Vectores en el plano y en el espacio

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO

2. FUNCIONES Y GRAFICAS
CONTENIDOS
4.- Distancia, pendiente entre dos puntos
1.- Sistemas de referencia
2.- Función. Clases y graficas
3.- Proporcionalidad. Directa e inversa

3. SISTEMAS DE REFERENCIA
 Son ejes de coordenadas que permiten ubicar
puntos respecto a un origen.
 Los sistemas de referencia son:
 Unidimensional.
 Bidimensional.
 Tridimensional.
 Polar cilíndrico
 Polar esférico

4. Este sistema está formado por un solo eje horizontal, llamado eje de las x, Se toma como
un punto fijo 0 como origen de una escala adecuada de graduación, las magnitudes a la
derecha del origen 0 son positivas y a la izquierda del origen 0 son negativas. Para ubicar
un punto en este sistema de referencia estará formado por una sola componente, llamada
abscisa, la misma que puede ser positiva o negativa, P(x).
EJEMPLO: Graficar: P1 (4); P2(-3)
SISTEMA UNIDIMENSIONAL
o +
_
o
1 2 3 4 5
-5 -4 -3 -2 -1
P1
P2
x
x
Menú

5. SISTEMA BIDIMENSIONAL
Está formado por dos ejes perpendiculares entre sí, llamados ejes de
coordenadas que se cruzan en un punto común llamado origen 0, dividiendo
al plano en cuatro cuadrantes: I, II, III y IV, enumerados en sentido
antihorario. El eje horizontal se llama eje de las abscisas y el eje vertical se
llama eje de las ordenadas, por tanto, para ubicar un punto en este sistema
de referencia, se tendrá dos componentes: P(x;y). Las magnitudes a la
derecha del eje y son positivas y a la izquierda son negativas, las
magnitudes sobre el eje de las x son positivas y bajo del mismo son
negativas.
I
II
III I
V
_
+
y
O
x
+ +
+
_
_
_
P(x;-y)
P(-x;-y)
P(-
x;y)
P(x;
y)

6. EJEMPLO: Graficar: P1 (4 ; 5); P2 (-3 ; 4); P3 ( -4 ; -5); P4 (3 ; -4).
y
O
x
P1(4 ; 5)
P2(-3 ;
4)
P3(-4 ; -5)
P4(3 ; -
4)
Menú

7. Este sistema de referencia está formado por tres ejes de coordenadas
perpendiculares entre sí, dando lugar a la formación de tres planos: xy; yz y xz, a su
vez los planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes. Para
determinar un punto en los ejes tridimensionales, está formado por tres
componentes: P(x ; y ; z), llamadas ternas.
z
SISTEMA TRIDIMENSIONAL
y
x
o
x-y
y -
z
x-z
P(x;y;z)

8. x
y
z
O
Octantes

9. x
y
z
O

10. x
y
z
O
REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO TRIDIMENSIONAL
EJEMPLO: Graficar los puntos: P1 = ( 4 ; 5; 7) ; P2 = ( 5 ; 4; -7) ; P3 = ( -6 ; 4; -6);
P6 = ( 5 ; -6; -7)
P5 = ( 6 ; -4; 3)
P7= ( -6 ; -4; -5)
P8 = ( -3 ; -5; 6)
P4 = ( -4 ; 6; 6)
P1 = ( 4 ; 5; 7)
Menú

11. Sistema de Coordenadas Cilíndricas
P(r;;z)
r

z
y
x
z
Es una versión en tres dimensiones de las coordenadas
polares de la geometría analítica plana, donde se mantiene la
coordenada z del sistema de coordenadas cartesianas, pero
se emplea la distancia y el ángulo en el plano x-y. El ángulo 
se define en cuanto a las coordenadas esféricas. La
coordenada z se define como en las coordenadas cartesianas.
La tercera coordenada es r, que es la distancia perpendicular
del eje z al punto P. Por consiguiente el punto queda
expresado de la siguiente forma, P(r ; ; z).

12. Sistema de Coordenadas Esféricas
Se expresa mediante un sistema de coordenadas esféricas tomando como referencia tres ejes
cartesianos, se pueden usar como forma alternativa de asignar números a puntos en el
espacio, medibles directamente con el telémetro láser. En éstas coordenadas r es la distancia
del origen a P, y θ es el ángulo que forman el eje z y la línea OP. La línea PQ es perpendicular
al plano x-y, y  es el ángulo que forman OQ y el eje x. Por lo anterior, z = r cos θ, x = r sen θ
cos  y y = r sen θ sen . Entonces el punto P(r ; θ; ).

