Este documento presenta 6 problemas relacionados con el estudio y representación de funciones. El primer problema pide hallar asintotas de dos funciones y calcular puntos de intersección. El segundo analiza una función compuesta por dos funciones, incluyendo su dominio, continuidad, derivabilidad, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos y asintotas. El tercero analiza la inversión publicitaria de una empresa en función del número de películas en el mercado. Los problemas 4, 5 y 6 piden representar gráficamente diferentes funciones tras

1. ACTIVIDADES DE AMPLIACIO´N
16 Estudio y representacio´n de funciones
1. Halla, cuando existan, las ası´ntotas horizontales, verticales y oblicuas las siguientes funciones:
a) f(x) ϭ
x Ϫ 1
x Ϫ 2
b) f(x) ϭ
2
(x Ϫ 2)
x Ϫ 1
Calcula, si existen, los puntos en los que las ası´ntotas cortan la gra´fica de la funcio´n.
2. Considera la funcio´n f(x) ϭ
2
x Ϫ 2 si x Ͻ 1
1 Ϫ 2x
Ά si x у 1
x
a) ¿Cua´l es su dominio?
b) ¿Es continua en x ϭ 1?
c) ¿Es derivable en x ϭ 1?
d) ¿Cua´les son sus intervalos de crecimiento y decrecimiento?
e) ¿Cua´les son sus extremos?
f) ¿Tiene ası´ntotas?
g) Dibuja su gra´fica.
3. Una empresa lanza al mercado una pelı´cula de vı´deo. Calcula invertir en publicidad una cantidad que, en euros,
viene dada por la funcio´n f(x) ϭ 64x ϩ , donde x representa, en miles de unidades, el nu´mero de cintas que
25
x
hay en el mercado.
a) ¿Que´ nu´mero de cintas de vı´deo corresponde a la mı´nima inversio´n publicitaria? ¿A cua´nto asciende esta
inversio´n?
b) ¿Cua´l es la tendencia del gasto publicitario segu´n aumenta el nu´mero de pelı´culas en el mercado?
4. Representa la funcio´n f(x) ϭ 3x5
Ϫ 5x3
.
5. Representa la funcio´n f(x) ϭ .
x
2
x Ϫ 2x ϩ 1
6. Representa la funcio´n f(x) ϭ .2
x ϩ 1͙
Algoritmo Matema´ticas aplicadas a las CC.SS. I – 1.o
Bachillerato Actividades de ampliacio´n

2. SOLUCIONES
1. a) x Ϫ 2 ϭ 0 K x ϭ 2
x ϭ 2 es la u´nica ası´ntota vertical.
f(x) ϭ 1 y ϭ 1 es ası´ntota horizontal.lim
xAϮϱ
La funcio´n no puede tener ası´ntotas oblicuas,
pues tiene una ası´ntota horizontal.
Ninguna ası´ntota corta la gra´fica de la funcio´n.
b) x Ϫ 1 ϭ 0 K x ϭ 1
x ϭ 1 es la u´nica ası´ntota vertical.
La funcio´n no tiene ası´ntotas horizontales.
Como ϭ 1, (f(x) Ϫ x) ϭ Ϫ3, la
f(x)
lim lim
xxAϮϱ xAϮϱ
recta y ϭ x Ϫ 3 es una ası´ntota oblicua.
Ninguna ası´ntota corta la gra´fica de la funcio´n.
2. a) D(f) ϭ ‫ޒ‬
b) Sı´, pues f(x) ϭ f(x) ϭ f(1) ϭ Ϫ1lim lim
Ϫ ϩxA1 xA1
c) No, pues fЈ(1)Ϫ
ϭ 2 ϶ fЈ(1)ϩ
ϭ Ϫ1
d) fЈ(x) ϭ
2x si x Ͻ 1
Ϫ1Ά si x Ͼ 12
x
f es creciente en (0, 1); es decreciente en
(Ϫϱ, 0) y en (1, ϩϱ).
e) El punto (0, Ϫ2) es un mı´nimo.
