Ejercicios de Lógica e Inducción Matemática

1. Asignatura
1º año

2. 1) ¿Cuáles de las siguientes expresiones
son proposiciones?
a) ¿2 es un número positivo?
b) Juan es estudiante.
c) a + b + 10 = 20
d) a + b + 10 = 20; donde a = 4, b= 7
No es proposición ya que una interrogación no tiene valor de verdad
Es una proposición porque es una oración afirmativa de la cual puede
decirse V o F , pero no ambas
Esta afirmación no tiene valor de verdad ya que depende de los valores
de a y b entonces , no es una proposición
Es una proposición porque , asignados los valores de a y b, la afirmación
tiene valor de verdad, en este caso, F

3. 2)Dadas las proposiciones, p: Fernando viajó en sus
vacaciones , y q: Fernando estudió en sus
vacaciones. .3
Exprese verbalmente las siguientes expresiones lógicas
p
p q
(p q)
Responda: ¿Tienen la misma interpretación (p q) y
p q ? Analice los valores de verdad de ambas
proposiciones compuestas en el caso en que p = V y
q = F
: “Fernando no viajó en sus vacaciones”
: “Fernando viajó y estudió en sus vacaciones”
: “No es cierto que, Fernando viajó y estudió
en sus vacaciones”
No tienen la misma interpretación, la 1º es “No es cierto que, Ferna
viajó y estudió en sus vacaciones” , la cual es Verdadera y la 2º es
“Fernando no estudió ni viajo en sus vacaciones” la cual es Falsa

4. 2)Dadas las proposiciones, p: Fernando viajó en sus
vacaciones , y q: Fernando estudió en sus
vacaciones. .4
p q
p q
Responda: ¿Tienen la misma interpretación p q y
p q ? Analice los valores de verdad de ambas
proposiciones compuestas en el caso en que p =
V y q = V
: “Fernando viajó o estudió en sus vacaciones”
: “Fernando viajó o estudió en sus vacaciones,
pero no ambas”
No tienen la misma interpretación, la 1º brinda la posibilidad de h
hecho las dos cosas y en este caso es Verdadero y la 2º excluye
posibilidad de haber hecho ambas, y por lo tanto es Falsa

5. 3)Escriba una oración que corresponda a cada
una de las siguientes proposiciones:
p: llueve, q: hace frío, r: voy al cine
a)¬rΛ q
b) ¬ (r Λ q)
c) ¬p ¬ q
d) ¬(p q)
e) ( r Λ q) ν p
f) r Λ (q ν p)
No voy al cine pero hace frío
No es cierto que, voy al cine y hace frío
No voy al cine o no hace frío
No es cierto que, voy al cine o hace frío
Voy al cine y hace frio, o llueve
Voy al cine y, hace frio o llueve

6. 4) Construya las tablas de verdad de las siguientes
expresiones, diga cuál de ellas es tautología o
contradicción6
Entonces ¬p Λ q Λ p es una contradicción
Entonces ¬ (p Λ q) p es una tautología
a) ¬p Λ q Λ p
b) ¬ (p Λ q) p
p q ~p ~p Λ q ¬p Λ q Λ p
p q p Λ q ~(p Λ q) ¬ (p Λ q) p
p q ~p ~p Λ q ¬p Λ q Λ p
V V F F F
V F F F F
F V V V F
F F V F F
p q p Λ q ~(p Λ q) ¬ (p Λ q) p
V V V F V
V F F V V
F V F V V
F F F V V

7. 5) a)Escriba las siguientes proposiciones en forma
simbólica, luego escriba la recíproca y contrarecíproca
Si veo un marciano con mis propios ojos, entonces hay
vida extraterrestre
p q
q p
~q ~p
7
Sean
p: “Veo un marciano con mis propios ojos”
q: “creo que hay vida extraterrestre”
La recíproca es :
La Contrarecíproca es
Si hay vida extraterrestre, veré un marciano
con mis propios ojos
Si no hay vida extraterrestre, no veré un
marciano con mis propios ojos

