El documento describe cómo probar que el conjunto de los números naturales es numerable. Primero, se divide el conjunto de los números naturales en subconjuntos infinitos y disjuntos mediante una descomposición recursiva. Luego, se define una función que mapea cada subconjunto a un número natural, mostrando que existe una correspondencia biunívoca entre los números naturales y los subconjuntos, lo que demuestra que el conjunto original es numerable.

1. Numerabilidad
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
1. Obtener una descomposici´n N = N1 N2 . . . donde cada Nj sea infinito.
o
2. Mostrar que el conjunto
H :≡ {f : N −→ N f −1 (n) es inf inito ∀n ∈ N }
es no vac´
ıo.
Soluciones
1. Definiremos inductivamente los conjuntos Nk , ∀k ∈ N de modo siguiente
como N = Np Ni (descomposici´n en pares e impares) hacemos:
o
N1 = Ni = {1, 3, 5, 7, . . .} y N2 = 2N1 = {2, 6, 10, 14, . . .}
as´ de esta manera suponemos definidos N1 , N2 , N3 , . . . , Nk ⊆ N tales que
ı
Nk = 2k−1 N1 .
Luego definimos Nk+1 = 2k N1 = {2k (2m − 1) : m ∈ N } as´ termina ı
nuestra construcci´n por inducci´n de los conjuntos Nk , ∀k ∈ N
o o
Afirmaci´n 1:Los Ni son infinito numerable ∀i ∈ N . (Probar!!)
o
Afirmaci´n 2: Nj ∩ Ni = ∅ ∀ i = j (Probar!!)
o
∞
Afirmaci´n 3: N =
o i=1 Ni (Probar!!)
Las afirmaciones garantizan la prueba .
2. Usaremos el resultado obtenido anteriormente.
As´ consideramos la funci´n h : ∞ Ni −→ N tal que h(Ni ) = i; ∀i ∈ N .
ı o i=1
Afirmaci´n: h es suryectiva
o
En efecto; Dado i ∈ N basta considerar Ni ⊆ N que satisface h(Ni ) = i.
Luego hemos construido una funci´n que h ∈ H as´ H = φ.
o ı
1