3 Sec_ARITMÉTICA.pdf Tercero de secundaria

Aritmética
Aritmética
Secundaria
3
3

Aritmética - 3.er
grado de secundaria.

resentación
l colegio Bertolt Brecht saluda a los padres de familia y estudiantes por la
confianza depositada en nuestra institución, la cual tiene por misión brindar
una educación integral en sus múltiples dimensiones, a través de la enseñanza de
la ciencia, el arte y el deporte, para la formación de ciudadanos conscientes y
comprometidos que aporten al engrandecimiento de nuestra sociedad.
Es así que, en esta oportunidad, se pone a disposición de los estudiantes este
cuaderno de trabajo, que será una herramienta de apoyo en el proceso de
enseñanza-aprendizaje y que contribuirá al logro de los objetivos curriculares. Este
material educativo permitirá al estudiante consolidar su aprendizaje en las
diferentes materias del grado.
La comunidad educativa saluda y reconoce el trabajo de todos los profesores
que participaron en la elaboración del presente texto, donde se plasman sus
conocimientos y experiencias adquiridas en esta labor tan importante como es la
de educar.
Finalmente, deseamos saludar al personal técnico-administrativo que participó
en la elaboración de este importante libro en beneficio del alumno y, asimismo, de
la sociedad.
Colegio Bertolt Brecht
resentación

ndice
Índice
Índice
Í
Í
Í
Í
Í
Í
Í
Aritmética
Tema 1. Tanto por cuanto 7
Tema 2. Tanto por ciento 10
Tema 3. Descuentos y aumentos sucesivos 18
Tema 4. Variación porcentual 21
Tema 5. Aplicaciones comerciales 24
Tema 6. Regla de interés simple 29
Tema 7. Interés compuesto 35
Tema 8. Aplicaciones con promedio geométrico 39
Tema 9. Introducción a la estadística 42
Tema 10. Tabla de frecuencias para datos agrupados 46
Tema 11. Histograma y polígono de frecuencia 53
Tema 12. Diagrama escalonado y ojiva 58
Tema 13. Diagrama circular 63

3.o
de secundaria 7
Aritmética
1
TEMA Tanto por cuanto
Objetivos
 Establecer relaciones entre parte-todo y calcular su valor aplicando el tanto por cuanto de
una cantidad dada.
 Reconocer los elementos del tanto por cuanto y aplicar sus relaciones en problemas contex-
tualizados.
De cómo niños genios de la matemática suelen nacer en cuna pobre y de cómo algunos profe-
sionales terminan en la pobreza.
Es curioso: en los exámenes de admisión de la Universidad Nacional de Ingeniería los prime-
ros puestos casi siempre los logran jóvenes de un sector económico muy modesto. Y eso que los
exámenes de la UNI son cada año más difíciles. Esto expresa Fernando Caller, de la dirección de
cultura de esa universidad. El fenómeno forma parte sin duda de la afloración en los últimos años
de una suerte de élite adolescente que aparte de su condición social, descuella en la matemática.
Puede deberse a que buena parte de ellos provienen del colegio Bertolt Brecht, pero es eviden-
te que se trata de muchachos con innata matemática pasión por los números. Caso notable es el
de Claudio Espinoza Chuqqipura, el chiquillo nacido en Huancavelica que llenaba cuadernos con
problemas matemáticos cuando estudiaba a la luz de un mechero o una vela en su casa humilde
de San Juan de Lurigancho (Caretas edición N.º 1819). Ahora, nos cuenta su padre, exmarcador
de horas de microbuseros y hoy conductor de mototaxi, hay la posibilidad de que una prestigiosa
universidad de Estados Unidos le otorgue una beca.
Examen a los niños genios
Problema contextualizado
Juancito es un comerciante que se dedica a la ven-
ta de naranjas de varias calidades. En uno de esos
días se pudo observar el siguiente caso: por cada
cinco naranjas que vende, solo dos de ellas son ju-
gosas. A él llega el señor Bertolito, que tiene un mi-
nimarket en el Centro de Lima, y compra una cier-
ta cantidad de kilos, que equivalen a 200 naranjas,
para venderlas en su establecimiento. ¿Cuántas de
las naranjas que ha comprado Bertolito no son ju-
gosas?
NARANJAS “JUANCITO”
NARANJAS “JUANCITO”

Aritmética
Compendio escolar
8
Recuerda que...
1. El m por n <> m/n; m es el tanto y n es el cuanto.
2. Además m indica que se toma una parte del todo, que es n.
3. El m% de C
m
C
= ×
100
4. Palabras claves:
a. Por, razón, función, es a, parte, etcétera, significa “división“.
b. De, del, veces, tantas veces, etcétera, significa “multiplicación“.
c. Excede, diferencia, hace, etcétera, significa “sustracción“.
d. Dentro, agregado, aumentado, etcétera, significa “adición“.
e. Semi, significa que tenemos que dividir entre dos (x/2).
f. Doble, triple, cuádruplo, etcétera, significa 2x; 3x; 4x, respectivamente.
¿Qué significa?
El 5 por 8 de una cantidad significa dividir dicha cantidad en 8 partes iguales y de las cuales solo se
debe tomar 5 de ellas.
Ejemplo
El 5 por 8 de 120.
Si 120 lo dividimos en 8 partes iguales, tomando 5 de ellas quedará así
5
120
8
5
8
120 75





 = × =
Actividad en el aula
1. Resuelve el problema contextualizado con
apoyo del profesor, contestando las siguien-
tes preguntas en forma detallada:
a. ¿Qué hacemos primero?
............................................................
............................................................
b. ¿Qué tomamos del enunciado?
............................................................
............................................................
c. ¿Cuál es el planteamiento que debemos
hacer ahora?
............................................................
............................................................
2. Resuelve las siguientes aplicaciones
a. El 3 por 12 de 4800 es ...........................
b. El 5 por 14 de 420 es .............................
c. El 20 por 100 de 80 es ...........................
d. El 4 por 9 del 6 por 10 de 765 es ...........
e. El 6 por 9 de 120 es ...............................
f. El 5 por 13 de 650 es .............................
3. En una competencia deportiva se convocó
a atletas de todo el país, de los cuales por
cada 8 atletas 5 eran de provincia. Si en total
asistieron 120, ¿cuántos atletas eran de la
capital?

3.o
de secundaria 9
Aritmética
4. Juan es un usurero que presta 100 monedas
de oro con la condición que se le entreguen
2 monedas de plata por cada 15 días trans-
curridos. Si el plazo pactado es para 120
días, ¿cuántas monedas de plata recibió?
5. En un salón de clase hay 60 estudiantes, de
los cuales las damas representan el 2 por 5
del total. Si el 5 por 9 de varones no usan
lentes, ¿cuántos varones usan lentes?
6. A una convención asistieron 100 universita-
rios, los de provincia representaron el 13 por
25 del total. ¿Cuántos universitarios no son
de provincia?
Problemas de aplicación
7. Se hizo una encuesta de las preferencias por
algunas profesiones en las aulas del colegio
Bertolt Brecht, obteniéndose los siguien-
tes resultados de un total de 200 alumnos:
a los 6 por 25 les gusta la carrera de inge-
niería, los 3 por 25 se inclinan por la gastro-
nomía y los 3 por 20 apuntan para negocios
internacionales. ¿Cuántos desean otras ca-
rreras?
8. Sea 6 el 15 por 100 de un número A y 7
el 10 por 100 del 1 por 2 de un número B.
Calcula A×B.
9. Una señora lleva 3000 manzanas al merca-
do, de las cuales el 30 por 1000 estaban ma-
logradas y solo pudo vender el 20 por 30 de
las buenas. ¿Cuántas manzanas se quedaron
sin vender?
10.Doña Tomasa lleva 200 kilos de papa al
mercado minorista y por tiempo de venta se
pudre el 10 por 100. De lo que quedó solo
se llegó a vender 3 de cada 5 a S/.1,50 el
kilogramo. ¿Cuánto obtuvo por dicha venta?
Actividad domiciliaria
1. Resuelve las siguientes aplicaciones.
a. El 7 por 12 de 420 es .............................
b. El 6 por 14 de 420 es .............................
c. El 25 por 100 de 60 es ...........................
d. El 5 por 13 de 650 es .............................
e. El 5 por 9 del 6 por 10 de 225 es ...........
f. El 2 por 3 del 7 por 5 de 4500 es ...........
2. En la avícola se venden huevos en paquetes
de 6 unidades, de los cuales 2 de ellos son
rosados. Si en total venden en el día 5 doce-
nas, ¿cuántos huevos son de color rosado y
cuántos de otro color?
3. Se tiene un total de 20 manzanas, las cuales
se van a dividir en 5 partes iguales.
a. ¿Cuál será el 40 por 100?
b. Representa la selección de dichas partes
de manera gráfica.
4. Si en total se tiene 2800.
a. Cuál será el 3 por 7.
b. Halla el 7 por 10.
c. Cuál será el 25 por 100.
d. Halla el 3 por 4 del 8 por 12.
5. Con criterio del tanto por cuanto, da respues-
ta a los siguientes ejercicios y calcula A+B.
a. A es el 3 por 10 del 17 por 20 de 200.
b. B es el 6 por 11 del 44 por 24 del 16 por
36 de 540.
6. Un estudiante va a comprar libros, de los
S/.50 que tenía, gastó el 2 por 3 de lo que
no gastó. ¿Qué cantidad de dinero gastó?
7. De un conjunto de 800 personas, el 3 por
4 son varones y el resto mujeres. Sabiendo
que el 12 por 15 de los varones y el 15 por
100 de las mujeres están con ropa formal,
¿cuántas personas están vestidas con ropa
informal?
8. El 25 por 100 de 500, ¿qué significa? Repre-
séntalo gráficamente.

Aritmética
Compendio escolar
10
2
TEMA Tanto por ciento
Objetivos
 Reconocer y relacionar los elementos del tanto por cuanto con el tanto por ciento de canti-
dades dadas.
 Resolver ejemplos cotidianos de aplicaciones de tanto por ciento en diversas situaciones que
se dan en su entorno.
El papiro de Rhind, o también conocido como papiro de Ahmes, debe su nombre a Henry Rhind,
egiptólogo escocés que en 1858 adquirió una colección de papiros entre los que se encontraba
este. Data del 1650 a. n. e., mide aproximadamente 6 metros de largo por 33 centímetros de an-
cho y su contenido es puramente matemático, con 87 problemas planteados y resueltos. El autor
del mismo es un escriba llamado ach-mosé, también conocido como Ahmes. Actualmente se
encuentra en el Museo Británico de Londres y comienza con la frase: “Cálculo exacto para entrar
en conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios”.
Se supone que podría tener como finalidad el ilustrar a los futuros escribas en el ejercicio de
sus actividades (relacionadas con la recaudación, con los repartos, etcétera), por lo que la reso-
lución de los problemas está escrita de modo pedagógico. Además, en el comienzo del papiro,
Ahmes hace alusión a que la escritura del mismo es una recopilación de información extraída
de otros de 200 años de antigüedad, lo que lleva a suponer que la resolución de los problemas,
como poco, data del 1900 a. n. e. Entre sus problemas planteados destacan los relacionados con
la multiplicación y división, fracciones unitarias, áreas de rectángulos, triángulos y círculos, reso-
lución de ecuaciones con una incógnita y cálculo de volúmenes y cálculos sobre pirámides.
El papiro de Moscú, originalmente conocido como papiro de Golenishchev, fue comprado por
Golenishchev en 1883, pero tras ser adquirido por el Museo de Bellas Artes de Moscú en 1912,
se le conoce con el nombre de papiro de Moscú. Data de 1890 a. n. e., mide aproximadamente 5
metros de largo por 8 centímetros de ancho y, al igual que el papiro de Rhind, es un papiro con
contenido puramente matemático, con 25 problemas planteados y resueltos. De autor descono-
cido, en este caso, no es tan clara la finalidad del mismo. En la parte superior, el papiro original
está en escritura hierática y en la parte inferior su traducción en jeroglífica. De dicho papiro po-
demos destacar los problemas relacionados con áreas de rectángulos y triángulos, volúmenes de
pirámides truncadas, cálculo del área superficial de un “cesto”, ecuaciones lineales y fracciones
unitarias.
El papiro de Berlín es una colección de papiros matemáticos y médicos datados alrededor
de 1300 a. n. e. Al igual que el papiro de Moscú, se desconoce el autor de los mismos. Entre sus
papiros se encuentran problemas relacionados con las fracciones unitarias, ecuaciones lineales y
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (una de las cuales es además de segundo grado).
Papiros matemáticos

