Un joven de 21 años tiene un futuro prometedor en el deporte. Su contrato con el equipo "jamelcos" terminó y el equipo le ofreció un nuevo contrato.

1. Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Sede Barcelona
Escuela De Ingeniería Civil
Ingeniería Económica
Bachiller:
Pablo J., Velásquez H.
C.I.: 21.081.688
Barcelona, Febrero 2018

2. El valor del dinero cambia con el tiempo y mientras más largo sea este, mayor es la evidencia
de la forma como disminuye su valor. Tomemos como referencia el valor de la matrícula en una
universidad. Si el valor relativo va a permanecer constante en el tiempo, es necesario que ésta
se incremente anualmente en un valor proporcional a la tasa de inflación, que en el fondo indica
que el valor de cada peso disminuye en el tiempo. De otra manera, si una persona realiza una
inversión, lo que se pretende es que la suma invertida genere una rentabilidad por encima de la
inflación. La diferencia entre esta rentabilidad y la tasa de inflación se convierte en la renta
generada por el dinero que se invirtió.
El dinero tiene entonces un valor diferente en el tiempo, dado que está afectado por varios
factores. Enunciemos algunos de ellos: La inflación, el riesgo en que se incurre al prestar o al
invertir, la oportunidad que tendría el dueño del dinero de invertirlo en otra actividad económica,
protegiéndolo no solo de la inflación y del riesgo sino también con la posibilidad de obtener una
utilidad.

3. Cualquier bien es susceptible de ser entregado en arrendamiento a otra persona y
por ello se debe cobrar un canon de alquiler. Por ejemplo es posible dar una casa en
arrendamiento y cobrar una suma mensual por el uso de ella. Así mismo es posible
arrendar una máquina, un vehículo o un dinero. El canon de alquiler del dinero
recibe el nombre de Interés y lo denotaremos por I.
El interés puede interpretarse financieramente como la retribución económica que le
devuelve el capital inicial al inversionista de tal manera que se compense la
desvalorización de la moneda en el periodo de tiempo transcurrido, se cubra el riesgo
y se pague el alquiler del dinero.

5. La relación de pago único se debe a que dadas unas variables en el tiempo, específicamente interés (i) y
número de periodos (n), una persona recibe capital una sola vez, realizando un solo pago durante el periodo
determinado. Para hallar estas relaciones únicas, sólo se toman los parámetros de valores presentes y
valores futuros, cuyos valores se descuentan en el tiempo mediante la tasa de interés.
A continuación se presentan los significados de los símbolos a utilizar en las fórmulas financieras de pagos
únicos:
P: Valor presente de algo que se recibe o que se paga en el momento cero.
F: Valor futuro de algo que se recibirá o se pagará al final del periodo evaluado.
n: Número de períodos (meses, trimestres, años, entre otros) transcurridos entre lo que se recibe y lo
que se paga, o lo contrario; es decir, período de tiempo necesario para realizar una transacción. Es
de anotar, que n se puede o no presentar en forma continua según la situación que se evaluando.
i: Tasa de interés reconocida por período, ya sea sobre la inversión o la financiación obtenida; el
interés que se considera en las relaciones de pago único es compuesto.
F/P: Encontrar F cuando P esta dado. Ejemplo: (F/P, 6%, 20)  significa obtener el valor que al ser
multiplicado por una P dada permite encontrar la cantidad futura de dinero F, que será aculada en 20
periodos, si la tasa de interés es 6% por periodo.

6. Factor de cantidad compuesta de un pago único: (F/P)
F/P = (1 + i)n → (F/P, i%, n)
Factor de Valor Presente de un Pago Único: (P/F)
P/F = (F/P) −1 = (1 + i) − n → (P/F, i%, n)
EJERCICIOS
¿Cuánto dinero tendrá el señor Rodríguez en su cuenta de
ahorros en 12 años si deposita hoy $3.500 a una tasa de
ínteres de 12% anual?
Solución:
F = P ( F/P, i, n) F = 3.500 (F/P, 12% , 12) F = 3.500 (3,8960)
F = $13.636

7. EJERCICIOS
¿Cuál es el valor presente neto de $500 dentro de siete
años si la tasa de interés es 18% anual?
Solución:
P = 500 (P/F, 18%, 7 )
P = 500 [ 1/(1+ 0.18)7] P = 500 (0,3139)
P = $156,95
En la compra de su casa usted se comprometió, mediante una letra, a pagar $400.000
dentro de 8 meses. Sí usted tiene la posibilidad de invertir en algunos papeles comerciales
que rinden 2% mensual, ¿cuál será el valor tope que usted podría pagar por la letra hoy?
Solución:
F = $400.000,
i = 2% mensual
P = F (P/F, i , n) P = 400.000 (P/F, 2%, 8)
P = 400.000 (0,85349)
P = $341. 396

