EIIb-Estado Plástico de los Cuerpos Sólidos.pdf

Estado Plástico de los
Cuerpos Sólidos
Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos
El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12)
correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.
Ing. Gabriel Pujol
Año de edición 2016

Estado Plástico de los Cuerpos Sólidos (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Tabla de contenido
ESTADO PLÁSTICO DE LOS CUERPOS SÓLIDOS 3
CONCEPTOS GENERALES 3
SOLICITACIÓN AXIL PLÁSTICA 3
TORSIÓN PLÁSTICA 5
FLEXIÓN PLÁSTICA 7
FLEXIÓN COMPUESTA EN RÉGIMEN PLÁSTICO 9
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 22

Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12

Estado Plástico de los Cuerpos Sólidos
Conceptos Generales
Las deformaciones de los cuerpos sólidos se componen, por lo general, de una parte elástica y de una
parte permanente.
En la teoría de la resistencia de los materiales se admite comúnmente que existe una serie de estados
límites determinados, bajo los cuales los cuerpos sólidos o bien modifican su forma de un modo
permanente, es decir, se hacen plásticos y empiezan a fluir, o bien se produce repentinamente en ellos
una fractura.
Para los materiales metálicos que tienen un límite de fluencia bien marcado, se presenta el estado
plástico cuando:
      cte
fl 






 2
2
1
3
2
3
2
2
2
1 2 





 (Von Misses)
Si bajo un estado de esfuerzos han sufrido deformaciones permanentes, una o varias partes de un
cuerpo, éste después de la descarga no queda sin fatiga.
Estas fibras ejercerán, después de la descarga, esfuerzos interiores sobre sus demás partes. Los
esfuerzos que quedan después de suprimida la carga exterior en el cuerpo, se llaman esfuerzos
remanentes.
Solicitación Axil Plástica
En la figura se presenta un ensayo de tracción uniaxial sobre una barra sometida a tracción pura, donde
se representan los fenómenos que la teoría de la plasticidad reproduce.
Un comportamiento elástico lineal hasta que la tensión aplicada alcanza el valor de y (límite de fluencia),
a partir del cual se produce un cambio en el comportamiento, aumentando más rápido las deformaciones
mientras que la tensión se mantiene sensiblemente constante o varía muy poco (el material “fluye”).
Después de que la tensión sobrepasa el valor de y (régimen elasto-plástico) las deformaciones no son
recuperables totalmente, como se observa en el ciclo de cargadescarga OAB y a partir de un cierto valor
de las deformaciones se produce la rotura del material. La deformación en A puede expresarse como:

 
e
recuperabl
no
n
Deformació
e
recuperabl
n
Deformació
donde
B
B
A
B
B
A
A






 



La figura del ensayo de tracción uniaxial se idealiza para ser simplificada. Puede visualizarse entonces
que para un punto P cualquiera en el espacio  -  la deformación tiene dos componentes, la
deformación elástica o recuperable y la deformación inelástica o irrecuperable.
Las deformaciones aumentan de manera indefinida a tensión constante igual al límite de fluencia lo que
se denomina comportamiento elastoplástico perfecto, es decir:
plástica
n
Deformació
elástica
n
Deformació
donde
p
e
p
e




 

Si la deformación elástica vale cero es decir, si no hay deformación recuperable se tiene el caso de un
comportamiento rígido plástico perfecto. También pueden tenerse los casos en los cuales la tensión no se
mantiene constante después de alcanzar el límite de fluencia, aumentando (comportamiento rigidizable) o
disminuyendo (comportamiento reblandecible) con la deformación.

Torsión Plástica
En el período elástico, cuando fl

 
todas las fibras del cuerpo están en
régimen elástico, y el diagrama de
tensiones resulta triangular, donde:
P
T
J
r
M 


Cuando la fibra más solicitada alcanza la
fluencia, o sea fl

  , el momento
aplicado resulta ser el momento torsor
límite elástico (MTLE), entonces:
3
4 2
1
2
R
M
R
J
J
R
M
fl
TLE
P
P
TLE
fl




















Cuando se sobrepasa el valor del MTLE se produce penetración plástica y el diagrama de tensiones se
modifica, cuando la fibra llega a la tensión
fl
 sigue resistiendo, pero se deforma
pues no puede incrementar su tensión y
si se descarga la pieza, las fibras no
vuelven a su posición anterior. En la zona
elástica las fibras tendrán una
deformación  que será proporcional a
la tensión  que soportan, en cambio,
en la zona plástica, a pesar de que todas
las fibras soportan la misma tensión
fl