3.o
de secundaria 11
Aritmética
María y José reunieron sus ahorros para comprar una lavadora para su mamá
por día de la madre. María reunió la mitad de lo que se necesitaba y José el
50% del resto. Luego los chicos fueron hasta el local donde se vendía la la-
vadora y llevaron consigo sus ahorros ya reunidos. Como los chicos iban a
pagar al contado la dueña de la tienda les hizo un descuento del 25%. ¿Les
alcanzó el dinero que llevaban para concretar la compra?
Recuerda que...
El tanto por ciento es el número de partes iguales que se toma de una cantidad total
dividida en cien partes iguales.
Quiere decir que si dividimos a una cantidad en cien partes iguales y luego tomamos
cierto número m de esas partes, nos estamos refiriendo entonces al tanto por ciento.
Luego
total <> 100 partes iguales
m partes
1
1
n
n
1
1
n
n
1
1
n
n
...
... ...
...
1
1
n
n
1
1
n
n
es equivalente al m por 100 del total o al m por ciento del total, es decir, los
m
100
del total.
Observación
1. Toda cantidad representa el 100% de
sí misma.
N <> 100%N
1 por ciento=1%=
1
100
2. El símbolo % se cancela con dos ceros;
es decir:
40%(300)=120
Por ciento viene del latín per centum que
significa “por cada cien”. O también uno
por cada cien.
Cuando decimos “quince por ciento de los
alumnos llegaron tarde”, queremos decir
que:
quince de cada cien estudiantes
llegaron tarde.
Porcentaje: Es el resultado de aplicar el
tanto por ciento a una determinada canti-
dad.

Aritmética
Compendio escolar
12
Equivalencia
Todo porcentaje puede ser expresado como una fracción o viceversa.
20% <>
1
5
25% <>
1
4
30% <>
3
10
60% <>
3
5
75% <>
3
4
32% <>
8
25
1/20 <> 5%
4/5 <> 80%
1/25 <> 4%
3/20 <> 15%
2/5 <> 40%
3/10 <> 30%
Actividad en el aula N.o 1
1. Resuelve el problema contextualizado con apoyo del profesor, contestando las siguientes pregun-
tas en forma detallada.
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
c. ¿Cuál es el planteamiento que debemos hacer ahora?
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
2. A una reunión asistieron 200 personas, de las cuales 60 son varones.
a. ¿Qué tanto por ciento son mujeres?
b. ¿Qué tanto por ciento son varones?
c. ¿Qué tanto por ciento de las mujeres son los varones?
d. ¿Qué tanto por ciento de los varones son las mujeres?
3. Halla el porcentaje de las cantidades (aplica el tanto por cuanto).
a. 40% de 1800
b. 30% de 600
c. 75% de 900
d. 25% de 0,8
e. 15% de 20 del 8% de 250
f. 32% de 1500
g. 2% de 750
h. el 2% del 6% de 35 000

3.o
de secundaria 13
Aritmética
4. Juan compra un cuarto de tonelada de tomates, de los cuales el 20% se pierde y malogra en el
traslado. ¿Cuántos kilos le quedan para vender?
5. Bertolito reparte su fortuna a sus hijos de la siguiente manera: a Gina le da el 28% de la fortuna, a
María el 32% y a Fernando los S/.160 restantes. ¿Cuánto recibió Gina?
6. ¿De qué número R, 20 es el 25%? y ¿36 es el 20% de qué número S? Da como respuesta R+S.
7. ¿A qué tanto por ciento de toda la figura equivale la región sombreada?
Demuestra lo aprendido
8. Si gano 40% del dinero que tengo y luego gasto el 20%, ¿gano o pierdo? y ¿cuál es la cantidad si
al inicio tenía S/.300?
9. En una reunión el 40% de las personas son hombres. Si hay 180 mujeres, ¿cuántos son los hombres?
10.En un salón de clase hay 60 estudiantes, de los cuales las damas representan 2/5 del total. Si el
25% de varones no usan lentes, ¿cuántos varones usan lentes?
11.A una competencia deportiva asisten 200 personas, de las cuales el 15% son adolescentes.
¿Cuántos son mayores de edad?
Actividad domiciliaria N.o 1
1. Halla el porcentaje de las cantidades (aplica el tanto por cuanto).
a. 20% de 4600
b. 15% de 150
c. (32% de 1500)+(2% de 150)
d. (15% de 1800)+(10% de 750)
e. 25% de 8000
f.
1
2
% de 400
g. 0,02% de 80 000
h. 40% del 50% de 180
2. En una encuesta realizada a los alumnos del 5.o
año de secundaria del colegio Bertolt Brecht so-
bre las carreras a seguir, arrojaron los siguientes resultados de un total de 200 alumnos: al 24% les
gusta la carrera de ingeniería, el 12% se inclinan por la gastronomía y el 3 por 20 del total apuntan
para negocios internacionales. ¿Cuántos desean otras carreras?
3. ¿Qué tanto por ciento es 60, respecto de 240?

Aritmética
Compendio escolar
14
4. El 15% del 20% de 8500 es .....................
5. Si A es el 20% de B y B es el 10% de C, ¿qué
tanto por ciento de C es A?
6. Si Bertolito va al casino con S/.2400 y pier-
de el 40%, y luego gana el 10% de lo que le
quedaba; si ya no jugará más, ¿con cuánto
dinero se retira?
7. En una avícola de Zárate se crían aves de
corral; el 50% son pollos, el 30% gallinas y
60 son gallos. ¿Cuántas gallinas hay?
8. En una reunión benéfica para contrarrestar
la contaminación auditiva, el 25% son hom-
bres y el resto mujeres. Si se retiran la mitad
de las mujeres, ¿qué porcentaje del nuevo
total representan las mujeres que quedan, si
en total asistieron 200 personas?
9. La región sombreada de la siguiente figura,
¿a qué tanto por ciento del total equivale?
10.Tengo S/.2000 que recibí como aguinaldo
por los dos años de servicio en una empresa.
Si invierto en un negocio los 15 por 25, ¿qué
porcentaje del total aún me queda?
Porcentaje
Un poco de historia
La palabra se deriva del latín per centum que significa “por cien”. El
signo de porcentaje evolucionó por la contracción gradual de la frase
por cento. El per fue abreviado a menudo como “p.” y, finalmente,
desaparecido por completo.
El cento se reemplazó por dos círculos separados por una línea
horizontal de la que deriva la moderna “%”.
En la Roma antigua, mucho antes de la existencia del sistema decimal, los cálculos
se hacían a menudo en las fracciones que eran múltiplos de 1/100. Por ejemplo, el em-
perador Augusto estableció un impuesto de 1/100 de los bienes vendidos en una subasta
denominada centesima rerum venalium. Otros impuestos romanos eran 1/120 sobre cada
esclavo liberado y 1/125 en cada esclavo vendido. Sin reconocer esto como porcentaje,
usaban fracciones reducidas a las centenas para su cálculo fácil.
En la Edad Media, a medida que se empezó a usar grandes denominaciones de dinero,
el 100 se convirtió en una base comúnmente utilizada. Manuscritos italianos del siglo xv
contenían expresiones como “20 p 100” y “10 p cento” para indicar 20 por ciento y 10 por
ciento. Cuando la aritmética comercial apareció al final del siglo xv, el uso del porcentaje
estaba ya bien establecido. Por ejemplo, Giorgio Chiarino (1481) uso “xx. per .c.” para el
20 por ciento y “viii in x percento” para 8 a 10 por ciento.
El símbolo de porcentaje, %, seguramente evolucionó de un símbolo introducido
en un manuscrito anónimo de 1425. En lugar de “P cento”, que era común en ese
tiempo, el autor uso el símbolo que se muestra a la izquierda.
Para 1650, el símbolo se cambió a la forma que se enseña a la izquierda. Finalmente,
el “per” se dejó de usar, dejando este símbolo sin la p y se transformó en %.
<http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Historia_de_los_s%C3%ADmbolos_matem%C3%A1ticos>

3.o
de secundaria 15
Aritmética
Recuerda que...
1. Solo se pueden sumar o restar porcentajes de una misma cantidad.
a. Sustracción b. Adición
→ m%N–n%N=(m–n)%N → a%M+b%M+c%M=(a+b+c)%M
Así: 70%N–25%N=(70–25)%N=45%N Así: 20%N+40%N+30%N=(20+40+30)%N
2. Toda cantidad es el 100% de sí misma, entonces todo aumento o disminución en porcentaje se
hará sobre la base del 100%.
a. Un número aumentado en su 20% b. Un número disminuido en su 40%
N+20%N=100% de N+20% de N N–40%N=100% de N–40% de N
= 120% de N = 60% de N
3. Multiplicación
a b
a b ab
% % %
× = × =






100 100 100
Ejemplo
20%·40%=8%
En “planteo de ecuaciones” hemos visto que los términos “de” o “del” implican multiplicación.
Entonces el a% de una cantidad b se puede calcular así:
a b
a
b
% de =
100
·
Aplicando las propiedades mencionadas, resuelve las siguientes operaciones.
N.º Operación Resultado
1 15%A+95%A–100%A (15+95–100)%A=10%A
2 10% de M+40% de M+M
3 T+13%T
4 5%A+95%A–A
5 6%M+5%M+M
6 10% de P+30% de P
7 100%T+20%T–T
8 20% de 200+200
9 52% de T–14% de T
10 36% de B+12% de B
11 100% T+13%T
12 36% de B+12% de B

Aritmética
Compendio escolar
16
En un asentamiento humano del distrito de San Juan de Lurigancho, se ha observado que cada año
la población se incrementa en un 5%. Si el total de habitantes en el 2011 era de 1200, ¿qué población
se tuvo en el 2012 y cuál será la proyección para el final del 2014?
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
2. Resuelve los casos de tanto por ciento.
a. ¿Qué porcentaje de S/.192 será S/.144?
b. ¿De qué cantidad 240 es el 80%?
c. ¿Qué porcentaje será 64 de 320?
d. El 25% más de 360 es ....................
e. ¿Qué porcentaje menos será 240 de una cantidad de 300?
3. El precio del par de zapatillas en el mes de enero era de S/.50 y para el mes de marzo aumentó
en un 15%. ¿Cuál sería el precio del zapato en el mes de abril?
4. Juan Luis tiene S/.560, y desea invertir el 25% en juegos y el 20% en comida. ¿Cuál será su equi-
valente del gasto?
5. Si Manuel tuviera el 25% más de la edad que tiene, tendría 65 años. ¿Qué edad tuvo hace cuatro
años?

