El documento demuestra que si un conjunto X es infinito numerable, entonces el conjunto de todas sus partes finitas Pf también es infinito numerable. Primero, se muestra que cada subconjunto Mk de partes de X de tamaño k es numerable. Luego, se define una función inyectiva de Pf a los naturales, lo que demuestra que Pf es numerable. Por lo tanto, si X es infinito numerable, también lo es su conjunto de partes finitas Pf.

1. N umerabilidad
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
1. Demostrar que, si X es infinito numerable, el conjunto Pf de las partes
finitas de X es tambi´n infinito numerable.
e
Soluci´n
o
1. Por dato existe biyecci´n f : N −→ X consideremos las partes finitas de
o
X es decir los conjuntos Mk = {Y ⊆ X : Card(Y ) = k}.
Afirmaci´n: Mk es numerable ∀k ∈ N .
o
En efecto; basta considerar la funci´n :
o
ζ : Mk −→ N xN x . . . xN tal que
k−veces
ζ({f (n1 ); f (n2 ); f (n2 ); . . . ; f (nk )} = (f (n1 ), f (n2 ), f (n2 ), . . . , f (nk ))
notamos que la biyecci´n f obliga a ζ ser inyectiva (Pruebelo!!) de aqu´
o ı
como el producto finito de conjuntos numerables es numerable y de la
inyectividad de ζ la funci´n ζ : Mk −→ ζ(Mk ) es biyecci´n luego Mk es
o o
numerable, pues ζ(Mk ) es subconjunto de un numerable.
El conjunto de las partes finitas Pf = {Mk : ∀k ∈ N }
Ahora consideremos la funci´n µ : Pf −→ N tal que µ(Mp ) = p por su
o
misma definici´n ´sta es inyectiva luego restringiendo su llegada decimos
o e
que µ : Pf −→ µ(Pf ) ⊆ N es biyecci´n as´ Pf es numerable.
o ı
1