13. FUNCIÓN
Relación entre dos o más variables
(magnitudes). Una función se escribe
simbólicamente: y = f(x), que se lee “ y
función de x”. También se escribe y = ax.
y = a x
Variable
indepen
diente
Variable
dependi
ente
Constante de
proporcionalida
d
Función
Lineal
Función
Cuadrática
x
y
O
x
y
O
b
x
y
O
parábola
x
y
O
b
Menú

14. DIRECT
A
INVERS
A
x
y
O
y = kx
y = k x k = y / x
y = k x² k = y / x²
x
y
O
y = kx +
b
x
y
O
y = k x²
x
y
O
y = k x² + b
y = k /
x
k = x.y
x
y
O
hipérbola
Menú
asíntotas

15. 1.- Dadas las siguientes funciones, dar valor a la variable independiente y graficar.
a) y = 2x.
b) y = 2 + 3x
c) y = x2
d) y = x2 + 3
e) y = x2 + 2x + 8
f) y = 10/x2
g) y = -2x2 + 4x
TALLER
x y
-2x2 + 4x
-2
-1
0
1
2
-2(-2)2 + 4(-2) -16
-2(-1)2 + 4(-1) -6
-2(0)2 + 4(0) 0
-2(1)2 + 4(1) 2
-2(2)2 + 4(2) 0

16. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO BIDIMENSIONAL
Dados los puntos: P1 = (x1 ; y1) y el punto P2 =(x2 ;
y2).
y
O
x
P1 (x1;y1)
P2 (x2;y2)
Q
En el P1QP2, aplicamos el
teorema de Pitágoras.
(P1P2)2 = (P1Q)2 + (QP2)2.
Pero de acuerdo al gráfico se tiene
que:
P1P2 = d
P1Q = x = x2 – x1
x
QP2 = y = y2 – y1
y
Entonces se tiene:d2 = x2 + y2  d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
   2
1
2
2
1
2 y
y
x
x
d 




17. PENDIENTE DE LA RECTA
y
O
x
P1 (x1;y1)
P2 (x2;y2)
Q
x
y

tan  =
1
2
1
2
x
x
y
y
x
y





Entonces: m = tan  .
m =
1
2
1
2
x
x
y
y
x
y





La pendiente (m) de una recta, es el grado de inclinación de la recta, la
misma que es igual a tangente del ángulo .
y
m
x
y m x
y mx



  


18. EJEMPL
O:
Dados los punto P1 = (-2 ; - 3) y P2 = (7 ; 8). Determinar:
a) Construir la gráfica.
b) La distancia.
c) La pendiente.
d) El ángulo de inclinación.
y
O
x
   2
1
2
2
1
2 y
y
x
x
d 



   
2 2
7 ( 2) 8 ( 3)
d      
   
2 2
9 11
d  
81 121
d  
202
d 
14.21
d 

19. 2 1
2 1
y y
m
x x



8 ( 3)
7 ( 2)
m
 

 
11
9
m 
1.22
m 
1
tan
tan 1.22
tan (1.22)
50.66o
m









Ejemplo.
Dados los punto P1 = (3 ; - 4) y P2 = (-7 ; 8). Determinar:
a) Construir la gráfica.
b) La distancia.
c) La pendiente.
d) El ángulo de inclinación.

20. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO TRIDIMENSIONAL
x
y
z
O
Consideremos dos puntos P1 = (x1; y1; z1) y P2 = (x2; y2; z2) la distancia esta dada
por la fórmula:
P1(x1; y1; z1)
P2 (x2; y2; z2)
     2
1
2
2
1
2
2
1
2 z
z
y
y
x
x
d 





Esta fórmula es ampliación de la fórmula en dos
dimensiones.
Menú

21. EJEMPL
O:
Dados los punto P1 = (-4 ; - 3 ; 5) y P2 = (7 ; 8 ; -4). Determinar:
a) Construir la gráfica.
b) La distancia.
x
y
z
O

22. Y AHORA QUÉ
GRACIAS
NADA?