3.o
de secundaria 17
Aritmética
6. A un evento social asisten ochenta personas, de las cuales los hombres representan el 40%. Si
se retiran cuatro parejas y cuatro mujeres, ¿qué tanto por ciento representarán los hombres con
respecto a las mujeres que quedan?
7. El precio de un automóvil sufre una devaluación del 5% cada año. Si en el año 2010 se compró
un automóvil nuevo en S/.20 000, ¿cuál fue su precio en el año 2012?
8. Alberto gasta el 30% de su dinero en comprar ropa y el 25% en comida al mes. ¿Cuánto dinero le
sobra para otros gastos si gana S/.1200?
9. Un terreno en La Molina está valorizado en $80 000, y como condición se pide el 25% de cuota
inicial y el resto pagadero en ochenta cuotas. ¿Cuál es el pago mensual de cada letra, si estas
permanecen congeladas?
5. ¿De qué cantidad es 30 el 25%?
6. Si pierdo el 20% de mi dinero, mi hijo gana el
20% de lo que me queda y finalmente vuelve
a ganar 20%. Si tenía inicialmente S/.3000
¿gané o perdí y cuánto fue?
7. Bertolito desea tentar su suerte y para ello
va al casino y apuesta en la ruleta ganando
el 40% del dinero que tenía, y luego desean-
do ganar más vuelve a apostar pero pierde el
20%. ¿Cuánto ganó al final, si al inicio tenía
S/.400?
8. Si gano 40% del dinero que tengo en una in-
versión y luego gasto el 20% de lo que me
queda en gastos administrativos y a pesar
de ello aún me queda S/.280, ¿cuánto dinero
tenía inicialmente?
9. A una fiesta asisten hombres y mujeres, el
25% son hombres y el resto mujeres. Si se
retiran el 40% de los hombres y el 50% de las
mujeres, ¿qué tanto por ciento de las mujeres
que quedan son los hombres que quedan?
1. Anita se pone a pensar sobre la edad de su
padre. Si tuviera mi padre 25% más de la
edad que tiene, tendría sesenta años, ¿qué
edad tendrá dentro de siete años?
2. Juan es un mayorista que se dedica a la dis-
tribución de varios tipos de aves en los dife-
rentes mercados de Lima y los distribuye en
la siguiente proporción diariamente: el 40%
son pollos, el 30% gallinas y 90 son pavos.
¿Cuántos pollos reparte diariamente?
3. Andrés trabaja en el área de mantenimiento
en una distribuidora de gas y gana S/.800
mensuales. Si al siguiente mes le aumentan
el sueldo en un 25% por buen desempeño
y el siguiente mes recibe otro aumento del
30%, ¿cuál será su nuevo sueldo?
4. En una conferencia, el 70% son varones;
además, el 40% de los varones y el 60% de
las mujeres usan anteojos. ¿Cuántas perso-
nas hay en dicha reunión, si 108 no usan an-
teojos?

Aritmética
Compendio escolar
18
3
TEMA Descuentos y aumentos sucesivos
Objetivos
 Identificar los algoritmos convencionales para el cálculo de descuentos y aumentos sucesivos.
 Resolver problemas con descuentos y aumentos sucesivos en situaciones de la vida cotidiana.
A pesar de que la tecnología ha existido desde que
el ser humano tiene conocimiento y aplicación del
mismo, este no ha tenido tanta importancia como
en el último siglo.
Actualmente los países del primer mundo son
aquellos que toman en serio su desarrollo tecno-
lógico. Para verlo basta con observar las estadísti-
cas. Estados Unidos y Canadá siempre han tenido
un continuo estudio de sus tecnologías y por ello
se han mantenido estables a nivel internacional
con el paso del tiempo. Japón se dio cuenta de
ello y después de la Segunda Guerra Mundial in-
virtió tiempo, dinero y esfuerzo en la tecnología
para pertenecer al primer mundo y llegar a ser el país con mayor avance tecnológico hoy en día.
A mediados de los ochenta Corea, Singapur, Malasia, China y Taiwán también apostaron por
la tecnología y en este momento China es la nueva gran potencia económica con un crecimiento
tan acelerado que los chinos no saben qué hacer con tanto dinero (crecimiento cinco veces ma-
yor que en México, aproximadamente).
Los países que están en crecimiento, como México,
aún están rezagados en materia de tecnología por su fal-
ta de visión. Las empresas no se preocupan por utilizar
recursos actualizados, porque dentro del mismo país no
hay una cultura de competencia tecnológica. Es por ello
que la globalización está ayudando a las empresas ex-
tranjeras que llevan a los países menos desarrollados su
tecnología de punta y no encuentran competencia algu-
na con las empresas de la región.
Cuando un país logra tener un buen desarrollo tec-
nológico, el impacto se nota por todos los sectores. Se tiene la creencia que cuando se habla de
tecnología y de revolución digital se trata de medios de entretenimiento como los videojuegos,
la televisión e incluso la Internet y las computadoras. La realidad es que la tecnología en estos
tiempos afecta nuestro modo de vida a un nivel que si nos la quitaran de golpe, el índice de su-
pervivencia estaría por los suelos. El desarrollo tecnológico se observa en la simplicidad a la hora
de realizar las tareas diarias (hacer la comida en horno de microondas, comunicarse por medio de
celulares, Internet, etc.), en la economía (al haber mayor competencia los precios bajan y al tener
con qué producir más y de mejor calidad las ganancias aumentan), en la educación (si existe la
infraestructura los proyectos e investigaciones se aprueban), en el entretenimiento, etc.
La importancia y el impacto del
desarrollo tecnológico

3.o
de secundaria 19
Aritmética
Un vendedor realiza un descuento del 10% a una mercadería, sobre el precio de venta para un cliente,
pero este se acerca al gerente y consigue un descuento del 10% sobre lo facturado por el vendedor.
Si se dirige a la caja y paga S/.1620, ¿cuál es el precio de venta inicial al público?
Recuerda que...
Descontar o aumentar en forma sucesiva el a% y b% produce el mismo resultado que
descontar o aumentar el b% y a%.
El primer descuento o aumento se aplica a la cantidad inicial, y a partir del segundo
descuento o aumento estos se aplican a la cantidad que ha quedado del descuento o
aumento anterior.
Descuento único (D.U.) = −
−
( ) −
( ) −
( ) −
( )






−
100
100 100 100 100
100 1
a b c m
n
...
%
Aumento único (A.U.) =
+
( ) +
( ) +
( ) +
( )
−






−
100 100 100 100
100
100
1
a b c m
n
...
%
Descuentos sucesivos
Dos descuentos sucesivos de a% y b% equivalen
a un descuento único (D.U.) de:
D. U. = + −






a b
a b
·
100
%
Aumentos sucesivos
Dos aumentos sucesivos del a% y b% equivalen
a un aumento único (A.U.) de:
A. U. = + +






a b
a b
·
100
%
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

Aritmética
Compendio escolar
20
2. María compra una cartera y le hacen dos
descuentos sucesivos del 20% y el 30%. Si
pagó S/.11,20, ¿cuánto costaba la cartera?
3. Una lavadora cuesta $300 y se le hacen
dos descuentos sucesivos del 20% y 10%.
¿Cuánto se pagará por el artefacto?
4. ¿A qué aumento único equivalen dos au-
mentos sucesivos del 15% y del 20%?
5. Dos artículos se están ofertando con un
descuento del 51%, por lo que una persona
compró dos artículos en S/.294; ¿cuál es el
precio de cada artículo si cuestan igual?
6. Si el precio de venta de un artículo es de
S/.160, ¿cuál es el precio que se debe pagar
luego de descontar en forma sucesiva el 15%
y el 25%?
7. ¿A qué aumento único equivalen tres au-
mentos sucesivos del 10%, 20% y 50%?
8. En una feria popular, los artículos se están
ofertando con un descuento del 30% más el
30%, por lo que una persona compró dos ar-
tículos en S/.392; además, sus precios ini-
ciales se diferencian en S/.100. Calcula el
precio de cada artículo.
9. Bertolito tiene una deuda de S/.1000. Si se
le hacen dos aumentos sucesivos del 10% y
el 20%, por mora y gastos administrativos,
¿cuánto será el pago efectuado con los au-
mentos?
10.En enero, Sergio gana S/.600. Si en febrero
le aumentan el sueldo en un 20% y en julio
recibe un nuevo aumento del 30%, ¿cuánto
ganará luego del segundo aumento?
11.En un cierre de puertas, los artículos se ofer-
tan con un descuento del 51% con tarjeta.
Alberto compró dos artículos en S/.490. Si
sus precios iniciales se diferencian en S/.90,
calcula el mayor precio.
1. ¿A qué descuento único equivale el hacer los
descuentos sucesivos del 20% y 20%?
2. ¿A cuánto equivalen los descuentos sucesivos
del 20%, 20% y 20% de una misma cantidad?
3. Determina el aumento único equivalente a
dos aumentos sucesivos de 30% y 40%.
4. A inicios de año un obrero recibe un aumen-
to del 20% en su salario, en abril recibe otro
aumento del 10% con respecto de su nuevo
salario. ¿En qué tanto por ciento aumentó su
salario en relación con el del año pasado?
5. Dos descuentos sucesivos de 40% y 10%
equivalen a un único de ....................
6. Si el precio de venta de un artículo es de
S/.160, ¿cuál es el precio que debe pagar
luego de descontar en forma sucesiva el 15%
y el 25%?
7. Luis entra a un juego de tres apuestas con-
secutivas perdiendo y ganando, alternada-
mente, 80%, 10%, 70%, siempre en relación
con lo que tenía o quedaba. Si se retiró con
S/.66, ¿cuánto dinero perdió?
8. Juan gana S/.2000 y recibe al siguiente mes
dos aumentos de 10% y 10% por años de
servicio y responsabilidad. ¿Cuánto recibe
de sueldo?
9. El precio de un manual de enfermería cuesta
S/.220. ¿Cuánto debe pagar, si se le hacen
los descuentos sucesivos del 20% y 20%?
10.Carolina realiza una compra de una blusa y un
pantalón. En la blusa el comerciante le hace
dos descuentos sucesivos del 10% y 30% de
su precio inicial, y en el pantalón realiza tres
descuentos sucesivos del 40%, 20% y 10%.
Ella observa al momento de pagar que los
precios son iguales. Calcula el precio inicial
de cada artículo, si ambos sumaban S/.118.

3.o
de secundaria 21
Aritmética
4
TEMA Variación porcentual
Objetivos
 Identificar la forma práctica del cálculo de variaciones porcentuales, mediante los aumentos
y descuentos sucesivos.
 Resolver problemas con variaciones porcentuales en situaciones de la vida diaria.
Antes de realizar el proceso de postulación a la educación su-
perior es necesario que el estudiante investigue qué programas
académicos presentan mayores proyecciones laborales.
A la fecha, las carreras ligadas al área de la salud, de la
minería y de las tecnologías de la información son aquellas
que presentan mayor campo laboral. Esto significa que cer-
ca del 95% de sus estudiantes encuentran trabajo en su área
de formación al año de titularse.
Según el portal Mi Futuro.cl, ingeniería civil en minas es
la que mayor empleabilidad presenta con un ingreso sobre
los 2 millones mensuales, al igual que ingeniería civil metalúrgica. Les sigue geología, con un salario
cercano a estas cifras y un 98% de posibilidad de hallar empleo al año de haber egresado. En el área
de la salud, medicina y enfermería lideran la lista, aunque con algunas diferencias entre ellas. Mientras
la primera presenta un 95% de empleabilidad y sus remuneraciones alcanzan cifras cercanas a los
2 millones mensuales, la segunda ofrece menores ingresos, con sueldos que van desde los 750 mil al
millón, pero con un porcentaje de ocupación que alcanza el 98%. En tecnologías de la información,
ingeniería en conectividad y redes cuenta con un 92,8% de posibilidad de encontrar trabajo al primer
año de egreso, con salarios que fluctúan entre los 800 y el millón.
Carreras con menor proyección laboral
Contrario a este escenario, los programas ligados a las artes y humanidades presentan los porcentajes
más bajos en relación con la cantidad de egresados desempeñándose en su área de formación, como
es el caso de teatro, filosofía y licencia-
tura en artes con cifras inferiores al 50%.
Ignacio Brunner, director de em-
pleabilidad de Trabajando.com, plantea
que, en muchas ocasiones, los egresa-
dos deben ocupar sus competencias en
otros rubros para poder subsistir o contar
con más de un empleo. “Muchos tienen
la necesidad de desempeñarse en dos
trabajos: uno relacionado a lo que estu-
diaron durante media jornada o en deter-
minados días de la semana y otro que les
permita pagar cuentas y vivir”.
Las profesiones con mayor
empleabilidad e ingresos
Cómo se valora la profesión frente
a otras profesiones
0%
Médicos
Cs. Ecs. más reconocidos que... Cs. Ecs. igual reconocimiento que...
Cs. Ecs. menos reconocidos que...
Ingenieros Abogados Psicólogos
7%
5%
41%
51%
9%
45% 46% 50%
34%
17%
24%
69%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%

