e

1. Objetivo : Introducir el concepto de límites laterales, limites al
infinito y límites indeterminados con ejercicios prácticos
1
Profesora: María Soledad Pavez

2. 2
Existen funciones que
representan algunas
discontinuidades,
consideremos la
siguiente gráfica en la
que existe una
discontinuidad cuando
x=3
Observemos que cuando
x se aproxima a 3 por la
derecha, función tiende
hacia 2
Pero cuando x se
aproxima a 3 por la
izquierda , la función
tiende hacia 1

3. 3
Utilizando la notación de límite cuando x tiende a 3 por la derecha es igual a
2 y límite de f(x) cuando x tiende a tres por la izquierda, es igual a 1.
La diferencia en la notación cuando x tiende por la derecha se usa el
superíndice + , asimismo se representa límite por la izquierda, pero
utilizando el signo menos.
En este caso el límite no existe, son diferentes valores por derecha e izquierda

4. 4
Verifique si existe el límite con los límites laterales (derecha e izquierda)
1)
2)

5. 5
Respuesta 1)
Respuesta 2)

6. tiempo
(años)
                  










clientes
f
¿Cuál es el máximo número esperado de
clientes al cual se tiende en
el largo plazo?
Analicemos Límites al
infinito…
¿ ?
¿ ?
50


t
Entonces: 50
)
(
lim 


t
f
t
Esto es un límite al infinito, que nos indica a qué valor se
aproxima la función cuando t crece indefinidamente.
6

7. Límites al infinito
7
Si los valores de la función f (x) tienden al número L
cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:
lim ( )
x
f x L


De manera similar, valores de la función f (x) tienden
al número M cuando x disminuye indefinidamente,
se escribe:
lim ( )
x
f x M



8. Por ejemplo….
8
y = f (x)
y
y = L
y = M M
L
lim ( )
x
f x L


lim ( )
x
f x M


x

9. Por ejemplo….
9

10. límite al infinito para funciones polinómicas
10
1
1 1 0
( ) n n
n n
f x a x a x a x a


    
lim ( ) lim n
n
x x
f x a x
 
 
  
Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el
infinito, se halla el límite del término de mayor grado
(término dominante).
Ejemplos: a)
3
2 59
lim
3 6
x
x x

 
  
 
 
b) )
5
( 2
4
lim 





x
x
x
x

11. 11

12. Sabemos que para n > 0, , ¿cuál es el valor
de los siguientes límites?
Interrogante . . . . .
12




n
x
x
lim



n
x x
1
lim



n
x x
1
lim
Teorema : Teorema : Sea n un número racional positivo, y si xt están
definidos entonces

13. Interrogante . . . . .
13
También tenemos:
Por , Tenemos que tener cuidado con la definición de la potencia de los números
negativos. En particular:

14. LIMITES EN EL INFINITO














m
n
m
n
m
n
b
a
bx
ax
m
n
x
0
/
...
...
lim
14
TIPO 4
TRES PASOS
•FACTORIZAR MAXIMA POTENCIA
•SIMPLIFICAR
•EVALUAR EN EL INFINITO
FÓRMULA GENERAL
CASO ∞

15. 













m
n
m
n
m
n
b
a
bx
ax
m
n
x
0
/
...
...
lim
15
CASO - ∞
TIPO 4

16. Ejercicio . . . . .
16

17. Ejercicio . . . . .
17

18. Ejercicio . . . . .
18

19. Ejercicio . . . . .
19

20. Límites infinitoS
20
La línea vertical x = 3. Esta línea se llama
una ASÍNTOTA VERTICAL.

21. 21

22. Ejercicios:
22
3
2
5
4
2
2
lim



 x
x
x
x
x
x
x 2
1
3
4
lim




x
x
x
x 2
1
3
4
lim




3
7
2
lim 


 x
x
x
1.
2.
3.
4.
Calcule los siguientes límites

23. 23
Generalmente si se trabaja con funciones racionales se presentan los siguientes casos:

24. Tipos de
Indeterminación

25. LÍMITES : Indeterminación 0/0
Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero,
se puede en algunos casos simplificar la fracción y calcular el
límite.
h
h
h
2
2
lim
0



x
x
x
x
x 


 2
2
1
2
lim
Ejemplo: Resolver los siguientes limites con indeterminación 0/0
Regla: Para resolver este tipo de indeterminación 0/0, se debe
Factorizar tanto denominador como denominador y simplificar luego
remplazar el limites.

26. 1/2
1/2

27. 27

28. 28

29. 29