2. ÍNDICE
Planteamineto del Problema …………………………………………………………………………….………2
Introducción ……………………………………………………………………………………………………………3
Capítulo I
Justificación de la investigación………………………………………………………………..……………… 3
Objetivo de la investigación ……………………………………………………………………………………..3
Capitulo II
Marco teórico ……………………………………………………………………………………….…………………. 5
Metodología de la investigación……………………………………………….……………………………… 11
Capítulo III
Conclusiones y Recomendaciones………………………………………………………………………….… 12
Bibliografía………………………………………………………………………………………………………………. 13
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3. Dedicamos este trabajo a Pitágoras de
Samos quien al día de hoy todavía es una base
importante en las mediciones y los
equipamientos tecnológicos. Es por esto que se
lo llama el padre de las matemáticas.
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4. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Los logaritmos se desarrollaron como una herramienta para hacer de forma más eficiente las
multiplicaciones, las divisiones y la extracción de radicales cuando nos enfrentábamos a
números muy grandes o, números con muchos decimales. "El logaritmo" transforma un
producto en una suma , un cociente en una resta, una potencia en una multiplicación sencilla y
una raíz en una división sencilla.
Ergo, el estudio de los logaritmos nos permite facilitar muchas cosas pero nos ayuda a
entender y apreciar mejor otras; un ejemplo de uso de los logaritmos es por ejemplo, si
conoces la tasa de crecimiento promedio de una poblacion, y quieres saber cuántos años
tardará en llegar a cierta cantidad (por ejemplo duplicarse) necesitas el logaritmo. Para que
entiendas este ejemplo, dada una población (base) y otra cantidad a la que hay que llegar
(potencia), cuántas veces hay que aplicar la tasa de crecimiento (exponente) para llegar a esa
catidad; lo que necesitas obtener es el exponente, por lo que usas logaritmos
La pregunta que se nos formula ¿será útil el estudio de los logaritmos para entender la escala
de Richter?
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5. INTRODUCCIÓN
El empleo de os logaritmos en nuestra vida cotidiana, puede darnos una gran cachetada a la
tranquilidad académica, ya que existen varios hechos que sin lugar a dudas, no tenemos o no
teníamos la más mínimoaidea que tendrían algún tipo de relación con los logaritmos. Un
procedimiento para averiguar la edad de un fósil consiste en analizar la porción que éste
contiene de un isótopo del Carbono: el Carbono-14.
Todos los organismos vivos lo absorben del aire y cuando mueren, por ser radiactivo, se
desintegra siguiendo la ecuación:
M=M0. 0,886t
Supongamos que se halló un fósil y se pudo determinar que cuando estaba vivo contenía
200gr. De Carbono-14, hallamos una masa de 100gr. ¿Cómo hallamos su antigüedad?
Reemplazamos: 100=200. 0,886t
Pasamos dividiendo 200; simplificamos y aplicamos logaritmo base 10 en ambos miembros:
Log (1/2)= Log (0,886t )
aplicando la propiedad del Log: Log (1/2)= t. Log(0,886)
Así averiguamos el número de años que aproximadamente tiene el fósil analizado. Este valor,
que se llama, período de desintegración, es el tiempo que tardó la masa inicial de carbono-14
en reducirse a la mitad.
Un segundo ejemplo podría ser la escala de Richter, utilizada para medir la intensidad de los
terremotos, es una escala logarítmica de base 10.
La magnitud de un terremoto en esa escala está definida por la fórmula:
M= Log p
Donde M es el grado de la escala de Richter y p es la potencia, que indica cuántas veces
mayor fue la amplitud de la onda sísmica del terremoto en comparación con una onda de
referencia correspondiente a una situación normal.
Por ejemplo, si un terremoto fue mayor que otro con una diferencia de 2 grados en la escala
de Richter, significa que su intensidad fue 102 veces mayor.
Como vemos la utilidad de los logaritmos es mucho más que resolver un problema para
aprobar un curso, tiene una base de razón que convive con nuestra existencia.
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6. CAPITULO I
JUSTIFICACION DE LA INVESTIGACION
Decidimos desarrollar este tema, a causa de nuestro interés por los terremotos y su
sorprendente relación con la función logarítmica, tema que estamos viendo en la
materia. Y llegamos a la conclusión de que dicha función es importante e indispensable
a la hora de medir el grado de magnitud de un terremoto.