8. u v
Es suficiente un disco rígido de 80 GB para que pueda navegar
en Internet.
u:Tengo un disco rígido de 80 GB
v: Puedo navegar en Internet
v u
5) b)Escriba las siguientes proposiciones en forma
simbólica, luego escriba la recíproca y contrarecíproca
Su recíproca es:
~v ~ u
Su contrarecíproca es:
Es suficiente navegar por internet para tener
un disco rígido de 80 GB
Si no puedo navegar por internet, entonces
no tengo un disco rígido de 80 GB
8

9. 5) c)Escriba las siguientes proposiciones en forma
simbólica, luego escriba la recíproca y contrarecíproca
Si encuentro petróleo, soy rico
p q
q p
~q ~p
9
Sean
p: “Encuentro petróleo”
q: “Soy rico”
La recíproca es :
La Contrarecíproca es
Si soy rico, encuentro petróleo
Si no soy rico, entonces no encontré
petróleo

10. 5) c)Escriba las siguientes proposiciones en forma
simbólica, luego escriba la recíproca y contrarecíproca
Si llueve, voy al cine.
p q
q p
~q ~p
10
Sean
p: “llueve”
q: “voy al cine”
La recíproca es :
La Contrarecíproca es
Si voy al cine, llueve
Si no voy al cine, no llovió

11. 5) e)Escriba las siguientes proposiciones en forma
simbólica, luego escriba la recíproca y contrarecíproca
Voy a la facultad, cuando es lunes
q p
q p
~q ~p
11
Sean
p: “Voy a la facultad”
q: “Es lunes”
La recíproca es :
La Contrarecíproca es
Si voy a la facultad, es lunes
Si no voy a la facultad, no es lunes

12. 6)Al inicio de un programa de Pascal, las variables enteras “m” y “n” reciben los
valores de 3 y 8 respectivamente. Durante la ejecución del programa, se
encuentran los siguientes enunciados sucesivos. [Aquí, los valores de m y n
después de la ejecución del enunciado de la parte a) se convierten en los
valores de “m” y “n” para el enunciado de la parte b), etc, hasta el enunciado de
la parte g)]
n m
Valores iniciales 8 3
If n-m=5 then n := n -2
If ( ( 2*m=n) and (n Div 4 = 1 ) then n: = 4*m-3)
If (( n<8) or ((m Div 2 = 2 )) then n : = 2*m else m:=2*n
If ((m<20) and (n Div 6 = 1 ) then m : = m – n – 5
If ((n = 2*m) or ( ( n Div 2 = 5 )) then m : = m +2
If ((n Div 3 = 3) and ( m Div 3 ) < > 1) ) then m : = n
If m*n <> 35 then n: = 3*m +7
12
n m
Valores iniciales 8 3
If n-m=5 then n := n -2 6 3
If ( ( 2*m=n) and (n Div 4 = 1 ) then n: = 4*m-3) 9 3
If (( n<8) or ((m Div 2 = 2 )) then n : = 2*m else m:=2*n 9 18
If ((m<20) and (n Div 6 = 1 ) then m : = m – n – 5 9 4
If ((n = 2*m) or ( ( n Div 2 = 5 )) then m : = m +2 9 4
If ((n Div 3 = 3) and ( m Div 3 ) < > 1) ) then m : = n 9 4
If m*n <> 35 then n: = 3*m +7 19 4

13. 7 a) Demuestre las siguientes implicaciones
lógicas
i) (p Λ (p→ q)) q ( Modus Ponens)
p q p→ q p Λ (p→ q) (p Λ (p→ q)) → p
13
(pΛ (p→ q)) implica lógicamente a p dado que (p Λ (p→ q)) → q
es una tautología
p q p→ q p Λ (p→ q) (p Λ (p→ q)) → q
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V

