Planteamiento y resolución de un problema de programación lineal mediante solver.

1. Linear Programming.
Gerardo Edgar Mata Ortiz
𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐, 𝒙 𝟑

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Linear Programming. Example 8.
¿Qué es programación Lineal?
Es un método para obtener el producto óptimo con
base en un modelo matemático en el que todas las
relaciones entre variables y constantes pueden
expresarse linealmente.
Puede ser en el plano xy, en el espacio xyz, o
incluso en dimensiones mayores que no se pueden
graficar.

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Ejemplo 8. Primera parte.
La Pro-quality Company fabrica y vende tres
líneas de raquetas de tenis; A, B y C. A es
una raqueta estándar, B y C son raquetas
profesionales. El proceso de manufactura
requiere que los tres tipos de raquetas pasen
por dos procesos de producción. Todas las
raquetas requieren de tres horas en el
proceso 1.

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Ejemplo 8. Segunda parte.
En el proceso 2, la raqueta A requiere de dos
horas; la raqueta B, 4 horas; y la raqueta C, 5
horas. El proceso uno dispone de 50 horas y
el proceso dos, de 80. El grupo de
mercadotecnia ha pronosticado que la
demanda de la raqueta estándar no será
mayor a 25 por semana.

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Ejemplo 8. Tercera parte.
Debido a que las raquetas B y C son similares
se ha pronosticado que sus ventas
combinadas semanales estarán entre 10 y 30
piezas. La venta de la raqueta A da como
resultado $7 de utilidad; la B, $8; y la C, $8.50,
¿cuántas raquetas de cada tipo deben
fabricarse por semana para maximizar las
utilidades?

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Ejemplo 7. Análisis de la información.
Después de una lectura superficial del problema es
necesario leerlo nuevamente con mayor atención.
En la segunda lectura trataremos de organizar la
información.
En las siguientes diapositivas se emplean colores
para visualizar cómo se organizará la información.
Azul: Proceso 1 Rojo: Proceso 2
Verde: Demanda de la raqueta estándar
Naranja: Demanda de las raquetas profesionales

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Ejemplo 8. Primera parte.
La Pro-quality Company fabrica y vende tres
líneas de raquetas de tenis; A, B y C. A es
una raqueta estándar, B y C son raquetas
profesionales. El proceso de manufactura
requiere que los tres tipos de raquetas pasen
por dos procesos de producción. Todas las
raquetas requieren de tres horas en el
proceso 1.

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Ejemplo 8. Segunda parte.
En el proceso 2, la raqueta A requiere de
dos horas; la raqueta B, 4 horas; y la
raqueta C, 5 horas. El proceso uno dispone
de 50 horas y el proceso dos, de 80. El
grupo de mercadotecnia ha pronosticado que
la demanda de la raqueta estándar no será
mayor a 25 por semana.

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Ejemplo 8. Tercera parte.
Debido a que las raquetas B y C son similares
se ha pronosticado que sus ventas
combinadas semanales estarán entre 10 y
30 piezas. La venta de la raqueta A da
como resultado $7 de utilidad; la B, $8; y la
C, $8.50, ¿cuántas raquetas de cada tipo
deben fabricarse por semana para maximizar
las utilidades?

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Ejemplo 8. Recomendaciones.
Para el planteamiento generalmente se
emplea una tabla en la que se sintetizan los
datos de modo que sea más fácil visualizar
las relaciones entre las variables y las
constantes.