f) f(x) ϭ Ϫ2 y ϭ Ϫ2 es ası´ntota horizontal.lim
xAϮϱ
g) Y
O
1
1 X
f(x)
3. a) fЈ(x) ϭ 64 Ϫ siendo x Ͼ 0
25
2
x
fЈ(x) ϭ 0 K x2
ϭ K x ϭ
25 5
64 8
fЉ(x) ϭ ; por tanto, fЉ Ͼ 0
50 5
3 ΂ ΃x 8
f tiene un mı´nimo en ϭ (0,6; 80); ası´,
5 5
, f΂ ΂ ΃΃8 8
si la empresa lanza 600 pelı´culas al mercado, la
inversio´n publicitaria es mı´nima y asciende a 80
euros.
b) Como f tiene una ası´ntota oblicua en y ϭ 64x,
la empresa tiende a gastar 0,06 euros por pelı´-
cula.
4. D (f) ϭ ‫ޒ‬
fЈ(x) ϭ 15x4
Ϫ 15x2
, fЉ(x) ϭ 60x3
Ϫ 30x
fЈ(x) ϭ 0 K x ϭ 0, x ϭ 1, x ϭ Ϫ1
fЉ(x) ϭ 0 K x ϭ 0, x ϭ , x ϭ Ϫ
1 1
2 2͙ ͙
0
+
–
–
+
+
+
+
+
–
–
+
+
–
–
–
–
x
x –
x +
f''(x)=60x x2
–
1–1
+
+
+
+
–
–
–
–
+
x+1
x–1
f'(x)=15x2
(x+1)(x–1)
1
2
1
2
–1
2
( )
1
2
1
2
Creciente en (Ϫϱ, Ϫ1) y (1, ϩϱ); decreciente en el
intervalo (Ϫ1, 1). Ma´ximo: (Ϫ1, 2). Mı´nimo: (1, 2).
Co´ncava en Ϫϱ, Ϫ y 0, ; convexa en
1 1
΂ ΃ ΂ ΃2 2͙ ͙
y . Puntos de inflexio´n: (0, 0),
Ϫ1 1
, 0 , ϩϱ΂ ΃ ΂ ΃2 2͙ ͙
,
Ϫ1 7 1 Ϫ7
, ,΂ ΃ ΂ ΃2 4 2 2 4 2͙ ͙ ͙ ͙
Y
O
1
1 X
f(x) = 3x5
– 5x3
5. D(f) ϭ ‫ޒ‬ Ϫ {1}; x ϭ 1 ası´ntota vertical.
fЈ(x) ϭ ; fЉ(x) ϭ
Ϫ(x ϩ 1) 2(x ϩ 2)
3 4
(x Ϫ 1) (x Ϫ 1)
fЈ(x) ϭ 0 K x ϭ Ϫ1; fЉ(x) ϭ 0 K x ϭ Ϫ2
1–2
x+2
–
–
+
–
+
–
+
–
–(x–1)3
(x–1)3
–(x+1)
–(x+1)
f'(x)= (x–1)4
2(x+2)
f''(x)=
1–1
+
+
+
+
–
–
Decreciente en (Ϫϱ, Ϫ1) y (1, ϩϱ); creciente en
(Ϫ1, 1). Mı´nimo en .
1
Ϫ1, Ϫ΂ ΃4
Co´ncava en (Ϫϱ, Ϫ2);
convexa en (Ϫ2, 1) y (1, ϩϱ).
Punto de inflexio´n Ϫ2, Ϫ .
2
΂ ΃9
Ası´ntota horizontal: y ϭ 0.
Y
O
1
1 X
f(x) = x
(x – 1)2
6. D(f) ϭ ‫ޒ‬
fЈ(x) ϭ ; fЉ(x) ϭ Ͼ 0
x 1
2 2 2
x ϩ 1 (x ϩ 1) x ϩ 1͙ ͙
fЈ(x) ϭ 0 K x ϭ 0
Decreciente en (Ϫϱ, 0)
y creciente en (0, ϩϱ).
Mı´nimo en (0, 1).
Siempre convexa.
y ϭ x e y ϭ Ϫx ası´ntotas
oblicuas.
Y
O
1
1 X
f(x)
Actividades de ampliacio´n Algoritmo Matema´ticas aplicadas a las CC.SS. I – 1.o
Bachillerato