14. 7 a) Demuestre las siguientes implicaciones
lógicas
ii) ( q Λ (p→ q)) p ( ModusTollens)
14
( q Λ (p→ q)) implica lógicamente a p dado que ( q Λ (p→
q)) → p es una tautología
p q p
q
p→ q q Λ (p→ q) ( q Λ (p→ q)) → p
V V
V F
F V
F F
p q p
q
p→ q q Λ (p→ q) ( q Λ (p→ q)) → p
V V F F V F V
V F F V F F V
F V V F V F V
F F V V V V V

15. 7 a) Demuestre las siguientes implicaciones
lógicas
iii) ( q Λ (p q)) p (Silogismo Disyuntivo)
15
q Λ (p q) implica lógicamente a p dado que ( q Λ (p q)) →p
es una tautología
p q
q
p q q Λ (p q) ( q Λ (p q)) →p
V V F F
V F V V
F V F V
F F V F F
p q
q
p q q Λ (p q) ( q Λ (p q)) →p
V V F V F V
V F V V V V
F V F V F V
F F V F F V

16. 7 a) Demuestre las siguientes implicaciones
lógicas
iv) ((p→ q) Λ (q→ r)) (p→ r) (Silogismo
Hipotético)
16
((p→ q) Λ (q→ r)) implica lógicamente a p→ r dado que
((p→ q) Λ (q→ r))  (p→ r) es una tautología
p q r
A
p q
B
q r A B
C
pr A B  C
V V V V V V V V
V V F V F F
V F V V
V F F V
F V V V
F V F V V
F F V V V
F F F v V v v
p q r
A
p q
B
q r A B
C
pr A B  C
V V V V V V V V
V V F V F F F V
V F V F V F V V
V F F F V F F V
F V V V V V V V
F V F V F F V V
F F V V V V V V
F F F v V v v V

17. 7)b) Demuestre las siguientes implicaciones lógicas
usando las leyes ya probadas
17
rqpr))(q(pi)
qp)r))(q((pderechaaizquierdadeasociando
qr)(q:PonensModuspor
r:nuevamentePonensModusPor
rpr)(qq)(pii)
pr))(qq)(p(derechaaizquierdadeasociando
pr)(p:HipSilogismopor
r:PonensModusPor

18. 8) Escriba las proposiciones dadas en forma simbólica.
Analice su valor de verdad
18
a) 113 es primo si y solo si 113 es impar
b) Es necesario y suficiente que nieve para que el día
esté frio
p:”113 es primo”
q: “113 es impar” p q
p = V y q = V , entonces (p q) = V
r:”Nieva”
s: “Hace frio”
r s
r s será V si ambos, r y s tienen el mismo
valor de verdad, caso contrario r s será

19. 9) a) Demuestre las siguientes equivalencias
lógicas
19
i) (p q) r (p r) (q r) (una de las leyes distributiva)
p q r (p q) r p r q r (p r) (q r)
V V V V V V V V
V V F F F V
V F V V V V
V F F F F V
F V V V V
F V F F F
F F V F F
F F F F F F F V
p q r (p q) r p r q r (p r) (q r)
V V V V V V V V
V V F F F F F V
V F V V V F V V
V F F F F F F V
F V V V F V V V
F V F F F F F V
F F V F F F F V
F F F F F F F V
1 2
1 2

20. p q p q (p q)
p
V V V
V F V
F V V
F F F
9) a) Demuestre que las siguientes equivalencias
lógicas
20
ii) (p q) p p (una de las leyes de
absorción)
p q p q (p q)
p
V V V V V
V F V V V
F V V F V
F F F F V
1 2
12

21. 9) a) Demuestre que las siguientes equivalencias
lógicas
21
iii) ~(p q) ~p ~ q (una de las leyes de De
Morgan)
p q ~p ~q p q ~(p q) ~p ~ q
V V F F V F V
V F F V F V
F V V F F
F F V V V V
p q ~p ~q p q ~(p q) ~p ~ q
V V F F V F F V
V F F V F V F V
F V V F F V F V
F F V V F V V V
1 2
1 2