Aritmética
Compendio escolar
22
¿En qué tanto por ciento varía el área de un rectángulo cuando su largo aumenta en un 20% y su
ancho se disminuye en un 50%?
¿Qué es variación?
A1=B1×H1 A2=B2×H2 A1=2π·r1
2
A2=2π·r2
2
Cuando una magnitud cambia, sea de forma natural o por algún condicionamiento, se habla de una
variación que puede ser aumento o disminución, entonces habrá un valor inicial y un valor final para
la magnitud.
La variación porcentual se expresa indicando qué tanto por ciento representa el aumento o disminu-
ción respecto del valor inicial. Para ello usamos la relación.
En general:
variación porcentual=
aumento o disminución
valor inicial
×100
0%
El aumento o la disminución, según sea el caso que se presente, se obtiene mediante la diferencia
entre el valor final y el valor inicial.
tes preguntas en forma detallada.
..............................................................
..............................................................
..............................................................
..............................................................
hacer ahora?
..............................................................
..............................................................
2. Halla la variación porcentual de las cantidades.
a. Un artículo me costó S/.120 y deseo ga-
nar el 4 por 15 del costo. ¿Cuál será la
variación porcentual?
b. Pedro tiene S/.280 pero debido a una
mala inversión pierde el 2 por 7 de lo que
tenía. ¿Cuál es la variación?
c. La temperatura en Arequipa puede llegar
a disminuir hasta 15 °C mientras que en
Piura hasta 20 °C ¿Cuál será la variación
porcentual?
3. La temperatura ambiente a las 7:00 a.m. fue
16 ºC pero a las 2:00 p.m. fue 20 ºC. ¿Cuál
será la variación porcentual?
4. Un terreno en La Molina tiene forma cua-
drangular. ¿En qué porcentaje varía el área
de un cuadrado, si su lado varía en un 100%?

3.o
de secundaria 23
Aritmética
5. El área de un terreno que tiene forma cua-
drangular es igual a 144 m2
. Si los lados del
terreno aumentan en 25%, ¿cuál será la va-
riación porcentual del área de su terreno?
6. Si Juan pierde el 40% del dinero que tiene y
luego gana el 50% de lo que le queda, ¿cuál
fue la variación porcentual de su dinero?
7. Si el ancho de una superficie rectangular
aumenta en un 20% mientras que el largo
disminuye en 20%, ¿en qué tanto por ciento
varía su área superficial?
8. Se tiene un círculo. Si el radio se reduce a
1/3, ¿en qué porcentaje disminuye el área?
9. La base y la altura de un rectángulo son 20 m
y 16 m respectivamente. Si la base disminuye
en 25% y la altura aumenta en 20%, ¿cuál
será la variación porcentual?
Aplicación de variación porcentual
10.El ancho de una superficie rectangular au-
menta en 10% mientras que el largo dismi-
nuye en 30%. ¿En qué tanto por ciento varía
su área?
11.El lado de un cuadrado crece en un 25%.
¿En qué tanto por ciento aumentará su área?
12.Si el radio de un círculo se incrementa en un
30%, ¿en qué porcentaje aumentará el área?
13.¿En qué tanto por ciento aumenta el área de
un cuadrado, cuando su lado crece un 20%?
1. Una superficie tiene la forma de un cuadra-
do. Si uno de sus lados se incrementa en
10%, ¿en qué porcentaje aumenta su área?
2. ¿En qué tanto por ciento varía el área de un
rectángulo cuando su largo crece en un 20%
y su ancho disminuye en un 50%?
3. La base de un triángulo aumenta en 25%.
¿En qué porcentaje debe disminuir su altura,
para que el área no varíe?
4. Si el lado de una superficie cuadrangular se
incrementa en 10%, ¿en qué porcentaje au-
menta su superficie?
5. Se tiene un triángulo cuya base disminuye el
10% y su altura el 20%. ¿En cuánto se redu-
ce su área?
6. Si los lados de un cuadrado se triplican, ¿en
qué tanto por ciento aumentará su área?
7. La base y la altura de un rectángulo son
28 m y 15 m, respectivamente. Si la base
disminuye en 25% y la altura aumenta en
20%, ¿cuál será la variación porcentual?
8. Si Ricardo gana el 40% del dinero que tiene y
luego pierde el 50% de lo que le queda, ¿cuál
fue la variación porcentual de su dinero?
9. ¿En qué tanto por ciento varía el área de un
círculo cuando su radio se reduce en 30%?
10.El largo de un rectángulo aumenta en 20% y
su ancho disminuye en 10%. ¿Qué variación
porcentual tiene su área?

Aritmética
Compendio escolar
24
5
TEMA Aplicaciones comerciales
Objetivos
 Identificar los elementos que intervienen en las operaciones comerciales y valorar su aplica-
ción en la vida diaria.
 Resolver problemas de aplicaciones comerciales aplicando los algoritmos en diversas situa-
ciones de la vida diaria.
En el campo de la matemática los incas destaca-
ron principalmente por su capacidad de cálculo
en el ámbito económico. Los quipus y yupanas
fueron señal de la importancia que tuvo la mate-
mática en la administración incaica. Esto dotó a
los incas de una aritmética sencilla pero efectiva,
para fines contables, basada en el sistema deci-
mal; dominaron la suma, la resta, la multiplica-
ción y la división.
Por otra parte, la construcción de caminos,
canales y monumentos, así como el trazado de
ciudades y fortalezas, exigió el desarrollo de una
geometría práctica, que fue indispensable para la medición de longitudes y superficies, además
del diseño arquitectónico. A la par desarrollaron importantes sistemas de medición de longitud y
capacidad, los cuales tomaban el cuerpo humano como referencia.
Mayas
En astronomía inventaron el calendario solar que regía la actividad agrícola. Se guiaban de las
fases de la Luna y movimientos de las Pléyades. El más exacto hasta siglo xv, y además tenían
otro calendario para fiestas religiosas.
En matemática desarrollaron un sistema vigesimal numérico que llegaba hasta el número 19
y un signo equivalente al número cero. Y otros aspectos.
Aztecas
Los aztecas destacaron en la construcción de ciudades, la ciencia y las variadas expresiones del
arte. Tenían su propia escritura jeroglífica, un sistema de numeración y un calendario que consta-
ba de 18 meses, de 20 días cada uno y 5 adicionales, pero era inferior al de los mayas.
Desarrollaron la metalurgia trabajando especialmente el oro y el cobre, también en otros
aspectos.
Aportes prehispánicos
a la matemática

3.o
de secundaria 25
Aritmética
Sandra compró cinco sacos de arroz a S/.110 cada saco y lo ofrece al público a S/.140, pero en la
compra de dichos sacos de arroz hizo un gasto de S/.40 en transporte y traslado de la mercadería y
al realizar la venta hizo una rebaja de S/.5 por saco. ¿Cuál será la ganancia neta por cada saco que
se vendió?
Aplicaciones comerciales 1
Recuerda que...
1. Cuando el precio de venta está por debajo del precio de costo:
PV < PC → PV = PC –pérdida
2. Cuando el precio de venta y el precio de costo son iguales:
PV =PC → no hay ganancia ni pérdida.
3. Cuando el precio de venta es mayor que el precio de costo:
a. PV > PC → PV=PC +ganancia
b. GN =Gn –gastos
4. Las ganancias se representan como un tanto por ciento del precio de costo.
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

Aritmética
Compendio escolar
26
2. Un comerciante ha vendido un artículo en
S/.540 donde se está ganando el 35% del
costo. ¿Cuánto es el costo?
3. Se compró un televisor en $600 y luego se
vendió perdiendo el 25% de la venta. ¿En
cuánto se vendió?
4. Se vendió un automóvil en S/.6500, ganan-
do el 30% del costo. ¿Cuánto costó el auto-
móvil?
5. Un libro que costó S/.140 se vende ganando
el 20% del precio de venta. ¿En cuánto se
vendió?
6. Un comerciante compró una bicicleta a
S/.120 y la vendió ganando el 20% del costo.
¿A cuánto la vendió?
7. Bertolito es comerciante y adquiere un
artículo en S/.510, pero quiere venderlo
ganando el 15% del precio de venta. ¿Cuál
será el precio de venta?
8. ¿A cómo hay que vender lo que ha costado
S/.3000 para obtener una ganancia del 30%?
9. Compré una cocina pero como no me gustó
lo tuve que vender a menos de su precio en
$170, perdiendo el 15% del costo. ¿Cuál fue
el precio de costo?
10.A cómo debo vender lo que me costó S/.270
para ganar el 20% del precio de costo; más
el 10% del precio de venta, más S/.18.
1. Si gastara el 30% del dinero que tengo y ga-
nara el 28% de lo que me queda, perdería
S/.1560. ¿Cuánto tengo?
2. A cuánto debo vender lo que me costó S/.2700
para ganar el 10% del precio de venta.
3. Un empleado gana S/.500; si se le aumenta
el 20% y luego se le descuenta el 20% de su
nuevo sueldo, ¿cuánto recibirá el empleado?
4. Bertolito, aprovechando la ocasión, vendió
un escritorio en S/.240, ganando el 20% del
costo. ¿Cuál es el precio de venta del escri-
torio?
5. El dueño de una tienda compra mercadería
por S/.420. Si vendió dicha mercadería en
S/.600, ¿qué porcentaje de la venta ganó?
6. A inicios del mes, una familia gastaba $120.
Si la inflación durante dicho mes fue de
4,5%, ¿cuánto gastará dicha familia a fines
de mes?
7. Maritza después de juntar sus ahorros se
compra un celular Samsung en S/.690.
Como tenía necesidad urgente de dinero,
tuvo que vender el celular perdiendo el 15%
de la venta. ¿Cuál fue el precio de venta?
8. Por trabajo a medio tiempo, Juan percibe
S/.500; se le aumenta el 20% por produc-
tividad y luego se le descuenta el 20% por
tardanzas pero de su nuevo sueldo, ¿cuánto
recibirá el empleado?
9. Recibí como aguinaldo una cierta cantidad
de dinero, de ello gasto el 35% comprándo-
me un equipo de sonido, el 40% en un tele-
visor y el resto, que es $100, en un horno
microondas. ¿Cuánto me costó el televisor?

3.o
de secundaria 27
Aritmética
aPlicacionEs comErcialEs 2
El costo de un artículo es S/. 640, ¿qué precio se debe fijar para su venta, sabiendo que al venderse
se hace un descuento del 20% y aún así se obtiene un beneficio del 20% del costo?
Recuerda que...
PV = PL –descuento PV = PC +G
Donde: Donde:
PV=precio de venta PC=precio de compra
PL=precio de lista o precio fijado G=ganancia
Entonces
=precio de lista o precio fijado
Entonces PL –descuento=PC+G
Las rebajas se representan como un tanto por ciento del precio fijado o
de lista.
tes preguntas en forma detallada.
..............................................................
..............................................................
..............................................................
..............................................................
hacer ahora?
..............................................................
..............................................................
2. Un comerciante compró un pantalón en
S/.50 y fija para su venta un precio de S/.80.
Sin embargo, lo vende en S/.70 debido a que
hizo una rebaja de S/.10. Aparentemente,
está ganando S/.15. Identifica los elementos
de las situaciones comerciales.
3. Alberto compró un televisor. Si lo vendió
a S/.640 haciendo un descuento del 20%,
¿cuál fue el precio de lista fijado?
4. Para fijar el precio de un artículo se incre-
mentó en un 40% el precio del costo, luego
se hizo un descuento del 75% de lo que se
aumentó ganándose ahora S/.16. Calcula el
precio de venta.
5. Sobre el precio de lista de un artículo se hace
un descuento del 20%, de tal manera que se
obtiene una utilidad equivalente al 30% del
precio fijado. ¿Qué tanto por ciento del costo
se ha ganado?
6. Anita compra una cocina en S/.640, ¿qué
precio debe fijar para su venta, sabiendo que
al venderse se hace un descuento del 20% y
aún así se obtiene un beneficio del 20% del
costo?
7. Octavio compró una motocicleta en S/.1800.
¿A cuánto debe ofrecerla, si al momento de
la venta efectúa una rebaja del 10% y aún
así gana el 40% del costo?