8. Un contratista independiente realizó una auditoria de
algunos registros viejos y encontró que el costo de los
suministros de oficinas variaban como se muestra a
continuación:
EJERCICIOS
Si el contratista deseaba conocer el valor
equivalente de las 3 sumas más grandes
solamente, ¿Cuál será ese total a una tasa
de interés del 5%?
Año 0: $600
Año 1: $175
Año 2: $300
Solución:
F = 600(F/P,5%,10) +
300(F/P,5%,8)+400(F/P,5%,5) F=?
F = $1931.11
Otra forma de solucionarlo:
P = 600+300(P/F,5%,2)+400(P/F,5%,5) = $1185.50
F = $1185.50(F/P,5%,10) = 1185.50(1.6289)
F= $1931.0
Año 3: $135
Año 4: $250
Año 5: $400

9. Una serie uniforme de pagos consiste en aportar una serie de cantidades iguales durante cierto
periodo, dichas cantidades se identifican con la letra “A”. También nos referimos a esto como
pago uniforme sin importar con qué frecuencia se efectué los pagos que puede ser anual,
mensual, semanal, etc.
Capitalización es el valor de mercado de la empresa, esto es, la cotización de cada acción
multiplicada por el número de acciones. El aumento de la capitalización en una año es la
capitalización al final de dicho año menos la capitalización al final del año anterior.
Factor del valor presente, serie uniforme (FVP-SU) o factor P/A:
P = A [(1+i)n-1 / i(1+i)n]
Factor de recuperación del capital (FRC) o factor A/P:
A = P [i(1+i)n / (1+i)n-1]

10. EJERCICIOS:
¿Cuánto dinero estaría una persona dispuesta a pagar ahora por una inversión cuyo retorno
garantizado será de $600 anual durante 9 años empezando el año próximo a una tasa de
interés del 16% anual?
Solución:
P = A(P/A,16%,9) = 600(4.6065) = $2763.90
(P/A,5%,10) es el factor utilizado en el cálculo de un valor presente, dado el valor de una
anualidad, con una tasa de interés del 5% y un valor de 10 periodos de capitalización. Este
factor, en las tablas correspondientes es igual a 7.7217
Solución: Si utilizamos la fórmula para calcular el valor de este factor
(P/A), tenemos:
(P/A,5%,10) = [(1+i)n-1 / i(1+i)n] = (1.05)10-1 / 0.05(1.05)10
(P/A,5%,10) = 7.7217

11. EJERCICIOS:
Sí el señor Mendoza solicitó un préstamo por $4.500 y prometió pagarlos en 10 cuotas
anuales iguales, comenzando dentro de un año, ¿cuál será el monto de sus pagos si la tasa
de interés es de 20% anual?
Una industria recibe, de una organización de mantenimiento, la oferta de encargarse del
mantenimiento de la máquina 14.31161200 durante los próximos 5 años, con
un costo mensual uniforme de $50.000. Si la tasa de retorno mínima de
la industria es de 2,5% mensual, ¿cuál seria hoy el costo presente
equivalente de dicho Mantenimiento?
Solución:
A = P (A/P ,i% ,n) A = 4.500 (A/P, 20%, 10)
A = 4.500 (0,23852)
A = $1073,34
Solución:
P = A (P/A, i%, n) P = 50.000 (P/A, 2,5%, 60)
P = 50.000 (30,9086)
P = $1´545.430

12. La interpolación es un proceso matemático para calcular el valor de una variable dependiente en
base a valores conocidos de las variables dependientes vinculadas, donde la variable
dependiente es una función de una variable independiente. Se utiliza para determinar las tasas
de interés por un período de tiempo que no se publican o no están disponibles. En este caso, la
tasa de interés es la variable dependiente, y la longitud de tiempo es la variable independiente.
Para interpolar una tasa de interés, tendrás la tasa de interés de un período de tiempo más corto
y la de un período de tiempo más largo.
Resta la tasa de interés de un período de tiempo más corto que el período de tiempo de la tasa
de interés que deseas de la tasa de interés de un período de tiempo más largo que el deseado.
Por ejemplo, si estás interpolando una tasa de interés de 45 días, y la tasa de interés de 30 días
es de 4,2242 por ciento y la tasa de interés de 60 días es de 4,4855 por ciento, la diferencia
entre las dos tasas de interés conocidas es 0,2613 por ciento.
Divide el resultado del Paso 1 por la diferencia entre las longitudes de los dos períodos de
tiempo. Por ejemplo, la diferencia entre el período de 60 días y el período de tiempo de 30 días
es de 30 días. Divide 0,2613 por ciento en 30 días y el resultado es 0,00871 por ciento.

