Este documento presenta 10 problemas de álgebra lineal que involucran conceptos como espacios vectoriales, productos internos, subespacios, proyecciones y ajustes de curvas. Los problemas exploran estas ideas matemáticas en diversos contextos como determinar si una función define un producto interno, calcular vectores unitarios y ángulos entre vectores, expresar vectores como suma de componentes ortogonales, y obtener la curva exponencial que mejor se ajusta a un conjunto de datos.

1. AL 2014
1 Ing. Aldo Jiménez Arteaga
Espacios con Producto Interno
1. Sean el espacio vectorial real 𝑃2 = { 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐|𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ} y la función
𝑓�𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥)� = 𝑝(1)𝑞(1), ∀ 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) ∈ 𝑃2
Determina si 𝑓 es un producto interno.
2. Sean los vectores 𝑢� = �
1
−2
� y 𝑣̅ = �
1
1
7
�. Bajo el producto interno usual en ℝ2
, obtén un vector unitario 𝑤� tal que
su distancia a 𝑢� es √8 y forma un ángulo de 45° con 𝑣̅.
3. Sean 𝑉 un espacio vectorial real con producto interno definido y 𝑢�, 𝑣̅ ∈ 𝑉 . Si 𝑢� y 𝑣̅ son linealmente
dependientes, demuestra que el ángulo entre ambos vectores es 0 ó 2𝜋.
4. Sea el espacio vectorial real 𝑀 = ��
𝑎 𝑏
−𝑏 −𝑎
� �𝑎, 𝑏 ∈ ℝ� donde se define el producto interno
(𝐴|𝐵) = tr 𝐴 𝑇
𝐵 , ∀ 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀
Si 𝐵 = ��
1
2
𝑛
−𝑛 −1
2
� , �
𝑚 1
2
−1
2
−𝑚
�� es una base ortonormal, determina:
a. los valores de 𝑚, 𝑛 ∈ ℝ.
b. el vector de coordenadas de 𝑢� = �
1 0
0 −1
� en la base 𝐵.
5. Sea el espacio vectorial complejo ℂ3
= {( 𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℂ}. Bajo el producto interno usual complejo en ℂ3
determina una base ortogonal a partir de
a. el vector 𝑢� = (−1, 𝑖, 0).
b. la base 𝐵 = {(1, 1, 𝑖), (1 + 𝑖, 3,1 + 2𝑖), (5, −3 + 4𝑖, 4 + 𝑖)}.
6. Sean el espacio vectorial 𝑃2 = { 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐|𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ}, en el cual se define el producto interno
�𝑝(𝑥)�𝑞(𝑥)� = � 𝑝(𝑖)𝑞(𝑖)
1
𝑖=−1
, ∀ 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) ∈ 𝑃2
y 𝑊 = { 𝑎𝑥2
+ 2𝑎𝑥 + 𝑐|𝑎, 𝑐 ∈ ℝ} un subespacio de 𝑃2. Obtén dos polinomios 𝑢(𝑥) ∈ 𝑊 y 𝑣(𝑥) ∈ 𝑊⊥
tales
que ‖𝑢(𝑥)‖2
+ ‖𝑣(𝑥)‖2
= ‖𝑝(𝑥)‖2
, donde 𝑝(𝑥) = −
5
2
𝑥2
+
3
2
𝑥 + 3
7. Sea 𝐿⊥
el complemento ortogonal de la recta 𝐿. Si una ecuación vectorial de 𝐿⊥
es
𝑝̅ = 𝑡 �
2
2
1
� + 𝑠 �
−2
1
2
�
a. obtén una base de 𝐿.

2. AL 2014
2 Ing. Aldo Jiménez Arteaga
b. expresa al vector 𝑚� = �
3
−1
2
� como la suma de los vectores 𝑛� ∈ 𝐿 y 𝑝̅ ∈ 𝐿⊥
.
8. Sea 𝑢� = �
4
3
, −
5
3
, 𝑘� ∈ ℝ3
. Si la distancia mínima entre 𝑢� y en el subespacio 𝑊 = ��𝑥, 𝑦,
1
3
𝑥 −
2
3
𝑦� �𝑥, 𝑦 ∈ ℝ� es
√14
3
, obtén, bajo el producto interno usual en ℝ3
:
a. el valor de 𝑘 ∈ ℝ.
b. la proyección de 𝑢� sobre 𝑊.
9. Sea el espacio vectorial 𝐷3 = ��
𝑎
𝑏
𝑐
� �𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ� con producto interno definido por
��
𝑎
𝑏
𝑐
� � �
𝑥
𝑦
𝑧
�� = 3𝑎𝑥 + 2𝑏𝑦 + 𝑐𝑧, ∀ �
𝑎
𝑏
𝑐
� , �
𝑥
𝑦
𝑧
� ∈ 𝐷3
Obtén la matriz más próxima a 𝑚� = �
−1
3
−3
−1
� en el subespacio 𝑉 = ��
2𝑏 + 𝑐
𝑏
𝑐
� �𝑏, 𝑐 ∈ ℝ�.
10. Mediante el método de mínimos cuadrados, obtén la curva 𝑓(𝑡) = 𝐴𝑒 𝐵𝑡
que mejor se ajuste a los siguientes datos
𝒕 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒
𝒇(𝒕) 0.2707 0.0366 0.0007 2.2507 × 10−7