OBJETIVO DE LA INVESTIGACIÓN
Mostrar la ultilidad y la relación que tienen los logaritmos con la escala de Richter y su
gran importancia para ayudar a determinar el nivel de los sismos en nuestro planeta.
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7. MARCO TEORICO
Escala De Richter
La escala sismológica de Richter (también se conoce como escala de magnitud local) es una
escala logarítmica que asigna un número que se usa para determinar el efecto de un
terremoto. Su nombre proviene de su inventor, el estadounidense y sismólogo Charles Richter.
(1900-1985).
La escala de Richter es la escala utilizada para evaluar y comparar la intensidad de los
sismos. Esta escala mide la energía del terremoto en el hipocentro o foco y sigue una escala de
intensidades que aumenta exponencialmente de un valor al siguiente.
Aunque la escala de Richter no tiene límite superior, hasta hoy ningún sismo ha superado 9.6
de magnitud.
Fue desarrollada por Charles Richter con la colaboración de Beno Gutenberg en 1935, ambos
investigadores del Instituto de Tecnología de California, con el propósito original de separar el
gran número de terremotos pequeños de los menos frecuentes terremotos mayores
observados en California en su tiempo. La escala fue desarrollada para estudiar únicamente
aquellos terremotos ocurridos dentro de un área particular del sur de California. Richter
reportó inicialmente valores con una precisión de un cuarto de unidad, sin embargo, usó
números decimales más tarde.
Donde:
= amplitud de las ondas en milímetros, tomada directamente en el sismograma.
= tiempo en segundos desde el inicio de las ondas P (Primarias) al de las ondas S
(Secundarias).
= magnitud arbitraria pero constante a terremotos que liberan la misma cantidad
de energía.
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8. La "Magnitud de Escala Richter" se expresa en números árabes. Representa la energía sísmica
liberada en cada terremoto y se basa en el registro sismográfico.
Es una escala que crece en forma potencial o semilogarítmica, de manera que cada punto de
aumento puede significar un aumento de energía diez o más veces mayor. Una magnitud 4
no es el doble de 2, sino que 100 veces mayor.
Magnitud en Escala Richter Efectos del terremoto:
Menos de 3.5 Generalmente no se siente, pero es registrado.
3.5 - 5.4 A menudo se siente, pero sólo causa daños menores.
5.5 - 6.0 Ocasiona daños ligeros a edificios.
6.1 - 6.9 Puede ocasionar daños severos en áreas muy pobladas.
7.0 - 7.9 Terremoto mayor. Causa graves daños.
8 o mayor Gran terremoto. Destrucción total a comunidades cercanas.
Esta escala es "abierta", de modo que no hay un límite máximo teórico, salvo el dado por la
energía total acumulada en cada placa, lo que sería una limitación de la Tierra y no de la
Escala.
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10. Para recordar lo estudiado ….
Función Logarítmica
Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como
f (x) = logax,
Siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.
Gráfico función creciente:
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11. y = log2 x
Propiedades de la función logarítmica
Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la
función exponencial. Así, se tiene que:
La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por
tanto, su dominio es el intervalo (0,+∞).
Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a
cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta
función es R.
En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base.
La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.
Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a> 1 y decreciente
para a < 1.
Logaritmos decimales
Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos decimales, logaritmos
vulgares o logaritmos de Briggs, (se deben al matemático inglés de la universidad de
Oxford, Henry Briggs el año 1624.); y para representarlos se escribe sencillamente log
sin necesidad de especificar la base:
log10 X = log X
Las tablas que tradicionalmente se han usado para calcular logaritmos, son tablas de
logaritmos decimales.
Logaritmos neperianos
Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales, (se
deben al matemático escocés John Napier o Neper hacia el año 1600). Para
representarlos se escribe ln o bien L:
loge X = ln X = LX
El número e tiene gran importancia en las Matemáticas. No es racional (no es cociente
de dos números enteros) y es el límite de la sucesión.
Su valor, con seis cifras decimales, es
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12. e = 2,718281...
Forma de las funciones logarítmicas según el valor de la base
Cuando un fenómeno físico o social responde a una ley exponencial, su representación en una
gráfica se complica, ya que para valores relativamente bajos de la variable independiente se
obtiene un crecimiento descomunal de la variable dependiente... y se termina el espacio de la
gráfica. En cambio, si se emplean escalas logarítmicas para la variable dependiente, la escala se
reduce de forma exponencial, y puede tenerse una visión gráfica asequible de un intervalo más
amplio de los valores de la función que ilustra el fenómeno.