13. Multiplica el resultado del Paso 2 por la diferencia entre la longitud de tiempo para la tasa de
interés deseada y la longitud de tiempo para la tasa de interés con la longitud más corta de
tiempo. Por ejemplo, la tasa de interés deseada es de 45 días de distancia, y la tasa de interés
menor conocida es la tasa de 30 días. La diferencia entre 45 y 30 días es de 15 días. 15
multiplicado por 0,00871 por ciento es igual a 0,13065 por ciento.
Añade el resultado del Paso 3 a la tasa de interés conocida para el período de tiempo más
corto. Por ejemplo, la tasa de interés a partir del período de 30 días es de 4,2242 por ciento. La
suma de 4,2242 por ciento y 0,13065 por ciento es de 4,35485 por ciento. Esta es la estimación
de la interpolación de la tasa de interés de 45 días.
Para asegurarte de que estés siguiendo correctamente la
ecuación, puede ayudarte dibujar un gráfico. El gráfico debería
tener un eje que represente las tasas de interés, con el otro eje
representando la longitud de tiempo. Traza una línea recta a
través de los dos puntos que representan los tipos de interés
conocidos. Si la tasa de interés a interpolar cae fuera de esta
línea, sabrás que has cometido un error en el camino.

14. La interpolación lineal es una estimación de la tasa
de interés de un período de tiempo específico, y se
supone que las variaciones de los tasas de interés son lineales entre un día y otro.
En realidad, las tasas de interés pueden seguir una "curva de rendimiento" en lugar
de una línea recta. La estimación será más precisa cuanto más corto sea el
período de tiempo entre las tasas de interés conocidas que estás interpolando.

15. Gradiente Aritmético
Gradiente aritmético (G) es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una
cantidad constante.
El flujo de efectivo al final del año 1 no forma parte de la serie del gradiente, sino que es una
cantidad base.
El flujo efectivo en el año n se calcula como:
CFn = cantidad base + (n-1) G
Si se ignora la cantidad base, se construye un diagrama de flujo de efectivo generalizado de
gradiente aritmético (gradiente convencional).

16. Factor de Gradiente Aritmético P/G:
En la figura α el valor presente en año 0 sólo del gradiente es igual a suma de valores
presentes de pagos individuales, donde cada valor se considera como una unidad futura:
P=G(P/F,i,2)+2G(P/F,1,3)+3G(P/F,i,4)+…..+[(n-2)G](P/F,i,n-1)+[(n-1)G](P/F,i,n)
Factorizando G y aplicando la fórmula P/F:
Al multiplicar ambos lados de θ por (1+i)1 se obtiene:
Restar la ecuación θ de la ecuación κ y simplificar:
La expresión entre corchetes (de la izquierda) es igual a la ecuación β, donde se derivó P/A.
Sustituir la forma cerrada de P/A de la ecuación δ en la ecuación λ y despejar P:

17. Factor de Gradiente Aritmético P/G: (Continuación)
La ecuación μ, es la relación general para convertir un gradiente aritmético G (sin incluir la
cantidad base) para n años en un valor presente en el año 0.
En la figura β se observa como se convierte un gradiente aritmético a un valor presente:
Factor valor presente de gradiente aritmético o factor P/G:
La ecuación ν, expresada como una relación de ingeniería económica tiene la forma:
P = G(P/G,i,n)

18. Factor de Gradiente Aritmético A/G:
La serie anual uniforme equivalente (A) de un gradiente aritmético G se calcula multiplicando el
valor presente de la ecuación π por la expresión del factor (A/P, i, n).
El equivalente de la cancelación algebraica de P se utiliza para obtener el factor (A/G,i,n):
A=G(P/G,i,n)(A/P,i,n)=G(A/G,i,n)
La expresión entre corchetes en la ecuación ρ se denomina el factor de gradiente aritmético de
una serie uniforme y se identifica por (A/G,i,n).
Diagrama de conversión de una serie gradiente aritmético a una serie anual uniforme equivalente:

19. Un joven del campo recientemente cumplió los 21 años y su futuro en el deporte es muy prometedor. Su contrato en el equipo
"jamelcos" termino y el mismo ya le ofreció un nuevo contrato durante seis años por la suma de 1,6 Millones de dólares
pagaderos al momento la firma. Por otro lado, el piensa que si eleva continuamente su nivel de juego, puede
conseguir contratos anuales, el primero de los cuales seria por 250.000 dólares y, con cada contrato sucesivo, pedir una suma
adicional de 50.000 dólares. Todos los contratos pagan lo convenido a principio de año. ¿Si la tasa de interés que se considera
es del 15% anual, que deberá hacer el joven si quiere planear sus próximos seis años de carrera deportiva?
Solución:
P = 250.000+ 300.000(P/A, 15%, 5) + 50.000(P/G,15%,5)
P = 250.000+ 300.000(3,352) + 50.000(5.775)
P = $1´544.350
Una vivienda se está cancelando en 18 cuotas mensuales que decrecen en $10.000 cada mes, siendo la primera cuota de $
2.500.000. Si la tasa de financiación que se está cobrando es del 3% mensual, calcular el valor de la vivienda.
P = $ 33.323.645.98

20. Este caso consiste en que se conoce la cantidad de dinero depositado, la cantidad de dinero recibido y el número
de años, pero se desconoce la tasa de interés o la tasa de rendimiento. Una de las funciones más útiles de todas
las disponibles para resolver este problema es la tasa interna de rendimiento (TIR):
=TIR(primera_celda:última_celda, estimar)
• Primera_celda: última_celda: es un rango de celdas (matriz), que contiene los números para los cuales se
desea calcular la TIR.(Asegúrese de introducir los valores en el orden correcto.)
• Estimar: es un estimado de la TIR por parte del usuario. Si se omite, se supondrá que es 0.1 (10%).
Otra función útil es TASA, es una alternativa a TIR:
=TASA(n,A,P,F,tipo,estimar)
El valor F no incluye el valor A que ocurre en el año n.
No es necesario ingresar cada flujo de efectivo.
Esta función debe utilizarse siempre que exista una serie uniforme
durante n años con valores asociados a P y/o F.

21. Determinar la tasa para un préstamo de S/.6000 con pagos
anuales de S/.1500 durante 5 años.

22. El dinero es un instrumento necesario para el intercambio de bienes y servicios en un sistema
económico. Es un medio por el cual los individuos conseguimos satisfacer muchas de nuestras
necesidades, por ese hecho le damos un peso considerando diferentes tipos de valores como el
valor intrínseco, cuando nos hacemos de artículos de oro o plata y que en el paso del tiempo los
convertimos en objetos de valor sentimental sea porque los obtuvimos con mucho esfuerzo
haciendo uso de su valor adquisitivo o porque fueron obtenidos o se nos han obsequiado con un
sentido de reconocer eventos morales, religiosos o de logros personales.
En la economía en general, el valor extrínseco y el valor nominal del dinero tienen mucho peso
porque en ello se mide el crecimiento económico de nuestro país, siempre afectando su valor
adquisitivo por la inflación o el riesgo, como ejemplo puedo mencionar el alza de precios en el
huevo o en la gasolina en los últimos días, pues no solo disminuye el poder adquisitivo ya
debilitado de los consumidores sino también genera desconfianza en eventos futuros como por
ejemplo pensar si este hecho es solo provocado por la especulación.
Entonces, como personas comunes mi pregunta va más allá de este ensayo ¿cómo hacer rendir
más la posibilidad de inversión o la posibilidad de uso cuando nuestro poder adquisitivo decrece
día con día?
La respuesta esta no solo en ser más analíticos y observadores, sino en estar académicamente
más preparados para medir las posibilidades de que el valor adquisitivo o la equivalencia de
nuestro dinero a través del tiempo se conviertan en aciertos patrimoniales

23. × Andrés, J. L. (2014). Factores de pago único. en línea. Disponible en:
http://www.academia.edu/7448068/1_2.3_FACTORES_DE_PAGO_UNICO. 2018, Febrero 10
× Turmero, I. (2015). Ejercicios Propuestos y Resueltos de Ingeniería Económica. en línea.
Disponible en: http://www.monografias.com/trabajos104/ejercicios-resueltos-y-propuestos-
ingenieria-economica/ejercicios-resueltos-y-propuestos-ingenieria-economica.shtml. 2018, Febrero
10
× (2010, abril 22). Fundamentos de la Ingeniería Económica y el valor del Dinero a través del Tiempo.
en línea. Disponible en: http://upt-5c-ingeconomica.blogspot.com/2010/04/. 2018, Febrero 10
× Factores de Pago Único. en línea. Disponible en:
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× Rambaldini, A. (2018, Febrero 1). Como interpolar tasas de interés. en línea. Disponible en:
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× Romero, C. (2012, abril 26). Ingeniería Económica. en línea. Disponible en:
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