Aritmética
Compendio escolar
28
1. Se vendió un carrito sanguchero en S/.1800
ganando el 20% del precio de costo. Halla el
precio de costo.
2. El costo de un artículo es S/.3200, ¿qué pre-
cio debe fijar para su venta, sabiendo que al
venderse se hace un descuento del 20% y
aun así se obtiene un beneficio del 20% del
costo?
3. Un comerciante compra un producto en
S/.80 e incrementa su precio en S/150. Si
hace dos descuentos sucesivos del 10+20%
de descuento, ¿a cuánto vende su producto?
¿Gana o pierde?
4. Un objeto costó S/.2400, ¿qué precio se fijó
para su venta al público, sabiendo que si al
venderlo se hacen dos descuentos sucesivos
del 20% y 20%, todavía se gana el 20% del
costo?
5. ¿Cuál fue el precio fijado de un artículo que
se vendió en S/.180 habiéndose hecho un
descuento del 20%?
6. Una persona pregunta en una tienda qué
descuento se le puede hacer sobre el precio
de un repuesto; le responden que el 20%. Va
otra tienda y le compra el mismo repuesto
con un descuento del 25%, ahorrándose así
S/.35. ¿Cuánto costaba el repuesto?
7. Para fijar el precio de venta de un artículo,
se aumentó en 30%, pero al venderse se hizo
una rebaja del 10% de este precio fijado.
¿Qué tanto por ciento del costo se ganó?
8. Para fijar el precio de venta de un artículo,
se aumentó en 30%, pero al venderse se hizo
una rebaja del 10% de este precio fijado.
¿Qué tanto por ciento del costo se ganó?
9. Luego de hacer dos descuentos sucesivos de
20% y 10%, un artículo costó S/.288. ¿Cuál
era su precio?
10.Se compra un artículo en S/.120. ¿Qué
precio debe fijarse para la venta, para que
teniendo un descuento del 25% todavía se
gane el 20% del costo?

3.o
de secundaria 29
Aritmética
6
TEMA Regla de interés simple
Objetivos
 Identificar los elementos que intervienen en la regla de interés.
 Expresar los elementos de interés en otras unidades equivalentes.
El comportamiento orbital de la Tierra no solo
es responsable de que tengamos un año bi-
siesto cada cuatro, sino de algo más. Ciertos
parámetros, como la atracción gravitatoria del
planeta, la órbita elíptica de la Tierra alrededor
del Sol y la inclinación
de nuestro planeta en
su eje, tienen influen-
cia en el cambio del
clima.
Generalmente se
piensa que la órbita
es circular, pero no es
tan sencillo, es más
bien un círculo excén-
trico e imperfecto.
Todos los planetas gi-
ran en una elipse al-
rededor del Sol, pero
la forma de la elipse
varía: cuando la órbi-
ta de la Tierra es más
elíptica, el planeta
está más tiempo ale-
jado del Sol y la Tierra recibe menos luz duran-
te el año. Estos periodos en los que la órbita es
más elíptica se presentan aproximadamente
cada 100 000 años.
El año bisiesto se ha instituido para mante-
ner nuestro calendario, que es artificial.
Aunque acostumbramos creer que a la Tie-
rra le lleva 365 días dar una vuelta alrededor
del Sol, en realidad necesita 365,25 días. Por
esta razón, cada cuatro años se añade un día
completo. Si no se tuviese en cuenta ese cuar-
to de día, el solsticio
se correría de la fecha
del 21 de diciembre o
junio a otra fecha en
el calendario.
El día terrestre de
24 horas es una cosa
transitoria. En reali-
dad requiere 23 ho-
ras, 56 minutos y 4
segundos para com-
pletar una revolución
sobre su eje, es decir,
para girar lo necesa-
rio como para que las
estrellas aparezcan en
el mismo punto del
cielo día tras día.
Sin embargo, du-
rante ese tiempo, la
Tierra también se avanza un día más sobre la
órbita alrededor del Sol, por lo que en realidad
tiene que girar un poco más para que el Sol
esté en el mismo lugar en el cielo. Este tiempo
es de 3 minutos y 56 segundos, lo que com-
pleta las 24 horas.
La órbita de la Tierra produce más
que un año bisiesto

Aritmética
Compendio escolar
30
Alfredo le pide prestado S/.80 a su amiga Lucero para devolverle dentro de un mes. Lucero accede
al préstamo con la condición de que al final de dicho tiempo le devuelva lo prestado más S/.20. De-
termina de la siguiente situación los elementos señalados.
Capital: ...............
Interés: ...............
Tiempo: ...............
Monto: ...............
Recuerda que...
En las unidades de tiempo se deben considerar
Mes comercial : 30 días
Año comercial : 360 días
Año común : 365 días
Año bisiesto : 366 días
Además
Quincenal : 15 días
Mensual : 1 mes
Bimestral : 2 meses
Trimestral : 3 meses
Semestral : 6 meses
Anual : 12 meses
Bianual : 24 meses
enero
febrero
febrero
marzo
abril mayo junio
julio
julio
septiembre
septiembre
septiembre
septiembre
septiembre
septiembre
septiembre
septiembre
septiembre
septiembre
septiembre
septiembre
septiembre
septiembre
septiembre
octubre
octubre
octubre
octubre
octubre
octubre
octubre
octubre
octubre
octubre
octubre
octubre
noviembre
noviembre
noviembre
noviembre
noviembre
noviembre
noviembre
noviembre
noviembre
noviembre
noviembre
noviembre
noviembre
noviembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
diciembre
agosto
ElEmEntos DE rEgla DE intErés
caPital
Se denomina capital a toda cantidad de dinero, bien material, servicio o esfuerzo humano que se va
a prestar o alquilar para que luego de un periodo de tiempo produzca una ganancia. También se le
conoce como el nombre de principal.
tiEmPo
Es el periodo durante el cual se va a ceder o imponer el capital.
Ejemplo: días, meses, bimestre, año, etcétera.
tasa DE intErés
También se le conoce como rédito, es la ganancia que se obtiene por cada cien unidades monetarias
impuestas en un cierto tiempo, por ello se expresa generalmente como un tanto por ciento.
intErés
Es la ganancia, beneficio o utilidad que produce el capital durante cierto tiempo.

3.o
de secundaria 31
Aritmética
1. Expresa en días.
a. dos trimestres+tres quincenas
b. dos años+un semestre+dos cuatrimestres
c. cuatro bimestres + doce semanas
d. tres semestres + cinco bimestres
e. 0,75% quincena
2. ¿Qué opción te produce mayor interés
anual?
a. 4% trimestral
b. 20% bianual
c. 1% mensual
d. 7,5% semestral
3. ¿Cuántos días han transcurrido del 25 de oc-
tubre del 2008 al 27 de enero del 2009?
4. Determina cuántos días transcurrirán desde
el 10 de diciembre del 2011 hasta el 10 de
marzo del 2012.
5. ¿A cuánto es equivalente el 48% anual en las
siguientes unidades de tiempo?
a. ......% mensual
b. ......% bimestral
c. ......% trimestral
d. ......% semestral
e. ......% diario
6. Determina las tasas equivalentes
a. 4% mensual <> n% semestral
b. 5% bimestral <> m% anual
c. 36% anual <> p% semestral
7. Determina cuántos días transcurrirán desde
el 10 de diciembre del 2011 hasta el 10 de
marzo del 2012.
8. Se tienen las siguientes equivalencias:
a% trimestral <> 24% cuatrimestral;
(a+7)% semestral <> b% bianual.
Calcula a+b.
9. Se tienen las siguientes equivalencias:
(p×q)% trimestral <> 80% cuatrimestral;
(s+11)% bimestral <> 90% semestral.
Halla s+p+q.
10.Determina cuántos días transcurren desde el
27 de febrero hasta el 9 de julio del presente
año.
11.De las siguientes equivalencias
(a+2b)% mensual <> 75% trimestral;
18% semestral <> (2a–b)% bimestral;
(a+b)% trimestral <> c% bianual.
Calcula a+b+c.
12.Determina las tasas equivalentes.
a. 5% mensual
b. 10% bimestral
c. 25% quincenal
d. 30% semestral

Aritmética
Compendio escolar
32
intErés simPlE
Analiza la siguiente situación
La señora Juanita no sabe qué hacer con su dinero de jubilación para obtener mayores beneficios.
Lo guarda en su alcancía.
El banco le ofrece una
ganancia de 10% anual.
Su compadre le ofrece 1%
mensual de ganancia.
¿En cuál de las siguientes opciones colocarías el dinero de la señora Juana?
Recuerda que...
Debemos tener en cuenta que para emplear la siguientes relaciones las
unidades de tasa y tiempo deben ser las mismas, si fuese t en años, en-
tonces r% debe ser en años, etcétera.
I=C×r%×t M=C+I
Donde
M: monto t: tiempo
C: capital I: interés
1. Resuelve en el cuaderno la situación analizada con apoyo del profesor, contestando las siguientes
preguntas en forma detallada.
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

3.o
de secundaria 33
Aritmética
2. Juan pide un préstamo de S/.800 que debe
devolver en un trimestre más 300. ¿Cuál es
el interés que debe pagar por mes?
3. Ana Lucía deposita en el banco un capital de
S/.3000. Calcula el interés que produce, si
ha sido impuesto durante tres años, al 30%.
4. Fiorella depositó S/.3000 en una entidad fi-
nanciera que paga el 10% bimestral. Si des-
pués de seis meses necesita el dinero para
invertir en un carro, calcula el interés que ha
producido y el monto a retirar.
5. Alejandra solicitó un préstamo de S/.2000
durante seis meses a una entidad financiera
al 10% mensual. Calcula el interés que paga
al cabo de dicho tiempo.
6. Calcula el interés y monto que produce un
capital de S/.300 en 18 meses al 4% men-
sual.
7. Fernando depositó un capital de S/.300 du-
rante un año y medio a una entidad financie-
ra al 10% semestral. Calcula el interés que se
obtiene al cabo de dicho tiempo.
1. Estefany deposita S/.2000 en una entidad
financiera durante dos años y medio, a una
tasa de 4% semestral. Calcula el interés ob-
tenido durante dicho tiempo.
2. Calcula el monto que produce un capital
de S/.1200 colocado a interés simple a una
tasa del 8% bimestral durante 10 meses.
3. El monto que genera un capital de S/.2000
impuesto al 10% mensual durante t años fue
S/.6800. Calcula el tiempo t.
4. Javier deposita cierta cantidad de dinero
durante dos años y seis meses. Si se sabe
que el interés que obtiene al cabo de dicho
tiempo es el 60% del monto, calcula la tasa
anual.
5. ¿Durante qué tiempo Patty depositó S/.2000
en un banco que le ofrece una tasa de 20%
anual para que retire el triple de lo que de-
positó?
6. Jasón reparte el dinero que tiene entre sus
dos hermanas, de tal manera que cada una
de ellas tiene cantidades iguales. Si ambas
colocan su dinero en bancos diferentes, que
les ofrecen una tasa del 2% mensual y el 20%
anual, obteniéndose al cabo de un año un
interés total de S/.22 000, ¿cuánto de dinero
tenía al inicio?
7. ¿Cuál es el interés acumulado en 180 días
por un depósito de ahorro de S/.1000, en el
que se percibe una tasa de interés simple del
48% anual?
8. Renato desea poner un negocio. Para ello se
hace un préstamo de su tío, que le ofrece
una tasa de 72% anual. Si efectúa el pago
dos meses antes ahorrándose S/.120, halla
la cantidad del dinero prestado.