22. 9) a) Demuestre que las siguientes equivalencias
lógicas
22
iv) ~(p→ q) p ~ q (una de las leyes de la
condicional)
p q ~q p→ q ~(p→ q) p ~ q
V V F V
V F V
F V F
F F V V
p q ~q p→ q ~(p→ q) p ~ q
V V F V F F V
V F V F V V V
F V F V F F V
F F V V F F V
1 2
1 2

23. 9) a) Demuestre que las siguientes equivalencias
lógicas
23
v) ~(p↔ q) (p ~ q) (q ~ p) (ley de la bicondicional)
p q p q ~(p
q)
p ~ q q ~ p ˅
V V V
V F
F V
F F V
p q p q ~(p
q)
p ~ q q ~ p ˅
V V V F F F V
V F F V V F V
F V F V V V V
F F V F V F V
1 2 3
1 2 3

24. b) Demuestre las siguientes equivalencias lógicas
usando las Leyes Lógicas ya probadas
24
qqqpi)
qqpqqpCondladeLeyPor
qqqpAbsorciondeLeypory
qrpqrqpii)
qrqpqrqpcondladeleyPor
qrpqrqpdistribleyPor
Frqpr)qp(iii)
rqpr)qp(
rqprqpMorganDePor
FOpuestoslosdeLeyPor

25. 10) Encuentre la negación de las siguientes
proposiciones usando las equivalencias lógicas
convenientes. Exprese el resultado en lenguaje
simbólico y coloquial.25
a)Hoy llueve o hace frio
p:Hoy llueve
q: Hoy hace frio
La frase dada es: p v q
Su Negación:
¬ (p v q) ¬p Λ ¬q)
Lenguaje coloquial
“Hoy , ni llueve ni hace frio”

26. b) Salgo de paseo y estudio.
p: Salgo de paseo
q: Estudio
La frase dada es :
p q
Lenguaje coloquial
“No salgo de paseo o no estudio”
Esta frase es la negación de
~(p q) ≡ ~ p v qSu Negación:

27. c) Si se caen los precios de las acciones, perderé
dinero
p: Caen los precios de las acciones.
q: Perderé dinero.
p→ q
Lenguaje coloquial
“Caen los precios de las acciones y no perderé
dinero.”
¬(p→ q) ≡ p Λ ¬ q
27
Negación:

28. d) Sólo si vamos de paseo, pondré la correa
a mi perro
p:Vamos de paseo.
q: Pongo la correa a mi perro.
q→ p
Lenguaje coloquial
“Le puse la correa a mi perro y no fuimos de paseo”
¬(q→ p) ≡ q Λ ¬ p
28
Negación:

29. e) El mineral es metal si y sólo si es buen
conductor de la electricidad
p: el mineral es metal.
q: el mineral es buen conductor de la
electricidad
p q
Lenguaje coloquial
“El mineral es metal y no es buen conductor de electricidad o , es buen
conductor de electricidad y no es metal”
¬(p q) ≡(p Λ ¬ q)˅(q Λ ¬ p)
29
Negación:

30. 11a) Escriba una subrutina que genere la tabla de
verdad de (~p ν q) Λ r
b) Escriba una subrutina que demuestre la
implicación lógica p Λ q p
c) Escriba una subrutina que demuestre la
equivalencia lógica ~(p→ q) p ~ q
30

31. 12) a)Establezca si el argumento dado es válido
o no. Justifique su respuesta.
31
Seré famoso o seré escritor
No seré escritor
∴ Seré famoso
p v q
¬q
El razonamiento es válido
por el Silogismo Disyuntivo
En forma simbólica, sean:
p: Seré famoso q: Seré escritor
p

32. 12) b)Establezca si el argumento dado es válido
o no. Justifique su respuesta.
32
Hay escasez de nafta
Si las empresas petroleras están en crisis , hay
escasez de nafta
∴ Las empresas petroleras están en crisis
p
q → p
El razonamiento no es válido (lo
demostramos con la tabla de verdad)
En forma simbólica, sean:
p: Hay escasez de nafta
q: las empresas petroleras están en crisis
q

33. pΛ(q → p) q
p q q → p pΛ(q → p) pΛ(q → p) →q
V V V V V
V F V V F
F V F F V
F F V F V
Contingencia, por lo tanto el razonamiento
no es válido

