Crecimiento tumoral fractal y análisis de interfaz en

Geometría del crecimiento tumoral
Análisis, fenomenología y teoría de los sistemas complejos: Interfaces entre disciplinas
Geometría del Crecimiento Tumoral
Miguel Martín Landrove
Centro de Física Molecular y Médica, Facultad de Ciencias, UCV
Centro de Visualización Médica, Instituto Nacional de Bioingeniería, UCV
Centro de Diagnóstico Docente Las Mercedes
Caracas, Venezuela

• Geometría del crecimiento tumoral. Parámetros de crecimiento.
Análisis por escalamiento.
• Modelo de crecimiento tumoral en cerebro.

La generación espontánea de interfaces fractales ha sido observada en muchos
procesos naturales. La hipótesis básica es que el objeto exhibe auto-similaridad y no
presenta una longitud característica. Bajo estas condiciones, la interfaz escala cómo:
ℎ 𝑥, 𝑡 ~𝑏−𝛼ℎ 𝑏𝑥, 𝑡
con 𝛼 > 0
Se propone una ecuación del tipo Langevin:
𝜕ℎ(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
= 𝐹 + 𝐺 ℎ 𝑥, 𝑡 + 𝜂(𝑥, 𝑡)
Fractal analysis and tumour growth, A. Brú, D. Casero, S. de Franciscis, M.A. Herrero,
Mathematical and Computer Modelling 47, 546–559 (2008).

con 𝛼 > 0
𝜕ℎ(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
= 𝐹 + 𝐺 ℎ 𝑥, 𝑡 + 𝜂(𝑥, 𝑡)
Interfaz

con 𝛼 > 0
𝜕ℎ(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
= 𝐹 + 𝐺 ℎ 𝑥, 𝑡 + 𝜂(𝑥, 𝑡)
Proliferación celular

con 𝛼 > 0
𝜕ℎ(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
= 𝐹 + 𝐺 ℎ 𝑥, 𝑡 + 𝜂(𝑥, 𝑡)
Invasión celular

con 𝛼 > 0
𝜕ℎ(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
= 𝐹 + 𝐺 ℎ 𝑥, 𝑡 + 𝜂(𝑥, 𝑡)
Ruido

La rugosidad de la interfaz ℎ 𝑥, 𝑡 esta caracterizada por el espesor de la interfaz:
𝑊 𝐿, 𝑡 = ℎ 𝑥, 𝑡 − ℎ(𝑡)
2
𝐿
1/2

𝑊 𝐿, 𝑡 = ℎ 𝑥, 𝑡 − ℎ(𝑡)
2
𝐿
1/2
Variable de interfaz promedio
sobre todo el sistema de
tamaño L

𝑊 𝐿, 𝑡 = ℎ 𝑥, 𝑡 − ℎ(𝑡)
2
𝐿
1/2
: Promedio sobre n
realizaciones

𝑊 𝐿, 𝑡 = ℎ 𝑥, 𝑡 − ℎ(𝑡)
2
𝐿
1/2
La función de correlación de la variable de interfaz ℎ 𝑥, 𝑡 esta dada por:
𝐶 𝑙, 𝑡 = ℎ 𝑥, 𝑡 − ℎ(𝑥 + 𝑙, 𝑡) 2
𝐿

El espectro de potencia de la variable de interfaz es:
𝑆 𝑘, 𝑡 = ℎ 𝑘, 𝑡 ℎ −𝑘, 𝑡
donde ℎ 𝑘, 𝑡 = 𝐿−1/2
ℎ 𝑥, 𝑡 − ℎ(𝑡) exp(𝑖𝑘𝑥)𝑥
Se relaciona con las cantidades anteriores 𝐶 𝑙, 𝑡 y 𝑊 𝐿, 𝑡 , mediante
𝐶 𝑙, 𝑡 ~
𝑑𝑘
2𝜋
1 − cos 𝑘𝑙 𝑆(𝑘, 𝑡)
𝜋/𝑎
2𝜋/𝐿
𝑊2
𝐿, 𝑡 =
𝑑𝑘
2𝜋
𝑆(𝑘, 𝑡)