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Ejemplo 8. Planteamiento
Raquetas
Recursos y
condiciones
A B C Disponibilidad
Proceso 1
Proceso 2
Demanda A
Demanda
B y C
Ganancia

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Ejemplo 8. Planteamiento
Raquetas
Recursos y
condiciones
A B C Disponibilidad
Proceso 1 3 3 3 60
Proceso 2 2 4 5 80
Demanda A 1 25
Demanda 1 1 10
B y C 1 1 30
Ganancia 7 8 8.5 Maximizar

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Ejemplo 8. Planteamiento
Raquetas
Recursos y
condiciones
A B C Disponibilidad
Proceso 1 3 3 3 60
Proceso 2 2 4 5 80
Demanda A 1 25
Demanda 1 1 10
B y C 1 1 30
Ganancia 7 8 8.5 Maximizar

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Ejemplo 8. Restricciones y Función objetivo.
¿Cuántas raquetas de cada tipo deben fabricarse
y venderse para que la ganancia sea la máxima
posible?
Identificaremos mediante incógnitas las cantidades
de cada artículo que se debe fabricar y vender.
– Cantidad de raquetas tipo A = x1
– Cantidad de raquetas tipo B = x2
– Cantidad de raquetas tipo C = x3

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Ejemplo 8. Planteamiento
Raquetas
Recursos y
condiciones
A
x1
B
x2
C
x3
Disponibilidad
Proceso 1 3 3 3 60
Proceso 2 2 4 5 80
Demanda A 1 25
Demanda 1 1 10
B y C 1 1 30
Ganancia 7 8 8.5 Maximizar

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Ejemplo 8. Restricciones y Función objetivo.
Función Objetivo:
Sujeto a:
𝟑𝒙 𝟏 + 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 𝟑 ≤ 𝟔𝟎
𝟐𝒙 𝟏 + 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙 𝟑 ≤ 𝟔𝟎
𝟏𝒙 𝟏 ≤ 𝟐𝟓
𝟏𝒙 𝟐 + 𝟏𝒙 𝟑 ≥ 𝟏𝟎
𝟏𝒙 𝟐 + 𝟏𝒙 𝟑 ≤ 𝟑𝟎
𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒛 = 𝟕𝒙 𝟏 + 𝟖𝒙 𝟐 + 𝟖. 𝟓𝒙 𝟑

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Ejemplo 8. Solución empleando Excel Solver.
Recursos Raqueta A Raqueta B Raqueta C Disponibilidad
y condiciones x1 x2 x3 de recursos
Proceso 1 3 3 3 60
Proceso 2 2 4 5 80
Demanda A 1 25
Demanda B y C 1 1 10
Demanda B y C 1 1 30
Maximizar
Ganancia 7 8 8.5 160
Valores de x1, x2 y x3 0 20 0
Recursos Raqueta A Raqueta B Raqueta C Recursos Restricciones
y condiciones x1 x2 x3 Empleados de recursos
Proceso 1 0 60 0 60 ≤ 60
Proceso 2 0 80 0 80 ≤ 80
Demanda A 0 0 0 0 ≤ 25
Demanda B y C 0 20 0 20 ≥ 10
Demanda B y C 0 20 0 20 ≤ 30

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Ejemplo 8. Solución empleando Excel Solver.
y condiciones x1 x2 x3 de recursos
Proceso 1 3 3 3 60
Proceso 2 2 4 5 80
Demanda A 1 25
Demanda B y C 1 1 10
Demanda B y C 1 1 30
Maximizar
Ganancia 7 8 8.5 160
Valores de x1, x2 y x3 0 20 0
Recursos Raqueta A Raqueta B Raqueta C Recursos Restricciones
y condiciones x1 x2 x3 Empleados de recursos
Proceso 1 0 60 0 60 ≤ 60
Proceso 2 0 80 0 80 ≤ 80
Demanda A 0 0 0 0 ≤ 25
Demanda B y C 0 20 0 20 ≥ 10
Demanda B y C 0 20 0 20 ≤ 30
La solución es:
Fabricar solamente raquetas de tipo B (20), y ninguna de las A y C.
La ganancia máxima será de 160.

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Direcciones
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Bibliografía
Parra, Enrique. Optimización del transporte.
Modelos resueltos con SOT ll. Edit. Ediciones Díaz
de Santos. 2008
Guerrero, Humberto. Programación lineal. Aplicada.
Edit. Ecoe Ediciones. 2011
Investigación de operaciones.
– Taha
– Wilson