  , le corresponden distintas
deformaciones  , siendo:
R
c
R
r
c
r
R F
F 



 1
La relación R
c (que varía entre 0 y 1) se llama penetración plástica.
El momento capaz de producir una plastificación tal que 1

R
c se llama momento torsor límite
plástico (MTLP), después del cual la pieza queda inutilizada y se produce fluencia generalizada de la
sección:

























F
fl
TLP
F
fl
TLP
dr
r
r
M
dr
r
dF
r
d
dF
d
M




2
2
y operando resulta:
3
2
2
3
2 R
M
dr
r
M fl
TLP
F
fl
TLP 








  



siendo además:
TLE
TLP
fl
fl
TLE
TLP
M
M
R
R
M
M











3
4
3
4
2
1
3
2
3
3




Si se representa MT en función del ángulo  resulta:
P
T
J
G
l
M




cuando se produce penetración plástica, esta expresión es válida sólo para el núcleo elástico (NE).
Cuando la pieza está parcialmente plastificada, el par MT capaz de producir una penetración plástica c y
dejar un núcleo elástico NE de radio F
r , será:

 







P
E
P
E
T dF
d
dF
d
M
M
M 

 
3
3
3
3
2
;
2
1
;
F
F
P
F
P
F
F
E
F
E
r
R
M
R
d
r
M
para
r
M
r
d
M
para


















por lo que:




























 




3
3
3
3
3
3
6
4
6
4
6
4
F
T
F
F
T
F
F
F
T
M
R
R
r
R
c
M
R
r
r
R
M






Cuando la pieza está parcialmente plastificada, la zona plastificada no se opone a la deformación, pero la
que aún está en período elástico girará un ángulo  tal que:

2
4
F
P
P
E r
J
con
J
G
l
M
E
E







reemplazando E
M y E
P
J por sus correspondientes valores resulta:
F
F
r
G
l





En una descarga de una pieza que soporta un MTLP, si la
pieza se ha cargado por la recta ABC y en un punto C
descargo, el gráfico tensiones deformaciones será
recorrido por la recta CD. En la descarga las fibras se
comportan como si fueran elásticas, o sea, se aplicaría
un momento - MTLP (negativo) pero en período elástico.
La tensión de descarga
*
 resulta:
F
fl
P
TLP
R
R
J
R
M




 












3
4
2
1
3
2
4
3
*
Flexión Plástica
Si tengo una pieza de sección rectangular sometida a flexión, como:
n
n J
h
M
J
v
M 2
max




 

El momento flexor límite elástico (MFLE), será aquel para el cual F

 
max ; y como
12
3
h
b
Jn


resulta:
6
2
h
b
M F
FLE




Si la sección está totalmente plastificada, toda la sección soporta una tensión F
 ; y el momento capaz
de producir esta penetración es el momento flexor límite plástico (MFLP).
Siendo z y D las respectivas resultantes de tracción y compresión resulta:

2
2
h
D
h
z
MFLP 



donde 2
h es el brazo de palanca interno. Además para una sección rectangular resulta:
2
2
1 h
b
dF
D
z F
F






  
 por lo que
2
4
1
h
b
M F
FLP 


  y además:
FLE
FLP
F
F
FLE
FLP
M
M
h
b
h
b
M
M











2
3
2
3
6
1
4
1
2
2


Sea una barra de sección rectangular, simplemente apoyada y cargada con una fuerza P en la mitad de
su luz. Si aumentamos la intensidad de P el diagrama de momentos aumentará sus ordenadas, pero
seguirá teniendo la misma forma.
Todas las fibras que están entre A y B estarán plastificadas, pero no todas tendrán la misma penetración
plástica (por no ser el diagrama de momentos flexores constante).
La zona de la barra que tendrá mayor penetración será donde se encuentra concentrada la carga. Si para
una carga P1 la zona plastificada es AB, para una carga P2 tal que P2 > P1 la zona plastificada será A’B’.
Al ir aumentando P irá disminuyendo el núcleo elástico (NE) de la sección (segmento CD).
Cuando el núcleo elástico se anula 


d , ya no hay más equilibrio y se produce un colapso
estructural (se produce una articulación plástica).
En las articulaciones plásticas no sucede lo que en las cinemáticas, el diagrama de momentos flexores no
cambia, por lo que el momento no se anula en la articulación.