34. 13) Establezca la validez de los siguientes
razonamientos. Realice una derivación formal de la
conclusión, usando cualquier método de
demostración34
a) p Λ q →r , ¬r ν t , ¬t ⇒ ¬p ν ¬q
Por demostración directa
Pasos Justificación
1. p Λ q →r Premisa
2. ¬r ν t Premisa
3. ¬t Premisa
4. ¬r 2 y 3 ,Silogismo disyuntivo
5. ¬( p Λ q) 1 y 4 ,ModusTollens
6. ¬p ν ¬q 5, Leyes de De Morgan
Se mostro que si las premisas son verdaderas, la conclusión también lo es. Por lo
tanto el razonamiento es válido

35. 13) Establezca la validez de los siguientes
razonamientos. Realice una derivación formal de la
conclusión, usando cualquier método de
demostración35
b) p ν q , p→r , q→r ⇒ r
Por demostración indirecta (por contradicción)
Pasos Justificación
1. p ν q Premisa
2. p→r Premisa
3. q→ r Premisa
4. ¬r Niego la conclusion
5. ¬p 2 y 4, ModusTollens
6. ¬q 3 y 4, ModusTollens
7. ¬ p Λ ¬ q 5 y 6 ,Ley de Combinacion
8. ¬(p ν q) 7, Ley de De Morgan
9. F 1 y 8 , Contradiccion
Esta contradicción vino de haber supuesto que mientras las premisas son
verdaderas la conclusión no lo era. Por lo tanto r es verdadero y
el razonamiento es válido

36. 13) Establezca la validez de los siguientes
razonamientos. Realice una derivación formal de la
conclusión, usando cualquier método de
demostración36
c) p→q , p→ ¬q ⇒ ¬p
Por demostración indirecta (por contradicción)
Pasos Justificación
1. p→q Premisa
2. p→ ¬q Premisa
3. ¬ ¬ p Niego la conclusion
4. p 3, ley de la negacion
5. q 1 y 4, Modus Ponens
6. ¬q 2 y 4, Modus Ponens
6. F 5 y 6 , Contradicción
Esta contradicción vino de haber supuesto que mientras las premisas son
verdaderas la conclusión no lo era. Por lo tanto ¬p es verdadero y
el razonamiento es válido

37. 13) Establezca la validez de los siguientes
razonamientos. Realice una derivación formal de la
conclusión, usando cualquier método de
demostración37
d) p → q ν r , p→ ¬q , p ⇒ ¬r
Por demostración directa
Pasos Justificación
1. p → q ν r Premisa
2. p→ ¬q Premisa
3. p Premisa
4. ¬q 2 y3, Modus Ponens
5. q ν r 1 y 3, Modus Ponens
6. r 4 y 5, Silog disyuntivo
El razonamiento no es válido ya que , si las premisas son verdaderas, la
conclusion a la que se llega es r.

38. 14) Complete los siguientes esquemas lógicos agregando
una conclusión de tal modo que resulten razonamientos
validos
a) p →q r
~q ~r
… …
Reglas Justificación
1. p →q r Premisa
2. ~q ~r Premisa
3. ~(q r) 2,Ley de De Morgan
4. ~p 1y 3,ModusTollens
p →q r
~q ~r
~p
SE obtuvo por Demostración directa

39. 14) Complete los siguientes esquemas lógicos agregando
una conclusión de tal modo que resulten razonamientos
validos
b) p q r
p → ~t
… …
Reglas Justificación
1. p q r Premisa
2. p → ~t Premisa
3. p 1,Ley de Simplificación
4. ~t 2y 3, Modus Ponens
p q r
. p → ~t .
~t
Se obtuvo por demostración directa

