Este documento presenta un problema de optimización para determinar las dimensiones de un cilindro con tapa que tenga la mayor cantidad de volumen posible dada una superficie total de 80cm2. Se analizan las variables del volumen y área del cilindro, y se deriva la función de volumen para encontrar los puntos críticos y maximizar el volumen. Esto resulta en un radio de 2.06 cm y una altura de 1.54 cm para el volumen máximo de 5.01 cm3.

1. A.F.A.G 1102
S.H.S

2.  Se realizara un proceso de optimización a un
cilindro, el cual le hemos planteado un
problema en el que pondremos aprueba todo
lo visto en el periodo.

3.  En el problema planteado se pregunta y se
hayan temas vistos en clase, también
recurrimos a revisar el internet y ver videos
acerca del tema de optimización.

4.  Se desea construir un recipiente cilíndrico de
metal con tapa que tenga una superficie total
de 80cm² . Determine sus dimensiones de
modo que tenga el mayor volumen posible.

5. No presentamos a dibujar el cilindro
pedido en el problema.

6.  Luego procedemos a analizar los datos que
tenemos y que nos piden, el problema nos da
variables así que sabemos que se desea maximizar
el volumen v= π*r²*h que depende de las variables
que son r y h.
 Se sabe que el área total A= 2 π* r² + 2 π *r*h
debe ser igual a 80cm², es decir, se sabe que 2 π*
r² + 2 π *r*h = 80cm².

7.  Una función V= π* r²*h
 Una ecuación 2 π* r² + 2 π* r*h=80.

8.  2 π* r² + 2 π* r*h=80
El dos esta multiplicando pasa a dividir al 80
π* r² + π* r*h=40
π* r² lo pasaremos al otro lado a restar
π* r*h=40- π* r²
Y para finalizar dejaremos la h sola pasando las
multiplicaciones a dividir
h=40- π* r²/ π *r

9.  Procedemos a sustituir en función de V
V=π* r*h
V=π* r² [(40- π* r² )/ π* r] = r(40- π* r² )
V’(r)= 40 r-π*r^3
Función a maximizar

10.  Derivamos y obtendremos los puntos críticos
V’(r)= 40-3 π* r²
R=0 ,y, 40-3 π * r² =0
r²=40/3 π
√r^3= √4,24
r= +/- 2,06

11.  Ahora maximizaremos la función así que solo
nos servirá el positivo.
V’(r)= 40 * 3π*r²
V’(2,06)= 40-3 π (2,06) ²
V’(2,06)=5,01
Procedemos a hallar la altura de este
h= 40-3π*r²/ π*r
h= 40-π*(5,01) /π*(5,01)
h=1,54

12.  Culminaremos todo el proceso hallando el
volumen máximo
r=2,06 y h=1,54

13. Muchas gracias.