El espectro de potencia de la variable de interfaz es:
𝑆 𝑘, 𝑡 = ℎ 𝑘, 𝑡 ℎ −𝑘, 𝑡
donde ℎ 𝑘, 𝑡 = 𝐿−1/2
ℎ 𝑥, 𝑡 − ℎ(𝑡) exp(𝑖𝑘𝑥)𝑥
Se relaciona con las cantidades anteriores 𝐶 𝑙, 𝑡 y 𝑊 𝐿, 𝑡 , mediante
𝐶 𝑙, 𝑡 ~
𝑑𝑘
2𝜋
1 − cos 𝑘𝑙 𝑆(𝑘, 𝑡)
𝜋/𝑎
2𝜋/𝐿
𝑊2
𝐿, 𝑡 =
𝑑𝑘
2𝜋
𝑆(𝑘, 𝑡)
Generic Dynamic Scaling in Kinetic Roughening, J.J. Ramasco, J.M. López, M.A. Rodríguez, Phys. Rev.
Lett. 84, 2199-2202 (2000)

El comportamiento típico del espesor de la interfaz 𝑊 𝐿, 𝑡 es el siguiente:
Tiempos muy cortos: 𝑊 𝐿, 𝑡 ~𝑡 𝛽
, donde 𝛽 se denomina exponente de
crecimiento.
Tiempos largos: 𝑊 𝐿, 𝑡 = 𝑊𝑠𝑎𝑡, esto sucede después de un tiempo de
transición entre los dos regímenes, 𝑡 𝐶, para el cual la longitud de correlación
lateral alcanza y supera el tamaño 𝐿 del sistema.
Ambas cantidades 𝑊𝑠𝑎𝑡 y 𝑡 𝐶 dependen de las dimensiones del sistema,
𝑊𝑠𝑎𝑡 𝐿 ~𝐿 𝛼, 𝛼: exponente de rugosidad
𝑡 𝐶~𝐿 𝑧
, 𝑧 =
𝛼
𝛽
: exponente dinámico

Ansatz de Family-Vicsek.
𝑊 𝐿, 𝑡 = 𝑡 𝛼/𝑧
𝑓
𝐿
𝜁(𝑡)
, 𝑓 𝑢 ~
𝑢 𝛼 𝑠𝑖 𝑢 ≪ 1
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑠𝑖 𝑢 ≫ 1
𝜁 𝑡 ~𝑡1/𝑧
comportamiento de la longitud de correlación lateral en
estado estacionario
Lo que reproduce:
𝑊 𝐿, 𝑡 ~𝑡 𝛽 para tiempos pequeños,
𝐿
𝜁(𝑡)
≫ 1
𝑊 𝐿, 𝑡 ~𝐿 𝛼
para estado estacionario, 𝜁 𝑡 ≫ 𝐿
Además, 𝛼 + 𝑑 𝑓 = 𝑑 𝐸, donde 𝑑 𝑓 es la dimensión fractal de la interfaz y
𝑑 𝐸 es la dimensión Euclídea del espacio que contiene la interfaz.
Dynamics of fractal surfaces, F. Family and T. Viseck, World Scientific, Singapore, 1991.

La existencia de un escalamiento dinámico, mediante el ansatz de
Family-Vicsek y la ausencia de una longitud de escala característica
permite establecer en forma similar el espesor local 𝑤 𝑙, 𝑡 que mide
las fluctuaciones de la interfaz para 𝑙 ≪ 𝐿. Igualmente para 𝑡 𝐶 𝑙 ~𝑙 𝐶
𝑧
donde 𝑙 𝐶 es la longitud de coherencia para la fluctuación local,
tenemos 𝑤 𝑙, 𝑡 ≫ 𝑡 𝐶 𝑠𝑎𝑡~𝑙 𝛼 𝑙𝑜𝑐 y para 𝑡 ≪ 𝑡 𝐶, 𝑤 𝑙, 𝑡 ~𝑡 𝛽
.
𝑤 𝑙, 𝑡 = 𝑟 𝑥, 𝑡 − 𝑟(𝑡) 2
𝑙 𝐿
1/2
donde en este caso, 𝑙 representa un promedio sobre un subconjunto
𝑙 , 𝑟(𝑡) el promedio del radio de la interfaz en ese mismo subconjunto
y 𝐿 el promedio sobre el tamaño total, 𝐿.
Super-roughening versus intrinsic anomalous scaling of surfaces, J.M. López, M.A. Rodríguez,
R. Cuerno, Phys. Rev. E 56, 3993 (1997).
Super-rough dynamics on tumor growth, A. Brú, J.M. Pastor, I. Fernaud, I. Brú, S. Melle, C.
Berenguer, Phys. Rev. Lett. 81(18), 4008-4011 (1998).

