En el presente trabajo se presenta un análisis cuantitativo de actividades de exploración de transformaciones geométricas de funciones haciendo uso de software Mathematica® en un taller de informática de la asignatura Cálculo I y su incidencia en la aplicación a otras funciones.

1. VII Congreso Virtual Internacional de Enseñanza de las Matemáticas: CVEM 2009
5 - 24 de Octubre de 2009
Actividades de exploración de transformaciones geométricas de funciones usando
software matemático
Roxana Scorzo, Betina Williner Adriana Favieri
Universidad Nacional de la Matanza, Argentina
Resumen: en el presente trabajo se presenta un análisis cuantitativo de actividades de
exploración de transformaciones geométricas de funciones haciendo uso de software
Mathematica® en un taller de informática de la asignatura Cálculo I y su incidencia en la
aplicación a otras funciones.
Palabras claves:
Mathematica®
Exploración-
Transformación
de
funciones-
Taller-
Software
Introducción
Este trabajo informa sobre el diseño y evaluación de actividades de exploración de
transformaciones geométricas de funciones usando software Mathematica®- Dichas
actividades corresponden a la asignatura Cálculo I de la Universidad Nacional de la
Matanza y se llevan a cabo en laboratorios de informática. Se reporta el desempeño de los
alumnos en dichas actividades, en la aplicación a la función homográfica y a otras
funciones.
Objetivos del trabajo:
Nuestro interés se centra en varios aspectos:
• Analizar la influencia del uso del software matemático en la adquisición del
concepto de transformaciones geométricas de funciones.
• Evaluar el diseño de las actividades diseñadas para el desarrollo del tema y decidir
si éstas son apropiadas para lograr una generalización del concepto y aplicarlo a
otras funciones.
• Valorar el desempeño del alumno en la aplicación de transformaciones geométricas
a la función homográfica.
Marco teórico
Para el fundamento teórico de este trabajo se consideraron tres tópicos centrales:
a) Habilidades matemáticas
b) Uso del software en la enseñanza de la matemática
c) El taller como espacio de aprendizaje.
1

2. VII Congreso Virtual Internacional de Enseñanza de las Matemáticas: CVEM 2009
5 - 24 de Octubre de 2009
a) Habilidades matemáticas
Una habilidad matemática es la capacidad de efectuar o realizar una tarea matemática
eficientemente o de actuar adecuadamente frente a una situación, en la que la Matemática
esté involucrada, comprendiendo más de una operación intelectual. Las habilidades están
ligadas al “saber hacer”, y por lo tanto a un conocimiento, ya que no se puede “saber hacer”
sin conocer el objeto sobre el que se está actuando. Las habilidades matemáticas a las que
nos referiremos en este trabajo pueden ser asociadas a las habilidades del dominio
cognitivo que figuran en la “Taxonomía de Bloom” (ver Cruz, 2005). La clasificación de
Bloom se realiza en seis categorías básicas según la función de la acción en la que la
habilidad se manifiesta: conocimiento, comprensión, aplicación, análisis, síntesis,
evaluación. En la investigación, decidimos utilizar la clasificación que realiza Delgado
Rubí, citando también a Hernández (Hernández y otros, 1998), pero agrupándolas no sólo
de acuerdo al tipo de función que realizan sino también al objeto matemático (propiedad,
símbolo, artefacto de representación, etc.) con el que se trata al realizar la acción. Para este
trabajo nos concentraremos en el estudio de las habilidades heurísticas, en particular
explorar, ya que consideramos el desarrollo de la misma se ve favorecido por el uso del
software.
b) Uso del software en la enseñanza de la matemática
Mathematica® es un potente software, que permite hacer matemática aplicada propia de la
formación del ingeniero. Al respecto dice Castillo E. (1996) que en el área de matemática,
hasta hace unos años, existían fuertes limitaciones en el desarrollo y resolución de ciertos
problemas. Agrega que con esta potente herramienta no sólo se podrán obtener respuestas a
los mismos, sino que permitirá a los alumnos realizar aproximaciones en forma inductiva.
A través del camino de la exploración, podrá trabajar con problemas más complejos y
resolver cálculos numéricos en forma más rápida. En nuestro caso, esto contribuirá a la
comprensión de las transformaciones de las funciones, que es uno de los objetivos
planteados en la presente investigación. La función del profesor en este modelo es la de
diseñar e implementar una situación, que en nuestro caso son las actividades formuladas,
para movilizar cierto conocimiento enseñado en las clases de la asignatura. Nuestra idea es
que el alumno utilice la tecnología como herramienta cognitiva, es decir, como medio
facilitador del aprendizaje.
c) El taller como espacio de aprendizaje.
Un taller es un modo o forma de organizar el proceso de enseñanza – aprendizaje, que tiene
como objetivo la realización de una tarea concreta, donde el alumno participa activamente,
en forma individual y grupal, bajo la orientación adecuada del docente. (Ander-Egg, 1991;
Sánchez Iniesta, 1995).
2