40. 15) Lea las siguientes frases, a) extraiga los
predicados
Considerando el conjunto de los estudiantes entonces:
i)Todos los estudiantes mayores de 25 años trabajan
P(x) : ‘ x es mayor de 25 años’
Q(x) : ‘x trabaja’
ii) Ningún estudiante aprobó el examen
A(x) : ‘ x aprobó el examen’
iii) Existen dos compañeros que viven en la misma pensión
P(x,y): ‘x vive en la misma pensión que y’
iv) Algún estudiante presta sus apuntes a todos sus
compañeros.
Q(x,y): ‘x presta sus apuntes a y’
40

41. 15) Lea las siguientes frases, b) exprese las
frases en lenguaje simbólico
i)Todos los estudiantes mayores de 25 años trabajan
P(x) : ‘ x es mayor de 25 años’ y Q(x) : ‘x trabaja’
x, [P(x) Q(x) ]
ii) Ningún estudiante aprobó el examen
A(x) : ‘ x aprobó el examen’
~x,A(x)
iii) Existen dos compañeros que viven en la misma pensión
P(x,y): ‘x vive en la misma pensión que y’
xy , P(x,y)
iv) Algún estudiante presta sus apuntes a todos sus compañeros.
Q(x,y): ‘x presta sus apuntes a y’
x  y , Q(x,y)
41

42. 15) Lea las siguientes frases, c) Niegue en
forma simbólica y coloquial
i)Todos los estudiantes mayores de 25 años trabajan
P(x) : ‘ x es mayor de 25 años’ y Q(x) : ‘x trabaja’
~ x, [P(x) Q(x) ] ˅x, ~ [P(x) Q(x) ] ˅
˅x, [P(x) ~Q(x) ]
Algun estudiante es mayor de 25 años y no trabaja
ii) Ningún estudiante aprobó el examen
A(x) : ‘ x aprobó el examen’
~ [~x,A(x)] ˅x,A(x)
Algun estudiante aprobó el examen
42

43. 15) Lea las siguientes frases, c) Niegue en
forma simbólica y coloquial
iii) Existen dos compañeros que viven en la misma pensión
P(x,y): ‘x vive en la misma pensión que y’
~[xy , P(x,y)] ˅xy, ~P(x,y)
Todos los compañeros no comparten pensión con ningún
compañero
iv) Algún estudiante presta sus apuntes a todos sus compañeros.
Q(x,y): ‘x presta sus apuntes a y’
~[x  y , Q(x,y)] ˅˅x y, ~Q(x,y)
Todos los estudiantes no prestan los apuntes a algún compañero
43

44. 16)Suponga que x, y son números naturales.
Sean P(x): x >3, Q(x): x < 0, R(x, y): x =y
Niegue las siguientes expresiones en forma
simbólica y coloquial
a) ∃x Q(x)
¬ ∃x Q(x) ˅x , ~Q(x)
“Todos los números naturales no son menores que cero” o
“Ningún numero natural es menor que cero”
b) x P(x)
¬ x P(x) ˅∃ x , ~P(x)
“Existe un numero natural que no es mayor que 3”
44

45. 16)Suponga que x, y son números naturales.
Sean P(x): x >3, Q(x): x < 0, R(x, y): x =y
Niegue las siguientes expresiones en forma
simbólica y coloquial
c) x y R(x,y)
~ x y R(x,y) ˅∃ x ∃y , ~R(x,y)
“Algún par de números naturales no son iguales”
d) ∃ x [~Q(x) ~P(x)]
~ ∃ x [~Q(x) ~P(x)] ˅ x , [Q(x) ˅P(x)]
“Todos los números naturales son, menores que cero o mayores
que tres”
45

46. 16)Suponga que x, y son números naturales.
Sean P(x): x >3, Q(x): x < 0, R(x, y): x =y
Niegue las siguientes expresiones en forma
simbólica y coloquial
e) ∃ x y R(x,y)
~ ∃ x y R(x,y) ˅ x ∃y , ~R(x,y)
“Cualquier número natural es distinto a algún numero
natural”
f) ∃ x ∃ y R(x,y)
~ ∃ x ∃ y R(x,y) ˅ x y , ~R(x,y)
“Todo número natural es distinto a cualquier numero natural”
46

