Una varilla circular de longitud “l” y área transversal “Fv” está colocada dentro de un tubo de igual longitud y área transversal “Ft”. Los extremos de la varilla y el tubo están unidos por un soporte rígido en un lado y una placa rígida en el otro, como muestra la figura. Suponemos que tanto la varilla como el tubo son de material elastoplástico. Se pide: a) Trazar el diagrama carga-alargamiento (P-delta) para el conjunto varilla-tubo cuando se aplica la carga “P” creciente. b) Calcular el alargamiento máximo del conjunto para una carga PC = 470 x Fv (MN). c) Calcular la deformación máxima residual y las tensiones residuales en la varilla y en el tubo que quedan al retirar la carga “PC”.

1. Estado Plástico de los
Cuerpos Sólidos
Resolución del Ejercicio N° 1 de la
Guía de la Práctica – TP N° 7
(Ejercicio I del Complemento Teórico)
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. …de igual longitud y área transversal “Ft”. Los extremos de la
varilla y el tubo están unidos por un soporte rígido en un
lado y una placa rígida en el otro, como muestra la figura.
Suponemos que tanto la varilla como el tubo son de material
elastoplástico. Se pide:
1. Trazar el diagrama carga-alargamiento (P-) para el
conjunto varilla-tubo cuando se aplica la carga “P”
creciente.
2. Calcular el alargamiento máximo del conjunto para una
carga PC = 470 x Fv (MN).
3. Calcular la deformación máxima residual y las tensiones
residuales en la varilla y en el tubo que quedan al retirar
la carga “PC”.
Enunciado
Una varilla circular de longitud “L” y
área transversal “Fv” está colocada
dentro de un tubo…

3. Por tratarse de solicitación axil, se aplicarán las ecuaciones
correspondientes, considerando que la carga P será la suma
de las correspondientes solicitaciones axiles del tubo y la
varilla y que el alargamiento de tubo y varilla serán los
mismos dado que ambos elementos son solidarios a la placa
rígida.
Resolución
Al ser tanto el soporte como la placa rígidas, para este problema todas las deformaciones
mensurables serán exclusivamente las correspondientes al tubo y a la varilla. El resto de los
elementos del sistema se los considerará indeformables.
Dado que tanto la varilla como es tubo son de distintos materiales (distintos módulos de
elasticidad y tensiones de fluencia) y tienen distintas características geométricas (distintas
áreas de sección) a medida que la carga P aumenta se irá pasando por distintos estadios en
los cuales ambos elementos trabajarán dentro del período elástico; uno trabajará en período
elástico y el otro plastificará; ambos entrarán en período plástico.
Analizaremos los tres casos…

4. Intervalo Elástico:
Resolución
𝑷𝑬 = 𝑵𝑽 + 𝑵𝑻
∆𝑳𝑽= ∆𝑳𝑻= 𝜹
∆𝑳𝑽=
𝑵𝑽 ∙ 𝑳
𝑬𝑽 ∙ 𝑭𝑽
=
𝑵𝑻 ∙ 𝑳
𝑬𝑻 ∙ 𝑭𝑻
= ∆𝑳𝑻
𝜹𝑬 = 𝒎𝒊𝒏 ∆𝑳𝑽𝑬
; ∆𝑳𝑻𝑬
→ 𝑷𝑬 =
𝑬𝑽 ∙ 𝑭𝑽 + 𝑬𝑻 ∙ 𝑭𝑻
𝑳
∙ 𝜹𝑬
…los alargamiento en régimen elástico los calculamos como sigue:
∆𝑳𝑽𝑬
=
𝝈𝑭𝒍𝑽
∙ 𝑳
𝑬𝑽
∆𝑳𝑽𝑻
=
𝝈𝑭𝒍𝑻
∙ 𝑳
𝑬𝑻
→ 𝜹𝑬 = 𝒎𝒊𝒏
𝝈𝑭𝒍𝑽
∙ 𝑳
𝑬𝑽
;
𝝈𝑭𝒍𝑻
∙ 𝑳
𝑬𝑻
Nota: nosotros estamos resolviendo el problema en forma genérica, sin considerar las
distintas alternativas que nos presentan los juegos de datos (en función del último número de
padrón). Para nuestro caso, asumiremos que 𝝈𝑭𝒍𝑽
< 𝝈𝑭𝒍𝑻
Si se verifica que la varilla alcanza primero el estado de fluencia, una
vez superado los valores de 𝝈𝑭𝒍𝑽
la varilla se deformará sin aumento de
las tensiones
𝟎 ≤ 𝜹 ≤ 𝜹𝑬

