algebra de vector y martiez

1. Recta y plano en el espacio

2. Un vector paralelo a L es aquello con
representación PQ. Entonces
P= (X1.Y2.Z1) Y Q=(X2. Y2. Z2)
formula v=PQ =(X2 –X1)I + (Y2-Y1)J + (Z2-Z1)K
(451)
Entonces PR es parabelo PQ, que a su vez es parabelo
a V que es por teorema 4,3,3 en la pagina 263
PR=TV (452)
La figura 435. Se tiene
OR=OP+PR (453)
Y la cambinar se obtiene
OR=OP+TV (454)

4. ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA Y
PARAMETRICA
• XI+YJ+ZK=X1I + Y1J + Z1K + T(X2-
X1)I+T(Y2-Y1)J + T(Z2-Z1)K
• X=X1+T(X2-X1)
• Y=Y1+T(Y2-Y1)
• Z=Z1+T(Z2-Z1) (455)
FORMULA

5. • DEFINIR X2 – X1 =A, Y2 - Y1 = B Y Z2 - Z1 =C SE
ENCUENTRA QUE SI A,B,C= 0
• FORMULA
• (456)
FORMULA

6. DETEMINACION DE LAS ECUACION DE
UNA RECTA
• ENCUENTRA LAS ECUACIONES VECTORIALES, PARAMETRICAS Y SIMETRICAS
DE LAS RECTA L QUE QUE PASA POR LOS PUNTOS P=(2,-1,6) Y Q =(3,1,-2)
POR EJEMPLO (X,Y,Z) Q Y P
• SOLUCION
•
• V= (3 - 2)I + [(1- (-1 )]J + (-2 – 6)K = I +2J - 8K.
• DESPUES DE (454 ) SI R= (X,Y,Z) SE OBTIENE
• OR = XI + YJ + ZK =
• OP + TV =2I – J + 6K + T(I +2J – 8K )
• X= 2 + T Y= -1 + 2T Z= 6 - 8T

7. • V =
• V = I +2J - 8K
• V = A= 1 B=2 C= -8
• EC. PARAMETRICAS EC. SIMETRICAS
• X= 2 + 1T
• Y= -1 + 2T
• Z= 6 - 8T 3= X – 2 = Y + 1 = Z – 6
• 1 2 -8
• 3*1=3 + 2 =5
• 3*2=6 -1 =5
• 3* -8= -24 + 6 = -18 (5,5,-18)
(3 - 2)I + [(1- (-1 )]J + (-2 – 6)K

8. • POR UTLIMO, COMO A=1 B=2 C= -8, LAS
ECUACIONES SIMETRICAS SON
• X – 2 = Y + 1 = Z – 6
• 1 2 -8
•
(457)

9. • SE COMPRUEBA QUE (2,-1,6 ) Y (3,1,-2 ) LOS PUNTOS (457)
• 2 – 2 = - 1 + 1 = 6 – 6 = 0
• 1 2 - 8
•
• 3 – 2 = 1 + 1 = - 2 – 6 = 1
• 1 2 - 8
• POR EJEMPLO SI T = 3
• 3= X – 2 = Y + 1 = Z - 6 (5,5,-18)
• 1 2 -8

10. OBTENCION DE LAS ECUACIONES
SIMETRICAS DE UNA RECTA
• LA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS (1,- 2,4) Y ES PARABELO
AL VECTOR Y = I + J – K
• SOLUCION SE UNA FORMULA (456) CON ´P = ( X1, Y1, Z1 )= ( 1,- 2,4) Y
QUE A= 1 B=1 C=-1
• X – 1 = Y + 2 = Z – 4
• 1 1 -1

11. plano
• Sea P un plano en el espacio y sea n un vector
dado diferente de cero. Entonces el conjunto de
todos los puntos Q (x,y,z) para lo que PQ . N=0
constituye un plano en R3
• P = (X0, Y0, Z0) UN VECTOR N = AI + BJ + CK
•
• Q= (X,Y,Z) PQ= (X – X0)I + (Y – Y0)J + (Z – Z0)K
• A(X – X0) + B(Y – Y0) + C(Z – Z0)=0
• (458)

