1. TEMA 4
Probabilidad condicionada
Probabilidades y Estadística I

2. Esquema inicial
1. Introducción a la probabilidad condicionada
2. Teorema de la probabilidad compuesta o producto
3. Independencia de sucesos
4. Teorema de la Probabilidad Total
5. Teorema de Bayes
Probabilidades y Estadística I

3. Esquema inicial
1. Introducción a la probabilidad condicionada
2. Teorema de la probabilidad compuesta o producto
3. Independencia de sucesos
4. Teorema de la Probabilidad Total
5. Teorema de Bayes
Probabilidades y Estadística I

4. 1. Introducción (1/5)
REGLA DE LAPLACE
Ω
#A
A P ( A) =
#Ω
Probabilidades y Estadística I

5. 1. Introducción (2/5)
B Ω B
A A
#A ∩ B
= = # Ω P( A ∩ B) P( A B) #A ∩ B
#B P( B) #B
#Ω
Probabilidades y Estadística I

6. 1. Introducción (3/5)
P ( A ∩ B ) P ( B ) × P ( A B ) P ( A) × P ( B A)
= =
∩ ×
∪ +
Probabilidades y Estadística I

7. 1. Introducción (4/5)
P ( A ∩ B ) P ( B ) × P ( A)
=
?
∩ ×
∪ +
Sucesos incompatibles o disjuntos
Probabilidades y Estadística I

8. 1. Introducción (5/5)
P ( A ∩ B ) P ( B ) × P ( A B ) P ( A) × P ( B A)
= =
Probabilidades y Estadística I

9. Esquema inicial
1. Introducción a la probabilidad condicionada
2. Teorema de la probabilidad compuesta o producto
3. Independencia de sucesos
4. Teorema de la Probabilidad Total
5. Teorema de Bayes
Probabilidades y Estadística I

10. 2. Teorema de la prob. compuesta (1/4)
P ( A ∩ B ) P ( B ) × P ( A B ) P ( A) × P ( B A)
= =
? Probabilidades y Estadística I

11. 2. Teorema de la prob. compuesta (2/4)
Probabilidades y Estadística I

12. 2. Teorema de la prob. compuesta (3/4)
EJEMPLO
Una urna contiene r bolas rojas y b azules. Se extrae una bola al azar y se
observa el color. Se devuelve la bola a la urna, introduciéndose también k bolas
adicionales del mismo color. Se extrae aleatoriamente una segunda bola, se
observa el color y se devuelve a la urna junto con k bolas adicionales del mismo
color. Cada vez que se extrae una bola se repite el proceso. Si se extraen 4 bolas,
¿cuál es la probabilidad de que las tres primeras sean rojas y la cuarta azul?
SOLUCIÓN
R1 ≡ “La primera bola es roja”
b R2 ≡ “La segunda bola es roja”
r R3 ≡ “La tercera bola es roja”
A4 ≡ “La cuarta bola es azul”
Probabilidades y Estadística I

13. 2. Teorema de la prob. compuesta (4/4)
Probabilidad a calcular Configuración de la urna Resultado por Laplace
b r
P(R1 ) P(R1 ) =
r b+r
b r+k
P(R 2 | R1 ) P(R 2 | R1 ) =
r+k b + (r + k)
b r + 2k
P(R 3 | R1 ∩ R 2 ) P(R 3 | R1 ∩ R 2 ) =
r+2k b + (r + 2k)
b
P(A 4 | R1 ∩ R 2 ∩ R 3 )
b P(A 4 | R1 ∩ R 2 ∩ R 3 ) =
r+3k b + (r + 3k)
Probabilidades y Estadística I

14. Esquema inicial
1. Introducción a la probabilidad condicionada
2. Teorema de la probabilidad compuesta o producto
3. Independencia de sucesos
4. Teorema de la Probabilidad Total
5. Teorema de Bayes
Probabilidades y Estadística I

15. 3. Independencia de sucesos (1/3)
INDEPENDENCIA
X| Y=y’j ≡ X ∀ j Y| X=x’i ≡ Y ∀ i Estadística
Descriptiva
fij = fi• × f• j ∀i ≠ j
Probabilidades y Estadística I

16. 3. Independencia de sucesos (2/3)
Probabilidad a calcular Configuración de la urna Resultado por Laplace
b r
P(R1 ) P(R1 ) =
r b+r
b r
P(R 2 | R1 ) P(R 2 ) =
r b+r
b r
P(R 3 | R1 ∩ R 2 ) P(R 3 ) =
r b+r
b b
P(A 4 | R1 ∩ R 2 ∩ R 3 ) P(A 4 ) =
r b+r
Probabilidades y Estadística I

17. 3. Independencia de sucesos (3/3)
P ( A ∩ B ) P ( B ) × P ( A)
=
∩ ×
SUCESOS INDEPENDIENTES
∪ +
SUCESOS INCOMPATIBLES
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