Cuando 𝑤 𝑙, 𝑡 difiere de 𝑊 𝐿, 𝑡 , entonces:
𝑤 𝑙, 𝑡 ~𝑙 𝛼 𝑙𝑜𝑐, 𝑊 𝐿, 𝑡 ~𝐿 𝛼
, 𝑡 ≫ 𝑡 𝐶
Los sistemas con 𝛼 > 1 se denominan super-rugosos. Para estos
sistemas no se cumplen las relaciones anteriores, sino un nuevo
comportamiento en un régimen temporal intermedio 𝑙 𝑧 ≪ 𝑡 ≪ 𝐿 𝑧,
caracterizado por un exponente de crecimiento, 𝛽∗
, tal que
𝑤 𝑙, 𝑡 ≫ 𝑙 𝑧
~𝑙𝑡 𝛽∗
, 𝛽∗
= 𝛽 −
𝛼𝑙𝑜𝑐
𝑧
Igualmente debe cumplirse 𝛼𝑙𝑜𝑐 + 𝑑 𝑓 = 𝑑 𝐸

Cuando 𝑤 𝑙, 𝑡 difiere de 𝑊 𝐿, 𝑡 , entonces:
𝑤 𝑙, 𝑡 ~𝑙 𝛼 𝑙𝑜𝑐, 𝑊 𝐿, 𝑡 ~𝐿 𝛼
, 𝑡 ≫ 𝑡 𝐶
Los sistemas con 𝛼 > 1 se denominan super-rugosos. Para estos
sistemas no se cumplen las relaciones anteriores, sino un nuevo
comportamiento en un régimen temporal intermedio 𝑙 𝑧 ≪ 𝑡 ≪ 𝐿 𝑧,
caracterizado por un exponente de crecimiento, 𝛽∗
, tal que
𝑤 𝑙, 𝑡 ≫ 𝑙 𝑧
~𝑙𝑡 𝛽∗
, 𝛽∗
= 𝛽 −
𝛼𝑙𝑜𝑐
𝑧
Igualmente debe cumplirse 𝛼𝑙𝑜𝑐 + 𝑑 𝑓 = 𝑑 𝐸
Dynamics of fractal surfaces, F. Family and T.
Viseck, World Scientific, Singapore, 1991.

𝑣 = 2.9 ± 0.1 𝜇𝑚/ℎ

𝑑 𝑓 = 1.21 ± 0.05

𝛼𝑙𝑜𝑐 = 0.87 ± 0.05

𝛼𝑙𝑜𝑐 = 0.87 ± 0.05
𝛼𝑙𝑜𝑐 = 0.87 ± 0.05
𝛼 = 1.5 ± 0.1
𝑧 = 4.0 ± 0.2
𝛽 = 0.375 ± 0.03
𝛽∗ = 0.15 ± 0.05

𝛼𝑙𝑜𝑐 = 0.87 ± 0.05
𝛼𝑙𝑜𝑐 = 0.87 ± 0.05
𝛼 = 1.5 ± 0.1
𝑧 = 4.0 ± 0.2
𝛽 = 0.375 ± 0.03
𝛽∗ = 0.15 ± 0.05
𝑀𝐵𝐸

The universal dynamics of tumor growth, A. Brú, S. Albertos, J.L. Subiza, J. López García-
Asenjo, I. Brú, Biophysical Journal 85, 2948–2961 (2003).

Fractal Properties and Critical Exponents in Tumor, M. Martín-Landrove, D. Pereira, Ciencia, 16
(2), 203 – 207 (2008)

3-D in vivo brain tumor geometry study by scaling analysis, F. Torres Hoyos, M. Martín-
Landrove, Physica A 391, 1195-1206 (2012).