Escala de Richter y la función logarítmica
El uso del logaritmo en la escala de Richter es para reflejar la energía que se desprende en un
terremoto. El logaritmo incorporado a la escala hace que los valores asignados a cada nivel
aumenten de forma logarítmica, y no de forma lineal. Richter tomó la idea del uso de
logaritmos en la escala de magnitud estelar, usada en la astronomía para describir el brillo de
las estrellas y de otros objetos celestes. Richter arbitrariamente escogió un temblor de
magnitud 0 para describir un terremoto que produciría un desplazamiento horizontal máximo
de 1 μm en un sismograma trazado por un sismómetro de torsión Wood-Anderson localizado a
100 km de distancia del epicentro. Esta decisión tuvo la intención de prevenir la asignación de
magnitudes negativas. Sin embargo, la escala de Richter no tenía límite máximo o mínimo, y
actualmente habiendo sismógrafos modernos más sensibles, éstos comúnmente detectan
movimientos con magnitudes negativas.
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13. METODOLOGÍA
Este trabajo realiza una revisión de artículos, tanto de naturaleza empírica como conceptual,
con el propósito de identificar los criterios propuestos en la literatura para diferenciar y
gestionar estratégicamente a los distintos tipos de usos que ostentan los logaritmos para
posterior a ello centrarnos en su
Con respecto al procedimiento para realizar la revisión, en una primera etapa se busca
identificar publicaciones en el campo de la matemática que permitieran examinar el contexto
de los logaritmos y sus usos en cada campo. Como resultado de esta revisión inicial se espera
seleccionar alrededor de 5 artículos que permitan, por un lado, estructurar los antecedentes
conceptuales, y por otro, identificar las perspectivas dominantes con relación a los criterios
para la diferenciación de los tipos de usos y manipulación matemática de cada uno.
Posteriormente, en una segunda etapa, la búsqueda se concentrará en explorar las distintas
contribuciones teóricas en el marco de cada una de las perspectivas previamente identificadas,
emergiendo como consecuencia dos desarrollos conceptuales centrales: las metodoogías y el
significado que tienen los logaritmos en la escala de Richter.
Tras ello, se pretenderá responder y atender el obejtivo principal de nuestra investigación.
Aparentemente el reto es arduo, tedioso y complejo pero esperamos sobrepasar las
expectativas y esquematizar un ensayo asociado a un enfoque investigativo que dé mucho que
hablar.
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14. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
− Los logaritmos surgieron de una idea muy simple y aún hoy siguen siendo un
instrumento importante, tal vez modesto, pero esencial para el conocimiento
científico. A su vez, desde los lineamientos curriculares se enfatiza la necesidad
de que los alumnos adquieran esquemas de conocimiento que les permitan
ampliar su experiencia dentro de la esfera de lo cotidiano y accedan a sistemas
de mayor grado de integración. En este sentido, creemos que la Historia de la
Matemática se constituye en un valioso aliado para abordar los logaritmos,
pues muestra cómo un proceso de construcción humana, lento y laborioso, con
contribuciones diversas, se fue liberando poco a poco de la experiencia sensible
tendiendo a una mayor generalidad, unidad y armonía.
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15. BIBLIOGRAFÍA
1. Abrate, R., Pochulu, M. & Vargas, J. (2006). Errores y dificultades en Matemática:
2. análisis de causas y sugerencias de trabajo. Villa María: Universidad Nacional
3. de Villa María.
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5. en matemáticas”. Proyecto Penélope: Documentos de Historia de las
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7. es_conflefort.htm
8. Schoenfeld, A. (1985). Ideas y tendencias en la resolución de problemas. Madrid:
M.E.C.
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sitio web http:/ /www.history.mas.st-andrews.ac.uk/Miscellaneous/Briggs/index.html
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12. Baker, Alan (1975), Transcendental number theory, Cambridge University Press, ISBN
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14. Hart, Cheney, Lawson et al. (1968), Computer Approximations, SIAM Series in Applied
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15. Zhang, M.; Delgado-Frias, J. G.; Vassiliadis, S. (1994), «Table driven Newton scheme for
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17. Kahan, W. (20 de mayo de 2001), Psuedo-Division Algorithms for Floating-Point
Logarithms and Exponentials
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