5. Intervalo Elasto - Plástico:
Resolución
𝑷𝑷 = 𝑵𝑽𝑬
+ 𝑵𝑻
∆𝑳𝑽= ∆𝑳𝑻= 𝜹
∆𝑳𝑻=
𝑵𝑻 ∙ 𝑳
𝑬𝑻 ∙ 𝑭𝑻
= 𝜹
𝑵𝑽𝑬
= 𝝈𝑭𝒍𝑽
∙ 𝑭𝑽
→ 𝑷𝑷 = 𝝈𝑭𝒍𝑽
∙ 𝑭𝑽 +
𝑬𝑻 ∙ 𝑭𝑻
𝑳
∙ 𝜹 𝜹𝑬 ≤ 𝜹 ≤ 𝜹𝑹
Intervalo Plástico:
𝑷𝑹 = 𝑵𝑽𝑬
+ 𝑵𝑻𝑬
∆𝑳𝑽= ∆𝑳𝑻= 𝜹
𝑵𝑽𝑬
= 𝝈𝑭𝒍𝑽
∙ 𝑭𝑽
𝑵𝑻𝑬
= 𝝈𝑭𝒍𝑻
∙ 𝑭𝑻
→ 𝑷𝑹 = 𝝈𝑭𝒍𝑽
∙ 𝑭𝑽 + 𝝈𝑭𝒍𝑻
∙ 𝑭𝑻 𝜹𝑹 ≤ 𝜹
El colapso se produce cuando el tubo alcanza la tensión límite de fluencia (𝑵𝑻𝑬
= 𝝈𝑭𝒍𝑻
∙ 𝑭𝑻),
por ello resulta:
Nota: nosotros asumiremos que 𝑷𝑬 ≤ 𝑷𝑪 ≤ 𝑷𝑹
→ 𝑷𝑪 = 𝝈𝑭𝒍𝑽
∙ 𝑭𝑽 +
𝑬𝑻 ∙ 𝑭𝑻
𝑳
∙ 𝜹𝑪 → 𝜹𝑪 =
𝑷𝑪 − 𝝈𝑭𝒍𝑽
∙ 𝑭𝑽
𝑬𝑻 ∙ 𝑭𝑻
∙ 𝑳
Uno de lo elementos trabaja en régimen elástico y el otro
en régimen plástico, por lo tanto será:

6. 𝑫
𝑬
𝑭
𝑨
𝑩
𝑪
Graficamos el diagrama carga-alargamiento (P-)
Resolución

P
Varilla
𝑷𝑽𝑬
𝜹𝑬 = ∆𝑳𝑽𝑬
𝑬𝑽
Tubo
∆𝑳𝑻𝑬
𝑷𝑻𝑬
𝑬𝑻
Tubo + Varilla
𝑷𝑬
𝑷𝑽𝑬
+ 𝑷𝑻𝑬
𝑷𝑹
𝑬𝑻
Descarga
𝑷𝑪
𝜹𝑪
𝜶 𝜶
𝜹𝟏
𝜹𝑹𝒆𝒔
Veamos los siguientes triángulos
semejantes:
∆
𝑨𝑩𝑪
≅
∆
𝑫𝑬𝑭
Rectángulos en 𝑪 y en
𝑭 y dónde 𝑨 = 𝑫 = 𝜶
→
𝑫𝑭
𝑨𝑪
=
𝑬𝑭
𝑩𝑪
→
𝜹𝟏
𝜹𝑬
=
𝑷𝑪
𝑷𝑬
…y siendo: 𝜹𝟏 = 𝜹𝑪 − 𝜹𝑹𝒆𝒔
→
𝜹𝑪 − 𝜹𝑹𝒆𝒔
𝜹𝑬
=
𝑷𝑪
𝑷𝑬
→ 𝜹𝑹𝒆𝒔 = 𝜹𝑪 −
𝑷𝑪 ∙ 𝜹𝑬
𝑷𝑬

7. Desarmando el montaje se tiene:
Resolución
El tubo no tendrá deformaciones
residuales ni tensiones residuales
dado que PC no supera la carga
crítica del tubo PR. La varilla si las
tendrá.
Planteando la descarga de la
varilla, una vez desmontada del
tubo, tendremos:
𝑫
𝑬
𝑭
𝑨
𝑩
𝑪 
P
𝑷𝑽𝑬
𝜹𝑬 = ∆𝑳𝑽𝑬
∆𝑳𝑻𝑬
𝑷𝑻𝑬
𝑷𝑬
𝑷𝑽𝑬
+ 𝑷𝑻𝑬
𝑷𝑹
𝑬𝑻
𝑷𝑪
𝜹𝑪
𝜹𝟏
𝜹𝑹𝒆𝒔
𝜹𝑪 − 𝜹𝑬
𝜹𝑪 − 𝜹𝑬
𝜶
𝑬𝑻
𝜶
𝑬𝑽
→
𝝈𝑹𝒆𝒔𝑻
= 𝟎
𝝈𝑹𝒆𝒔𝑽
= 𝜹𝑪 − 𝜹𝑬 ∙
𝑬𝑽
𝑳
𝑬𝑽
…dado que: 𝜺 =
𝜹
𝑳
=
𝝈
𝑬
→ 𝝈 =
𝑬 ∙ 𝜹
𝑳

8. Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko

9. Muchas Gracias