Bibliografía
 HUAPAYA, E. & Salas, C. “Uso de las ideas matemáticas y científicas de los incas en la enseñanza-aprendizaje
de la geometría” en Revista Latinoamericana, 2008.
 INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES. Aritmética. Lima: Lumbreras Editores, 2009.
 RUBIÑOS TORRES, Luis. Aritmética. La enciclopedia. Lima: Editorial Moshera, 2006.
 RUIZ ARANGO, Isidro. Aritmética. Exámenes de admisión de la UNI. Lima: Coveñas.

3.o
de secundaria 35
Aritmética
7
TEMA Interés compuesto
Objetivos
 Identificar elementos que intervienen en el interés simple y el interés compuesto.
 aplicar y resolver situaciones del sistema financiero de su entorno.
tasas DE intErés DE nuEstro sistEma bancario
En nuestro sistema financiero sin duda existen diversas modalidades de ahorro y va a depender del
tipo de entidad financiera.
Nuestro banco le paga una
tasa de interés del
10% anual.
Sin embargo, nuestro banco
le paga un interés del 9%
anual, pero capitalizable
semestralmente.
OPCIÓN DE AHORRO
MANEJO
FINANCIERO
Ahorro a plazo fijo de S/.5,000 en un año
BANCOS
CAJAS MUNICIPALES
CAJAS RURALES
Azteca 8.00
6.75
6.50
5.20
5.00
4.95
4.95
5,400
5,337
5,325
5,260
5,250
5,247
5,247
5,334
5,325
5,325
5,425
5,350
5,350
6.69
6.50
6.50
8.50
7.00
7.00
Falabella
Comercio
Ripley
Financiero
Mibanco
Citibank
Tacna
Del Santa
Pisco
Los Andes
Cajamarca
Ayacucho
TREA (%)* Retiro (S/.)
 Es recomendable
tener el dinero en un
banco o caja de
modo que esté en
un lugar seguro y no
haya tentación de
hacer uso del
ahorro.
 Para esta meta se
debe procurar
siempre tener la
menor cantidad de
deuda posible. Hay
que comprar
después de obtener
el dinero y no con
créditos.
 Tener solo una
tarjeta de crédito, la
que presente los
costos más bajos y
las condiciones de
pago más
convenientes para el
cliente.
>> LAS QUE MÁS PAGAN
Responde en tu cuaderno.
1. ¿Qué es el ahorro y por qué es importante?
2. ¿Por qué conviene ahorrar a plazo fijo?
3. ¿Por qué es diferente el interés a pagar por las diferentes entidades?

Aritmética
Compendio escolar
36
¿Qué es
acumulable o
capitalizable? ¿?
Recuerda que...
El periodo de capitalización determina las unidades de la
tasa y el tiempo que se debe utilizar necesariamente en la
aplicación de la siguiente relación:
M=(1+r%)n
×C
donde
- M : monto
- r% : tasa de interés
- C : capital
- n : número de periodos de capitalización contenidos
en el tiempo de imposición.
Esto se debe a que el capital va cambiando, pues los inte-
reses se capitalizan (pasan a ser parte del capital).
1. Juan desea depositar S/.1000 en una de las entidades bancarias que presentan las siguientes
opciones:
Entidad bancaria Tasa Tasa anual
2% mensual
5% bimestral
20% anual
10% trimestral
0,05% diario
Responde.
a. Si tú fueras Juan, ¿en cuál de los siguientes bancos colocarías el dinero sabiendo que los in-
tereses que se obtienen cada 6 meses se acumulan o capitalizan?
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
b. Habiendo elegido Juan la mejor opción, ¿cuánto retiraría en un año?
...............................................................................................................................................
..............................................................................................................................................

3.o
de secundaria 37
Aritmética
2. Completa la tabla si en ella se muestra un
monto de S/.1000 que se capitaliza semes-
tralmente a una tasa del 20% semestral du-
rante un año y medio.
INTERÉS COMPUESTO
Periodo
(semestre)
Capital Interés generado
1 S/.1000 1000×20%=
2 S/. ×20%=
3 S/. ×20%=
Total de intereses S/.
Monto final S/. +S/. =S/.
Recuerda que...
Cuando se aplica el interés compuesto,
el interés generado en cada periodo es
diferente.
3. Marcos deposita S/.4000 a una tasa de 10%
anual capitalizable semestralmente durante
un año. Completa la tabla y calcula el monto
obtenido.
Periodo
(semestre)
1 S/.4000
2
Monto final
4. ¿Cuál será el monto a retirar de un capital
de S/.1600 impuesto al 25% semestral en
2 años capitalizable semestralmente?
Periodo
(semestre)
1 S/.1600
2
3
4
Monto final
5. Alberto desea poner un negocio; para ello se
presta del banco un capital de S/.2000 para
pagarlo durante 3 años a una tasa anual del
10% pero capitalizable anualmente. Calcula
el monto obtenido al finalizar el periodo.
6. Halla el monto recaudado por S/.12 000 a
un interés del 5% trimestral durante año y
medio capitalizable semestralmente.
7. Sarita deposita S/.5000 en una entidad fi-
nanciera durante 3 años a una tasa de 25%
semestral, capitalizable anualmente. Calcula
el interés obtenido durante dicho tiempo.
8. Elsa deposita S/.3000 a una tasa de 30%
anual capitalizable cuatrimestralmente du-
rante 8 meses. Calcula el monto y el interés
obtenido durante este tiempo.
9. ¿Cuál será el capital que impuesto al 5% se-
mestral capitalizable cada año produce en
3 años un interés de S/.1655?
10.Pensando en el futuro, Juan José depositó
S/.3000 durante un año y medio a una en-
tidad financiera al 5% trimestral. ¿Cuál será
la cantidad de dinero que retirará al cabo de
ese tiempo?

Aritmética
Compendio escolar
38
1. Katiuska deposita en el banco S/.1000
durante tres años al 10% trimestral. Calcula
el monto obtenido después de dicho tiempo.
2. Calcula el interés que produce un capital
de S/.5000 al imponerse al 20% bimestral
durante seis meses, capitalizable bimestral-
mente.
3. Calcula el capital que se debe depositar du-
rante 180 días al 10% trimestral capitalizable
trimestralmente para que produzca un inte-
rés de S/.693.
4. Julissa deposita S/.4000 a una tasa de 10%
anual capitalizable semestralmente durante
un año. Calcula el monto obtenido.
5. Si Gabriela deposita S/.2500 a interés com-
puesto, capitalizable cuatrimestralmente, du-
rante ocho meses al 10% bimestral, calcula
en cuánto se convierte el capital de Gabriela.
6. Calcula el capital que se debe imponer al
20% mensual durante un trimestre para que
se produzca S/.728 si el interés se acumula
mensualmente.
7. Se deposita N soles al 10% semestral con ca-
pitalización anual durante dos años y cinco
meses. Si el interés es S/.2800, calcula N.
8. ¿Qué capital impuesto al 20% bianual capi-
talizable cada año produce en tres años un
interés de S/.1655?
9. Calcula el interés que genera un capital de
S/.600 al 5% mensual durante medio año y
capitalizable bimestralmente.
10.María Alejandra deposita S/.5000, capitali-
zable trimestralmente, durante seis meses al
5% mensual. Calcula el total de dinero que
retirará María Alejandra de dicha financiera.

3.o
de secundaria 39
Aritmética
8
TEMA Aplicaciones con promedio geométrico
Objetivos
 Identificar y diferenciar el promedio geométrico de los demás promedios en un conjunto de
datos.
 aplicar propiedades de promedio geométrico en la resolución de problemas.
Estadística en el Perú
Las culturas peruanas tienen registrado uno de los instrumentos más
sofisticados para la contabilización del estado: el quipu.
El quipu fue utilizado como instrumento de contabilidad por los incas
y recientemente se ha descubierto que culturas como Caral y Wari tam-
bién lo utilizaron. El quipu sirvió al inca para controlar los pueblos con-
quistados así como para organizar la distribución de trabajo y alimentos.
Según los cronistas, Sinchi Roca mandó a realizar un censo en el que
arrojó un total de 4 millones de habitantes. En general, los incas fueron
buenos en la recolección de datos para la administración del estado.
Algo que no ocurrió en la colonia ya que los censos fueron utilizados
como método de recaudación tributaria.
Posteriormente en la etapa republicana, se han realizado once cen-
sos desde el primero que se realizó bajo el gobierno de Andrés de Santa
Cruz, resultado que arrojó una población de 1 873 736 habitantes.
El censo que se realizó el 21 de octubre de 2007 luego de un intento fallido de implementar
una nueva metodología llamada censo continuo que no fue respaldado por el gobierno de turno.
Por último, las aplicaciones en estadística y análisis de información están empezando a ser
requeridas por las empresas de consumo masivo, telecomunicaciones, banca, seguros, etc. Es
por eso que aún falta un gran trabajo de difusión de las herramientas estadísticas para solucionar
problemas de marketing que puedan contribuir en el desarrollo de la empresa.
Estadística moderna
Después de la Segunda Guerra Mundial, los avances en la
física, economía, marketing y telecomunicaciones abrieron
paso para el desarrollo de la estadística, entre los cuales se
puede mencionar el avance en las series temporales, la teoría
de juegos, la teoría del caos, redes neuronales y aplicaciones
diversas en la minería de datos.
Se pueden encontrar aplicaciones diversas en todas
las áreas del conocimiento humano en especial un recien-
te incremento en el desarrollo de técnicas estadísticas para
abordar problemas de marketing en las empresas de gran
envergadura ayudadas por la potencia de los computadores
actuales.
Adaptado de <http://estadisticaperu.blogspot.com/2009/04/historia-de-la-estadistica-en-el-peru.html>
Desarrollo de la estadística en el
Perú y el mundo
100

Aritmética
Compendio escolar
40
1. ¿Qué instrumentos usaron los incas para el
registro de su población y qué otras culturas
lo emplearon?
2. ¿Cuál fue el fin u objetivo del uso del registro
de los incas y en la colonia?
3. ¿Es importante en la actualidad la estadís-
tica?
Promedio
Concepto
Se denomina promedio o cantidad media al va-
lor representativo de otras varias cantidades, el
cual está comprendido entre el menor y el ma-
yor de ellos. A dicha cantidad también se le co-
noce simplemente como media de los datos.
Tipos
Según el tipo de operación, toman diferentes
nombres:
a. Promedio aritmético (MA)
b. Promedio geométrico (MG)

c. Promedio armónico (MH)

MH
n
a a an
=
+ + +
1 1 1
1 2
...
donde
- a1; a2; a3; ... an: números o cantidades

a a a an
n
1 2 3
< < < <
...
números

Ejemplos
1. Halla el MH de 4; 6 y 9.
MH 4 6 9
3
1
4
1
6
1
9
108
19
5 68
; ; ,
( ) =
+ +
= =
2. Halla el promedio aritmético de 3; 5; 11 y 13.
PA =
+ + +
=
3 5 11 13
4
8
3. Halla el promedio geométrico de 4; 18 y 3.
MG = × × = =
4 18 3 216 6
3 3
4. Halla el MA, MG y MH de 2 y 8.
MA =
+
=
2 8
2
5
MG = × =
2 8 4
MH =
+
= =
2
1
2
1
8
32
10
3 2
,
En los últimos cinco meses, una empresa de
transporte interprovincial dedicada al rubro tu-
rismo registró una tasa de inflación mensual de
2%, 5%, 20%, 20% y 25%, respectivamente.
Encuentra la tasa de inflación mensual prome-
dio durante ese tiempo.

