos simultáneos e interrelacionados:
a) Las modificaciones que se producen en el propio genera-
dor debido a la presencia del obstáculo, y
b) La necesidad de que el campo total cumpla las condicio-
nes de contorno sobre S,-
De esta forma el efecto de la presencia de un obstáculo no
puede, en general, estudiarse simplemente como la interacción en-
tre éste y el campo preexistente Eg Ho ya que el propio genera-
dor cambia con la presencia de aquél.
Raramente el problema completo tiene una solución asequible
por lo que, engeneral, se admite conocido el comportamiento del ge
nerador en presencia del obstáculo y por tanto el campo E!, Ho
que produce en tal situación . Utilizando este campo como dato
(campo incidente) se resuelve entonces, de forma exacta o apro-
ximada, el problema de su interacción con el obstáculo de forma
que se satisfagan las condiciones de contorno sobre su superfi-
cie.
De acuerdo con este punto de vista el problema que nos ocu-
pará en esta parte del capítulo se plantea de la siguiente for-
ma: consideremos una onda plana, que supondremos conocida, que
interacciona con un obstáculo cualquiera. ¿Cuál es el campo re-
sultante de tal interacción?
Desgraciadamente ni siquiera esta pregunta tiene una res-
puesta sencilla, salvo para obstáculos de geometría muy simple.
Por ello nos limitaremos a considerar un modelo, adecuado a obs-
táculos planos, en el que admitiremos la existencia de una dis-
continuidad plana indefinida que separa dos medios homogéneos,
así como algunas otras situaciones algo más generales que se de-
rivan de ésta.
*En la práctica suele usarse una estimación razonable para este campo, que a
veces no es más que el valor EQ ,Hy obtenido para el caso de no existir obs-
táculo , presuponiendo así que la presencia de éste no afecta al generador.

- 41 -
Según la posición relativa de la dirección de propagación
de la onda y la normal a la discontinuidad, cabe distinguir dos
casos: la incidencia normal y la incidencia oblicua, que tratare
mos separadamente.
Puede resultar sorprendente la amplitud con que se trata el
problema de la incidencia normal pero ha de tenerse en cuenta
que tanto los conceptos introducidos como las conclusiones a que
se llega con este estudio, tienen amplia aplicación en otras si-
tuaciones de interés práctico.
2. INCIDENCIA NORMAL SOBRE DISCONTINUIDADES PLANAS.
En.este caso la dirección de propagación de la onda inciden
te, que supondremos se propaga según 2, coincide con la normal a
la discontinuidad. Supongamos que dicha discontinuidad, que si-
tuaremos en z=zZ17, es la única que existe en el problema, es de-
cir que el medio 2 es indefinido, tal como aparece en la figura.
Ya hemos visto como la solución ge-
Eq, €7 a
neral de la ecuación de onda, para
SS” variaciones con una sola coordenada
S” espacial, es la combinación lineal
eo. o—o-A ZO rg de dos ondas planas propagándose en
sentidos opuestos. De acuerdo con
“a
ésto, la solución de nuestro proble
ma, que solo depende de la coordena
(1) (2) da z dada la forma y posición de la
discontinuidad, consistirá en un par de ondas en cada región,
propagándose en sentidos opuestos, de las cuales una será preci-
samente la onda incidente, que supondremos conocida.
Sin embargo la presencia de la onda propagándose en sentido
-Z en el medio 2 es imposible, si se admite que el único genera-
dor existente se encuentra en el medio 1, por lo que la solución
permitida de nuestro problema está formada por tres ondas, que
denominaremos incidente, reflejada y transmitidá, siendo sus cam
pos respectivos
- 41 -
Según la posición relativa de la dirección de propagación
de la onda y la normal a la discontinuidad, cabe distinguir dos
casos: la incidencia normal y la incidencia oblicua, que tratare
mos separadamente.
Puede resultar sorprendente la amplitud con que se trata el
problema de la incidencia normal pero ha de tenerse en cuenta
que tanto los conceptos introducidos como las conclusiones a que
se llega con este estudio, tienen amplia aplicación en otras si-
tuaciones de interés práctico.
2. INCIDENCIA NORMAL SOBRE DISCONTINUIDADES PLANAS.
En este caso la dirección de propagación de la onda inciden
te, que supondremos se propaga según 2, coincide con la normal a
la discontinuidad. Supongamos que dicha discontinuidad, que si-
tuaremos en 2z=zj, es la única que existe en el problema, es de-
cir que el medio 2 es indefinido, tal como aparece en la figura.
Ya hemos visto como la solución ge-
Eq, €7 a
neral de la ecuación de onda, para
S* variaciones con una sola coordenada
S” espacial, es la combinación lineal
eo. o—o-A ZO rg de dos ondas planas propagándose en
sentidos opuestos. De acuerdo con
A
ésto, la solución de nuestro proble
ma, que solo depende de la coordena
(1) (2) da z dada la forma y posición de la
discontinuidad, consistirá en un par de ondas en cada región,
propagándose en sentidos opuestos, de las cuales una será preci-
samente la onda incidente, que supondremos conocida.
Sin embargo la presencia de la onda propagándose en sentido
-Z en el medio 2 es imposible, si se admite que el único genera-
dor existente se encuentra en el medio 1, por lo que la solución
permitida de nuestro problema está formada por tres ondas, que
denominaremos incidente, reflejada y transmitidá, siendo sus cam
pos respectivos