Flexión Compuesta en régimen Plástico
Supongamos una sección rectangular, solicitada por una fuerza normal excéntrica, al reducir al baricentro
tendremos una fuerza normal y un momento flexor. El diagrama de tensiones se puede hallar como
superposición de otros dos:
G
G
J
h
M
F
N
J
h
M
F
N


















2
2
2
1
2
1






La tensión  aumentará hasta alcanzar el
comienzo de la plastificación de la fibra que se
encuentra a 2
h , en cuyo caso tendremos:
G
F
J
h
M
F
N





2
max 

y operando será:
G
F
F J
h
M
F
N







 2
1 pero
1
2














F
F
G
F
F
F
F
M
M
N
N
h
J
M
F
N


que es la ecuación de interacción.
)
(recta
N
N
f
M
M
F
F









en solicitación axil será:









1
0
F
F
N
N
M
M
y en flexión pura será:









0
1
F
F
N
N
M
M
Los dos casos límite será para:
 






rotura
F
N
M
F
F 
0
y
 








rotura
M
M
N
F
R
2
3
0
Para completar el diagrama definiremos rectas de excentricidad constante. Si para una sección
conocemos el centro de presión, conocemos la excentricidad e, o sea:
e
N
M
 ; para una sección rectangular será:

6
6
6
2
2
h
h
b
h
b
N
M
h
b
N
h
b
M
F
F
F
F
F
F
F
F






















constante para cualquier sección que se tome
e
h
K
con
N
N
K
M
M
N
N
K
M
M
F
F
F
F







6
;
1
Problemas de aplicación
Ejercicio Nº I: Una varilla circular de longitud “l” y área transversal “Fv” está colocada dentro de un
tubo de igual longitud y área transversal “Ft”. Los
extremos de la varilla y el tubo están unidos por un
soporte rígido en un lado y una placa rígida en el otro,
como muestra la figura. Suponemos que tanto la varilla
como el tubo son de material elastoplástico. Se pide:
a) Trazar el diagrama carga-alargamiento (P-) para
el conjunto varilla-tubo cuando se aplica la carga
“P” creciente.
b) Calcular el alargamiento máximo del conjunto para
una carga PC = 470 x Fv (MN).
c) Calcular la deformación máxima residual y las
tensiones residuales en la varilla y en el tubo que
quedan al retirar la carga “PC”.
Datos: Fv (m2), L (m), Ft (m2), Ev (MN/m2), Et (MN/m2), v-fl (MN/m2), t-fl (MN/m2)
Resolución:
a) Trazar el diagrama carga-alargamiento:
a.1) Intervalo elástico:
Por tratarse de solicitación axil, se aplicarán las ecuaciones correspondientes, considerando que la
carga P será la suma de las correspondientes solicitaciones axiles del tubo y la varilla y que el
alargamiento de tubo y varilla serán los mismos. Así se tiene:
  E
E
T
T
V
V
E
T
T
T
T
V
V
V
V
Te
Ve
E
T
V
T
V
E
l
F
E
F
E
P
l
F
E
l
N
F
E
l
N
l
l
l
l
l
N
N
P













 































0
;
;
min
los alargamiento en régimen elástico los calculamos como sigue:








 
















V
fl
T
fl
E
V
fl
Ve
T
fl
Te
E
l
E
l
E
l
l
E
l
l
V
T
V
T





;
min
a.1)Intervalo elasto-plástico:
Se verifica que la varilla alcanza primero el estado de fluencia, dado que v-fl <  t-fl por lo que una
vez superado los valores de v-fl la varilla se deformará sin aumento de las tensiones, así será:
R
E
T
T
V
fl
P
V
fl
Ve
T
T
T
T
T
V
T
Ve
P
l
F
E
F
P
F
N
F
E
l
N
l
l
l
N
N
P
V
V






































;
el colapso se produce cuando el tubo alcanza la tensión límite de fluencia, por ello resulta:
T
fl
V
fl
R
T
fl
Te
V
fl
Ve
Te
Ve
R
F
F
P
F
N
F
N
N
N
P
T
V
T
V




















b) Alargamiento máximo del conjunto para una carga PC:
Siendo la carga aplicada: PE < PC < PR aplicamos la expresión correspondiente al intervalo elasto-
plástico, así será:
l
F
E
F
P
l
F
E
F
P
T
T
V
fl
C
C
C
T
T
V
fl
C
V
V















pero, del gráfico se aprecia que:
E
E
C
C
s
C
s
Ve
E
E
E
C
E
C
E
P
P
l
P
P
P
P
BC
EF
AC
DF
DEF
ABC

