Localización
de la lesión

Definición
de Región
de Interés
(ROI)

Histograma

Voxeles
seleccionados

Selección
corte por
corte

Imagen 3D
contraste
modificado
Interfaz
digitalizada

      2
1
2
3
2
2
2
1
2
31
2
32
2
21















GBM

GL

MT

TB

Tipo Casos αloc r2(αloc)
Glioblastoma †‡§ 107 0.867 ± 0.054 0.999
Glioma Grado I 19 0.813 ± 0.084 0.998
Glioma Grado II 11 0.855 ± 0.072 0.998
Glioma Grado III 7 0.863 ± 0.099 0.998
Metastasis ‡§ 47 0.809 ± 0.114 0.998
Neurinoma del acústico ‡§ 64 0.743 ± 0.100 0.999
Meningioma ‡§ 118 0.778 ± 0.086 0.999
Craniofaringioma 1 0.714 0.997
Adenoma pituitario ‡ 9 0.763 ± 0.082 0.998
LOE ‡§ 42 0.797 ± 0.088 0.998
• Centro de Diagnóstico Docente Las Mercedes
• The Cancer Imaging Archive, National Cancer Institute †
• Centro Hemato Oncológico y Radiocirugía, Dr. Domingo Luciani ‡
• GURVE, Centro Médico Docente La Trinidad §

𝛼𝑙𝑜𝑐 = 0.87 ± 0.05
𝑑 𝑓 = 2.16 ± 0.14
𝛼𝑙𝑜𝑐 + 𝑑 𝑓 = 3.01 ± 0.19
𝛼𝑙𝑜𝑐 = 0.78 ± 0.09
𝑑 𝑓 = 2.02 ± 0.15
𝛼𝑙𝑜𝑐 + 𝑑 𝑓 = 2.79 ± 0.22

𝜕𝑐
𝜕𝑡
= 𝛻 ∙ 𝐷 𝑟 𝛻𝑐 + 𝜌𝑐
Virtual brain tumours (gliomas) enhance the reality of medical imaging and highlight
inadequacies of current therapy, K.R. Swanson, E.C. Alvord Jr., J.D. Murray, British Journal of
Cancer 86, 14–18 (2002).

Continuous growth of mean tumor diameter in a subset of Grade II gliomas, E. Mandonnet, J.-
Y. Delattre, M.-L. Tanguy, K.R. Swanson, A.F. Carpentier, H. Duffau, P. Cornu, R. Van Effenterre,
E.C. Alvord, Jr., L. Capelle, Ann Neurol 53, 524–528 (2003).

Continuous growth of mean tumor diameter in a subset of Grade II gliomas, E. Mandonnet, J.-
Y. Delattre, M.-L. Tanguy, K.R. Swanson, A.F. Carpentier, H. Duffau, P. Cornu, R. Van Effenterre,
E.C. Alvord, Jr., L. Capelle, Ann Neurol 53, 524–528 (2003).
0.00113
𝑐𝑚
𝑑í𝑎
, 3.8 − 4.4
𝑚𝑚
𝑎ñ𝑜

0,010
0,009
0,008
0,007
0,006
0,005
0,004
0,003
0,002
0,001
0,000
Materia Gris, 𝐷𝑔 = 0.002
𝑚𝑚2
𝑑í𝑎
Brainweb : On line interface to a 3d mri simulated brain database, C. Cocosco, V. Kollokian, R.
Kwan, and A. Evans, in Neuroimage, Proceedings of the Third International Conference on the
Funtional Mapping of the Human Brain, volume 5, Copenhagen, 1997.

0,010
0,009
0,008
0,007
0,006
0,005
0,004
0,003
0,002
0,001
0,000
Materia Blanca, 𝐷𝑔 = 0.010
𝑚𝑚2
𝑑í𝑎
Brainweb : On line interface to a 3d mri simulated brain database, C. Cocosco, V. Kollokian, R.
Kwan, and A. Evans, in Neuroimage, Proceedings of the Third International Conference on the
Funtional Mapping of the Human Brain, volume 5, Copenhagen, 1997.