3. VII Congreso Virtual Internacional de Enseñanza de las Matemáticas: CVEM 2009
5 - 24 de Octubre de 2009
El término taller se deriva del vocablo francés atelier y sus orígenes provienen de la Edad
Media como un lugar donde se forman los aprendices. D. Calzado (1998) señala la
diversidad de actividades pedagógicas a las que se le denominan taller, el cual ha sido
categorizado también como método, procedimiento, técnica y forma de organización del
proceso pedagógico.
Esta autora considera al taller como una forma de organización que concuerda con la
concepción problematizadora y desarrolladora de la educación en la medida en que a través
de él se trata de salvar la dicotomía que se produce entre teoría y práctica, producción y
trasmisión de conocimientos, habilidades y hábitos. Es importante destacar que el taller no
suplanta ninguna de las formas tradicionales del sistema de trabajo metodológico, sino que
la complementa.
La práctica en los talleres está fundamentada en el aprendizaje activo por parte del alumno,
en la que los conocimientos no están acabados y en donde el docente tiene un rol de
facilitador del aprendizaje, y ayuda al alumno a recorrer el camino para apropiarse de
dichos conocimientos.
Mediante una actividad de taller también puede atenderse a las diferencias, particularidades
y necesidades individuales. Este se debe a que el docente puede atender a los alumnos en
un espacio más distendido, más relajado en el que diálogo se ve favorecido, sin limitaciones
que pueden presentarse en el aula a través de una enseñanza expositiva.
Material y métodos:
Diseño de las actividades
Las actividades presentadas a los alumnos para el desarrollo del tema fueron divididas en
tres partes:
1. Primera parte: funciones en forma gráfica.
2. Segunda parte: funciones en forma analítica.
3. Tercera parte: aplicación a la función homográfica.
Primera parte: se presentan dos gráficos. En el primero pueden verse las funciones
1
f ( x) = cos x , f ( x) = 2 cos x , f ( x) = cos x , representadas en el intervalo [ −2 π , 2 π ] con
2
colores negro, rojo, y verde respectivamente. En la consigna se informa que la gráfica
representada en negro corresponde a f ( x) = cos x y ninguna información respecto a las
otras
dos
curvas.
En
el
segundo
aparecen
las
funciones
1
f ( x) = cos x , f ( x) = cos 2 x , f ( x) = cos x , con las mismas características que en el
2
primer gráfico. Se solicita a los alumnos que ayudándose con los comandos para graficar
del software Mathematica® decidan qué operaciones matemáticas habría que hacerle a la
función f ( x) = cos x para que su gráfico sea como el gráfico que está en rojo y el que está
en verde. También se solicita que analicen el efecto de dichas operaciones matemáticas a
3