Re
1
Re
1
1
pero

c) Deformación máxima residual y las tensiones residuales en la varilla y en el tubo que quedan
al retirar la carga:
c.1)Tubo:
Dado que en ningún caso el tubo supera la tensión límite de fluencia, al descargarse no presentará
tensiones ni deformaciones residuales.
c.2)Varilla:
La varilla, por su parte, supera la tensión límite de fluencia, al descargarse por consiguiente,
presentará tensiones y deformaciones residuales. Para ello debemos estudiar su deformación y
tensiones residuales en forma independiente de lo que sucede con el tubo. Por lo tanto, tendremos:
 
l
EV
E
C
E
C











 Res
ResVarilla
Ejercicio Nº II: Una La varilla de acero de sección “F”, está conectada a soportes rígidos y a 15 ºC
no presenta esfuerzos. El acero es elastoplástico
con un módulo de elasticidad E = 2,1x105 MN/m2 y
una tensión de fluencia fl = 240 MN/m2. Sabiendo
que el coeficiente de dilatación lineal del acero el
 = 1,171x10-5 1/ºC, hallar las tensiones en la
varilla cuando:
a) La temperatura se eleva a 180 ºC.
b) La temperatura haya vuelto a 15 ºC.
Datos: F (m2), E (MN/m2),  (1/ºC),  fl (MN/m2),
Tf (ºC), Ti (ºC)
Resolución:
a) La temperatura se eleva a 180 ºC:
Por tratarse de solicitación axil (de origen térmico), se aplicarán las ecuaciones correspondientes. Así
se tiene:
  t
l
l
t
l
l
l
l
l
t
l
l f
f 

















 

 0
0
0
0
0
0 1
además resulta:
t
F
E
l
t
l
F
E
N
l
l
E
F
N
l
l
F
N
E




































0
0
0
0
y la variación de temperatura para que de inicio la fluencia será:





































E
t
t
l
E
l
l
t
l
l
E
l
l
l
l
E
fl
fl
fl
fl
fl
fl
fl
fl
fl
fl
fl
0
0
0
0
0
por lo que habrá un período (T) en el cual continúa la dilatación pero sin que aumenten las
tensiones:
 
















F
N
m
MN
y
t
T
T
T
fl
fl
fl
i
f



º
180
2
º
180 240
b) La temperatura vuelve a 15 ºC:
La varilla, supera la tensión límite de fluencia, al descargarse por consiguiente, presentará tensiones y
deformaciones residuales. Por lo tanto, tendremos:
























 


 F
N
E
t
l
l
E
fl
fl
fl
Res
Res
Res
Res
º
180
Res
º
180
0
º
180
º
180 









c) Gráfico:
Ejercicio Nº III: El árbol AB hecho de acero dulce, que se supone elastoplástico, es sometido a la
acción de un momento torsor que se incrementa gradualmente. Se pide calcular:

a) El valor del momento torsor y
el ángulo de torsión cuando
ocurre la primera plastificación.
b) Idem cuando se produce
plastificación total.
c) Determinar las tensiones
residuales y el ángulo residual
de torsión después de retirar el
momento torsor Mt.
Datos: L (m), Dext. (mm), D int. (mm),  fl (MN/m2), G (MN/m2)
Resolución:
a) Momento torsor y el ángulo de torsión cuando ocurre la primera plastificación:
La primera plastificación ocurrirá cuando las fibras correspondientes al radio exterior (más solicitadas
en problemas de torsión) alcancen la fluencia. El momento capaz de producir primera plastificación se
denomina momento torsor límite elástico y lo calculamos como sigue:
 
   
4
4
4
4
4
4
2
2
32
2
;
2
;
32
;
2
I
E
E
T
E
I
E
T
I
I
E
E
I
E
P
E
P
T
R
R
R
M
D
D
D
M
D
R
D
R
D
D
J
D
J
M






















 
fl
E
I
E
TLE
R
R
R
M 









 ;
2
4
4
y además:
fl
E
LE
E
LE
E
P
T
P
T
G
R
l
G
R
l
R
J
M
G
J
M






























;
;
;
b) Momento torsor y el ángulo de torsión cuando ocurre la plastificación total:
El momento capaz de producir una plastificación total (tal que todas las fibras alcancen la fluencia) se
denomina momento torsor límite plástico y lo calculamos como sigue:

  






E
I
R
R
fl
A
fl
TLP dr
r
d
dA
r
M 2
2
0





 
3
3
3
2
I
E
fl
TLP R
R
M 




 

y los ángulos de torsión son:
G
R
l
y
G
R I
fl
LP
I
fl
LP









c) Tensiones residuales y ángulo residual de torsión después de retirar el momento torsor:
En la descarga de una pieza que soporta un MTLP, si la pieza se ha cargado siguiendo la línea ABC y
en el punto C descargo, el gráfico tensiones - deformaciones es recorrido por la recta CD. En la
descarga las fibras se comportan como si fueran elásticas, o sea, se aplicaría un momento MTLP pero
en período elástico, Así será:
 
G
J
M
G
J
M
P
TLE
LP
P
TLE
LP






 


 Res
Res
y las tensiones residuales serán:
E
R
G 

 Res
Res 

d) Gráfico:
Ejercicio Nº IV: Para un elemento estructural de sección rectangular sometido a flexión compuesta
(M = -2,150 tm.m; N = -8,5 tm) se pide:
a) Proyectar y dimensionar una sección rectangular con una relación h/b = 3. Adoptar: adm = 1400
Kg/cm2. Calcular las tensiones máximas (tracción y compresión) y graficarlas. Calcular la posición
del eje neutro.
b) Calcular la máxima excentricidad de la fuerza normal para que sea max = fl = 2400 Kg/cm2
utilizando los diagramas de iteración. Calcular las tensiones máximas (tracción y compresión) y
graficarlas. Calcular la posición del eje neutro.
c) Ídem anterior para una penetración plástica total.
d) Ídem anterior para una penetración plástica p = 0,5.
Resolución:
a) Proyectar y dimensionar una sección rectangular:
Esta sección deberá tener una relación alto/ancho (h/b = 3). Por ello será:

36
12
;
3
;
2
4
3
2
h
h
b
J
h
h
b
F
h
J
M
F
N
G
G
Fl 









por lo que resulta:
3
2
18
3
h
M
h
N
Fl




 y adoptando h = 15 cm, verifica: 2
2
1260
1400
cm
kg
cm
kg

calculando b resulta:
cm
cm
h
b 5
3
15
3



Calculamos las tensiones:























2
2
33
,
1033
2
1260
2
2
cm
kg
h
J
M
F
N
cm
kg
h
J
M
F
N
h
J
M
F
N
G
B
G
A
G



Calculamos la posición del eje neutro:
 
cm
cm
kg
cm
cm
kg
h
x
x
h
x B
A
B
A
B
759
,
6
33
,
1033
1260
15
33
,
1033
2
2
0
0
0















b) Calcular la máxima excentricidad de la fuerza normal para que sea max = fl = 2400 Kg/cm2
utilizando los diagramas de iteración:
En nuestro caso no hay plastificación (c = 0), por lo que será (en los gráficos de interacción):

 
...
04722
,
0
180
5
,
8
50
,
4
6
15
5
2400
12
2
2
180
2400
15
5
1
2
2
3
2

































t
t
N
N
m
t
cm
cm
cm
kg
h
h
b
h
J
M
t
cm
kg
cm
cm
h
b
F
N
M
M
N
N
Fl
Fl
G
Fl
Fl
Fl
Fl
Fl
Fl
Fl




Con esta relación entro al diagrama de interacción en abscisas y proyecto una vertical hasta que corte
a la recta c/h = 0; allí proyecto este punto en ordenadas y obtengo la relación M/MFl y con este valor
calculo M. Finalmente, la excentricidad será e = M/N.