𝜕𝑐
𝜕𝑡
= 𝛻 ∙ 𝐷 𝑟 𝛻𝑐 + 𝜌𝑐 1 −
𝑐
𝑐 𝑚
Parámetros Valor Referencia
m
c 35
/10 mmcélulas Jbabdi et al. 2005
bajo
 13
102.1 
 dias Swanson 1999
alto
 12
102.1 
 dias Swanson 1999
g
D díamm /100.2 23
 Tracqui et al. 1995
w
D díamm /10 22 Tracqui et al. 1995
0
c 3
/200 mmcélulas Jbabdi et al. 2005
Estudio in vivo de la dinámica del crecimiento tumoral cerebral mediante el análisis de
escalamiento, F. Torres Hoyos, Trabajo Doctoral (2012).

Alto grado

Bajo grado

Grado N df αloc r2
(df) r2
(αloc)
Alto 7 2.04±0.08 0.95±0.02 0.998 0.999
Bajo 17 2.28±0.04 0.71±0.05 0.997 0.998

0.413
Brain Tumors: A Scaling Analysis Approach, F. Torres-Hoyos, M. Martín-Landrove, Proceedings of
CIMENICS’2012, BSB 55 – 60 (2012).

0.718
CIMENICS’2012, BSB 55 – 60 (2012).

0.445
CIMENICS’2012, BSB 55 – 60 (2012).

0.965
CIMENICS’2012, BSB 55 – 60 (2012).

j
R
i
dij
VR
Geometry of Tumor Growth in Brain, M. Martín-Landrove, F. Torres-Hoyos, Proceedings of
CIMENICS’2014, MM 1 – 6 (2014).
𝑓𝑗 =
1
𝑁 𝑉 𝑅
(1 − 𝐶𝑖)𝑥𝑒
−
𝑑 𝑖𝑗
2
𝐷 𝐺
2
𝑖∈𝑉 𝑅

0.0024 0.0036 0.0048 0.0060
20 15 13 11
ρ
CIMENICS’2014, MM 1 – 6 (2014).

CIMENICS’2014, MM 1 – 6 (2014).

0.0024 0.0036 0.0048 0.0060ρ
CIMENICS’2014, MM 1 – 6 (2014).

Comportamiento
maligno
Comportamiento
benigno
CIMENICS’2014, MM 1 – 6 (2014).

2 3 4
5 6 7
Time (days)
500 1000 1500 2000 2500
Numberofvoxels
100
101
102
103
104
105
106
107
CLASS 1
CLASS 2
CLASS 3
CLASS 4
A Simple Approach to Account for Cell Latency and Necrosis in a Brain Tumor Growth Model, J.
Rojas, R. Plata, M. Martín-Landrove, Proceedings of CIMENICS’2014, MM 13 – 18 (2014).

A Simple Approach to Account for Cell Latency and Necrosis in a Brain Tumor Growth Model, J.
Rojas, R. Plata, M. Martín-Landrove, Proceedings of CIMENICS’2014, MM 13 – 18 (2014).

Integrantes y colaboradores:
Miguel Martín Landrove CFMM, INABIO, CDD
Marco Paluszny, UNC, Medellín
Wuilian Torres, FII, CGA
Giovanni Figueroa, CGA
Gabriel Padilla, UNC, Bogotá
Rafael Martín Landrove, CFMM, CEFITEC
Nuri Hurtado, CEFITEC
Francisco Torres Hoyos, UC, Montería
Antonio Brú, UCM, Madrid
Antonio Rueda, CCG, INABIO
Marcel Prastawa, GE Global Research, Albany
Gustavo Carrero, CS, CDD
Francisco González, CFMM, HDL
Miguel Yánez, CFMM, GURVE LT
Omar León, CFMM, FM CA
Jhonalbert Aponte, CFMM, OLR
Angelina Fantasia, CFMM
Johan Rojas, CFMM
Rixy Plata, CFMM
David Grande, CFMM
John García, CFMM
Lília García, CFMM, SEROFCA
mglmrtn@yahoo.com
http://www.scoop.it/t/project-virtual-tumor-cancer-in-silico
http://www.mendeley.com/groups/4077481/project-virtual-tumor-cancer-in-silico/
Tumor Virtual Cáncer in silico

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