3.o
de secundaria 41
Aritmética
1. Resuelve en el cuaderno el problema contex-
tualizado con apoyo del profesor.
hacer ahora?
2. Halla el promedio
a. aritmético de 8; 12; 20 y 40.
b. geométrico de 4; 8; 16 y 1/32.
c. armónico de los números 6; 9 y 12.
3. Halla la media geométrica de los números
1089 y 4.
4. El promedio geométrico de dos números es
15, y de otros dos números es 60. Halla el
promedio geométrico de los cuatro términos.
5. Las edades de cuatro hermanos son propor-
cionales a 2; 3; 4 y 5. Halla la edad del me-
nor si el promedio de todas las edades es 21.
6. De las siguientes cantidades 12; 36; 3/8 y
9/18, determina la media geométrica.
1. Las edades de un padre y un abuelo están
representadas por ab y ba. Si la media arit-
mética de ambas edades es 66, además
se cumple que a2
+b2
=32, halla la media
geométrica de sus edades.
2. Cuatro hermanos perciben como remune-
ración diaria en su centro de trabajo S/.80,
S/.40, S/.60 y S/.20. Halla el promedio per-
cibido diariamente por los cuatro hermanos.
3. El promedio de las edades de tres personas
es de 12 años. Si agregamos a una cuarta
persona, cuya edad es de 24 años, ¿cuál
será el nuevo promedio?
4. Las utilidades obtenidas por una compañía
constructora en cuatro proyectos de cons-
trucción fueron de 1%; 2%; 8% y 16%, res-
pectivamente. ¿Cuál es la media geométrica
de las ganancias?
5. El promedio aritmético de las edades de 6
alumnos es 17 años, y de otros 4 alumnos
es 15 años. ¿Cuál es el promedio aritmético
de todo el grupo?
6. La media geométrica de tres números es 32,
y la media geométrica de otros dos números
es 243. Halla la media geométrica de los cinco
números.
7. La media geométrica de dos números es 50
y su media armónica es 40. Halla la diferen-
cia de los números.
8. Se tienen las siguientes cantidades 12; 27 y 9.
Determina las medias aritméticas y geomé-
tricas.
9. El promedio geométrico de dos números es
28, y el promedio aritmético es 32,5. Halla la
suma de los cuadrados de dichos números.

Aritmética
Compendio escolar
42
9
TEMA Introducción a la estadística
Objetivo
 diferenciar tipos de estadística y los conceptos de población, muestra y variable a través de
diversas técnicas.
La estadística en el mundo se inicia con la necesi-
dad de los gobernantes de conocer el total de la po-
blación de su reino para fines administrativos, tribu-
tarios y militares. Las primeras culturas en realizar
censos fueron la cultura China y la egipcia, también
se tiene registrado que la cultura griega y la romana
utilizaban censos continuamente para fines tributa-
rios. Un acontecimiento muy conocido en la historia
cristiana relacionada con el censo ocurrió hace dos
mil años cuando José y María regresaron a Belén
para ser censados en su ciudad natal, sin saber que
María alumbraría en un establo.
La estadística no dio un salto importante hasta después de la Edad Media en la que persona-
jes importantes como Leonardo da Vinci, Nicolás Copérnico, Galileo, Neper, William Harvey, Sir
Francis Bacon y René Descartes aportaron en la difusión del método científico, que asentó las
bases para el desarrollo de las ciencias.
En el siglo xvi se empezaron a registrar en Inglaterra las defunciones, que luego se convertirían
en grandes registros que abarcaban historias de 30 años, en los que luego fueron incorporándose
datos de nacimientos y sexo. Con esta información, John Graunt realizó predicciones sobre los
nacimientos y defunciones. Estos hechos fueron esfuerzos innovadores en el desarrollo de la es-
tadística. Había nacido la demografía.
Un siglo después, científicos como Bernoulli, Francis Maseres, Lagrange y Laplace desarrolla-
ron la teoría de la probabilidad, que inicialmente solo tenía aplicaciones en juegos de azar, pero,
más adelante, fue de gran ayuda en la investigación científica.
En 1760, Godofredo Achenwall acuña el término estadística a la nueva ciencia, la cual extrajo
del término italiano (estadista). Convencido de que la estadística ayudaría a los gobernantes en
su misión de administrar de mejor manera el estado.
El descubrimiento de la distribución normal también marco un hito en la estadística; sin em-
bargo, los aportes más importantes a la estadística moderna los dio a conocer Ronald Arnold
Fisher, considerado el padre de la estadística moderna por algunos. Fue quien introdujo la esta-
dística para la mejora en la planificación y el diseño de experimentos en 1912. Posteriormente,
Karl Pearson y Egon Pearson desarrollaron los métodos de contraste de hipótesis.
Etapa actual
Comprende desde principios del siglo xix hasta nuestros días. En esta etapa, la matemática se
plasma como la columna vertebral de la estadística y se caracteriza por el gran desarrollo al-
canzado como ciencia y como una metodología de investigación científica aplicada a todas las
áreas del saber humano: Ingeniería, Biología, Economía, Industria, Comercio, Administración,
Medicina, entre otras.
Adaptado de http://estadisticaperu.blogspot.com/2009/04/historia-de-la-estadistica-en-el-peru.html
Estadística en el mundo

3.o
de secundaria 43
Aritmética
1. ¿Cómo y por qué causas nace la estadística?
2. ¿Cuáles fueron las primeras culturas que utilizaron registros estadísticos?
3. ¿Qué es la demografía y cómo se inició?
4. ¿Es importante la estadística en la actualidad?¿Por qué?
EstaDística
concEPto
Es la ciencia pura y aplicada que se encarga de la recolección, clasificación, análisis e interpretación
de datos de una investigación científica con la finalidad de efectuar decisiones adecuadas frente a la
incertidumbre. A continuación observemos el diagrama.
ESTADÍSTICA Datos
Interpreta
Obtener
conclusiones
Tomar
decisiones
Recopila clasifica
Analiza
clasEs
a. Estadística descriptiva. Se encarga de recopilar, clasificar, presentar, analizar e interpretar un
conjunto de datos.
b. Estadística inferencial. Llamada también inductiva y de pronóstico, cuyo objetivo es investigar
cómo deben ser utilizados los datos para deducir resultados o probar alguna hipótesis.
concEPtos DE términos usaDos En EstaDística
a. Población.Eselconjuntouniversaldelcualsevanaobtenerdatos(sonlosobjetosuobservaciones).
b. muestra. Es un subconjunto de la población. Una muestra debe ser representativa de tal manera
que permita obtener información adecuada.
Ejemplo
Hay 34 alumnos del colegio Bertolt Brecht que cursan el cuarto año “D” de secundaria.
c. variable. Es una característica de la población. Las variables se clasifican de la siguiente manera:
Variable
cualitativa
Es aquella cuyos valores
son cualidades, propie-
dades.
Variable cualitativa nominal
No existe una jerarquía y no
lleva ninguna ordenación.
Ejemplos
Comida, color de piel
Variable cualitativa ordinal
Existe jerarquía y hay un orden
en términos de grado.
Ejemplos
Nivel socioeconómico,
grado de instrucción
Variable
cuantitativa
Es aquella que se obtiene
como resultado de medi-
ciones o conteos.
Variable cuantitativa discreta
Es un valor entero no negativo.
Ejemplos
Número de hermanos,
edad
Variable cuantitativa continua
Puede tomar valores no nece-
sariamente enteros.
Ejemplos
Peso, talla, notas obte-
nidas

Aritmética
Compendio escolar
44
1. ¿Cuál es la diferencia entre estadística descriptiva y estadística inferencial? Cita un ejemplo.
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
2. ¿Cuál es el organismo estadístico oficial en nuestro país y cuáles son sus principales funciones?
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
3. En una empresa encargada de ensamblar equipos eléctricos, el jefe de producción ha puesto a
prueba a 40 de sus obreros para estudiar el tiempo de ensamble de un nuevo equipo obteniendo
diferentes resultados. Identifica los elementos estadísticos estudiados.
Población Muestra Variable Tipo de variable
4. En las situaciones presentadas, identifica la población, la muestra y la variable con sus tipos.
Situación Población Muestra Variable
Tipo de
variable
a. Juan quiere poner un negocio de co-
mida rápida en Comas en la urbaniza-
ción El Retablo; para ello, se realiza un
estudio de mercado entrevistando a 80
personas que viven en la zona.
b. Se quiere el estado civil de los padres
de los alumnos del Sagrado Corazón.
Se encuestan a 103 personas obtenien-
do los siguientes resultados: 40 están
solteros, 45 casados, 12 son viudos y 6
están divorciados.
5. Coloca en los paréntesis M si es muestra o P si es población según corresponda.
a. Los electores en el Perú ( )
b. Las notas de 60 estudiantes de un colegio estatal ( )
c. Entrevistar a 30 de los clientes de un supermercado ( )
d. Realizar un estudio con todos los ancianos de un asilo ( )
e. El salario de 800 empleados de la compañía Coca Cola ( )
f. Los padres de familia de cinco colegios del departamento de Lima ( )

3.o
de secundaria 45
Aritmética
6. Escribe el tipo de variable según corresponda:
a. Programa favorito ....................
b. Contextura ....................
c. Uso de ají especial para aderezo ..............
d. Votos obtenidos para alcalde ..................
e. Espacio recorrido ....................
f. Tiempo en el Facebook ....................
g. Servicios básicos ....................
h. Cantidad de hijos por familia....................
i. Ingreso familiar ....................
j. Tiempo de duración....................
7. En una comunidad nativa, el doctor Fuen-
tes desea determinar los tipos de enferme-
dades contagiosas que hay en la zona en
alumnos de secundaria. Identifica la pobla-
ción, la muestra y la variable con sus tipos.
1. Analiza las siguientes situaciones e identifica la población, la muestra y la variable con sus tipos.
Situación Población Muestra Variable
Tipo de
variable
a. Se desea estudiar el ingreso
mensual promedio de 800 pa-
dres de familia de un colegio. Se
seleccionará una muestra de 50
familias.
b. Queremos conocer cuál es el co-
lor de la tapa de los cuadernos
más usados por los alumnos en
el colegio Bertolt Brecht; para
ello se selecciona a 25 alumnos
al azar en el receso.
2. Escribe el tipo de variable según corresponda.
a. Comida favorita ....................
b. Profesión ....................
c. Número de goles anotados por tu equipo
....................
d. Color de ojos ....................
e. Clase social ....................
f. Estatura ....................
g. Cantidad de hijos por familia ....................
h. Estado civil ....................
i. Velocidad de un auto ....................
j. Tiempo de duración de una bicicleta
....................
3. Luego de entrevistar a ocho de los pasajeros
que viajaban en el bus de la empresa Como
un Rayo, que chocó intempestivamente con-
tra un poste, se concluyó que el chofer era
inocente. Identifica la población, la muestra
y la variable con sus tipos.
4. En el asentamiento humano Estrellitas de
Dios, 40 madres de familia denunciaban el
constante peligro que atraviesan por las ca-
lles debido a los grupos de pandillaje exis-
tentes en la zona. Identifica la muestra, la
población y la variable con sus tipos.
5. Se realizó una encuesta en un colegio esta-
tal para conocer los casos de desnutrición.
Para ello, se entrevistó a los niños de educa-
ción primaria. Según lo indicado, identifica
la población, la muestra y la variable con sus
tipos.
Población Muestra Variable
Tipo de
variable

Aritmética
Compendio escolar
46
TEMA Tabla de frecuencias para datos agrupados
Objetivo
 Identificar y construir las tablas de distribución de frecuencias a partir de conceptos básicos
de estadística descriptiva.
La tecnología avanza, es un hecho;
el hombre también. Sin el hombre, la
tecnología no avanzaría. El hombre
a través de la historia ha plasmado
sus inquietudes utilizando la tecnolo-
gía a su alcance; esta ha permitido
al hombre realizar sueños imposi-
bles, ha transformado las civilizaciones dejando
resultados a favor y en contra, ha facilitado las
herramientas de comunicación, como también
ha generado diferencias entre las naciones y por
ende en los seres humanos, obligándonos inclu-
so a reflexionar sobre el impacto de la tecnolo-
gía en el hombre y su devenir.
Es una de las expresiones más propias de
los seres humanos; por lo tanto, lejos de deshu-
manizarnos, es una extensión de nuestra capa-
cidad creativa.
El hombre durante su historia ha hecho esfuerzos para que sobreviva como especie; ha sobre-
vivido gracias a su adaptación al medio en que lo rodea.
Lo cierto es que la tecnología es un gran triunfo del hombre sobre su entorno, es la modi-
ficación del medio realizada por el hombre; claro está que también ha generado problemas de
contaminación, ha utilizado adelantos tecnológicos con fines bélicos y muchos de los productos
tecnológicos no están al alcance de todos.
En conclusión, estos aspectos de la tecnología deben revisarse y cambiarse, pero nunca se
podrá concebir al hombre sin ella, ya que la tecnología es el resultado de la evolución y la inteli-
gencia humana.
http://tecnoambientalismo.blogspot.com/
Evolución del hombre con la
tecnología versus sin tecnología
1. ¿Por qué es importante la tecnología?
2. De la lectura, ¿qué significa “la tecnología es un gran triunfo del hombre sobre su entorno”?
3. Cita tres ejemplos sobre adelantos tecnológicos de nuestro tiempo, y explica brevemente cada
uno de ellos.