- 42 -
— 7,2 _ _ Y, 2
E_(z)= e E_ (z)= e
1 OL _ Incidente R OR _ .| Reflejada
_ Z2xE -=Y,Z _ -2x E Y,z
H_(z) = OI e 1 H_(z) = OR e 1
I n R n
1 1
_ _ >= Y,2
E, (z)=E e
1 oT _ Transmitida
ZXE =Y,Zz
H (z) = OT e 2
T n,
y los campos totales en cada medio
E, (2) =E, (2) +E, (z) E) (2) =E, (2)
H, (2) =H, (2) +H, (z) H, (2) =H, (2)
En las expresiones anteriores Eor y Eoy deberán ser tales'
que se cumplan las condiciones de transición en la discontinui-
dad. Dado que los campos son tangenciales a ésta, dichas condi-
ciones son:
E, (2,)=E, (z,)
es decir
H, (2,)=H) (24)
=-Y,z Y,z -Y,Z
= 11 .= 11 = 21
Eo e +Eop SE om e
5 e. Vlg ¿ls Y2%1
OI OR _0T
m1 na
que puede escribirse
Y4 2 =Y,Z _
-e 11 e 201 E 1 =Y,Z
ORAL E e 171
n oT
La solución de este sistema es
so qa AA o
or ""or TFR,
So. 2, MA
OT “OI n+n
- 42 -
— 7,2 _ _ Y, 2
E_(z)= e E_ (z)= e
1 OL _ Incidente R OR _ .| Reflejada
_ Z2xE —Y. 2 _ -2x E Y,z
H_(z) = OI e 1 H_(z) = OR e 1
I n R n
1 1
_ _ -%2
E.(2)=E e
T OT _ Transmitida
ZXE =Y,Zz
H (z) = OT e 2
T no
E, (2) =E&(2)+E, (2) E, (2) =E (2)
H, (2) =H, (2) +H, (z) H, (2) =H, (2)
En las expresiones anteriores Eor y Eg deberán ser tales'
que se cumplan las condiciones de transición en la discontinui-
dad. Dado que los campos son tangenciales a ésta, dichas condi-
ciones son:
E, (2,)=E, (z,)
es decir
H, (2,)=H) (24)
=-Y,z Y,z -Y,Z
= 1"1.— 1"1_- 21
Er e +Eop SE om e
EF e Vlg ¿ls Y2%1
OI OR _ 0T
nz na
que puede escribirse
Y4 2 =Y,Z _
-e 11 e 21 E 1 =Y,Z
OR | _ E e 171
n OT
La solución de este sistema es
so qa AA 27171 o
on Lor ara)
So. 2, MA
OT “OI n+n

= 43 -
Medio 1
Eta Por | 1 27 171 11?
12) n =n>+n e
1 241
En (2)= 2 YYdZ Y
2 OI n2+4
2xE (z) Medio 2
E, (2) ==
n
Nótese que los campos en el medio 1 NO tienen la forma co-
rrespondiente a la onda plana y no poseen por tanto las propie-
dades de ésta. Los campos que obedecen a expresiones de este ti-
po suelen denominarse "ondas estacionarias".
Del resultado obtenido cabe destacar que la polarización de
la onda transmitida es la misma que la de la incidente, ya que
sus campos se diferencian úínicamente en una constante multiplica
tiva. No ocurre así con la onda reflejada, cuyo signo de polari-
zación es opuesto al del de la incidente, ya que el sentido de
giro de los campos es en ambas el mismo pero sus sentidos de pro
pagación son opuestos. Las amplitudes de los campos merecen un
estudio detallado, que se realizará en un apartado posterior.
Consideremos ahora el caso de que tras la primera disconti-
nuidad haya otras, hasta un total de N (N+1 medios), en planos
paralelos al de la primera. La solución en la región n-ésima se
escribirá
€
Ea 282 A _ _ Y _ Y 2
'N+1 Ena i=Eor e +EorR,n e
2 2 Y _Zz Y,Z
leo 4-----]3 => y = 2 F RE n
Z, 2, En H, (2) in Eor,n e Eor,n e
siendo E -.=0- :
(1) (2) (N+1) OR,N+1
Las condiciones de transición obligan en este caso a
= 43 -
Medio 1
F (a Por | Vas arma 171 11?
12) n =n>+n e
1 241
Z (2)=- ma gra) Vaz
2 OI na+n,
2xE (z) Medio 2
E, (2)=—
n
Nótese que los campos en el medio 1 NO tienen la forma co-
rrespondiente a la onda plana y no poseen por tanto las propie-
dades de ésta. Los campos que obedecen a expresiones de este ti-
po suelen denominarse "ondas estacionarias".
Del resultado obtenido cabe destacar que la polarización de
la onda transmitida es la misma que la de la incidente, ya que
sus campos se diferencian úínicamente en una constante multiplica
tiva. No ocurre así con la onda reflejada, cuyo signo de polari-
zación es opuesto al del de la incidente, ya que el sentido de
giro de los campos es en ambas el mismo pero sus sentidos de pro
pagación son opuestos. Las amplitudes de los campos merecen un
estudio detallado, que se realizará en un apartado posterior.
Consideremos ahora el caso de que tras la primera disconti-
nuidad haya otras, hasta un total de N (N+1 medios), en planos
paralelos al de la primera. La solución en la región n-ésima se
escribirá
€
Ea Ez ro un _ _ "az _ Y 2
N+1 E (2)=E0rT a e +E0n,n e
2 2 "Y. 2 Y,Z
leo 4-----]3 => y = 2 F n _# n
Z, 2, En H, (2) amy * Eor,n e Eor,n e
siendo E -=0- ]
(1) (2) (N+1) OR, N+1
Las condiciones de transición obligan en este caso a