47. 47

48. 5) b) Suponga que x, y son números naturales. Sean
P(x): x es par, Q(x): x <0, R(x, y): x + y =2.
c) ∀x ∀ y R(x, y) : “La suma de todo número natural con
cualquier otro natural da como resultado dos”
Su valor de verdad es F, ya que si x=2 e y=2, resulta x+y=
2+2=4.
d) ∃x[ ¬Q(x) Λ ¬P(x) ]
¬ Q(x): ‘x ≥0’
¬ P(x): x no es par
“Existe algún número natural que es no negativo y no es
un número par”
Su valor de verdad es V, ya que por ejemplo el número
natural 9 no es negativo y tampoco es un número par
48

49. 5) b) Suponga que x, y son números naturales. Sean
P(x): x es par, Q(x): x <0, R(x, y): x + y =2.
e) ∃x ∀y R(x, y) se puede leer
“Existe algún número natural que sumado a cualquier otro
número da como resultado dos”
Su valor de verdad es F, ya que solo se cumple para un
valor determinado de x e y.
f) ∃x ∃ y R(x, y)
“Existe algún número natural que sumado a algún otro
número da como resultado dos”
Su valor de verdad es V, ya que para x=1 e y=1 se
cumple se cumple R(x,y)

50. 6) a) Escriba las siguientes proposiciones en termino de
predicados y cuantificadores. Encuentre el valor de verdad
en cada apartado
Sean los siguientes predicados:
P(x): x es número par, Q(x): x es número primo
S(x): x es positivo
i)Todo entero es un número par
x Z, P(x)
Su valor de verdad es F ,por ejemplo 3 es entero impar
ii) Ningún entero positivo primo es par.
¬ ∃ x Z [S(x) Q(x) P(x)]
Su valor de verdad es F porque 2 es primo y par
50

51. 6) a) Escriba las siguientes proposiciones en termino de predicados y
cuantificadores. Encuentre el valor de verdad en cada apartado
Sean los siguientes predicados:
E(x): x es raíz de la ecuación x3 = x2
D(x): x es divisor de 6
S(x): x es positivo
iii)Algún número real positivo es raíz de la ecuación x3 = x2
∃ x R [S(x) E(x)]
Verdadero, para x=1
51

52. 6) a) Escriba las siguientes proposiciones en termino de predicados y
cuantificadores. Encuentre el valor de verdad en cada apartado
Sean los siguientes predicados:
P(x): x < 1
S(x): x es positivo
iv) 1 es mayor que algún entero positivo
∃ x Z, [ S(x) P(x)]
Falso

53. 6) -b)Exprese verbalmente y encuentre el valor de verdad
de las siguientes afirmaciones.
i) x ℝ, x2 +1 >0
“Todo número real satisface la inecuación x2 +1 >0”
Su valor de verdad es V puesto que x2 0 y por lo tanto
x2 +1 > 1 > 0
ii) ∃n ℕ, [n es impar y 3n es par]
“Existe un número natural impar cuyo triplo es par”
Su valor de verdad es F, puesto que el triple de todo
número impar es otro impar. Para ver esto,
examinemos que 3 (2n+1)=6n+3 ; par + impar =impar
53

54. 6) -b)Exprese verbalmente y encuentre el valor de verdad
de las siguientes afirmaciones.
iii) ∃n ℕ, [n es impar y 3+n es par]
“Existe un número natural impar que sumado a 3 da un
número par”
Su valor de verdad es V, puesto que existe x = 1 que cumple
la condición que sumado a 3 es par.
iv) n ℕ, [n >0 y n < 1]
“Todo número natural es mayor que cero y menor que 1”
Su valor de verdad es F, puesto que 1 es el primer
elemento del conjunto de números naturales.

