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                       Helmuth villavicencio fern´ndez
                                                 a


  1. Demostrar que, si X es infinito numerable, el conjunto Pf de las partes
     finitas de X es tambi´n infinito numerable.
                         e

Soluci´n
      o
  1. Por dato existe biyecci´n f : N −→ X consideremos las partes finitas de
                            o
     X es decir los conjuntos Mk = {Y ⊆ X : Card(Y ) = k}.

    Afirmaci´n: Mk es numerable ∀k ∈ N .
              o
    En efecto; basta considerar la funci´n :
                                        o

                              ζ : Mk −→ N xN x . . . xN tal que
                                                    k−veces

       ζ({f (n1 ); f (n2 ); f (n2 ); . . . ; f (nk )} = (f (n1 ), f (n2 ), f (n2 ), . . . , f (nk ))
    notamos que la biyecci´n f obliga a ζ ser inyectiva (Pruebelo!!) de aqu´
                           o                                               ı
    como el producto finito de conjuntos numerables es numerable y de la
    inyectividad de ζ la funci´n ζ : Mk −→ ζ(Mk ) es biyecci´n luego Mk es
                              o                             o
    numerable, pues ζ(Mk ) es subconjunto de un numerable.

    El conjunto de las partes finitas Pf = {Mk : ∀k ∈ N }
    Ahora consideremos la funci´n µ : Pf −→ N tal que µ(Mp ) = p por su
                                 o
    misma definici´n ´sta es inyectiva luego restringiendo su llegada decimos
                  o e
    que µ : Pf −→ µ(Pf ) ⊆ N es biyecci´n as´ Pf es numerable.
                                        o    ı




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