- 44 -
E o nn, enn o n+1%n,7 Yn+1%n
OT,n OR,n 01,n+1 "OR, n+1
E o ng enn_ E o 'n+1%n_5 Yn+1%n,
0I,n OR,n "+1 0I,n+1 OR, n+1
con n=1,2,...,N, sistema de 2N ecuaciones con 2N incógnitas que
puede escribirse en forma matricial
A ar
Eor,1 1]
Eor,2 1
E 0 =Y,Z
ES 200 o OR, 2 = Eor 1 e 1"1
r
ao. 0
Eor,w+1| jo
L J Ll.
donde la matriz [mM] es la de la página siguiente.
La obtención directa de la solución de este sistema es ex-
tremadamente tediosa por lo que resulta conveniente la utiliza-
ción de técnicas alternativas que introduciremos en los apartados
siguientes. Sin embargo es evidente que los valores Eor 1' Eor n'
—
, ,y
Eor,n
tiva por lo que todas las ondas que aparecen en el problema po-
(n=2,...N+1) difieren de Eor ¡ £n una constante multiplica-
,
seen el mismo tipo de polarización que la incidente en el primer
medio, siendo su signo igual u opuesto al de ésta según que se
propaguen en su mismo sentido (ondas incidentes)o en el opuesto
(ondas reflejadas).
2.1. CONCEPTO DE COEFICIENTE DE REFLEXION
Hemos visto en el apartado anterior como los valores de
Eor,1' Eo1,n Y ER,n (n=2,3,...,N+1) difieren del Eo1,1 en una
constante multiplicativa. En tales condiciones es posible definir
para cada uno de los medios, el llamado "coeficiente de reflexión
- 44 -
E o nn, enn o n+1%n,7 Yn+1%n
OT,n OR,n 01,n+1 "OR, n+1
E o ng e nn_ n E o "n+1°n_g Yn+1%n,
0I,n OR,n +1 0I,n+1 OR, n+1
con n=1,2,...,N, sistema de 2N ecuaciones con 2N incógnitas que
puede escribirse en forma matricial
A ar
Eor,1 1]
Eor,2 1
E 0 =Y,Z
ES ze | o OR, 2 = Er 1 e 11
’
ao. 0
Eor,w+1| lo
L JL.
donde la matriz [mM] es la de la página siguiente.
La obtención directa de la solución de este sistema es ex-
tremadamente tediosa por lo que resulta conveniente la utiliza-
ción de técnicas alternativas que introduciremos en los apartados
siguientes. Sin embargo es evidente que los valores Eor 1" Er n’
—
, ’
Eor,n
tiva por lo que todas las ondas que aparecen en el problema po-
(n=2,...N+1) difieren de Eor ¡ £n una constante multiplica-
e
seen el mismo tipo de polarización que la incidente en el primer
medio, siendo su signo igual u opuesto al de ésta según que se
propaguen en su mismo sentido (ondas incidentes)o en el opuesto
(ondas reflejadas).
2.1. CONCEPTO DE COEFICIENTE DE REFLEXION
Hemos visto en el apartado anterior como los valores de
Eor,1' Eo1,n y Ed, n (n=2,3,...,N+1) difieren del Eo1,1 en una
constante multiplicativa. En tales condiciones es posible definir
para cada uno de los medios, el llamado "coeficiente de reflexión

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