Ejercicios de extremos no restrictos con 2 variables, método de lagrange, matriz jacobiana, y condiciones de Kuhn Tucker

1. EJERCICIOS DE OPTIMIZACION DE
SISTEMAS Y FUNCIONES
Elaborado por:
Manuel Alejandro Rivas
C.I:24.597.408
Optimización de sistemas y
funciones
Doc. Alejandra Torres
Porlamar, Enero de 2017

2. EXTREMOS NO RESTRICTOS CON DOS VARIABLES
En primer lugar consideramos la función lagrangiana asociada al problema que viene dada por F (x,
y, λ) = x + y − λ(x2 + y2 − 4) . Obtenemos los puntos críticos:
Por tanto, los puntos críticos de la lagrangiana son:
Para clasificar los puntos se obtiene la matriz hessiana de la función lagrangiana con respecto a las variables
principales del problema:

3. y se sustituyen los puntos críticos obtenidos anteriormente:
Representa una forma cuadrática definida negativa en R2, por tanto será definida negativa en
cualquier sub-espacio, en particular el sub-espacio que se indica en teoría. Por tanto:
es un máximo del problema con

4. MÉTODO DE LAGRANGE
sujeto a:Encuentre los valores óptimos de la función
Aquí
El sistema de ecuaciones es:
De la primera ecuación despejas y (Observe que no conviene que despeje pues implica indicar una división con
una expresión que dependerá de una variable y se tendría que considerar por separado el caso cuando es
cero.):

5. Si sustituimos esto en las ecuaciones 2 y 3 del sistema nos queda:
Si tomamos la nueva ecuación 1 y la factorizamos queda:
Esto nos origina tres posibles casos:
Si sustituimos el caso x = 0 en la segunda nueva ecuación nos queda:
Es decir, este caso de la primera ecuación es incompatible con la segunda. El caso λ = 2 sustituido en la
segunda ecuación da:

6. Sustituyendo λ = 2 y estos casos de x dan en y:
Resumiendo tenemos los puntos:
El caso λ = −17/4 sustituido en la segunda ecuación da: La cual da las soluciones:
Sustituyendo λ = 2 y estos casos de x dan en y:
Resumiendo tenemos los puntos:

7. En nuestro problema n = 2 (número de variables en f) y m = 1 (número de restricciones), y por tanto
debemos calcular ∆ i desde i = 1 hasta i = n − m = 1. Es decir, que en este ejemplo basta calcular ∆1
para cada punto. La matriz B1 queda:
En nuestro problema n = 2 (número de variables En f) Y m = 1 (número de restricciones), y por tanto
debemos calcular ∆ i desde i = 1 hasta I = N − m = 1. Es decir, que en este ejemplo basta Calcular ∆1
para cada punto. La matriz B1 queda:

8. En nuestro problema n = 2 (número de variables en f) Y m = 1 (número de restricciones), y por tanto
debemos calcular ∆ i desde i = 1 hasta i = n− m = 1. Es decir, que en este ejemplo basta calcular ∆1
para cada punto. La matriz B1 queda:
Como m = 1 es impar, P es mínimo local.

11. MATRIZ JACOBIANA
La matriz Jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una
de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función
en un punto.
En este sentido, el Jacobiano representa la derivada de una función multivariable. Supongamos F: Rn
→ Rm es una función que va del espacio euclidiano n- dimensional a otro espacio euclidiano m-
dimensional. Esta función está determinada por m funciones reales: y1(x1,..., xn),..., ym(x1,..., xn).
Las derivadas parciales de estas (si existen) pueden ser organizadas en una matriz m por n, la matriz
Jacobiana de F.
En este caso la función será:
𝑓: 𝑅2 → 𝑅2, donde dicha matriz será de orden 2x2, y sus elementos vienen dados por:

12. Observemos que en nuestro caso las componentes de f son:
Calculamos ya los elementos de la matriz jacobiana:

14. KARUSH-KUHN-TUCKER
Se utilizan los multiplicadores correspondientes para construir la función Lagrangiana, expresando previamente las
restricciones en la forma ( ) ≤ 0

19. ¡GRACIAS POR SU ATENCIÓN!