12. ECUACION CARTESIANA DE UN PLANO
• FORMULA
• AX + BY + CZ = D
• DONDE D = AX0 + BY0 + CZ0 = OP . N
•
• (459)

13. EJEMPLO
• DE (458)
• UN PLANO Ñ QUE PASA POR EL PUNTO (2,5,1)
QUE TIENE UN VECTOR NORMAL N= I – 2J + 3K
• (X - 2) -2 (Y - 5) + 3 (Z - 1) = 0
• 1*2=2 -2*-5=-10 3*1=3 = -5
• X – 2Y + 3Z = -5

14. EL DIBUJO DE UN PLANO
• CASO.1 EL PLANO ES PARABELO A UN PLANO
COORDENADO.
• X = A (PARABELO AL PLANO YZ)
• Y = B (PARABELO AL PLANO XZ)
• Z = C (PARABELO AL PLANO XY)

15. TRES PLANOS PARABELOS A ALGUN
PLANO COORDENADO
• PASO 1. GRAFIQUE LOS TRES PUNTOS DE CRUCES
• PASO 2. UNOS LOS TRES PUNTOS DE CRUCES PARA FORMA UN
TRIANGULO
• PASO 3. TRACE DOS LINEAL PARABELO DIBUJE UN
PARALELOGRAMO CUYO DRIAGONAL ES EL TERCER LADO DEL
TRIANGULO
• PASO 4. EXTIENDA EL PARALELOGRAMO DIBUJANDO CUATRO
LINEAL PARABELO
• LA GRAFICA DEL PLANO X + 2Y + 3Z = 6 EN LA FIGURA (438)
LOS CRUCES SON (6,0,0),(0,3,0),(0,0,2) UN PLANO (439)

16. X+ 2Y + 3Z = 6

17. LA ECUACION DE UN PLANO Q PASA
POR TRES PUNTOS DADOS
• P=(1,2,1) Q=(-2,3,-1) R=(1,0,4)

18. SOLUCION
• P (1,2,1) Q (-2,3,-1) Y R = (1,0,4)
• V=(-2) - 1)I + (3 - 2)J + (-1) - 1)K
• = -3I + 1J - 2K
• QR= (1 – (-2)I+ (0 - 3)J + (4 – (-1 )K
• 3I -3J +5K

19. SOLUCION

20. • N = PQ * QR
1*5=5 3*-3= 9 3*5=15
-3*-2=-6 3* 1= 3 3*-2=6
5-6=-1I 9-3 = 6K 15-6 = 9J
I
1 -2
-3 5
J
3 -2
3 5
K
3 1
3 -3
I J K
3 1 -2
3 -3 5

21. • USADO EL PUNTO P (1,2,1) EN LA ECUACION
(458) - I + 9J + 6K
• N: -(X - 1) + 9(Y – 2 ) + 6(Z - 1)= 0
• -1 + 18 + 6 = 23
• -X + 9Y + 6Z = 23

22. DEFINICION ´LA PLANO PARABELO
• DOS PLANO SON PARABELO SI SUS VECTOR NORMALES SON
PARABELO, ES DECIR SI EL PRODUCTO CRUZ DE SUS VECTOR
NORMAL ES CERO.

23. DOS PLANOS PARABELOS
• LOS PLANO Ñ : 2X + 3Y –Z = 3
• Ñ : -4X – 6Y + 2Z= 8 SON PARABELO YA QUE
N1 = 2I + 3J – K
• N2 = -4I – 6J + 2K = - 2n1(Yn1 Xn2 = 0)

24. Puntos de interseccion de planos
• Los planos 2x –y –z = 3 y x + 2y + 3z = 7
• x = 13 - 1 t y = 11 - 7 t y z = t
• 5 5 5 5