55. 15) Establezca la validez de los siguientes razonamientos. Realice
una derivación formal de la conclusión, usando cualquier método
de demostración
a)p Λ q →r, ¬r ν t, ¬t ⇒ ¬p ν ¬q
Por demostración directa
Pasos
1. p Λ q →r
2. ¬r ν t
3. ¬t
4. ¬r
5. ¬( p Λ q)
6. ¬p ν ¬q
El razonamiento es válido
Justificación
Premisa
Premisa
Premisa
2 y 3 ,Silogismo disyuntivo
1 y 4 ,ModusTollens
5, Leyes de De Morgan
55

56. b) p q, p →r, q →r ⇒r
lo demostramos por contradicción
Pasos
1.p q
2.p →r
3.q →r
4.¬r
5. ¬p
6. ¬q
7. q
8. q ¬q
9. F
Justificación
Premisa
Premisa
Premisa
Negacion de la conclusion
2 y 4 , ModusTollens
3 y 4 , ModusTollens
1 y 5 . Silogismo Disyuntivo
6 y 7, Ley de Combinacion
8, Ley de los inversos
Esta contradicción vino de haber supuesto ¬r. Por lo tanto vale r,
con lo que esta demostrado que el razonamiento es válido
56

57. c)p →q, p →¬q ⇒ ¬p
lo demostramos por contradicción
1.p →q
2.p →¬q
3. p
4. q
5. ¬q
6. q ¬q
7. F
Premisa
Premisa
Niego la conclusion
1 y 3, Modus Ponens
2 y 3, Modus Ponens
4 y 5, Ley de combinación
6, Ley de los inversos
Esta contradiccion que vino de haber supuesto que no se cumplía la conclusión
Por lo tanto el razonamiento es válido
57

58. d) p →q r , p →~q , p ⇒ ~r
Reglas
1. p →q r
2. p →~q
3. p
4. q r
5. ~ q
6. ~r
Justificación
Premisa
Premisa
Premisa
1 y 3 ,Modus Ponens
2 , 3 ,Modus Ponens
4y5, Silogismo disyuntivo
Demostración directa

59. 16) Complete los siguientes esquemas lógicos agregando
una conclusión de tal modo que resulten razonamientos
validos
a) p →q r
~q ~r
… …
Reglas Justificación
1. p →q r Premisa
2. ~q ~r Premisa
3. ~(q r) 2,Ley de De Morgan
4. ~p 1y 3,ModusTollens
p →q r
~q ~r
~p
SE obtuvo por Demostración directa

60. Paso Inductivo : Suponer que P(k) es verdadero, esto es
12
=
1
3
1 2.1 + 1 2.1 − 1 =
1
3
. 1.3.1
a) 12
+ 32
+ 52
+ ⋯ + 2n − 1 2
=
1
3
n 2n + 1 2n − 1
12
+ 32
+ 52
+ ⋯ + 2k − 1 2
=
1
3
k 2k + 1 2k − 1
12
+ 32
+ 52
+ ⋯ + 2k + 1 2
=
1
3
k + 1 2k + 1 2k + 3
Se debe probar que P(k+1) es verdadero, esto es
17) Usando el Principio de Inducción demuestre que para
toda n ∈ ℕ se cumple que:
Entonces P(1) es verdadero
60
Paso base

61. Entonces queda probado que
12
+ 32
+ 52
+ ⋯ + 2n − 1 2
=
1
3
n 2n + 1 2n − 1 ∀n ∈ ℕ
61
Partiendo del 1º miembro de la igualdad que se quiere probar

62. Paso Inductivo: Supongo que P(k) es verdadero
1 = 12
1 + 3 + 5 + ⋯ + (2k − 1) = k2
1 + 3 + 5 + ⋯ + (2k + 1) = k + 1 2
b) 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2n − 1) = n2
1 + 3 + 5 + ⋯ + 2k − 1 + 2k + 1 = k2
+ 2k + 1
62
Paso base: Entonces P(1) es verdadero
Se debe probar que P(k+1) es verdadero
Partiendo del 1º miembro y usando la hipótesis se tiene que
= k2
+ 2k + 1 = k + 1 2
Por lo tanto P(k+1)es verdadero
1 + 3 + 5 + ⋯ + 2n − 1 = n2
∀n ∈ ℕQueda probado que: