Límites de funciones

1. LÍMITES DE FUNCIONES

El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el
que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito.
Debes saber:
CÁLCULO DE LÍMITES:
1. Límites de polinomios: El límite de cualquier polinomio cuando x tiende a
siempre es
o
, dependiendo del coeficiente del término de mayor grado del
polinomio:
Ejemplos.
2. Indeterminación
: Si tenemos que hacer el límite cuando x tiende a
de un
cociente de polinomios nos encontraremos con esta indeterminación, la forma de
resolverla es dividir numerador y denominador por el monomio de mayor grado, pero
siempre siguen la siguiente regla:
1

2. Ejemplo.
3. Indeterminación
: En esta indeterminación podemos tener dos casos, tener
una resta de cocientes en cuyo caso se pone común denominador y se hace la resta,
o tener una raíz, en tal caso hay que multiplicar y dividir por el conjugado de la resta
que aparece: *No entra para 1º matemáticas C.S.
Ejemplos.
La resolución de estos límites se limita a los 3 casos anteriores puesto que:
Ejemplo.
2

3. 1. Límites laterales: Se define el límite lateral por la derecha de la de la función f(x), y se
expresa como:
Al límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a y toma valores mayores que .
Por ejemplo si
tomaremos un valor muy cercano a 2 por la derecha, 2’01.
De igual modo, Se define el límite lateral por la izquierda de la de la función f(x), y se
expresa como:
Al límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a y toma valores menores que .
Por ejemplo si
tomaremos un valor muy cercano a 2 por la izquierda, 1’99.
Propiedad: Para que una función f(x) tenga límite en x = a es necesario y suficiente
que existan ambos límites laterales y coincidan, es decir:
2. Indeterminación
: Se da cuando hacemos el límite del cociente de dos polinomios
y el numerados no se anula pero el denominador sí, en este caso sabemos que el
límite es
, pero para resolverlo hay que hacer los límites laterales como se explica
en el punto anterior
Ejemplo.
3

4. 3. Indeterminación
: Se da cuando hacemos el límite del cociente de dos polinomios
y tanto el numerados como el denominador se anulan, en este caso debemos
factorizar (normalmente por el método de Ruffini) numerador y denominador para
poder simplificar el cociente y volver a hacer el límite.
Ejemplo.
En este caso el denominador no se puede factorizar pero el numerador sí, y queda:
Para practicar:


lim x  2 x  1
lim  3x  x 
1. lim 3x 2  6 x  1
x 1
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
2
x 
3
x 
x4  x2
lim
x   x 5  1
x 2  25
lim 2
x 5 x  5 x
 3x 5  x 2
lim
x 
2x 2  1
x 3  6 x 2  5x
lim 4
x 1 x  x 3  x  1
x  13
lim
x  3  x  34
2x 4  x 2
x  3 x 4  1
x2 1
10. lim 5
x 1 x  1
9.
lim
4