4. VII Congreso Virtual Internacional de Enseñanza de las Matemáticas: CVEM 2009
5 - 24 de Octubre de 2009
otras funciones, dejando así abierta la posibilidad de usar el programa para explorar con
distintas funciones.
1. Segunda parte: se presentan los números: c1 = π , c2 = −
π
, d1 = 3 , d 2 = − 2 ; y la
2
función f ( x) = cos x , y se pide la realización de los gráficos de
f ( x) , f ( x − c1 ) , f ( x − c2 ) , f ( x) + d1 , f ( x) + d 2 . A partir de allí se solicita que
observen las funciones graficadas y expliquen qué cambios produce en la gráfica de
la función la resta del parámetro c y la suma de d. También se pide que analicen si
el mismo parámetro c o d produce los mismos cambios en otra función cualquiera.
Aquí también se deja abierta la posibilidad de exploración con el software por parte
del alumno.
2. Tercera parte: se presenta la función homográfica y se pide que decidan qué
1
operaciones matemáticas son necesarias para que el gráfico de f ( x) =
se
x
desplace 5 unidades hacia la derecha, 2 unidades hacia abajo y sufra una
contracción vertical de 3 unidades; y que grafiquen la función original y la
transformada.
Realización de las actividades
Las actividades forman parte de los trabajos prácticos de entrega obligatoria de en un taller
complementario con uso del software Mathematica® de la asignatura Cálculo I y Análisis
Matemático I de las carreras de Ingeniería Industrial, Electrónica e Informática. La
asistencia a los talleres no es obligatoria. Esto permite que los alumnos tengan la
posibilidad de elegir entre trabajar en forma autónoma o guiada por el docente. El alumno
cuenta con un blog en el cual se encuentran tutoriales sobre uso del software y toda
información importante para la realización de las actividades.
Estudio de las actividades de exploración
Con el propósito de cumplir con los objetivos del trabajo se ha analizado la habilidad
explorar con los distintos contenidos con los que está relacionada. Como resultado de
dicho análisis se llegó a la siguiente clasificación:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Exploración de contracción y dilatación horizontal en la función coseno
Exploración de contracción y dilatación horizontal en cualquier función
Exploración de contracción y dilatación vertical en la función coseno
Exploración de contracción y dilatación vertical en cualquier función
Exploración de traslaciones horizontales en la función coseno
Exploración de traslaciones horizontales en cualquier función
Exploración de traslaciones verticales en la función coseno
Exploración de traslaciones verticales en cualquier función
Aplicación a la función homográfica
4

5. VII Congreso Virtual Internacional de Enseñanza de las Matemáticas: CVEM 2009
5 - 24 de Octubre de 2009
Variables del estudio
La clasificación anterior de la habilidad explorar relacionada con el contenido se
transformaron en las variables de nuestro estudio. Las mismas se consideraron como
variables categóricas, con tres opciones, Mal, Regular o Bien.
Recolección de datos
La recolección de datos se ha realizado a través de la corrección de los trabajos prácticos
entregados por los alumnos. En ese el momento el docente encargado de la corrección
valoraba cada una de las variables con alguna de las categorías mencionadas.
Instrumento
Para resumir la información acumulada en la corrección de los trabajos prácticos se ha
diseñado una planilla electrónica que luego fue utilizada para realizar el análisis estadístico.
Análisis cuantitativo
Actividad de exploración de transformaciones geométricas
Parte 1:
Las variables relacionadas con esta parte de la actividad son:
• Exploración de contracción y dilatación horizontal en la función coseno
• Exploración de contracción y dilatación horizontal en cualquier función
• Exploración de contracción y dilatación vertical en la función coseno
• Exploración de contracción y dilatación vertical en cualquier función
•
Exploración de contracción y dilatación horizontal en la función coseno
Figura Nro 1: Frecuencias explorar contracción
y dilatación horizontal función coseno
97,0%
1,5%
Mal
Puede observarse que la
mayoría de los alumnos ha
logrado explorar correctamente
la contracción y dilatación
horizontal en la función
coseno. Es decir que han
podido relacionar la expresión
analítica de la función con su
representación gráfica.
1,5%
Regular
Bien
Explorar contracción y dilatación horizontal en la función coseno
5

6. VII Congreso Virtual Internacional de Enseñanza de las Matemáticas: CVEM 2009
5 - 24 de Octubre de 2009
•
Exploración de contracción y dilatación horizontal en cualquier función
Figura Nro 2: Frecuencias explorar contracción y
dilatación horizontal en cualquier función
86,6%
En este caso el desempeño de
los alumnos no es diferente, la
mayoría no logra explorar en
otras funciones; es decir, no
presenta en los trabajos un
análisis a otras funciones.
11,2%
2,2%
Mal
Regular
Bien
Explorar contracción y dilatación horizontal en cualquier función
•
Exploración de contracción y dilatación vertical en la función coseno
Figura Nro 3: Frecuencias explorar contracción
y dilatación vertical función coseno
91,0%
4,5%
4,5%
Mal
Regular
Nuevamente
se
presentan
porcentajes altos de desempeño
correcto en esta exploración
relacionada con la función
coseno. Es decir, aquí también
los alumnos han sido capaces de
traducir el lenguaje gráfico al
simbólico ayudados por el
software.
Bien
Explorar contracción y dilatación vertical en la función coseno
6

