1. PROYECTO 3
Título. Derivada de funciones exponenciales.
Planteamiento
Determinación de fórmulas para calcular la derivada de funciones exponenciales de
la forma f(x) = ax con a > 0 y a ≠ 0. El tratamiento deberá utilizar la definición de
derivada.
Información solamente para el profesor
Características
El proyecto está propuesto para reforzar y extender el conocimiento de la derivada a
funciones exponenciales, proporciona una continuación del estudio de propiedades
de las funciones exponenciales, se usan algunos conceptos de cálculo y de
derivadas que ya se mostraron en funciones trigonométricas. En consecuencia,
conviene enfatizar algunos resultados que se obtendrán en este problema, por su
semejanza con procedimientos parecidos a los que se efectuaron con funciones
trigonométricas.
Conocimiento y habilidades previas
Será necesario que los alumnos tengan alguna experiencia en la graficación de
funciones exponenciales, el cálculo de derivadas con la definición de la derivada, la
regla de la cadena, la derivación implícita, el uso de tabulación para aproximar límites
y el uso de algunas propiedades de exponentes y de logaritmos.
Recursos didácticos
Se sugiere usar algún software graficador para facilitar la obtención de gráficas de
funciones exponenciales. Con ejercicios se puede mostrar que la base de una
función exponencial debe ser mayor que cero y distinta de la unidad.
Conviene revisar las prácticas 5, 8 y 9 del Paquete didáctico para Cálculo Integral y
Diferencial II realizadas por los profesores que elaboraron esta guía, para tener un
elemento que permita tener una idea más clara de la forma que se sugiere el
tratamiento de este tema.
Ejemplo de una aproximación aceptable
El inicio del desarrollo del proyecto es la indicación de obtener la derivada de una
función exponencial de la forma f(x) = ax con a > 0 y a ≠ 0, usando la definición de
derivada (límites). Es necesario que el alumno recuerde las propiedades de los
límites y las leyes de exponentes, previamente a la obtención de la derivada. Esta

2. preparación puede hacerse en la primer hora de clase, lo que permitirá agilizar la
obtención de la expresión de la derivada en la forma .
Se sugiere que la primera derivada que solicite el profesor sea la de la función
f(x) = 2x.
El siguiente paso consiste en solicitar a los alumnos el cálculo del límite .
Una vez que los estudiantes hayan obtenido la aproximación correcta (con al menos
cinco decimales) se les solicita que obtengan la derivada de la función f(x) = 3x.
Es conveniente invitar al alumno a que calcule la derivada de las funciones 4x y 5x.
Con los resultados obtenidos es importante inducir al alumno a determinar el valor de
a tal que . Una vez obtenido dicho valor lo que se habrá determinado es
la base de la función exponencial que tiene la propiedad de que su derivada es igual
a ella, es decir la derivada de la función exponencial natural.
En consecuencia, expresando la función exponencial f(x) = ax mediante la función
exponencial natural y usando la regla de la cadena se obtiene la derivada de ax.
Conjeturas que se espera que el alumno realice
Se espera que el estudiante escriba la derivada como para los
valores de a = 2, 3, 4 y 5 (según se hayan calculado). También se espera que use
propiedades de exponentes y propiedades de los límites y que obtenga la expresión
en los mismos casos.
De las conjeturas importantes que se esperan del alumno es que la derivada de una
función exponencial es ella misma multiplicada por , donde a es la base de
dicha exponencial.
Una conjetura esperada del estudiante es la de proponer la construcción de una tabla
para calcular el límite para las bases a = 2, 3, 4 y 5.
El estudiante concluye que la base que cumple la condición es el
número e.

3. Preguntas que sugieren exploración adicional
Preguntas sobre la función exponencial y su gráfica
Se sugiere solicitar al estudiante que obtenga los valores de la tabla para f(x) = (–2)x
que se presenta a continuación.
x 1 2 3 4 5
f(x) = (–2)x
Con base en los resultados obtenidos, plantear a los alumnos las siguientes
preguntas:
1. ¿Puede calcularse el valor de f(x) = (–2)x para cualquier valor de x?
2. ¿Para que valores de x no existe el valor f(x)?
3. ¿Qué sucede con la gráfica de esta función?
4. ¿Se puede hacer la gráfica de la función de un sólo trazo?
5. ¿Por qué es conveniente que las funciones exponenciales tengan como base un
número positivo?
Preguntas para la derivada de la función exponencial
1. ¿Cuál es la fórmula para calcular la derivada de una función exponencial?
2. ¿Cuál es la fórmula que expresa el uso de la regla de la cadena para calcular la
derivada de una función exponencial?
3. ¿Cuál es la fórmula para calcular la derivada de la función exponencial natural?
Sugerencias para implementar el problema
Se sugiere asignar como tarea la graficación de funciones exponenciales de la forma
f(x) = AaBx + C + D, donde a es la base de la función exponencial, A, B, C y D son
constantes, usando software adecuado (los alumnos pueden usar el que gusten,
algunos se pueden obtener en Internet de manera gratuita – software libre –).
Se sugiere iniciar con un resumen (repaso) de algunas propiedades de límites,
propiedades de los exponentes (leyes de exponentes), el logaritmo como operación
inversa a la del cálculo de potencias y algunas de sus propiedades.
Resolver en clase algunos ejercicios de aplicación de propiedades del límite usando
polinomios y también algunos ejercicios de derivación implícita. Estas funciones
permiten una explicación más sencilla de dichas propiedades. Es común que no
todos los alumnos manejen y comprendan las propiedades tanto del límite, como de
exponentes y de logaritmos, razón que sugiere que se deben dejar ejercicios de
tarea (previos a la presentación del proyecto).
Una vez obtenidas las fórmulas para calcular la derivada de funciones exponenciales
es importante proporcionar ejemplos de funciones exponenciales para que los
alumnos las deriven (siempre con la supervisión del profesor).

4. Sugerencias de evaluación
Puesto que la finalidad del proyecto es la obtención de las fórmulas con las que se
calculan derivadas de funciones exponenciales, la tarea más importante a evaluar es
el uso de dichas fórmulas, por lo que la única sugerencia de evaluación es verificar
que el alumno las utilice de manera adecuada, obteniendo las derivadas correctas.
Bibliografía
Bleau, Barbara Lee. Forgotten Calculus. Barron’s.
Hughes-Hallett, Deborah, et. al. Cálculo. CECSA.
Stewart, James. Cálculo. Conceptos y contextos. Thomson.
Calete Jácome, José, et. al. Cálculo Diferencial e Integral II. Paquete didáctico.
(Material inédito)