3.o
de secundaria 47
Aritmética
Aritmética
Compendio escolar
47
Tabla de frecuencias para datos agrupados
Para organizar y resumir la información o datos se usan las tablas de frecuencias. Existen dos tipos
generales de tablas de frecuencias para representar un conjunto de datos.
Tipos
a. Tablas de frecuencias para datos no agrupados (tablas sin intervalos)
b. Tablas de frecuencias para datos agrupados (tablas con intervalos)
Recuerda que...
encabezado
cuerpo
Fuente
título
Cuando los datos o información de la variable en estudio son muy grandes, se reúnen en grupos o
intervalos.
Elementos de la tabla de frecuenciaS
q fi: frecuencia absoluta
q hi: frecuencia relativa
q Fi: frecuencia absoluta acumulada
Intervalos xi fi Fi hi Hi
[3; 6〉
[6; 9〉
q Hi: frecuencia relativa acumulada
q Xi: marca de clase
Para organizar la información recogida en intervalos, se debe saber los elementos y el procedimiento
para hallarlos. Estos son:
a. Rango o amplitud (R). Es la longitud de alcance que resulta de la diferencia del mayor y el menor
valor.
rango=xmáximo –xmínimo
b. Intervalo de clase (Ii). Para obtener un valor adecuado (aproximado) del número de clase (k),
podemos usar la regla de Sturges.
k=1+3,3·logn
O también k n
= donde n es el tamaño de la muestra o número de datos.

Aritmética
Compendio escolar
48 3.o
de secundaria 48
c. Ancho de clase (W). Es la diferencia que
hay entre los extremos de cada intervalo de
clase.
Sea el intervalo [Li; Ls〉.
W=Ls –Li
También
W=R/k
d. Marca de clase (Xi). Son los puntos medios
de los intervalos de clase.
Sea el intervalo [Li; Ls〉.
X
L L
i
i s
=
+
2
En la campaña médica realizada por el MINSA
en el 2013 con los alumnos de secundaria del
colegio Bertolt Brecht, se recogieron los siguien-
tes datos sobre los pesos de 50 estudiantes del
cuarto año de secundaria. ¿Cuáles serían tus
conclusiones?
73 67 67 60 61 67 57 59 57 77
69 76 52 69 72 76 77 94 77 93
73 70 68 72 63 47 82 70 67 80
70 85 70 73 58 58 67 68 66 86
79 88 67 54 56 64 46 63 84 74
1. Identifica la población, la muestra y el tipo de variable del problema contextualizado.
2. Resuelve en el cuaderno el problema contextualizado con apoyo del profesor.
a. ¿Qué hacemos primero? ....................
b. ¿Qué tomamos del enunciado? ....................
c. ¿Cuál es el planteamiento que debemos hacer ahora? ....................
3. Completa el cuadro.
La tabla muestra una distribución de frecuencias de los salarios semanales en nuevos soles de 80
empleados de la compañía Sarita S.A.
Salario
(nuevos soles)
N.° de
empleados
Fi hi Hi
[100; 110〉 8
[110; 120〉 12 0,15
[ ; 〉 0,20 0,45
[ ; 〉 24
[140; 150〉 14 74
[150; 160〉 6
n=80

3.o
de secundaria 49
Aritmética
4. Respecto al cuadro anterior, responde o completa según corresponda.
a. El límite superior de la tercera clase es ....................
b. La frecuencia absoluta de la tercera clase es ....................
c. ¿Cuántos empleados ganan menos de S/.150? ....................
d. ¿Qué porcentaje de trabajadores ganan entre S/.150 y S/.160? ....................
e. Halla la marca de clase del último intervalo. ....................
f. ¿Qué porcentaje de trabajadores gana menos de S/.130? ....................
5. Dada la siguiente distribución de frecuencias respecto al ingreso familiar de 200 familias
Ingreso fi Fi
[ ; 〉 35
[ ; 240〉
[ ; 〉 45 120
[ ; 〉 160
[280; 〉
[ ; 〉 20
a. ¿Cuál es el ancho común?
b. ¿Cuántas familias tienen un ingreso comprendido entre S/.260 y S/.244?
6. En la siguiente distribución de ancho de clase constante, determina f2 +F4 –b+z–x.
Ii Xi fi Fi
[a ; b〉 50 n
[c ; d〉 70 20
[80; 100〉 z 2n b
[100; f 〉 110 n
[f ; g〉 130 n
Total 60

Aritmética
Compendio escolar
50
7. A continuación se tiene el peso en kilogramos de 50 estudiantes del colegio Bertolt Brecht que
cursan el 3.o
de secundaria.
48 93 57 81 66 49 72 62 85 61
62 82 63 49 78 56 77 48 51 80
71 70 46 79 87 64 83 62 76 55
61 47 75 85 92 74 57 75 81 73
87 59 80 51 90 82 63 94 84 65
Elabora la tabla de frecuencias y responde.
a. ¿Cuántos estudiantes pesan menos de 74 kg?
b. ¿Cuántos estudiantes pesan de 74 kg a más?
c. ¿Cuántos estudiantes pesan de 46 kg hasta menos de 53 kg?
Obs.: utiliza la regla de Sturges.
1. En la siguiente tabla de distribución de frecuencias, se desea mostrar en intervalos las edades de
los trabajadores de una empresa. Completa la tabla.
li xi fi hi
[10; 〉 0,05
[ ; 〉 25 18
[ ; 〉 35 24 0,40
[ ; –50〉 12
[ ; 〉 55
2. Ahora responde respecto a lo anterior.
a. ¿Cuál es el rango?
b. ¿Cuántos trabajadores tienen menos de 45 años?
c. ¿Qué tanto por ciento de trabajadores tiene 50 años o más?
3. Un grupo de 40 alumnos se encuentra en el patio de un colegio. A cada alumno se le pregunta por
su edad, obteniendo las siguientes respuestas:
09 11 12 15 16 10 11 13
13 11 15 14 12 15 13 10
11 14 16 11 10 09 13 14
17 10 12 13 14 13 14 17
10 15 14 13 10 09 17 16

3.o
de secundaria 51
Aritmética
Ahora responde.
a. Indica la variable.
b. ¿Cuántos alumnos tienen 11 años?
c. ¿Cuántos alumnos tienen más de 12 años pero menos de 15 años?
d. ¿Qué fracción del total representan los alumnos que tienen 10 años?
e. ¿Qué fracción del total representan los alumnos que tienen más de 12 años?
4. Se hizo una encuesta en un colegio del Cono Norte a un grupo de alumnos del 3.er
año sobre el
número de horas semanales que dedica en ver televisión. Completa el cuadro.
Horas
semanales
Xi fi Fi hi
[ ; 14〉 a d–a
[14; 20〉 b c+b
[20; 〉 c 10
[26; 〉 d 12
Total W
5. Del cuadro anterior, ahora responde.
a. ¿A cuántas personas en total se encuestaron?
b. ¿Cuántas personas se dedican a ver televisión con un número menor a 26 horas semanales?
c. ¿Cuántos alumnos ven televisión menos de 26 horas semanales?
d. Determina el porcentaje de alumnos que ven más televisión en la semana.
6. Se evaluaron a 50 estudiantes, obteniéndose los siguientes puntajes:
34 59 37 45 80 55 92 40 75 95
50 82 60 77 36 87 48 66 52 47
61 35 49 56 70 64 54 91 42 67
58 78 57 44 74 39 69 33 89 53
46 93 63 38 94 51 41 81 68 43
Elabora la tabla de frecuencias y responde.
a. ¿Cuántos estudiantes desaprobaron si el puntaje mínimo de aprobación es 51 puntos?
b. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron de 51 puntos a más?
c. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron de 87 puntos a más?
Obs.: utiliza la regla de Sturges.

Aritmética
Compendio escolar
52
7. Se distribuyen 30 empresas según la cantidad de trabajadores que tienen.
[Li -Ls 〉 fi Fi
20 - 30 2 d
30 - 40 a 6
40 - 50 3 e
50 - 60 b 15
60 - 70 c f
70 - 80 10 30
Halla a+b+c+d+e+f.
8. En la siguiente distribución de ancho de clase constante, determina x4 –f7 +h3 +h7.
Ii xi fi hi
[20 - 40〉 5
[40 - a〉 50 0,1
[a - b〉 b/4
[80 - 100〉
[100 - c〉 0,2
[c - d〉 130 10
[d - e〉 a/2
Total 100

3.o
de secundaria 53
Aritmética
1
1
TEMA Histograma y polígono de frecuencia
Objetivos
 organizar y representar la información obtenida en un histograma y polígono de frecuencia
para datos agrupados.
 Interpretar correctamente la información representada en el histograma y polígono de fre-
cuencia.
El uso de herramientas cuantitativas para el tratamiento de datos tie-
ne origen en épocas remotas. Se tiene información de hace más
3000 años a.n.e., donde las antiguas civilizaciones, como la egipcia,
aplicaron continuamente censos que ayudaban a la organización del es-
tado y la construcción de las pirámides.
El Antiguo Testamento nos menciona que Moisés ordenó un “censo”
a la población Israelita para identificar los miembros de las familias. En la
antigua Grecia y el Imperio romano, era común la aplicación de censos
para la planificación de impuestos y la prestación del servicio militar.
La palabra estadística deriva del latín moderno statisticum colle-
gium (‘consejo de estado’), del latín antiguo status (‘posición, forma de
gobierno’), de la palabra italiana moderna statista (‘estadista, político’) y
del italiano antiguo stato (‘estado’). En 1749, el alemán Gottfried Achen-
wall (1719-1792) usa el término statistik en su libro titulado Staatswissenschaft der vornehmen
Europäischen Reiche und Republiken, quien originalmente designó la palabra estadística para el
análisis de los datos de un gobierno, definiéndola como la “ciencia del estado”. A Gottfried Achen-
wall se le conoce como el “padre de la estadística”.
La primera persona que introdujo el término estadística en Inglaterra fue Sir John Sinclair
(1754-1835) con su trabajo Statistical Account of Scotland (1791-1799), trabajo compilado en
21 volúmenes. El autor explica en su libro que la palabra estadística la adoptó, gracias al estudio
de investigaciones realizadas en Alemania, como una palabra novedosa que llamaría la atención
de los ingleses; a diferencia, de que en Alemania la estadística se usa como instrumento para me-
dir la fortaleza de un estado, mientras que Sinclair, la emplearía como generadora de información
interna para encontrar falencias y proponer mejoras en el país. A este trabajo le siguieron dos
publicaciones: la segunda edición, elaborada entre 1834 y 1845, y la tercera edición comienza
después de la Segunda Guerra Mundial comprendiendo los periodos entre 1951 y 1992.
A comienzos del siglo xix, la palabra estadística adopta un significado más generalizado hacia
la recolección y clasificación de cualquier tipo de datos cuantitativos. William Playfair (1759-
1823) expone su idea de que los gráficos permiten una comunicación más eficiente que las tablas
de frecuencia. Es considerado como el inventor de los gráficos lineales, de barras y de sectores.
Playfair publicó el libro titulado The Commercial and Political Atlas (1786), el cual contiene 43
gráficos de series de tiempo y por primera vez, es usado un gráfico de barras. En 1801 utiliza el
primer gráfico de sectores en su obra Playfair’s Statistical Breviary.
http://www.eumed.net/libros-gratis/2007a/239/1a.html
La estadística

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