7. VII Congreso Virtual Internacional de Enseñanza de las Matemáticas: CVEM 2009
5 - 24 de Octubre de 2009
•
Exploración de contracción y dilatación vertical en cualquier función
Figura Nro 4: Frecuencias explorar contracción y
dilatación vertical en cualquier función
88,8%
La mayoría de los trabajos
presentados no evidenciaban
exploración de contracciones y
dilataciones verticales a otras
funciones.
9,7%
1,5%
Mal
Regular
Bien
Explorar contracción y dilatación vertical en cualquier función
Conclusión: la actividad y el uso del software han contribuido a la exploración de
contracciones y dilataciones horizontales y verticales de la función coseno. La actividad no
ha sido satisfactoria en la exploración a otras funciones. El diseño de la misma podría haber
sido más específico en cuanto a la aplicación a otras funciones y su generalización.
Parte 2:
Las variables relacionadas con esta parte de la actividad son:
•
•
•
•
Exploración de traslaciones horizontales en la función coseno
Exploración de traslaciones horizontales en cualquier función
Exploración de traslaciones verticales en la función coseno
Exploración de traslaciones verticales en cualquier función
7

8. VII Congreso Virtual Internacional de Enseñanza de las Matemáticas: CVEM 2009
5 - 24 de Octubre de 2009
•
Exploración de traslaciones horizontales en la función coseno
Figura Nro 5: Frecuencias explorar traslaciones
horizontales función coseno
No se obtuvieron resultados en la
categoría mal. Casi un 65% lo hace
correctamente y un 35% en forma
regular.
64,9%
35,1%
Regular
Bien
Explorar traslaciones horizontales en la función coseno
•
Exploración de traslaciones horizontales en cualquier función
Figura Nro 6: Frecuencias explorar traslaciones
horizontales en cualquier función
En forma similar a los resultados de la
actividad anterior, el desempeño de la
exploración
de
traslaciones
horizontales en cualquier función no
ha sido satisfactorio. La mayoría lo
hizo mal o no lo realizó.
86,6%
10,4%
3,0%
Mal
Regular
Bien
Explorar traslaciones horizontales en cualquier función
8

9. VII Congreso Virtual Internacional de Enseñanza de las Matemáticas: CVEM 2009
5 - 24 de Octubre de 2009
•
Exploración de traslaciones verticales en la función coseno
Figura Nro 7: Frecuencias explorar traslaciones
verticales función coseno
Aunque
puede
apreciarse
una
disminución de los porcentajes de
alumnos que realizaron correctamente la
exploración de traslaciones verticales en
la función coseno, en general el
desempeño es satisfactorio, sólo un 3%
lo hace incorrectamente.
65,7%
31,3%
3,0%
Mal
Regular
Bien
Explorar traslaciones verticales en la función coseno
•
Exploración de traslaciones verticales en cualquier función
Figura Nro 8: Frecuencias explorar traslaciones
verticales en cualquier función
Resultados similares a los obtenidos en la
parte 1 de la actividad de exploración, el
porcentaje más alto se encuentra entre los
alumnos que lo hicieron mal o no lo
hicieron.
87,3%
11,2%
1,5%
Mal
Regular
Bien
Explorar traslaciones verticales en cualquier función
Conclusión: la actividad y el uso del software han contribuido a la exploración de
traslaciones horizontales y verticales de la función coseno; sin embargo no ha facilitado la
exploración a otras funciones. Es decir que el diseño podría haber estado también enfocado
a la aplicación a otras funciones y su generalización
9