Del gráfico obtenemos M/MFl = 0,944... por lo que será:
















m
t
m
t
N
M
e
m
t
m
t
M
M Fl
5
,
0
5
,
8
25
,
4
25
,
4
50
,
4
...
944
,
0
...
944
,
0
Calculemos las tensiones:























2
2
33
,
2153
2
2380
2
2
cm
kg
h
J
M
F
N
cm
kg
h
J
M
F
N
h
J
M
F
N
G
B
G
A
G



Calculamos la posición del eje neutro:
 
cm
cm
kg
cm
cm
kg
h
x
x
h
x B
A
B
A
B
125
,
7
33
,
2153
2380
15
33
,
2153
2
2
0
0
0















c) Calcular la máxima excentricidad de la fuerza normal para que haya penetración plástica total:
En forma análoga entro al diagrama de interacción en abscisas con el valor N/NFl = 0,04722... y
proyecto una vertical hasta que corte a la recta c/h = 1; allí proyecto este punto en ordenadas y
obtengo la relación M/MFl y con este valor calculo M. Finalmente, la excentricidad será e = M/N.
Del gráfico obtenemos M/MFl = 1,50 por lo que será:
















m
t
m
t
N
M
e
m
t
m
t
M
M Fl
794
,
0
5
,
8
75
,
6
75
,
6
50
,
4
50
,
1
50
,
1
En este caso las tensiones serán iguales a la tensión de fluencia:

En cuanto a la posición del eje neutro, proyectando sobre un eje normal a la sección, será:
 
cm
b
N
h
x
x
h
b
N
dF
dF
Fl
Fl
h
x
h
Fl
x
h
h
Fl
145
,
7
2
2
2
0
0
2
2
2
2
0
0














 








d) Calcular la máxima excentricidad de la fuerza normal para que haya una penetración plástica p
= 0,5:
Igual que antes, entro al diagrama de interacción en abscisas con el valor N/NFl = 0,04722... y proyecto
una vertical hasta que corte a la recta c/h = 0,5; allí proyecto este punto en ordenadas y obtengo la
relación M/MFl y con este valor calculo M. Finalmente, la excentricidad será e = M/N.
Del gráfico obtenemos M/MFl = 1,36 por lo que será:
















m
t
m
t
N
M
e
m
t
m
t
M
M Fl
720
,
0
5
,
8
12
,
6
12
,
6
50
,
4
36
,
1
36
,
1
En este caso se manifiesta una penetración plástica por ambos lados de la sección ya que el punto
representativo de los valores M/MFl y N/NFl cae en la parte de las curvas que definen a la función de
plastificación parcial; en la parte donde la misma responde a una parábola.
Si designamos con v la penetración plástica que corresponde al borde superior (y con v’ la
correspondiente al borde inferior) las condiciones de equivalencia (proyeccción sobre un eje normal a
la sección y momentos respecto del baricentro de la misma) toman la forma siguiente:

El esfuerzo normal será:
N
dF
F



Ahora bien, las áreas plastificadas a ambos extremos de penetración v (marcadas en rojo), se
equilibran dado que una poseen tensiones de fluencia (2400 kg/cm2) de tracción (+) y la otra de
compresión (-). Otro tanto ocurre con las áreas que comprenden las fibras no platificadas (marcadas
en verde) de valores h/4 de tracción (+) y h/4 de compresión (-).
El área marcada en azul (h – 2 x0), corresponde a las tensiones de compresión que son las
responsables de el esfuerzo axil N y cuyo valor ya lo calculamos en el punto anterior:
   
b
N
x
h
x
h
b
N
Fl
Fl









 0
0 2
2
Considerando que estamos ante un caso de penetración plástica al 50% (c/h = 0,5) tendremos la mitad
de las fibras plastificadas (h/2 = 7,5 cm) y la mitad sin plastificar (h/2 = 7,5 cm), por lo que estamos en
condiciones de calcular la penetración plástica v como sigue:
  





























4
2
2
2
1
2
2
2
1
0
0
0
h
x
h
x
x
h
h
h
v
por lo que llegamos a:
0
0
0
4
4
4
x
h
h
x
h
v
x 













Bibliografía Recomendada
 Estabilidad II - E. Fliess
 Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
 Problemas de resistencia de materiales - M. Ferrer Ballester y otros
 Curso superior de resistencia de materiales - F. Seely / J. Smith(Título original de la obra: "Advanced
Mechanics of Materials")
 El acero en la construcción (Título original de la obra: "Stahl im hochbau")
 Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
 Mecánica de materiales - F. Beer y otros
 Mecánica de materiales - R. C. Hibbeler
 Problemas de resistencia de materiales - I. Miroliubov y otros
 Problemas de resistencia de materiales - A. Volmir
 Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
 Resistencia de materiales - V. Feodosiev
 Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
 Resistencia de materiales - S. Timoshenko

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