10. VII Congreso Virtual Internacional de Enseñanza de las Matemáticas: CVEM 2009
5 - 24 de Octubre de 2009
Parte 3
Las variables relacionadas con esta parte de la actividad son:
• Aplicación a la función homográfica
Figura Nro 9: Frecuencias aplicación función homográfica
64,9%
26,1%
9,0%
Mal
Regular
Bien
Aplicacion a función homográfica
Los resultados son relativamente buenos, casi un 65% ha podido aplicar las
transformaciones geométricas a la función homográfica, y sólo un 9% lo ha realizado en
forma correcta. El resto de los alumnos lo hizo en forma incorrecta
Conclusión: luego de haber realizado las actividades de exploración de contracciones,
dilataciones y traslaciones horizontales y verticales de la funciones, la mayoría de los
alumnos ha logrado aplicarlo a la función homográfica medianamente bien.
Logro de objetivos propuestos
Analizamos cada objetivo planteado, su cumplimiento y la conclusión:
•
Analizar la influencia del uso del software matemático en la adquisición
concepto de transformaciones geométricas de funciones.
o A través de este trabajo se ha podido apreciar la potencialidad didáctica
software y su influencia positiva en el desarrollo del concepto
transformaciones geométricas de funciones debido a las facilidades
gráficos que el mismo presenta.
del
del
de
de
10

11. VII Congreso Virtual Internacional de Enseñanza de las Matemáticas: CVEM 2009
5 - 24 de Octubre de 2009
•
Evaluar el diseño de las actividades diseñadas para el desarrollo del tema y decidir
si éstas son apropiadas para lograr una generalización del concepto y aplicarlo a
otras funciones.
o Las actividades diseñadas para la exploración de transformaciones
geométricas de funciones han resultado efectivas en lo referente a la
exploración de la función coseno. En cuanto a la exploración de las
transformaciones geométricas de otras funciones las mismas necesitan un
rediseño, creemos que éste debe estar enfocado a guiar al alumno a la
generalización y a la exploración a otros tipos de funciones. Muchas veces
se considera que el diseño de una actividad queda claro para el alumno y sin
embargo no siempre esto es así La reformulación de actividades por parte
del docente favorece y enriquece el aprendizaje de los alumnos
•
Valorar el desempeño del alumno en la aplicación de transformaciones geométricas
a la función homográfica.
o El desempeño del alumno en esta aplicación es de regular a bueno, aunque
los valores de desempeño correcto son bajos.
Conclusión final:
Esta experiencia ha sido muy valiosa ya que nos permite resaltar los siguientes hechos:
•
•
Valorar la efectividad del diseño de la actividad en la exploración de las
transformaciones geométricas de la función coseno.
•
Destacar la importancia de las actividades en un entorno de taller de informática en
el desarrollo de la reflexión y profundización de los contenidos.
•
Enfatizar la clara formulación y diseño de actividades didácticas, para que éstas
cumplan con el objetivo planteado..
•
Uso del software Mathematica® como una herramienta didáctica de mucha
potencialidad, que contribuye a la visualización, a la exploración y la realización de
cálculos de manera ágil y rápida.
Comprometernos con el diseño de actividades complementarias que guíen a la
generalización y aplicación a otro tipo de funciones.
11

12. VII Congreso Virtual Internacional de Enseñanza de las Matemáticas: CVEM 2009
5 - 24 de Octubre de 2009
Bibliografía
Ander Egg, Ezequiel (1991), El Taller: una alternativa de renovación pedagógica,
Buenos Aires : Magisterio del Río de la Plata
Castillo E. y otros (1996) Mathematica .(3ra Ed). Editorial Paraninfo. España.
Cruz, E. (2005). Encyclopedia of Educational Technology: Bloom's Revised Taxonomy.
Retrieved March 19, 2005. Recuperado el 17 de junio de 2009, de
http://coe.sdsu.edu/eet/Articles/bloomrev/
Ministerio de educación, 2005, , El taller como forma de trabajo metodológico en la
educación superior, Revista Pedagógica Universitaria Vol. 9 No. 5, Cuba
Sanchez Iniesta, Tomás, 1995, La construcción del aprendizaje en el aula, (2ª edición),
Magisterio Río de la Plata Buenos Aires
12